知识能力层次
一、填空（每题2分）
１．设方程组有非零解，则
。
2．线性方程组有非零解，则 。
3．方程组有无穷多解，则
。
4．非齐次线性方程组（为矩阵）有惟一解的的充分必要条件是
____________。
5．设是阶方阵,是齐次线性方程组的两个不同的解向量,
则
。
6．设为三阶方阵，秩，是线性方程组的解，已知
，则线性方程组的通解为
。
7．三元线性方程组的系数矩阵的秩，已知该方程组的两个解分别
为
，，则的全部解可表为
。
8．设，欲使线性齐次方程组的基础解系有两个解向量，
则=
。
9．当
时，线性方程组无解。
10．方程组=的基础解系所含向量个数是___
_1______。
11．若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，
则
3
。
12．设线性方程组有解，则应满足条件。
13．设齐次线性方程组为，则它的基础解系中所包含的向量个数为
n-1 。
14．设是非齐次线性方程组的解向量，则是方程组 的
解向量．
15．设为非齐次线性方程组的一组解，如果也是该方程组的一个解，则 １ 。
16．设矩阵，则齐次线性方程组的一个基础解系为。
17．若方程组有惟一解，则所满足的条件是。
18．设n元齐次线性方程组的一个基础解系中线性无关的解向量个数是n，则为
零矩阵
。
19．设是阶矩阵，如果，则任何 n个线性无关的n维向量 都是
的基础解系。
20．设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且的秩为n-1，则线性方程组的通解为
。
二、单项选择填空题（每题2分）
1．线性方程组
（
A
）
A.
无解
B.
只有0解
C.
有惟一解
D.
有无穷多解
2．设方程组，
当=（
B
）时，方程组有非零解。
A.0
B.
±1
C.
2
D.
任意实数
3．已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则
（
D
）
A．方程组有无穷多解
B.
方程组无解
C.
方程组有惟一解或无穷多解
D.
方程组可能无解，也可能有无穷多解
4.
若齐次线性方程组有非零解，则的值为（
C ）
A．
B．
C．
D．
5．当（
C
）时，仅有零解。
A．
B．
C．
D．
6．设为矩阵，只有零解的充要条件是 （
D
）
A．的行向量组线性无关
B．的行向量组线性相关
C．的列向量组线性相关
D．的列向量组线性无关
7．设A为m×n矩阵，且非齐次线性方程组有惟一解，则必有（ C ）
A．m=n B．r
(A)=
m C．r
(A)=n
D．r
(A)<
n
8．若方程组存在基础解系，则λ等于 （ Ｄ ）
A．2 B．3 C．4
D．5
9.
设矩阵，，则非齐次线性方程组有无穷多解的充分必要条件是
（
B
）
A．
B．
C．
D．
10．若，则元线性方程组 （
D
）
A．有无穷多解
B．有唯一解
C．无解
D．不一定
11.
设齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组，，是
的解，则下列正确的是
（
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
12．设为矩阵，只有零解的充要条件是 （
D
）
A．的行向量组线性无关
B．的行向量组线性相关
C．的列向量组线性相关
D．的列向量组线性无关
13．设齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组，
，是的解，则下列正确的是 （
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
14．已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则
(
D
)
A．方程组有无穷多解
B．
方程组无解
C．方程组有唯一解或无穷多解
D．方程组可能无解，也可能有无穷多解
15．是n元线性方程组有惟一解的 （ Ｃ ）
A．充分必要条件
B．充分条件
C．必要条件
D．无关条件
16．已知线性方程组无解，则 （ Ａ ）
A.
B.
C.
D.
17．为矩阵，是非齐次线性方程组的导出组，则下列结论正确
的是 （
A
）
A．有无穷多解，则有非零解
B．有无穷多解，则仅有零解
C．仅有零解，则有唯一解
D．有非零解，则有无穷多解
18．设为矩阵，有解，则 （ Ｂ ）
A．当有惟一解时，
B．当有惟一解时，
C．当有无穷解时,只有零解
D.当有无穷解时，
19．线性方程组
有解的充分必要条件是 （ Ａ ）
A.
B.
C.
D.
20．齐次线性方程组，（
Ｃ
）是它的一个基础解系。
A.
B.
C.
D.
三、判断题（每题2分）
1．若是的解，则也是它的解。
（
是
）
2．若是齐次线性方程组的解向量的一个极大无关组，则
是方程组的一个基础解系。
（
是
）
3．若齐次线性方程组有非零解，则线性方程组就一定有解。（
否
）
4．若有无穷多组解，则有非零解。
（
是
）
5．n线性非齐次方程组只要其系数矩阵的A秩,就一定有无穷多组解。
（
否
）
6．齐次线性方程组的基础解系不是惟一的。
7．是方程组的一个基础解系。（
是
）
8．方程组的每个基础解系中只含有一个解向量。
（
是
）
9．线性方程组在时，是有解的。
（
是
）
10．任何齐次线性方程组都有基础解系。
（
否
）
11．是方程组的一般解。
（
是
）
12．方程组的一般解可表示为。
（
否
）
13．时，方程组有解。
（
否
）
14．与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。
（
是
）
15．若是一个线性方程组的解，那么
（其中）也是它的一个解。
（
是
）
16．方程组有非零解。
（
否
）
17．方程组与方程组是同解的方程组。
（
是
）
18．用初等变换解，可以对实行列等行变换。
（
否
）
19．若是的解，是的解，则是的解。
（
否
）
20．给定方程组，当时，方程组有解。
（
否
）
理解能力层次
一、填空（每题2分）
1．已知方程组有无穷多解，则
-1
或3
。
2．设是的解向量，是其导出组的基础解系，则必线性 无关 。
3.
设四阶方阵且，则方程组的
一个解向量为
。
4.
设方程组有解，则其增广矩阵的行列式=
0
。
5．设，且方程组的解空间的维数为2，则 1 。
6．设为n阶方阵，方程组有非零解，则必有一个特征值等于
０
。
7．设，B是三阶矩阵，且，若，则
4
。
8．设为矩阵，，为是矩阵，的列向量是的解，则的最大数为 3 。
9．若齐次线性方程组中的系数矩阵的秩，且的代数余子式，则该方程组的通解可以表示为。
10．已知四元非齐次线性方程组，是它的三个解向量，且
，则齐次线性方程组的通解为
_____________。
11．齐次线性方程组有非零解，则应满足条件。
12．已知四元线性方程组的三个解为，且
，，则方程组的通解是
。
13．已知线性方程组的两个解为
则该方程组的全部解为
。
14．设齐次线性方程组的基础解系中含有三个解向量，其中矩阵，则
2
。
15．设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，且，
，其中是它的的三个解向量，则方程组的通解为
。
16．设，，则齐次线性方程组的解空间的一组基为
。
17．已知是非齐次线性方程组线性无关的解，矩阵，且，若是方程组的通解，则常数须满足关系式
。
18．设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解是
。
19．设矩阵，其中
则线性方程组的基础解系含有解向量的个数是
n-1
。
20．设为阶方阵，若齐次线性方程组只有零解，则的解是
只有零解
。
21．设任意一个维向量都是方程组的解，则
0
。
22．设非齐次线性方程组有两个解，，则该方程组的通解为
。
23．已知齐次线性方程组有无穷多解，则
-5或-6
。24．若线性方程组
无解，则常数应满足的条件是 .
25．3元非齐次线性方程组有3个解为，，，则系数矩阵=
。
26．若向量，都是线性方程组的解，则系数矩阵
=
。
27．方程组有解的充分必要条件为
。
28．设元非齐次线性方程组有解，其中为阶矩阵，则
0
。
29.
已知为阶方阵，是的列向量组，行列式，其伴随矩阵，则齐次线性方程组的通解为
是的极大线性无关组
。
30.
设，，，
其中，则线性方程组的解是。
二、单项选择填空题（每题2分）
1．齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
（
C
）
A．的任意两个列向量线性相关
B．的任意两个列向量线性无关
C．中必有一列向量是其余列向量的线性组合
D．中任一列向量是其余列向量的线性组合
2．设矩阵，且，则线性方程组
（
D
）
A．可能无解；
B．一定无解；
C．可能有解；
D．一定有解
3．当
=（ Ａ ）时，方程组无解
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
4．为矩阵，秩(A)
=，下列结论正确的是 （ Ｂ ）
A．齐次线性方程组仅有零解
B．非齐次线性方程组有无穷多解
C．中任一个阶子式均不等于零
D．中任意个列向量必线性无关。
5．是个m方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的 （ Ｂ ）
A．充分必要条件
B．充分条件
C．必要条件
D．无关条件
6．设为矩阵，则齐次线性方程组有结论 （ Ｃ ）
A．时，方程组仅有零解
B．时，方程组有非零解，且基础解系含个线性无关的解向量
C．若有n阶子式不为零，则方程组仅有零解
D．若中所有n
-
1阶子式不为零，则方程组仅有零解
7．n元线性方程组有惟一解的充分必要条件是 （ Ｄ ）
A．导出组仅有零解
B．为方阵，且时，
C.
D．的列向量线性无关，且可由的列向量线性表示
8．设为矩阵，，则方程组
(
A
)
A.
当时，有解
B.
当时，有惟一解
C.
当时，有惟一解
D.
当时，有无穷多个解
9．设为矩阵，且，若的行向量组线性无关，则
（
A
）
A、方程组有无穷多解
B、方程组有唯一解
C、方程组无解
D、方程组仅有零解
10.
设矩阵，且，则线性方程组
（
D
）
A．可能无解；
B．一定无解；
C．可能有解；
D．一定有解
11．若线性方程组有惟一解，则的值为 （
D
）
A．
B．
C．
D．异于与的数
12.设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且，，(C为任常数)，则线性方程组的通
解是
(
C
)
A.
B.
C.
D.
13．设矩阵，齐次线性方程组的系数行列式，而中的元素的代数余子式，则这个方程组的每个基础解系中解向量的个数都是
（
A
）
A．
B．
C．
D．
14.设向量组中是齐次线性方程组的一个基础解系，则向量组
(
D
)
也是的一个基础解系
A.
B.
C.
D.
15．设为矩阵，
，是非齐次方程组的三个不同的解，则正确的结论是
(
D
)
A.
线性相关
B.
是的基础解系
C.
的任何线性组合是的解
D.
当线性无关时，则是的通解,,其中是满足的任何数
16．要使都是线性方程组的解，只要系数矩阵A为
(
B
)
A.
B.
C.
D.
17．设为矩阵，若有解，是其两个特解，的基础解系是，则
(
B
)
A.
的通解是
B.
的通解是
C.
的通解是
D.
的通解是
上述四项中均为任意常数
18．已知是齐次方程的基础解系，那么基础解系也可以是 (
B
)
A．
B．
C．
D．
19．齐次线性方程组
的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则
(
C
)
A．
B．
C．
D．
20．已知，，，
，则齐次线性方程组
的通解为
（
Ｂ
）
A．
B．
C．
D．
三、判断题（每题2分）
1．齐次线性方程组只有零解，则应满足的条件是。（
否
）
2．若非齐次线性方程组系数矩阵的秩小于n，则方程组有无穷多解。（
否
）
3．设为n阶方阵，且，是的两个不同的解向量，则的通解为。 （
否
）
4．设齐次线性方程组的系数行列式，而中的元素的代数余子式
，则这个方程组的每个基础解系中解向量的个数都是1。
（
是
）
5．设为矩阵，若非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则时，
方程组有解。
（
是
）
6．设A，B都是n阶非零矩阵，且，则的秩都小于n。
（
是
）
7．设A为n阶奇导方阵，A中有一个元素的代数余子式，则齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为n
。 （
否
）
8．设为矩阵，只有零解的充要条件是的行向量组线性无关。
（
否
）
9．设为矩阵，只有零解的充要条件是的列向量组线性无关。
（
是
）
10．设为阶方阵，，且是的三个线性无关的解向量，则是的一个基础解系。 （
是
）
11．设为线性无关的n维列向量，，则非齐次线性方程组有惟一解。 （
是
）
12．设是的基础解系，则为的通解。
（
否
）
13．已知为非齐次线性方程组的两个不同的解，为对应的齐次方程组的基础解系，则（其中）是
的通解。 （
是
）
14．设4阶方阵的秩是3，且每行元素的和为零，则方程组的基础解系为
。 （
是
）
15．设为的基础解系，为一n维列向量，若，则可由线性表示。 （
是
）
16．给定方程组，则对任意的，方程组均有解，且有无穷多解。 （
是
）
17．设为矩阵，为维列向量，则当方程组有解时，加入一个方程
后方程组也有解。 （
否
）
18．设为矩阵，为维列向量，则当方程组无解时，加入一个方程
后方程组也无解。 （
是
）
19．设线性方程组，当时，方程组仅有零解。
（
否
）
20．设为矩阵，非齐次线性方程组系数矩阵的秩，则方程组有解。 （
是
）
简单应用能力层次
一、计算题（每题5分）
1．求线性方程组
的一般解．
解：
因为系数矩阵
……3分
所以一般解为：，
其中，是自由未知量。
…….……5分
2．求线性方程组的一般解。
解：因为增广矩阵
…………3分
所以一般解为：
（其中是自由未知量）。
…………5分
3．当取何值时，线性方程组有非零解？并求一般解．
解：
因为增广矩阵
………3分
所以当=
-2时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
是自由未知量)
…………5
4．当取何值时，线性方程组
有解？并求一般解．
解：因为增广矩阵
……3分
当=3时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
是自由未知量)。
…………5分
5．求线性方程组的一般解。
解：
因为系数矩阵
……3分
所以一般解为
（其中，是自由未知量）。
.......................……5分
6．设齐次线性方程组
问取何值时方程组有非零解，并求一般解.
解：因为系数矩阵
A
=
……3分
所以当l
=
5时，方程组有非零解.
且一般解为：
（其中是自由未知量）。
.......................……5分
7．设线性方程组
，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.
解
因为
.......................……3分
所以
r(A)
=
2，r()
=
3.
又因为r(A)
<
r()，所以方程组无解。
.......................……5分
8．求下列线性方程组的一般解。
解：因为增广矩阵
.......................……3分
所以一般解为：
（其中是自由未知量）
.......................……5分
9．设线性方程组讨论当a，b为何值时，方程组无解，有惟一解，有无穷多解。
.......................……3分
所以当且时，方程组无解；
当时，方程组有唯一解；
当且时，方程组有无穷多解。.
......................……5分
10．当取何值时，线性方程组
有解？并求一般解.
解：因为增广矩阵
................…3分
所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：
是自由未知量〕。
......................……5分
11．已知线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为
问取何值时，方程组有解？当方程组有解时，求方程组的一般解。
解：当=3时，，方程组有解.
当=3时，..............…3分
一般解为，
其中,
为自由未知量。
.....................……5分
12．当为何值时，方程组有解，并求其通解。
解：
..............…3分
当，同解方程组为令，
令
....................……5分
13.
设线性方程组为，问：、取何值时，方程组无解、
有惟一解、有无穷多解？
在有无穷多解时求出其通解。
解：
..............…2分
当时，方程组有惟一解
当，时，方程组无解
当，时，=＝2<3，方程组有无穷多组解,
其通解为，为任意常数。
....................……5分
14.线性方程组为
，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。
解：
..............…3分
当2时，方程组有唯一解
当2，1时，方程组无解
当2，1时，＝2<3，方程组有无穷多组解,其通解为
(为任意常数)。
....................……5分
15．已知是齐次线性方程组的一个解，试求方程组的一个包含的基础解系。
解：，，..............…2分
令，得方程组的两个解为：，，
从而所求基础解系即为和。
..............…5分
16．求解线性方程组。
解
：将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即
， ..............…3分
因为
，r(`A)
=
r(A)
=
3，所以，方程组有解．
一般解为:
(x4是自由未知量)。
..............…5分
17．设线性方程组
试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。
解：因为
..............…2分
所以当c
=
0时，方程组有解．且
..............…3分
所以，原方程组的一般解为：
（x3是自由未知量）。
..............…5分
18．试讨论a取什么值时，线性方程组有解，并求出解。
解：
..............…3分
当时，方程组有解，解为
..............…5分
19．试讨论a取什么值时，线性方程组有解，并求出解。
..............…3分
当时，方程组有解，解为
..............…5分
20．设为４阶矩阵，且，试问的基础解系所含解向量的个数。
解：，，又因为４阶矩阵，故中至少有一个３阶子式不为０，则中至少有一个非零元素，则，
..............…2分
又，所以，
..............…4分
从而有，故的基础解系所含解向量的个数为4-1=3个。..............…5分
二、证明题（每题5分）
1.
设是的一个基础解系，证明：也是
的一个基础解系。
证明：是的一个基础解系，都是的解，且线性无关，从而都是的解，…………….2分
设
即
由线性无关，得，，
仅有零解，
从而线性无关，
也是的一个基础解系。…………….5分
2．证明方程组有解的充要条件是。
证明：……3分
方程组有解，即，即…………5分
3．设n阶矩阵可逆，
证明：线性方程组
无解。
证明：线性方程组的系数矩阵为，因为矩阵，所以，
…………….2分
又因为该方程组的增广矩阵为，而是可逆的，，
…………….4分
从而系数矩阵的秩<增广矩阵的秩，所以非齐次线性方程组无解。………….5分
4．设实数域上的线性方程组，证明：
（1）如果，则方程组有惟一解；
（2）如果则方程组无解；
（3）如果则方程组有无穷多解。
证明：（1）令，，
因为，，从而方程组有惟一解，由克莱姆法则得其解为：
；
（2），从而方程组无解；
（3），从而方程组有无穷多解。………….5分
5．
证明：含有n个未知量n+1个方程的线性方程组
若有解，则行列式
证明：易知方程组的系数矩阵为矩阵，所以，又因为该非齐次线性方程组有解，所以必须满足关系式：增广矩阵的秩，而增广矩阵为阶方阵，且，。
………….5分
6．设是矩阵，是矩阵，证明线性方程组，当时，必有非零解。
证明：是矩阵，是矩阵，且
，，
，由，得，
而是，所以当时，必有非零解。
……………….5分
7．已知行列式，证明方程组无解。
证明：由题设知方程组的增广矩阵的秩，
……………….2分
而系数矩阵是矩阵，，
……………….4分
故，方程组无解。
……………….5分
8．设是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量，
且，证明：向量组是线性无关的。
证明：设有常数，使得，
上式左乘，，得，………….3分
以此类推，分别左第乘，得，
故向量组线性无关。
……………….5分
9．设是矩阵，，且有惟一解，证明：为可逆矩阵，且的解为。
证明：有惟一解，仅有零解，故，
即为可逆矩阵，
……………….3分
于是由，得，所以。
……………….5分
10．设是矩阵，且,若满足,证明:。
证明：设，其中为维列向量，，
，故线性无关，
由于，即=，
……………….3分
所以，由于线性无关，
故，所以。
……………….5分
综合应用能力层次
一、计算题（每题8分）
1.设线性方程组，
讨论当为何值时，方程组无解？有惟一解？有无穷多解？（不必求解）
解：……5分
当时，方程组无解；
当时，方程组有惟一解；
当时，方程组有无穷多解
………….……8分
2.设线性方程组，
讨论当为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？（不必求解）
解：……5分
当时，方程组无解；
当时，方程组有惟一解；
当时，方程组有无穷多解
………….……8分
3.设线性方程组，
讨论当为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？（不必求解）
解：因为对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得：
所以，当时，，方程组有唯一解。……………..5分
而当时，由上面的结果可知：
所以，当且时，，方程组无解；
当且时，，方程组有无穷多解。……….8分
4.
设线性方程组，
讨论当为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？（不必求解）
解：对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得：
，
…………………
5分
当时，因为，所以方程组有唯一解；
当且时，因为，所以方程组无解；
当且时，因为，所以方程组有无穷多解。…….8分
5.
当，为何值时，线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多解？（不必求出解）
解：对方程组系数的增广矩阵施行初等行变换：
…….5分
由阶梯形矩阵可见：
(1)当时，，故此时方程组有唯一解;
(2)当且时，，，故此时方程组无解;
(3)当且时，，故此时方程组有无穷多解.…….8分
6当为何值时，线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多解？在有解时，求出方程的通解。
解：
设方程组的增广矩阵为,对进行初等变换
=
…….…….4分
当a=－3时，
方程组无解。
当a－3且a2时，
方程组有唯一解。最后得到的梯形矩阵对应的梯形方程组为
，
则方程组的解为。
…….…….6分
当a=2时，
方程组有无穷多个解。此时梯形矩阵对应的梯形方程组为
则方程组的解为 （c为任意常数）。 …….…….8分
7.
求线性方程组的全部解(用其导出组的基础解系表示).解：
….……5分
全部解为：…8分
8.
的全部解（用其导出组的基础解系表示）。
解：5分
全部解为：
………8分
9．求线性方程组的全部解（用其导出组的基础解系表示）。
解：对线性方程组的增广矩阵进行行初等变换得：
，
…………………………5分
令自由未知量，，得方程组的一个特解：，
令分别取：，，得到导出组的基础解系为：
；
所以，方程组的全部解为：
（其中、为任意常数）。……8分
10.
求线性方程组的全部解（用其导出组的基础解系表示）。
解：对线性方程组的增广矩阵施行行初等变换得：
，…………..5分
令自由未知量，，，得到一个特解
，
再取分别为，得到导出组的基础解系：
，
所以方程组的全部解为
，（为任意常数）….8分
11.
用基础解系表示线性方程组的全部解。
解：设方程组的系数矩阵为，对其增广矩阵作初等变换，得：
………………..
5分
原方程组同解于，取得方程组一个特解。
导出组的系数矩阵可化为，
导出组与方程组同解，
取，得基础解系：。
故原方程组的全部解为:，（为任意系数）……..8分12．已知方程组(Ⅰ)
的解都是方程组
(Ⅱ)
的解，试确定。
解：=，
于是得方程组(Ⅰ)的全部解：
，…………..3分
将代入(Ⅱ)的导出组得，
将代入(Ⅱ)得，
解此四式得。
…………..8分
13．已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解，
(1)证明此方程组的系数矩阵的秩为2.
(2)求的值和方程组的通解.
解:(1)
设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是的两个线性无关的解.于是的基础解系中解的个数不少于2,即,从而,
又因为的行向量是两两线性无关的,所以,
两个不等式说明.
(2)对方程组的增广矩阵作初等行变换:
…………..3分
由,得出,代入后继续作初等行变换:
…………..5分
得同解方程组,
得到方程组的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,
c1,c2为任常数.
…………..8分
14．设,.讨论为何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?
并在有无穷多解时，求出其通解.
解：经计算
因此方程组有唯一解
…..……..2分
时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因
，即时无解。
…..……..5分
时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:
因，所以时有无穷多解。等价方程组为:
得通解为：，（为任意系数）
…..……..8分
15．已知线性方程组
，试讨论：
(1)取何值时，方程组无解；
(2)取何值时,方程有唯一解，并求出其解；
(3)取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。
解：
(1)时，
，无解；
…..……..2分
(2)时，，唯一解
.……..5分
(3)时，，无穷多解,
通解。
…..……..8分
16．已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关,如果,求方程组的通解。
解：令，则由
得，
将代入上式，整理后得，
由线性无关，知，
…..……..5分
解此方程组得，其中k为任意常数。
…..……..8分17．已知线性方程组解：，讨论取何值时，方程无解；有惟一解；有无穷多解（不必求解）。
解：
…..……..4分
由于方程有解0，1，
故得时有惟一解；
时有无穷多解；
时无解。
…..……..8分
18．设线性方程组为：，试讨论下列问题：
（1）当取什么值时，线性方程组有唯一解？
（2）当取什么值时，线性方程组无解？
（3）当取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解．（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）。
解
：线性方程组的系数行列式为
…..……..2
（1）当，即且时，线性方程组有唯一解；
…..……..4分
（2）当时，，线性方程组无解；….…..
6分
（3）当时
线性方程组有无穷多解，且其通解为。
…..……..8分
19．设线性方程组，已知是该方程组的一个解，求方程组的全部解。
解：将代入方程组中得，
…..……..2分
…..……..4分
当时，方程组有无穷多解，此时
，
方程组的全部解为：（c为任常数），
…..……..6分
当时，，于是，故方程组有无穷多解，
全部解为：。
…..……..8分
20．求一齐次线性方程组，使，构成它的一个基础解系。
解：显然，所求的方程组是一个5元线性方程组，且，
另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程组的解，且该方程组的一个基础解系所含解向量的个数为，故只要求方程组的一个基础解系，则以为系数矩阵的方程组即满足要求，为此对矩阵施行初等行变换，得
，
…..…….
4分
由此得方程组的一个基础解系：，
…..…….
6分
故所求的线性方程组为，即。
…..…….
8分
二、证明题（每题8分）
1．已知三阶矩阵且的每一个列向量都是方程组的解，
求
(1)的值；(2)证明。
(1)解：由得中至少有一非零列向量，
的每一个列向量都是方程组的解，所给齐次方程组有非零解，则它的行列式
，。
………………..
4分
(2)证明：（反证法）若设，则可逆，因此由题意
与矛盾，所以。
………………..
8分
2．已知方程组，若互不相等，证明方程组无解。
证明：由于增广矩阵的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，
故，
……....…4分
则,而系数矩阵为矩阵,，，方程组无解…8分
3．设有两个n元齐次线性方程组，。证明：
（1）若的解都是的解，则；
（2）若与同解，则。
证明：（1）由条件知的解空间是的解空间的子空间，因此的解空间的维数不大于的解空间的维数，即，于是；
…………….4分
（2）由条件知的解空间与的解空间是同一空间，因而该空间的维数为
，由此即得。
…………….8分
4．已知非齐次线性方程组
有3个线性无关的解，
（1）证明方程组系数矩阵的秩；
（2）求的值及方程组的通解。
解：（1）设是非齐次方程组三个线性无关的解，
令，则是其导出组的两个解
设即
因线性无关，所以必有，
即由此得线性无关，
因为导出组至少有两个线性无关的解，所以其基础解系至少包含两个解，故，由此得；
另一方面，导出组的系数矩阵
存在2阶不等于零的子式，
所以，，综上所述，即得。
…………….4分
（2）因非齐次方程组有解，故其增广矩阵与系数矩阵的秩相等，
由（1）得,故增广矩阵
的秩也为2，
用初等行变换把上述矩阵化为阶梯形
由此得 ，即
利用上述阶梯形矩阵，可得同解方程组
即
由此得通解为
：，其中为自由未知数。
…………….8分
5．设方程组(1)
及方程组(2)，
其中，证明：方程组(1)有惟一解的充要条件是方程组(2)有惟一解。
证明：记方程组(1)和方程组(2)的系数矩阵分别为，并令，
则有，即有，于是，若方程组(1)有惟一解，则，即，从而，所以方程组(2)有惟一解。 …………….４分
反之若方程组(2)有惟一解，则，即可逆，所以，若，则，从而由的定义知，因此，矛盾，故，所以方程组(1)有惟一解。
…………….8分
发展应用能力层次
一、计算题（每题10分）
1．设有两个四元齐次方程组(Ⅰ);
(Ⅱ)
,
（1）线性方程组(Ⅰ)的基础解系；
（2）求方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解。
解：（1）．方程组(Ⅰ)的系数矩阵，
则得(Ⅰ)的基础解系为：和；..............…3分
（2）．由（1）的结果，方程组(Ⅰ)的一般解为：,
若两个方程组有公共解，将上式代入方程组(Ⅱ)中，必有，得，
所以(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解为：
。 ..............…10分
2．已知非齐次线性方程组，
；
（1）
求解方程组，用其导出组的基础解系表示通解；
（2）
同解，求的值。
解：（1）设组（I）的系数矩阵为，增广矩阵为，对作初等行变换，得：
，
因，故（I）有无穷多解，
且通解为，为任意常数。…………….5分
（2）将通解代入组（II）第一个方程，得到：
，即，
由得任意性，得。
将通解代入组（II）第二、三个方程，分别得到。
因此，。
…….…………10分
3．设非齐次线性方程组有3个解向量，，求此线性方程组的系数矩阵的秩，并求其通解。其中为常数。
解：设所给方程为，由题设可知是的3个解，因此
，是的两个线性无关的解，故，
又中有2阶子式，因此，
所以，
…………….5分
由于，所以，是的基础解系，因此可得线性方程组
的通解为：
（其中为任意常数）。
…….…………10分
4．设四元线性齐次方程组，又已知某线性齐次方程组的通解为
，
（1）求线性方程组的基础解系；
（2）问线性方程组，是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则加以证明。
解：（1）的系数矩阵为
通解为。
…….…………4分
（2）将的通解代入中，则有，得，当时，则向量满足方程组，，
故方程组，有非零的公共解，所有非零公共解是。
…….…………10分
5．
已知齐次线性方程组
其中
试讨论和b满足何种关系时，
(1)
方程组仅有零解；
(2)
方程组有非零解.
在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。
解：
方程组的系数行列式
=，
…….…………4分
（1）当时且时，r
(A)=
n，方程组仅有零解；
…….…………6分
（2）当b=0
时，原方程组的同解方程组为：，
由可知，不全为零.
不妨设，
得原方程组的一个基础解系为
，，,
当时，有，原方程组的系数矩阵可化为
由此得原方程组的同解方程组为:，，
.
原方程组的一个基础解系为：。
…….…………10分
6．设,
,
,
,
试讨论当为何值时,
(1)不能由线性表示；
(2)可由唯一地线性表示,
并求出表示式；
(3)可由线性表示,
但表示式不唯一,
并求出表示式。
解：设有数使得
(*)
记.
对矩阵施以初等行变换,
有
…….…………2分
(1)当时,
有
.
可知,故方程组(*)无解,
不能由线性表示；
…….…………4分
(2)当,
且时,
有
,方程组(*)有唯一解：,
,
．
此时可由唯一地线性表示,
其表示式为：；……………7分
(3)当时,
对矩阵施以初等行变换,
有
，
,方程组(*)有无穷多解,其全部解为:
,
,
，
其中为任意常数．
可由线性表示,
但表示式不唯一, 其表示式为：
。
…….…………10分
7．设有齐次线性方程组
试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解
解：方程组的系数行列式为
当，即或时，方程组有非零解
…….…………4分
当时，
故方程组的同解方程组为：
由此得基础解系为，
于是方程组的通解为：，其中为任意常数
.…7分
当时，
故方程组的同解方程组为：
，由此得基础解系为
于是方程组的通解为：，其中k为任意常数。
…….…………10分
8．已知3阶矩阵的第一行是不全为零，矩阵B＝（k为常数），且，求线性方程组的通解
解：（1）如果，则,由知，因此，
所以的通解是：，其中为任常数；
…….……5分
（2）如果k
=9，则,那么，或2
若,则的通解是，其中t为任常数，
若,对，设，
则方程组的通解是，其中为任常数。
…….…………10分
9．已知线性方程组
（Ⅰ）
的一个基础解系为，，，，试写出线性方程组（Ⅱ）的通解。
解：方程组（Ⅰ），（Ⅱ）的系数矩阵分别记为，则由题设可知，于是，可见的n个行向量的转置向量为（Ⅱ）的n个解向量，
由于的秩为n，故（Ⅱ）的解空间维数为，…….…………5分
又的秩为2n与（Ⅰ）的解空间维数之差，即为n，故的n个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成（Ⅱ）的一个基础解系，于是得到（Ⅱ）的通解：
，
其中为任意常数。
…….…………10分
10．求以为解向量的齐次线性方程组。
解：因为，
所以的一个极大无关组是，
…….…………3分
作矩阵，
易得线性的基础解系由决定，
取自由未知量得一基础解系为，6分
于是所求方程组的系数矩阵为，
所求的齐次线性方程组为。
…….…………10分
二、证明题（每题10分）
1．已知平面上三条不同直线的方程分别为
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为。
证明：必要性：
设三条直线交于一点，则线性方程组
有惟一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，
于是，由于
但根据题设，故；
………….5分
充分性：
由，则从必要性的证明可知，，故秩()<
3
由于
故秩(A)=2，于是，秩(A)=
秩()=2,
因此方程组（*）有惟一解，即三直线交于一点。
………….10分
2．设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，证明：线性无关。
证明：（反证法）假设线性相关，则必存在一组不全为零的数，使，
即有，
设，则，否则由上式知线性相关，因而与基础解系矛盾。所以， ………….5分
于是有，从而与是非齐次线性方程组的一个解矛盾，因此所给向量组是线性无关的。 ………….10分
3．设是齐次线性方程组的基础解系，向量满足，证明：向量组线性无关。
证明：设数，使，
即
…………….3分
假设，则可由线性表示，
即是方程的解，与题设矛盾，
因此，，
…………….7分
然后由线性无关，得，
所以向量组线性无关。
…………….10分
4．设为实矩阵，是维实列向量，证明：
（1）秩；
（2）非齐次线性方程组有解。
证明：（１）先证与是同解方程组，
因为若是的解，即，则，
所以的解都是的解，
当是的解时，即，由，
可知，故的解都是的解，
因此与是同解方程组，
由此，可知它们的基础解系含个解，故秩；….5分
（2）由可知
，
因此，故非齐次线性方程组有解。…………….10分
5．证明：方程组（其中均为整数）只有零解。
证明：方程组的系数行列式为，
若令，则由于均为整数，得也均为整数
为整数，，所以方程组有惟一解，即只有零解。 …………….10分
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