感受数学中的美

第一篇：感受数学中的美

感受数学中的美

小学数学教学是一门创造性的艺术，小学数学教师应当把数学作为审美对象，在教学过程中把数之美、式之美、形之美能够自然地反映出来，发挥数学美内在规律的影响，激起学生数学感知的浪花，让课堂里的每朵浪花不断地吸引学生的注意力，使学生对数学产生深厚的兴趣，从而加强素质教育，提高教学质量。

1、挖掘数学美的实体，让学生充分领略数学王国的万千美象。小学数学中的美学因素是丰富多样的，都是若能注意挖掘，不仅教孩子们学习数学，而且教他们会欣赏数学，那么孩子们就有兴趣领悟数学王国中的万千美景，不断地探索它的珍宝。

小学数学中到处都有让学生感到美妙的实例。自然数1，2，3本身就显示了一种秩序美。回文数232，707，3553，顺读倒读都一样，迸发着对称美的光辉，有的回文数本身蕴含着规律，如11×11=121，111×111=12321，此外大部分数进行“倒序相加”运算，也可得到回文数，如132+231=363；457+754=1211，1211+1121=2332，等等。引导学生做加法运算时，将这些妙趣挖掘出来，学生自然兴趣盎然了。数论里有些数的研粉是十分有趣的，象完全数（如6=1+2+3，28=1+2+4+7+14），亲和数（如220与284）都与因数有关，可在学习因数时引入；回还数组（例如：4921875×1032193=5080324921875；5626×7312=41137312，等等）可以学习多位数乘法时引入。这些内容的介绍，结合课内教材，肯定会把学生引入一个个美好的境界之中，激起思维的浪花，使学生愈学愈爱学。

2、对数学教材进行美化整形，使学生处处得到美的感受。数学知识在发展过程中，也有不美而零乱的初级阶段，当数学知识从无序发展到有序，数学美就会立即显现出来。教师应深掘数学教材中的审美因素，特别是那些直观上看起来较零乱的数学问题，应采用审美方式和手段对教材作分合、增删与调整，使其精美，使学生处处能够看到数学美的光辉。

我们随意做几个减法题：523-325＝198，751-157=594，815-518=297，学生自然不会想到其中有什么精彩之处，但当老师引导学生寻找这类求差结果的规律

时，学生就会发现每一个差与9有着密切的关系，十位数肯定是9，而百位与个位合成两位又总是9的倍数，这种现象是否具有一般性呢?其中蕴含什么规律呢?学生在探索后一定会发现数学的统一美在闪耀。

3．创设优美的思维情境，深化数学美的感受。尽管数学美比较内在、含蓄，但只要潜心组织好一些有趣的活动，创设优美的思维情趣，就能把数学美的琼露提炼出来，学生自然会主动吸取。数学游戏活动也是十分丰富的，有经验的老师总是能把各种游戏创造性地应用在所教的教材之中，如猜数游戏，数学谜语，诗歌命题，接力竞赛，数学小品，表演应用题，开数学医院，打数学扑克等，这些活动本身是十分有趣的，再加上内含的数学妙趣，学生就会兴趣盎然，在美的情境中获得了数学知识。

总之，数学教师不仅要有广博的数学知识，还需要丰富的生活体验。这样才能帮助学生学有价值的数学，让学生在生活中运用数学，从而让学生的数学学习生活变得丰富多彩。

第二篇：中美数学问题解决案例比较

中美数学问题解决案例比较

赵小云

(杭州师范学院数学系, 浙江杭州 310036)

[ 摘要]近年来, 中美两国的数学教育都十分重视“问题解决”, 把它作为数学教学目标之

一.在此, 通过对两国同一数学内容的问题解决教学案例进行比较, 分析各自在教学目标、教学引入、教学内容、教学方法及教学效果方面的优势与不足, 对指导我国新一轮课程改革和教学改革具有参考意义.[ 关键词] 教学案例;数学问题解决

中图分类号: G633.6 文献标识码: A 文章编号: 1003-7667(2007)05-0079-04

作者简介: 赵小云(1962-), 男, 浙江东阳人, 杭州师范学院数学系副教授、硕士.一、问题的提出

从80 年代美国提出问题解决至今, 我国学者对数学问题解决的研究已经相当深入, 包括理论探讨、实施细节、方法策略、评价标准, 等等, 但对其跨文化比较研究还十分欠缺.对数学问题解决教学的个性与共性进行比较研究, 能使我们认识到自身的不足与问题的所在.同时, 通过比较研究, 突现出我国在数学问题解决教育中的特点、长处及所取得的成就, 向国外介绍我国的数学教育成就和经验, 共同提高国际数学教育水平.本文以相似三角形为教学案例进行分析.二、两国数学问题解决教学案例及其比较分析

(一)教学目标的比较与分析

我国的教学目标:(1)掌握相似三角形的判定定理和性质定理的直接、间接以及综合运用方法;(2)了解相似三角形在实际生活中运用的意义, 初步掌握这类应用问题的类型及问题解决的过程和方法.[1]

美国的教学目标:(1)使学生能够在问题解决过程中建立新的数学知识———掌握相似三角形的判定和性质定理;(2)针对课堂上的问题建立公式、表示、抽象和推广;(3)运用各种不同的策略解决问题并能够迁移到其他情境当中.[2]

两国在教学中都把课题所学的知识与生活中的实际问题及所连带出的相关问题联系起来, 都注重把实际问题抽象成数学问题的过程的教学,使学生掌握分析和解决实际问题的策略与方法.相比之下, 我国对学生要求更高, 因为教学目标不仅要求学生解决实际问题, 而且要求学生熟练掌握复杂证明题的解答, 培养学生抽象概括能力、辩证思维能力、数学表达 能力等;美国的教学目标注重发展学生学习数学的思维方法、情感, 没有给学生增加抽象证明题, 一般通过解决课堂知识的实际应用所连带出的相关问题, 拓宽学生的认知领域.(二)教学引入的比较与分析

我国的教学引入是比较传统的方法, 即通过几道证明题来回顾相似三角形的一般证明方法,从中先复习判定和性质定理, 而后再引出实际问中美数学问题的解决。

美国的教学课中教师引入了测距仪, 因为它的原理就是相似三角形的性质.课中, 美国教师先出示了一个自己制作的构造简单的测距仪, 这种呈现无疑吸引了学生的兴趣.接着, 教师与学生共同回顾相似三角形的性质, 尤其是怎样把相似三角形的性质运用于简单的测距仪中, 一旦学生开始了解测距仪的构造及工作原理, 教师就允许他们使用测距仪测量距离.美国的教育注重对学生能力的培养, 注重启发学生的学习兴趣, 注重培养学生成为一个好的学习者.美国大多数学生不喜欢数学, 认为数学只不过就是一些空洞的符号和推理,毫无实用价值,因此学习数学毫无意义.[3]

在这种情况下, 如何激发学生的学习兴趣, 如何把学生吸引到学习的过程中来, 如何使学生认识到他们所学的知识和现实世界的联系, 如何提高他们的学习能力和问题解决的能力, 就是教师努力的方向.在这个教学案例中, 美国教师就通过直观教学, 即介绍测距仪的工作原理来回顾相似三角形的性质, 教师并没有给出典型的相似三角形判定和利用其性质定理的例子, 与我国直接给出若干证明问题的引出大相径庭.美国的教学擅长让学生明确数学来源于生活, 数学知识的学习具有实际的意义, 这激发了广大学生的兴趣, 促进了他们学习抽象数学的积极性.(三)教学内容的比较与分析

1.中美两国教学内容简介

我国问题解决教学的内容来源于课本, 首先给出了若干证明题, [4]让学生们独立思考, 然后进行小组合作, 交流解法, 找出最佳的证明方法和规律;接着给出两道实际问题.学生根据问题解决一般步骤, 在老师指导下运用定理对上述两题进行解答.美国则通过活动教学, 即在实际操作中体会相似三角形的性质.学生在室外进行活动操作时的步骤是: 学生来到草地, 先把一根 2 米高的旗杆放在远处, 杆顶挂一面小红旗, 学生通过调整测距仪, 从测距仪上有 2 厘米高的小狭缝中看到小旗顶端, 再测出眼睛到小狭缝的距离, 利用相似三角形的性质就能计算出旗杆离学生的未知距离.学生们根据相似三角形的性质可以得出以下结论:

眼睛到小缝的距离

小缝的高度眼睛到旗杆的距离（未旗杆的高度知）

教师向学生提问,“等式在任何情况下都准确吗? ”一些学生意识到如果使用者并不是在地平面观察, 那么图 1 中两个讨论的相似三角形并不绝对相似.这样, 给出的等式左右两边就不相等, 只是一个近似值而已.接着, 教师提问学生:“出现的误差是否重要? ”学生们在课上通过独立思考与合作交流的方式, 运用所学的相似三角形的性质和判定定理等知识来得出近视距离与实际距离差异的公式.2.比较与分析

在课堂教学内容方面, 我国喜欢根据数学知识的内在结构发展一节课内各部分内容间的联系.数学题的题量较大, 包括一定的证明题, 以求能提高学生运用性质定理和判定定理熟练解决常规问题的能力及逻辑思维能力等, 解决问题的效率较高;同时, 也给出了一定量的生活实际问题,需要学生联系实际, 画出图表, 并把这些问题转化为数学问题进行解决.可以看出, 这些实际问题与美国的实践内容是差不多的.但我国的教学过程严格按照问题解决的一般步骤, 学生仍旧是倾向于熟练掌握解答或证明的技巧, 教师忽视了对学生发现问题、提出问题和兴趣的培养等.美国教师教学内容则更广泛地包括课内外的各种论题, 很少涉及到证明题, 内容要比我国的简单, 学生擅长运用一些实际的问题, 而对抽象的证明题无所适从, 教学过程倾向于两个阶段: 知识的获取和知识的应用.就如美国这个课题教学, 是通过学生亲身操作测距仪测量未知距离, 从中体会相似三角形性质定理的具体运用, 并从实际操作中发现问题, 分析问题, 解决问题.在教学结构的各个环节中更注重向学生展示数学知识的形成过程, 让学生在过程中体验知识的产生、发展和完善, 并通过组织积极有效的数学活动, 发展学生数学构建意识和探索创新能力, 通过观察、实验、尝试等, 发展学生的直觉思维能力、合情推理能力, 为数学知识的逻辑化过程提供了充分的感性认识, 从而降低了抽象的逻辑化过程的难度.并且, 通过解决实际问题培养学生的应用意识, 积累问题解决的经验.另外, 美国学生能够在动手操作中发现新的问题.因为美国学生在亲身实践中发现或受启发而认识到这一点: 若人与旗杆不在一个平面时, 情况会不同, 考虑答案又会怎样? 先前得出的公式仍然成立吗? 若成立, 则算出的结果与实际值有误差吗? 这样的学习完全是主动参与和善于发现问题的, 学生充满了探索热情, 积极地进行误差的计算, 其中又对相似三角形的判定进行了复习与运用.(四)教学方法手段的比较与分析

我国教师在启发学生解典型的相似三角形判

定的证明题时, 一般的步骤是: 若相似三角形不明显, 则先启发学生寻找两个相似三角形, 再由结论引出判定的方法, 让学生选择合适的一种, 接着要求学生写出证题思路, 提出变式训练, 改变条件和结论.在启发学生解决实际问题时, 首先把它转化为数学问题, 学生在老师的启示下找出已知条件和未知条件, 画出图形, 写出已知、所求.接着, 教师要求学生思考解决方法, 小组合作交流解法;然后, 通过教师的启发, 学生的尝试, 设立未知数, 解决这个问题.美国教师教学中也用了启发式教学, 在操作中启发学生用具体的数学公式来表示怎样计算所要测量的距离;得出普遍结论后, 又提示是否有特殊情况存在, 启发学生想到如果人与杆不在同一水平地面时的情况;特别在学生计算误差中又提出了数学公式.比较两国教师的启发方法, 我们可以看出我国教师意图在启发中教会学生解决问题的一般步骤方法, 起引导解题思路的作用.美国教师则更关注让学生在解决问题、得出公式的同时发现问题,在数学的学习中领略数学美, 进行情感教育.两国在问题解决教学过程中都运用了直观教学法, 但美国教师的教学直观性更优于我国教师,直观教具的出示远比让学生画图更形象生动, 更能激发学生的学习兴趣, 化抽象为具体.而且美国的教学中还有活动课部分, 创设一定的情境让学生在动手操作中学会数学的应用, 真正体现了寓教于乐.此外, 两国在教学过程中都用了小组合作交流学习的方法, 拓宽了解题的思路, 增加了解题的方法, 在问题解决的过程中, 提倡学生互相交流、合作, 这样能发现多种解决问题的方法.在合作交流中学生更重要的是自己发现问题, 深入研究, 进行发散性思考, 得出结论, 勇于与他人交流,哪怕这个结论不一定正确或合理.(五)教学最终效果的比较与分析

我国数学问题解决教学的最后总结回顾了本章节所用到的方法和规律, 如证明角相等的方法、证明边相等的方法、证明线段等积式和比例式的方法、求线段长的方法、平移思想和实际问题抽象成数学问题的方法等, 并要求撰写课题学习报告,提出了若干要求.美国教学只是总结影响误差的因素.首先, 误差与观察者眼睛离地面的高度和所测的真实距离的比率成正比, 这个比率越小越好;其次, 误差是与观察者眼睛的高度和旗杆的高度的差成正比,如果它们相等, 那么误差就为零.通过教学与总结, 我国教师的教学使学生熟练地掌握了运用相似三角形的判定定理和性质定理证明常规问题, 并会解决与之相关的实际问题, 从而对于问题解决的一般步骤比较了解,常规策略能运用自如, 并培养了抽象概括能力、逻辑思维能力, 形成了个人独立思考与小组合作交流相结合的良好方法.在这方面, 我国学生解决问题的能力的确强于美国学生.但从另一方面来看, 美国教师的教学全面调动了学生的积极性,把源于生活娱乐的问题搬进了课堂, 在愉快教育的同时, 学生又获得了能力的培养, 掌握了一样现实生活中的操作技能, 同时, 对几何这一课时的内容有了基本的了解, 能够解决常规的计算题,虽然对证明类型的题目并不擅长, 但培养了发现问题, 提出问题的能力.这样, 使他们感受到“生活中处处有数学, 处处要用到数学”, 激发他们对日常生活问题探讨的兴趣, 真正体现了数学的应用价值.三、结论与思考

通过上面的比较分析我们可以看到, 我国注重学生问题解决的一般步骤和方法, 从而培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力的优点值得我们继续发扬;而美国那种把源于生活

和娱乐的问题搬进课堂, 全面调动学生的积极性, 在愉快教育的同时, 帮助学生获得了能力, 掌握了现实生活中的操作技能, 这都是值得我们今后学习和借鉴的.培养学生发现问题, 提出问题的能力, 使他们感受到“生活中处处有数学, 处处要用到数学”, 从而激发学生对日常生活问题探讨的兴趣, 真正体现数学的应用价值, 这是我国数学教育中的弱点.1.提供有吸引力的学习背景, 注重学生兴趣和个性的发展

教师在教学中, 应该根据学生、教学内容、教学环境的具体情况, 注重数学与现实世界的联系,营造一种现实而有吸引力的学习背景, 激发学生学习数学的兴趣与动机, 让学生在自然的情境中,在教师的帮助下自己动手、动脑“做数学”, 用观察、模仿、实验、猜想等手段收集资料, 获得体验,从而学会运用数学解决生活中的问题.2.注重自主探索与合作交流, 使学生多方面的能力得到培养

问题解决教学方式要体现教学以发展学生的能力为主的教育观念.教学方式要提供给学生这样一种学习环境: 学生要进行调查探索运用数学方法去思考、判断和推理.学生们要进行交流与合作, 要面对各种各样的挑战.问题解决的过程是对学生多方面能力培养的过程, 特别是数学思维和运用数学的能力的培养.数学目标是借助数学问题引进的, 需要进行一系列的主题活动和问题解决活动, 学生通过小组合作或独立作业进行, 每部分结束时要进行问题的总结, 旨在综合和巩固学生所学过的知识和技能.3.重视对学生提出问题、发现问题能力的培养

问题提出的本质是让学生经历“补充数学, 而不仅仅是吸收数学, 并且新观点新思想的产生是数学思维的一个重要的令人激动的方面”.只有让学生真正地认识到“发现———提出问题”的重要性, 才能使学生自觉地去注意世界、观察世界, 以探究的眼光去看待问题, 提出有质量的问题, 进而使学生产生强烈的兴趣, 达到教学的目的.故在问题解决教学中, 教师要重视培养学生发现问题、提出问题的能力, 保护学生提出问题的积极性;教师也要讲究提问的艺术, 要合乎情理, 力求自然.4.重视对学生情感态度、价值观的培养

问题解决教学应重视培养学生的情感态度与价值观, 提高学生学习数学的信心.学习数学的过程应当成为积极的、愉快的和富于想象的过程, 教学中让学生形成积极的情感体验, 如教学中穿插一些体现数学美、揭示数学发展史的小篇章等, 使学生学习数学时不再望而生畏, 促进学生主动学习与探索.参考文献:

[ 1][ 4] 李红婷.数学“问题解决教学”课堂教学纪实与评析

[ J].山东教育, 2001,(3): 50-55.[ 2][ 5] Paul M.Cuicchi and Paul S.Hutchison.Using a Simple

Optical Rangefinder to Teach Similar Triangles.Mathemat-

ics Teacher, Vol.96, No.3, 2003, 3: 166-168.[ 3] 史炳星.美国数学教育中的问题解决[ J].北京教育学院

学报, 1998,(1): 33-37.

第三篇：中美小学数学教育比较

中美小学数学教育比较

我们经常从教学实录或者影视中看到：美国小学生计算简单的数学问题时竟然要借助计算机；同样，在美国人的生活中，就算是日常的找零钱也不会通过巧妙的办法来解决。那么，美国的小学数学教育与中国的有哪些差异呢？

教师教学理念比较

在教师的教学理念方面，美国教师认为教学是为教育服务的，“人的教育首先是公民教育”。他们认为重要的是教会学生懂得感谢，培养学生的公民意识，让学生产生学习的愿望，让学生学会问为什么，让学生懂数学。而教育的三大目标是坚持学术追求、维护社会公正、尊重多元文化。什么是他们所说的多元文化呢？他们举了例子：对同一个问题，老人和孩子、黑人和白人、正常人和残疾人的理解可能是完全不同的，任何人都不能以自己的思想为标准去评价别人。而当我国的小学数学教师面临“教什么最重要”这个问题时，多数人的回答是教数学知识最重要，教数学思想方法最重要。从这点上看，我国的学校教育被迫让位于为着分数的纯学科教学，这是目前教育改革中的最大阻力。尽管国家一直坚持强调德、智、体全面发展，但在考试分数决定一个人的命运与前途时，德与体便退居其次了，很多教师便将自己的学科教学与学生的道德教育割裂开来，将学生的道德教育完全推给“品德”课程。道德是无法脱离行为而独立存在的，更不可能单独．存在于某门课程当中。对照美国的一些值得借鉴的做法，我国小学数学教师目前最缺乏的是教育意识，是教学为教育服务的意识。我们要思考：学校教育的目的是什么?小学数学教育的目的是什么?是培养缺乏社会责任感的高分学生吗?存在脱离社会活动的素质教育吗?

小学数学教育存在的问题

21世纪，随着世界各国的发展，各个国家的教育也在不断革新。我国在新课改中制定了《全日制义务教育数学课程标准》，力图改变以往单一枯燥的计算模式的教育，而是从学生的思维能力、创新能力等方面出发进行改革。然而，由于中考和高考的存在，教学还是以分数为最终目的，学生的学习效果和学习能力都以分数的形式进行评定，甚至有这样一种说法“以分数作为评定一个学生发展、一位教师发展的唯一指标”。这种现实导致小学数学教育在实践中更加重视做题技巧和计算能力，而不是学生的创新、实践等能力。而美国20世纪80年代出台的一系列关于数学教育的指导性文件，却始终无法改变小学数学教育较为落后的局面，就如文章开头所描述的场景一样“美国小学四年级的学生做加法还要用画道道的方法”。从中可以看出，中美两国小学数学教育所存在的问题正好对立，美国的小学数学重视学生探究式学习，却忽视了最基础的计算等数学能力；我国小学数学将数学能力提高到一个高度，却不能培养学生的自主探究学习。因此，两国小学数学教育也面临着共同的挑战。

教学原则比较

“新课改”以来，我国的小学教育改变了以往教师“一言堂”的现象，提出“以人为本”的教学原则，把学生作为学习的主体。在小学数学教学中，同样提倡“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”，要求教师激发学生的积极性和主动性，采用多种教学手段提供给学生充分的从事数学活动的机会。美国的教学原则相较成熟，在《原则和标准》中指出，教师应理解哪些内容是学生知道的和需要学习的，要求为学生提供实验，创造智力环境，以供学生学习数学，体现出一种将学生作为学习主体，自主探索，独立研究，培养自学能力的理念。而与我国数学教学不同的是，美国数学教学强调没有所谓的“正确的”教学方法，能够切合实际，行之有效的方法就是最好的方法。这样的教学原则有利于激发学生的学习积极性和创造性，同时能够促进教师教学的多样性和灵活性，而不会束缚教师的手

脚。在教学原则上另外一点不同的是，美国《原则和标准》还专门强调教师继续不断的自我完善，不断丰富相关专业知识，以有利于教学的更好开展。而我国在《数学课程标准》中没有对教师的学习提出要求，不利于教师的自我完善，无法推动数学教育发展的趋势，最终不利于整个教育教学工作的开展。

小学数学课堂教学比较

中美两国在小学数学课堂教学方面也存在着差异和各自的弱点。美国教师重视让学生探究，但存在教师引导不到位、用时过长、效率不高等现象。而我国教师追求课堂教学的效率，课堂上各个环节的安排都必定是有教学意义的，所有的教学手段都围绕教学目标而采用的，并且灵活选择有意义的接受式学习或探究式学习方式，但只在某些环节让学生探究。我国教师在这方面存在的主要问题是：探究活动形式化。目前我国小学课程中有专门设置一门叫探究课的课程，普遍为一个星期一节课时。但是，教师们是否真的能够利用这仅有的一节课来让学生进行探究式学习呢？答案是否定的。大部分教师都缺乏探究性教学意识，过多的专注于训练做题，因此真实的情况是：探究课成了做题课或者复习课，学生没有机会能够进行探究学习。然而，也有部分教师利用这门课程来让学生进行探究，但是其中的问题也是层出不穷。比如让学生探究一些无须探究的内容，或者是对结果的关注远远超过了对过程的关注；还有一些教师急于提炼出“好的方案”，对探究过程中多样化方法的价值缺乏应有的重视；探究过程中教师暗示过多，等等。因此，教师应该了解到，不是所有的数学内容都适合学生探究，教师在课堂上应该起主导作用，以学生为主体，在教师的引导下指导学生进行有意义的探究，在探究过程中培养学生的思维、创新能力。

评价原则比较

我国教育的评价体系一直以最终考核的分数为标准，用试卷的成绩来反映学生整个学期的学习成果，由于这种长期以来的应试教育过于强调结果而忽视了过程，因此在《数学课程标准》中开始强调一种目标多元、评价方式多样的评价体系。其中强调要关注“学习的过程”，这也是新课程改革中提出的关注点。但是这种评价原则的改变是否能够使教学方式和教学关注点真正产生改变，教师们能否切实做到关注学生的学习过程而不是最终学习结果，这需要通过长时间的努力来改变以往的状况，毕竟只要中考和高考存在，或者说它们的考试形式不改革，那么“唯分数”的现象是很难真正改变的。

在美国《原则与标准》中指出：“教师应该通过提问、对话。书面作业以及其他方式不断地收集关于其学生的信息”，“评价应该既着重于过程技能，更着重于理解”。由此看来，美国小学数学教育的评价原则关注的是学生对数学的理解，如果学生的数学成绩不好，那么问题是学生不能很好地理解数学，而不在于学习数学的过程。

我国一直在力图改变应试教育的现状，新课程改革就是一个很好的举措，我国的数学课程改革理念在很大程度上借鉴了美国《原则和标准》中的某些思想，并且提出了自己的教学理念。虽然在实行过程中暴露出了一些问题，但是再改革的道路上需要我们长时间的不懈努力，需要结合我国的实际情况，认真分析，适当取舍，才能推进我国中国小学数学教育改革的深入进行。

第四篇：中美小学数学教育差异何在？

马立平：中美小学数学教育差异何在？

Liping Ma, a former teacher and principal in China, has written extensively about the differences between how the United States and China teach math to elementary school students.After earning a doctorate in curriculum and teacher education from Stanford University, she worked as a senior scholar at the Carnegie Foundation for the Advancement of Teaching.In 1999, she published ―Knowing and Teaching Elementary Mathematics,‖ an influential book that argues elementary school teachers need a better grounding in arithmetic and math in order to teach them effectively to their students.She currently works as an independent researcher.Dr.Ma spoke recently with Vikas Bajaj of The New York Times editorial board about her research and why Chinese and other Asian students score well above their American counterparts on international math tests.曾在中国任教师和校长的马立平就中美小学数学教育的差异撰写过大量文章。在斯坦福大学(Stanford University)获得课程和教师教育博士学位后，她作为资深学者在卡内基教育发展基金会(Carnegie Foundation for the Advancement of Teaching)工作。1999年，她出版了《小学数学的掌握与教学》 一书，这本影响深远的著作提出，小学教师要想进行卓有成效的教学，自己需要在算术和数学方面打下更好的基础。目前是一名独立研究者的马博士近日与《纽约时报》评论版委员会的维卡斯·巴贾吉(Vikas Bajaj)谈了她的研究，以及为什么中国等亚洲国家的学生在国际数学测验中成绩要比美国同龄人好很多。Q.Your research compares how the United States and China teach elementary math.Can you briefly explain the biggest differences between the two countries?

问：你的研究对中美小学数学教育进行了比较。能否简要解释两个国家的最大差异在哪里？ A.In my first work, published in 1999, I found that Chinese teachers who had much less education than our American teachers showed more profound understanding of the elementary math they were teaching.答：在我1999年出版的第一本书里，我发现中国教师虽然接受的教育远不如美国教师，但是对他们所教授的小学数学有着更深刻的理解。

I noticed that Chinese math education at the elementary level has a core subject structure.They focus on one subject;I called it school arithmetic.That ongoing core subject picks up other things [like fractions, geometry and simple equations].While in the States, we teach many, many things [like number operations, algebra, problem solving and geometry, taught independently of one another in a way that makes it hard for teachers and students to connect them].We lack this kind of core that goes through five, six years of elementary school.That‘s why, in my opinion, we in the States don‘t teach elementary math in an efficient way.我注意到中国的数学教育在小学这个层面具有一个核心科目架构。它专注于一个方面；我称之为学校算术。这个持续的核心会随着时间的推移加入其他东西，比如分数、几何和一次方程。而在美国，我们教很多、很多东西，比如数值运算、代数、解题和几何，这些都是分开来讲授的，这样教师和学生就很难把它们联系起来。我们缺乏那种在小学的五、六年时间里贯穿始终的核心。这就是为什么我认为我们在美国没能找到一种高效的小学数学教育方法。Q.One interesting observation in your work is that the two countries once used similar approaches to teach math.And that the United States changed how it teaches math, while the Chinese kept and built on that approach.问：在你的书中有一段有趣的观察，说两个国家曾经采取过类似的数学教育思维。美国改变了教数学的方式，而中国保持了这种方法，并且在此基础上有所发展。

A.The turning point in the States was in 1959, after Russia launched Sputnik.In the beginning, it was all about advanced math.But this new structure allowed people to make changes and allowed people to take stuff out and put stuff in [the math curriculum].What I criticize is the structure, that structure made the content unstable.Whenever the policy makers changed, the content changed.So, we were not able to accumulate teaching experience.答：美国的转折点发生在1959年，俄罗斯人造卫星升空后。一开始仅限于高等数学。但是这种新的课程体系允许人们对数学课程进行增加和删减。我批评的是这种体系，这种体系让内容变得不稳定。决策者一有变更，内容就变。这样一来，我们就无法积累教学经验。Q.How important are these differences in explaining why students in China and other East Asian countries tend to have higher scores on international math tests than American students?

问：中国等东亚国家的学生在国际数学测验中往往会取得比美国学生高的分数，你说的差异在多大程度上可以解释这个现象呢？

A.There are many explanations.Students [in those countries] work hard, the parents have higher expectations.But I myself will say that content plays a big role.The subject was not developed by the Chinese, not even the Japanese.The core theory of school arithmetic was created by scholars, including American math scholars, in the second half of the 19th century.We created it, but we abandoned it.While on the other side, they [East Asian countries] just adopted it and improved the teaching approaches.答：有很多解释。那些国家的学生学习勤奋，父母寄托着更高的期待。但是我个人认为内容起到的作用相当大。科目不是中国人开发出来的，甚至都不是日本人开发的。学校算术的核心理论是19世纪下半叶的学者们创造的，包括美国数学学者。我们创造了它，但是我们把它抛弃了。而与此同时，东亚国家却采纳了它，并对教学手段进行了改良。

Q.There is a common perception in the United States that education systems in Asia rely heavily on rote memorization.How true is this perception?

问：在美国有一种常见的看法是，亚洲的教育系统很强调死记硬背。这种认知符合实情吗？ A.Of course, rote memorization exists in Asia.But, I think, it‘s not only rote memorization.By those tests we can clearly see that they do not only memorize.It‘s overly simplistic to say they just memorize it, and it blocks our research and understanding of why they are doing well.答：亚洲当然是存在死记硬背的。但是我认为他们不仅仅是死记硬背。从那些考试我们可以清楚地看到，他们不是单纯在记忆。说他们只是在记忆是把问题过分简单化了，这样会妨碍我们去研究和理解为什么他们考得好。

Q.The other common perception is that Chinese and East Asian students are less happy and under greater stress to do well on exams.问：另一个常见看法是中国和东亚学生没那么快乐，承受着更大的应考压力。

A.Again, that is another issue I wish was not oversimplified.I am in my early 60s, when I was an elementary school student back in China, I felt I was very happy.Hard work doesn‘t make you unhappy, as long as you learn meaningful things.You will even feel good when you work hard.But currently in China, there is an over-emphasis on tests.That does make students unhappy.答：这又是一个我希望不要过分简单化的问题。我现在60出头了，我在中国的小学里读书时，是很开心的。勤奋学习不会让人不开心，只要你学到有意义的东西就行。勤奋学习甚至会让你感到愉悦。但是现在中国过分强调考试了。那的确会让学生不开心。

Q.In a recent article, you express concern that recent changes China has made in its math curriculum could weaken its approach and make it more like the United States.Can you explain what China has done and why you are concerned about it?

问：在最近的一篇文章里，你对中国近年的数学课程改革表示了担忧，认为会削弱它的教学思路，变得更像美国。能否讲解一下中国做了什么，为什么会有这个担心？ A.Since 2000, they published a new Chinese standard.They kind of copied a lot of our concepts.Mainly, my concern is that they conceptually gave up their structure.They said we will not use arithmetic as the core subject, we will break it into several standards.That makes me feel that they will follow the structure that will weaken the content.However, Chinese schools and textbook publishers have so far kept the arithmetic structure.But they are not allowed to say that.It‘s a very weird situation.答：2000年以来，他们发布了一份新的教学规范。他们差不多是拷贝了一些我们的概念。我的担心主要是他们在观念上放弃了自己的体系。他们说我们不要再把算术作为核心科目了，我们要把它分成多个规范。这让我觉得他们会去追求一个弱化内容的体系。然而中国的学校和教科书出版社迄今为止还是保留了算术体系。只是他们不能说出来。这是个很古怪的状况。

Q.How much has changed in the United States in our approach toward elementary math since you first started studying it? 问：自从你开始研究以来，美国的小学数学教育发生了什么改变？

A.We have been trying in this country to teach less.We have noticed that we have taught too many things – our curriculum is one-mile wide and one-inch deep.We have tried to get focus.That is a big change in this country.However, we have not noticed that arithmetic is a core subject.In the States, now we want to teach algebra, algebraic thinking in elementary school.I personally think it might not work.答：在这个国家里，我们在努力少教点东西。我们注意到我们教的太多了——我们的课程是求全而不求精的。我们在努力集中注意力。这是这个国家的一个重大改变。然而我们还没有看到算术成为核心科目。在美国，我们现在想要在小学教代数和代数思考。我个人认为这样是行不通的。Q.Are you arguing that children shouldn’t be taught algebra or that it should not be taught in elementary schools? 问：你认为孩子们不应该学代数，或者不应该在小学的时候学？

A.I am concerned about algebra at the very beginning of elementary school, even kindergarten.We will not teach real algebra.We will call this algebra and we will say, ‗Oh, we are teaching algebra, we are teaching advanced things.‘ Actually, that will not lead to what we want.答：我对小学一开始、甚至幼儿园就学代数感到担忧。我们不会教真的代数。我们会称它为代数，然后说，‗噢，我们在教代数呢，我们在教高级东西。‘实际上那不会达到我们想要的效果。

There is a misunderstanding of arithmetic in this country.Many people think arithmetic equals computational skills, and that‘s it.Arithmetic has a theoretical core and there is intellectual depth to it.That arithmetic can serve as a good foundation for students to learn algebra or other advanced math.这个国家对算术存在误解。很多人认为算术等于计算能力，仅此而已。算术是一个理论核心，它是有智力纵深的。这样的算术可以为学生学习代数或其他高阶数学打下很好的基础。

第五篇：数学大观感受

这学期最大的意外就是选上了数学大观这门课，我本来是比较喜欢数学的，但我不知道这门公选课会讲一些什么内容，也不知道以什么形式讲。心里想着，这门课程应该是主要讲一些数学思想，可能会比较枯燥。但心里想着上这门课应该可以开拓自己的思维，了解到一些我以前没了解过的甚至是没听说过的思维。因为我是计算机专业的，虽然学的数学的深度比不上那些数学专业的，但也要学很多数学，例如高等数学，线性代数等等。上这个课应该会对我学数学是有帮助的。

这门课主要是看视频，也就是在网上听李老师讲课啦。虽然是网上听课，但我也听得入迷。发现李老师讲的课还是挺好的。讲课的方式不枯燥，举例生动形象，贴近生活，虽然是讲数学知识，但所讲的知识都是贴近生活的，从生活中的例子出发，讲出其中蕴含的数学知识。听了李老师的课之后，发现我越来越爱数学了，对数学的兴趣瞬间提高了几倍。

李老师在第一节课上教我们如何填幻方。首先是三阶幻方，然后是五阶幻方，填数字，随后又让我们填五阶幻方，但是这次不再是数字而是文字“我们爱数学”，从这件小事情中我们就可知李老师为了引发我们学习数学的兴趣，煞费苦心。再一次从心里敬仰李老师。如果从我们的启蒙阶段就能遇到如此用心，如此负责任，如此寓教于乐的老师，那我们的国家也会出现更多的人才吧！让我对数学产生了敬仰之情。也感受到学数学的乐趣。

上了这个课，我发现了原来数学无处不在，很多日常见到的东西都和数学挂上勾。就例如在音乐方面，你能说出数学和音乐有什么关系吗？我看很多人都不能，一定要说的话，那就是1、2、3、4、5、6、7七个发音中有几个数字之外，我想你很有可能想不到有什么数学知识和音乐有关的了。要是我没听过这个课，我也只会这样说。但是，但我听完这个课后，那就不一样了，我知道了原来钢琴的设计是和数学中的等比数列有关的，钢琴一共有88个键，它们各自的频率组成一个等比数列，比例系数是2开12次方，即2^(1/12)，因为人耳分辨两个音的高低，靠的是两个音之间的频率比例，而不是频率差值。还有的就是美术中的数学，李老师举了一个台灯的灯光在墙上的投影，这个现象 很常见吧，然而很多人并没有发现其中蕴含着数学中的射影几何，台灯的罩是个圆台行的，灯亮的时候，你就可以看到灯在墙上的投影是两条双曲线，不是台灯懂得射影几何，而是射影几何认识台灯的投影。因为台灯罩是个圆台，灯光经过圆台就可以投一个双曲线的投影在墙上，因为圆台上底和下底不同的两个圆，所以在上面投出的双曲线和下面的双曲线不是同一组的。

世事有很多东西表面看来纷繁复杂，但是隐藏其后的本质往往是简单质朴的。使我感触很大的就是李老师讲的密码中数学。也许你会想对文件加密是一件比较烦的事情，要破译密码就更难。听了这个课，你会发现给文件加密的原理可以是很简单的，当然，加密的原理简单，破译起来就会比较容易。李老师举了个凯撒密码的例子，这是个很老的例子，但却很典型。其中的原理就是把二十六个字母映射为数字1到26，加密的方式就是把字母对应的字母加上某个数字，然后再对这个数字除以26取余，然后再转换回英文字母，就可以得到加密后的文件，要把文件转换回来也不难，就是把加密后的文件中的英文字母对应的数字减去之前那个加密是加上的数字，得到的结果如果小于零的话，就加上26，如果大于0就不用加，再将得到的数字转换为英文字母就行了。如果你是这样加密的话，别就很容易破译你的密码，可以一个一个数字地试，最多也就试26次，当他试到一个数字可以把文件译地通的话，就是把一个数字代进去译码，如果得到的句子读得通的话，这样就被破译了，是不是很简单的事情啊。还说了更复杂点的加密方式，就是把上面说的加密得到的英文字母用26个符号来代替，这样就更难破译了，李老师通过了福尔摩斯破译的例子来告诉我一个破译的方法，就是通过分析符号出现的频率和英文字母出现的频率，很接近的话就说明那个那个符号就应该是表示那个英文字母，然后也就可以很容易地破译了。没错密码学看是很复杂的东西，但它也是有很简单的原理为基础的。

总之，上了这门课，我感触很深，也收获了很多。让我发现了原来数学是那么地实用，那么地常见，增加了我对数学的兴趣，给了我继续努力学习数学的动力，了解了很多以前没接触过的数学思想，我想这些会对我日后学习数学有很大的帮助。