九年级数学第二章 小结与复习专题

第一篇：九年级数学第二章 小结与复习专题

九年级数学第二章 小结与复习

【本讲教育信息】

一.教学内容：

第二章 小结与复习

【教学目标】

1.了解命题的概念，知道什么是命题，真命题、假命题、逆命题，能区分命题的题设和结论，会把一个命题写成“如果„„，那么„„”的形式。

2.了解定义、公理、定理的概念以及公理与定理的区别，能举例将所学过的定理、公理进行说明，能较准确地表达学过的定义、定理等。

3.了解证明的必要性、公理的方法，综合证明的格式，理解推理中要步步有据，会根据题意画出图形，写出已知、求证，并完成一个简单命题的证明。

4.通过举反例判定一个命题是假命题，能掌握用反证法证明的思想方法。

二.重点、难点： 1.教学重点：

理解证明的必要性；了解定义、命题的概念并会判断真假命题，理解本节所给出的公理及相关定理。2.教学难点：

对证明的逻辑推理过程要熟练掌握，并能较严密地写出证明过程。3.思想方法：

经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力；分析、解决问题时强调转化的思想、化难为易、转化的方式有代换转化，已知与未知的转化、特殊与一般的转化等。

三.主要内容：

（一）本章知识结构图

定义 综合法 真 公理 推 出 命题 定理 依据 方法 分析法 反证法 证明 假 举反例

（二）基本内容

1.理解推理证明的必要性 2.定义：

对一个概念的特征本质的描述，称为它的定义。

3.命题：

（1）定义：判断一件事情的句子，叫做命题。

（2）结构：每个命题都由条件和结论两部分组成。

命题一般可以写作“如果„„，那么„„”或“若„„，则„„”的形式。

（3）分类：命题包括真命题和假命题两类。4.公理、定理、证明：

人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，称为公理。

通过推理论证、判断其为真命题，称为定理。

推理的过程叫做证明。5.命题与逆命题：

两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。

其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

任何一个命题都有其逆命题，但一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以，不是所有的定理都有其逆定理。6.证明的一般步骤：

（1）弄清题意，能正确画出图形。

（2）根据题意和图形，写出“已知”和“求证”。

（3）条理清晰地写出证明过程。

（4）检查表达过程是否正确、完善。

【典型例题】

例1.请写出下列命题的逆命题，并判断是真命题还是假命题。

（1）直角都相等。

（2）如果两个数中有一个数是正数，那么这两个数之和是正数。

（3）对角相等的平行四边形是矩形。

分析：写逆命题应先弄清命题的条件和结论。

解：（1）相等的角是直角。（假命题）

（2）如果两个数之和是正数，那么两个数中有一个数是正数。（真命题）

（3）矩形是对角相等的平行四边形。（假命题）

说明：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。

例2.有一次四人游泳比赛，比赛前，四名选手A、B、C、D进行预测性会谈，A说：“我肯定得第一名”，B说：“我绝对不会得最末名”，C说：“我不可能是第一名，也不会得最后一名”，D说：“那只有我是最末的！”。经过比赛成绩揭晓，发现他们之中只有一位预测错误，请指出是哪一位选手？

分析：我们先将四人谈话内容列出表格，再来讨论。A B C D 第一名 √ √ 第二名 √ √ 第三名 √ √ 第四名 √

解：从表中可看出D没有估计错误。

如果D预测错误，那么自然另有一个选手预测错了，否则就不会出现最末名；如果C预测错误，则他在这次比赛中应得第一名或第四名，但在此情况下，第一名和第四名已分别由A和D占据；如果B预测错误，则他只能是第四名，这里D也成了预测者，但按条件，预测错误的只有一人。

因此预测错误的只能是A，他应是第二名或第三名。

这样，名次可能是：

（1）第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D；

（2）第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。

这类题型主要是训练同学们的逻辑推理能力，让同学们看到逻辑推理在解决问题的价值，同时体验到用逻辑思维方法成功的快乐。

例3.有一矩形钢板ABNM，现加工成零件形状，如图，按规定∠ADE、∠BCE应分别是45°和55°，检验工人量得∠DEC＝95°，就非常肯定地判定这个零件不合格，你能说明这是为什么吗？

M N D F C E A B

分析：这也是一道训练逻辑思维的题目，零件是否合格、取决于角度之间是否相等。

即若∠ADE＋∠BCE＝∠DEC，则零件合格，否则零件不合格。

解：过E作EF∥AD ∴∠ADE＝∠FED 又AM∥BN，∴EF∥BC ∴∠FEC＝∠ECB ∴∠DEC∠ADE∠ECB55451009

5现量得∠DEC＝95°

∴这个零件不合格

oooo

例4.如图，已知AB∥CD，EF交CD于H，交AB于I，EG⊥AB，垂足为G，若∠GHE＝125°，求∠FEG的度数。

E A I G B C H D F

分析：略

解：∵AB∥CD，∠CHE＝125°（已知）

∴∠AIE＝∠CHE＝120°

又EG⊥AB（已知）

∴∠EGI＝90°（垂直定义）

又∠AIE是△EIG的一个外角

∴∠AIE＝∠FEG＋∠EGI ∴∠FEG∠AIE∠EGI1259035

例5.证明：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形。

已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，对角线AC⊥BD。

求证：四边形EFGH是矩形。

D G C H F 1 2 A E B ooo

分析：要证四边形EFGH是矩形，先需证明它是平行四边形。

由于E、F、G、H分别是各边中点。

由三角形中位线定理易证EFGH是平行四边形，再根据AC⊥BD去证明EFGH中有一个角为直角即可。

证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点（已知）

∴EF//11AC，HG//AC（三角形中位线定理）22 ∴EF//HG（等量代换） ∴四边形EFGH是平行四边形

又∵AC⊥BD，EF∥AC ∴∠1＝90°

又EH∥BD（三角形中位线定理）

∴∠2＋∠1＝180°

即∠2＝90°

∴四边形EFGH是矩形

例6.先阅读第（1）问的题目及证明过程，然后完成（2）问的问题。

（1）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，E为CD中点。

求证：AE⊥BE

A D F E B C

证明：过点E作EF∥BC交AB于F ∵E是CD的中点

∴F是AB的中点

∴EF是梯形ABCD的中位线

∴EF1ADBC21

∵ABADBC

∴EF1AB22

∵EF是ABE的边AB上的中线 ∴ABE是直角三角形，从而AEBE3

4

（2）在第（1）题的证明过程中，第_________步（填写（1）题中证明步骤中的序号），我们用到了定理：“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”

现在请你证明这个定理（要求写出已知、求证和证明）。

解：本题（1）中第<4>步的理由是定理“如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。”，证明如下：

已知：如图ABC中，CD是AB上的中线，且CD 求证：△ACB是直角三角形。

1AB。2 C 1 2 A B D

分析：略

证明：∵CD是AB边上的中线

∴ADBD ∵CD1AB 21AB，∴ADBDCD 2 ∴∠1∠A，∠2∠B

又∠1∠2∠A∠B180

∴∠1∠290

即∠ACB＝90°

∴△ACB是直角三角形

说明：这类阅读理解题近年来越来越常见，主要考查同学们阅读理解和自学能力，希望同学们加强这方面的训练。

【模拟试题】（答题时间：70分钟）一.选择题。

1.给出下列语句：

（1）连结AB并延长到C；

（2）对顶角不相等；

（3）求线段AB的长度；

（4）全等三角形的周长相等。

其中是命题的有（）A.仅有（4）B.（2）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）

2.下列命题中是真命题的是（）A.同位角相等

B.两条直线或者相交，或者平行 C.同旁内角相等，两直线平行

D.在同一平面内，过一点能作且只能作一条直线与已知直线垂直 3.下列命题正确的有（）

（1）若a//b，b//c，则a//c； oo（2）若∠1＝30°，∠2＝30°，则∠1＝∠2；

（3）若∠1∠390，∠2∠390，则∠1＝∠2；

（4）两条直线相交，有且只有一个交点。

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.“两直线相交成直角，称这两条直线互相垂直”是（）A.公理 B.定理 C.定义 D.命题 5.下列命题的逆命题是假命题的是（）A.平行四边形的对角线互相平分

B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C.若ab，则a2b2

D.矩形的对角线相等

6.如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，AB∥CD，则∠AEC的度数为（）

A B E C D oo

A.70° B.80° C.180°

D.90° 7.正方形具有而菱形没有的性质有（）A.对角线互相平分

B.每一条对角线平分一组对角 C.对角线相等 D.对边相等

8.已知：如图，∠ADB＝∠ACB＝90°，AD＝BC，AC与BD交于O，有下列结论：

（1）AC＝BD；（2）∠DBC＝∠CAD；

（3）AO＝BO；（4）AB∥CD。

其中正确的是（）

D C O A B

A.（1）（2）（3）

B.（2）（3）（4）C.（1）（2）（4）

D.（1）（2）（3）（4）

9.如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于E，给出三个论断：

（1）DE＝EF；（2）AE＝CE；（3）FC∥AB 以其中一个论断为结论，另两个论断为条件，可得出三个命题，其中正确的命题个数是（）

A D E F B C

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

10.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰在DC上，下面的结论：（1）AP⊥BP；（2）PD＝PC；（3）点P到直线AD、BC的距离相等。其中正确的结论是（）

A D P B C

A.（1）（2）（3）

B.（1）（3）C.仅（1）

D.仅（3）

二.填空题。

1.把命题“平行四边形两组对边分别相等”改写成“如果„„，那么„„”的形式是_____________________________。

2.命题“邻补角的平分线互相垂直”的条件是_____________________________，结论是_________________________________。3.给出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：________________ ____________________________________________。

4.如图，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝70°，则∠BEC＝___________。

A E B C

5.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，ACE，则△CDE的周长为___________。

3，∠A30o，D为AB的中点，DE⊥AC于

B D C E A

6.已知正数a和b，有下列命题：

（1）若ab2，则ab1；

（2）如果ab3，则ab3； 2（3）如果ab6，则ab3。

根据以上三个命题所提供的规律写出一个命题：

若ab15，则ab___________，这个命题是__________命题（填“真”或“假）。

三.解答题。

1.举反例说明下列命题是假命题。

（1）两个无理数的和仍是无理数。

（2）互补的两个角一个是锐角，一个是钝角。

2.求证：等腰三角形两腰上的高的交点与底边两端的距离相等。

3.如图，在矩形ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。

A D E B F C G

4.用反证法证明：一个三角形中，不能有两个角是直角。

5.A、B、C三人在一起争论一个问题时，A指责B说谎话，B指责C说谎话，C指责A和B都说谎话，现请你推测一下，到底谁说真话？谁说谎话？

6.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与菱形ABCD叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A逆时针旋转。

（1）当三角尺两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时［如图（1）］，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论。A D F B E C 图（1）

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时［如图（2）］，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由。

F A D B C E 图（2）

试题答案

一.选择题。

1.B 2.D

3.D

4.C

5.D 6.D 7.C

8.D

9.D

10.A 二.填空题。

1.如果一个四边形是平行四边形，那么它的两组对边分别相等。2.条件：两个角是邻补角，结论：它们的平分线互相垂直。

3.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。4.125° 5.33 2 6.15，真 2三.解答题。

1.（1）如：两个无理数分别为5和5，则550，是有理数。

（2）如：90o90o180o，但这两个角为直角。

2.已知：如图△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于点O。

求证：OB＝OC

A E D O B C 

提示：先证△BCE≌△CBD，得∠OBC＝∠OCB即可。

3.提示：△ADE≌△FAB（DE＝DC＝AB，∠AED＝∠B＝90°，∠DAE＝∠BFA，利用AD∥BC可得。）

4.已知：△ABC中

求证：△ABC中不能有两个直角

证明：假设△ABC中能有两个角是直角

不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＝180°

∴∠A＋∠B＋∠C＞180°

这与“三角形三内角和等于180°”相矛盾。

∴假设△ABC中能有两个角是直角不成立

∴△ABC中不能有两个直角 5.B说真话，A和C说谎话。6.（1）如图（1），BE＝CF

提示：证△ABE≌△ACF（ASA）（2）如图（2），BE＝CF 证明：∵△ABC、△ACD为等边三角形

∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADC＝60°

∴∠ACE＝∠ADF＝120°

又∠CAD＝∠EAF＝60°

∴∠CAE＝∠DAF（等量减等量）

∴△ACE≌△ADF（ASA）

∴CE＝DF ∴CE＋BC＝DF＋CD 即BE＝CF

第二篇：九年级数学下册 小结与复习教案1 新人教版

小结与复习1

一、素质教育目标(一)知识教学点

使学生学过的知识条理化、系统化，同时通过复习找出平时的缺、漏，以便及时弥补．(二)能力训练点

培养学生综合、概括等逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力．(三)德育渗透点 渗透事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义观点．

二、教学重点、难点和疑点

1．重点：锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值、余角余函数关系、同角三角函数关系、查表等知识及简单应用．

2．难点：知识的应用．

3．疑点：学生对tgA·tg(90°-A)=1的应用易出错，原因是tgA·ctgA=1和tgA=ctg(90°-A)这一知识点不够熟练．

三、教学步骤(一)明确目标

开门见山明确课题，引导学生加以总结．(二)整体感知

学生在直角三角形性质(两锐角互余，勾股定理)、全等判定、作图方法、相似判定、相似比等已有知识的基础上，又研究了边角关系——锐角三角函数．这样使学生对直角三角形的概念有一个更全面、完整的认识，使本章知识起承上启下的作用．

全章分两大节，第一大节锐角三角函数部分着重于正弦、余弦、正切、余切的概念，这些概念是第二节解题的基础，而第二大节解直角三角形，又是在第一节基础上，对概念的加深认识，从而起到巩固的作用．

从以上分析可知，本节课在概括总结锐角三角函数概念后，应着重复习解直角三角形知识，在应用中加深对概念的理解．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

复习课教师应着重引导学生自己对所学知识加以概括、总结，形成知识网络，从而提高学生归纳、概括等逻辑思维能力．

1．结合图6-38，请学生回答：什么是∠A的正弦、余弦、正切、余切？

这四个概念是全章灵魂，因此要求全体学生掌握，这里不妨请成绩较差的学生回答，教师板书

2．互余两角的正弦、余弦及正切、余切间具有什么关系？

这一知识点为了便于学生查表和以后解直角三角形，对学生来说，可能一部分学生易混淆，这里不妨先请中等学生口答，教师板书：

sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90-A)． tgA=ctg(90°-A)，ctgA=tg(90-A)． 然后教师可出示投影片：

(2)在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB，那么△ABC一定是______三角形． 以上两个小题的配备，主要目的是使学生加深对余角余函数的关系的理解． 3．教师出示投影片，请学生填空：

这不仅可以考查学生是否牢记这些函数值，起查缺补漏的作用，而且通过表格记忆，引导学生掌握记忆方法．

出示练习题(最好制作幻灯片)(1)tg30°+cos45°+tg60°-ctg30°；(2)tg30°·ctg60°+cos30°；

2以上小题的配置，使学生在计算含特殊角的函数值式子及由特殊角的三角函数值求锐角的度数的过程中，进一步加深特殊角三角函数值的记忆．

4．本章用了一定篇幅，教学生利用中学《数学用表》中的“正弦和余弦表”、“正切和余切表”来求任意锐角的三角函数值．其中，因为正弦、正切是增函数，而余弦、余切是减函数，这两种函数在查表求值时修正值的加与减成为学生学习的难点，极易混淆．因此，本节课应针对这一点加以复习．

首先，教师应引导学生回忆：在0°～90°之间，正弦、余弦及正切、余切随角度的变化而变化的规律是什么？

在学生正确的回答后，教师可出示一组投影片： 练习：(1)不查表，比较大小： sin20°______sin20°15′，tg51°______tg51°2′，cos6°48′______cos78°12′，3 ctg79°8′______ctg18°2′，sin52°-sin23°______0，cos78°-sin45°______0，ctg20°-tg70°______．

此题中，前五小题判断的依据就是正弦、余弦及正切、余切的增减性，教师可找成绩较差学生回答，如果没有问题，可不多作说明，一旦回答中出现问题，可请其他学生讲评即可．后二小题实际是对余角余函数及锐角三角间函数增减性的综合运用，应请学生回答时说明其思考过程，培养学生分析问题、解决问题的能力．

(2)cos21°30′=0.9304，且表中同一行的修正值是

cos21°32′=______，cos21°29′=______．，则这一小题是学生在查表过程中极易出错之处，如果学生在这里回答的非常准确，说明其全部掌握，教师可不必再强调．否则，还应出示小题：查表得ctg59°54′=0.5015，表中同一行的修正值是 =______．

(3)选择题

则ctg59°56′=______，ctg59°53′下列等式中，成立的是

[

]

A．0°＜∠A≤30°

B．30°＜∠A≤45° C．45°＜∠A≤60°

D．60°＜∠A＜90°

这两个小题对学生要求较高，课堂上不妨请学生充分讨论，在学生与学生的交流中，将知识学透、学活，分别请成绩较好的学生加以说明．通过这两小题的研究，不仅使成绩较差的学生思维更深刻，同时使成绩较好的学生在敏捷的思维后又条理清晰地讲解一番，培养他们的表达能力．

5．教材在P．19习题6．1B组第1题中出示黑体字sinA+cosA=1，2

2其中学生对tg18°tg72°=1这类问题极易出错，原因是易混淆tgA·ctgA=1和tgA=ctg(90°-A)两个知识点．本节课在复习之后，应该澄清这一问题，为此，可出示投影片：

练习：(1)tgα·ctg54°=1，则α=______度．(2)tg15°·tgβ=1，则β=______度．(3)tg18°·tg30°·tg72°=______．

对学有余力的学生，教师可布置课后思考题以加深sinA+cosA=1印象． 思考题：(1)计算sin35°+2tg60°·ctg60°+cos35°；

(四)总结与扩展

请学生结合板书，将知识加以总结．

四、布置作业

1．看教材P．1～P．32，培养看书习惯． 2．选作P．56中1、2、3、4

第三篇：九年级数学复习交流材料

大家好：

今天很高兴能来到这里，把我校，初三全体数学组的，复习经验拿来，同大家交流学习，有不当之处，恳请各位领导和老师批评指正。让我们互相学习，在新一轮的初三复习中共同进步。

以下是我校老师对总复习阶段现状的两大认识：

①、1：7关系，即一个学生和七个老师；②、白加黑，就是白天时间不够用，晚上能占就占。这常会致使学生疲于应付，也没有了自由思考和总结的时间。而实践探究，思考总结,恰恰又是数学的灵魂。

所以解决以下三个疑问：

如何确保属于数学的时间，及如何提高课堂效率，和确认最后的学习质量就是数学总复习中的重中之重。我们的具体做法如下：

一、研究《课程标准》，定范围；做中考试题，抓趋势；统一指导思想。

1、常言说得好“不怕不达标，就怕无目标”，为了能在复习中全面掌控知识范围，驾驭重点，全体数学组一起认真地研究了《课程标准》。达成一致认识：强调四基；强化能力培养方向；突显创新意识。同时也分析交流了“课程内容”的一些变动。

2、通过对《课标》的学习，确定了范围、方向；可具体的难易，出题的形式最终是以中考试题的方式展现在大家面前的。所以我们共同做了近几年的中考试题，去感受中考趋势的变化。从中体会“稳中求变，稳中求新”，及“突出对数学思想方法与数学活动过程的考查”

等特点。

3、在此基础上，统一了数学复习的指导思想

①依《课标》夯实基础，构建知识体系，查缺补漏;②加强解题思维训练，培养学生思维习惯，掌握思想及方法；③联实际，拓展综合实践，强化：数学应用意识、创新意识等。为了落实以上复习指导思想，我们据此确定了三轮复习计划，并明确了每一轮的复习目标及完成时间，且提前通知学生作好配合工作。

二、确定复习计划，明确复习目标，精诚合作。

1、第一轮复习：注重基础知识，强化基本技能训练 “一枝独秀不是春，百花齐放春满园”为了做好这一轮复习，我们始终坚持备课教研制度，发挥集体的智慧。根据六册教材知识点的关联性，进行归纳整理，划分为数（1、数与式；

2、方程（组）与不等式（组）；

3、函数）、形（1、三角形；

2、四边形；

3、圆；

4、图形与变换）、统计与概率三大模块，建立知识结构表，使之形成体系。并确立“以题带知识，化知识为问题”的课堂教学理念，多问精讲。依知识点精心挑选例题，追求以一题带多知识点的高效模式；不继推敲问题的问法和设置位置及方式，尽可能的“由浅入深，对知识点变换角度再认识”。整个过程坚持统一备课，统一进度，统一周考与月考，轮流命题等有力的制度。共计36课时，使学生经过第一轮的复习，对基本知识都能达到“理解”和“掌握”的要求；在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。

2、第二轮复习：专题训练，加强能力培养。

在该阶段的复习中采用：变更命题的表达形式，培养学生思维的深刻性；寻求不同解题途径与思维方式，培养学生思维的广阔性；改变题目的条件和结论，促进学生对数学思想方法的再认识，培养学生研究和探索问题的能力。

3、第三轮复习：中考模拟。

在模拟考试中让学生适应试卷，检查复习效果，并尽可能找出存在的问题，并加强最后的针对练习。以此促使学生调整心态，增强信心。

以上所有的计划与组织工作的成败如何，最终都取决于课堂实施效果，我们采用的是“双分五步教学法”中的“五步教学”。

三、“五步教学法” 在课堂教学中实施

具体包括：自主探究、合作提升、巩固应用、协同展示、抽查清五个操作环节。下边我以一节课的教案为例说明我们课堂的组织实施情况：（结合教案课件对应说明）

教学是个系统的过程，既包括教学过程，也包括教学管理，常言道“三分教七分管”。如果说“五步教学法”是一棵好树苗，那“双分管理”就是滋润她快速成长的大地。

四、“双分管理”在班级管理中的实施

为了巩固“五步教学法”的成果，我们在班级的教学管理中实施了“双分管理”，双分管理是以分组为基础，以学生自主管理为切入点，实现管与教有效结合。通过竞争和抽查、激励和惩戒两个评价机制来实现学生学习和学习效果的双分管理。就学生而言，存在着三重竞争：小组间竞争；竞争组间同号组员间竞争；同组不同号组员间竞争。这样的竞争序列，使得组内学生既有竞争关系，又有互助的必须，构建成学习“利益共同体”，形成“好兵乐教，差兵愿学”的实实在在的“兵教兵”的良好局面，同时有效培养了学生的集体荣誉感和团结协作的能力，并在过程中，有交效激发学生学习、管理的积极性和主动性。本届毕业班是在二升三时开始实施“双分五步教学法”的，良好的习惯在后来的复习阶段更助长了复习的效果。这也是后来取得进步的一大因素。

而“抽查清”是双分管理教学法中精细化管理得以实现的又一重要手段，它事实上包括“抽查”和“清”两个部分。通过有目的“抽查”，抓住了会做的学生不愿重做，不会的学生怕连累小组的心理特点，促使不过关的小组会去主动地找出问题的原因，并自愿地纠正。当时的班级中就常常出现某一两个学生上课走神时，同组的同学主动去提醒的事情。也同样达到了督促学生改进课堂和课后训练的学习态

度、状态、方法和效果的目的。同进配以周考与月考制度，建立起有效快速的学情反馈制度，更能对教学情况随时作出调整。

当然我们在复习中也注意复习应试心理培训和答题技巧训练等等。总之初三数学复习，时间紧、任务重、要求高。以上方式方法都是在不断的探索与完善中，由于时间关系，点到为止，有什么好的方法，那都是我们集体的智慧；今天能起到抛砖引玉的作用是我们最大的期望。希望大家结合本校实际，抓纲务本，制定合理科学的复习方案，认真夯实基础，提高学生解题技能，培养学生良好的应试心态，轻松迎考。最后，祝大家身体健康，工作顺利！

第四篇：八年级数学相似三角形小结与复习

中考网 www.xiexiebang.com 章相似三角形小结与复习[内容]

教学目标

1.对全章知识有一个系统的认识，掌握知识的结构和内在联系.2.利用基本图形结构的形成过程，掌握本章的重点：平行线分线段成比例定理和相似三角形 的判定及性质定理.3.通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.教学重点和难点

重点是掌握本章的主要概念、定理及数学方法.难点是灵活运用以上知识，提高解题能力.教学过程设计

一、掌握本章知识结构

具体内容见课本第258页内容提要.二、按照“特殊——一般——特殊”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展 过程，把握本章的两个重点

1.平行线分线段成比例定理所对应的基本图形(如图5－123).要求：

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中考网 www.xiexiebang.com(1)用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式，会分线段成已知比；(2)对图5－123(a),(b)要求会用比例式证明两直线平行.2.相似三角形所对应的基本图形.(1)类比推广：从特殊到一般，如图5－124；

(2)从一般到特殊：如图5－125.要求：用对比的方法掌握相似三角形和相似多边形的定义及性质，系统总结相似三角形的判 定方法和使用范围，尤其注意利用中间相似三角形的方法.3.熟悉一些常用的基本图形中的典型结论有助于探求解题思路.(1)在图5－125(a)中的相似三角形及相似比、面积比；

(2)在图5－125(b)中有公边共角的两个相似三角形：公边的平方等于两相似三角形落在一条直线上的两边之积；

(3)在图5－125(d)中射影定理及面积关系等常用的乘积式.三、通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想及方法

abbcab,.求:bc的值.例1 已知：2354分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：

(1)设比值为k;(2)比例的基本性质；

(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.abbc及54，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设解法一

由23a=10k,b=15k,c=12k，中考网 www.xiexiebang.com

中考网 www.xiexiebang.com 则(a+b):(b－c)=25:3.a2b5,b3c4 解法二 ∵ab5bc1ab25.b3b5bc

3∴, ∴abb524b,a,c3b5, 解法三 ∵23c4,∴a=2bbab35125bcb4b3535 ∴

例2 已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作

112EF;(3)若MN为梯形中EF∥BC，分别交AB，DC于E，F.求证：(1)OE=OF;(2)ADBC位线，求证AF∥MC.分析：

(1)利用比例证明两线段相等的方法.acdd,a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)； ①若abda,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)； ②若aca'c'''dddd,a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′.③若,(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.中考网 www.xiexiebang.com

中考网 www.xiexiebang.com 112111EF时，可将其转化为“abc”类型后：(3)证明ADBCcc1ab①化为直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；

②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.延长BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.(5)用运动的观点将问题进行推广.若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F 与O2F是否相等?为什么?(6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等.例3 已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M.求证：AF⊥BE.分析：

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(1)分解基本图形探求解题思路.(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)

ADDEDCCF 的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到ADDFBCCE,结合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.进一步可 结合中点定义得到得到AF⊥BE.(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；③ 三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面 积关系.例4 已知：如图5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

(1)掌握基本图形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用结论.222①勾股定理：AC+BC=AB.②面积公式：AC·BC=AB·CD.222③三个比例中项：AC=AD·AB,BC=BD·BA,CD=DA·DB.中考网 www.xiexiebang.com

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AC2AD2BD ⑤BC(2)灵活运用以上结论，并掌握恒等变形的各种方法，是解决此类问题的基本途径，如等式

两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等.(3)学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法.3242①证明a型：先得到a=bc型，再两边乘方，求出a来，进行化简(证法一).或在a=bc两边乘以同一线段a，再进行化简(证法二).22②证明a:b=c:d型问题的常用方法：

a2mmc2nd nb(ⅰ)先证,再利用中间比证明

x2ca2x2ax222d ybyy再两边平方：(ⅱ)先证b,然后设法将右边降次，得

a2meamae,2bnbfnf,再将右边化简.b(ⅲ)先分别求出,两式相乘得③证明a3:b3=c:d型问题的常用方法：

a2mx2ny，再通过代换变形实现；(ⅰ)先用有关定理求出baxy,两边平方或立方，再通过代换实现；(ⅱ)先证ba3mexcamaeax,nbf,by,然后相乘并化简：b3nfyd(ⅲ)先分别求出b第(1)题：

2证法一 ∵ CD=AD·BD, 422 ∴ CD=AD·BD=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC)=(AE·BF)·(AB·CD).ACBC

2AB 证法二 ∵ CD=AD·BD,CD=ACBC

3AB∴ CD=AD·BD·

ADACBDBCABABAB=

=AE·BF·AB.第(2)题：

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中考网 www.xiexiebang.com BC2BDBABDBDDFCE2ADEAAE,命 ADABADAC证法一 ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，证得题得证.BCDEBC2DE2AEECCE,得222ACAEAE ACAEAE证法二 由证法三 ∵ ΔBCD∽ΔCAD，BCDFACDE(相似三角形对应高的比等于对应边的比)∴

BC2DFDEDFCEBCDE2ACAEDEAEAEAE ∵ DE∥BC，∴,∴AC第(3)题：

BC2BDABBD2ADABAD, 证法一 ∵ACBC4BD2BFBCBC3BF423AEACAE ACADAC ∴,∴BCDFACDE 证法二： ΔADC∽ΔCDB，∴BC3DF3DFDF2DFBFCFBF332DEAEECAE· DEDEDE ∴ACBCDFBCDEBCBF,,DEACAEACDF, 证法三 ∵ACBC3BCBCBCDFDEBFBF3ACACACDEAEDFAE ∴AC

四、师生共同小结

在学生思考总结的基础上，教师归纳： 1.本章重点内容及基本图形.2.本章重要的解题方法、数学思想方法及研究问题的方法.五、作业

课本第261～265页复习题五中选取.补充题：

1.利用相似三角形的性质计算.已知：如图5－129，在RtΔABC，中∠ACB=90°，E为AB上一点，过E作ED∥BC交AC于D，过D作DF⊥AC交AB于F.若EF：FB=2:1，ED=2，CD=65,求FB的长.(答：2)

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2.证明相似三角形的方法.如图5－130，在ΔABC，中∠C=60°，AD，BE是ΔABC的高，DF为ΔABD的中线.求证：DE=DF.(提

DE12.)示：证明ΔCDE∽ΔCAB，得到AB3.已知：如图5－131，ΔABC内一点O，过O分别作各边的平行线DE∥BC，FG∥AB，HK∥AC.求证：

EFDHGK1ACABBC(1)

(2)设SΔOEF=S1,SΔODH=S2,SΔOGK=S3,SΔABC=S.则

S1S2S3S

4.构造相似三角形来解决问题.(1)(1)已知：如图5－132，ΔABC中，点E为BC中点，点D在AC上，AC=1，∠BAC=60°∠ABC=

3100°，∠DEC=80°.求SΔABC+2SΔCDE；(答：8)(提示：延长AB至F，使F=AC.作∠BCF平分线交AF于G.—

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111BC.(2)已知：如图5－133，在ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:4.求证：ABAC111ABAC1ABACACABACBCABACBCABBC.设(提示：把变形为，进一步变形为法

ABACAC和ABBC，作AE=AC,交BC延长线于E，构造相似三角形，使其对应边的比分别为延长AB至D，使BD=AC.)

5.构造基本图形(平行线分线段成比例定理).已知：如图5－134，ΔABC的三边BC，CA，AB上有点D，E，F.若AD，BE，CF三线交于一AFBDCE1FBDCEA点O.求证：.(塞瓦定理)

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课堂教学设计说明

本教案需用1课时完成.本节例2在三角形相似的判定(四)中出现过，如果学生已经掌握，教师可在这节复习课中选 取补充题2或其它题目说明利用比例证明线段相等的方法.中考网 www.xiexiebang.com

第五篇：人教版数学九年级上册第24章《圆》小结与复习教案

第二十四章《圆》小结

一、本章知识结构框图

二、本章知识点概括

（一）圆的有关概念

1、圆（两种定义）、圆心、半径；

2、圆的确定条件：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3、弦、直径；

4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；

5、等圆、等弧，同心圆；

6、圆心角、圆周角；

7、圆内接多边形、多边形的外接圆；

8、割线、切线、切点、切线长；

9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。

（二）圆的基本性质

1、圆的对称性

①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。

2、圆的弦、弧、直径的关系

①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

* [引申] 一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况）

3、弧、弦、圆心角的关系

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。

4、圆周角的性质

①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

（三）与圆有关的位置关系

1、点与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，OP=d则： 点P在圆内d

点P在圆上d=r；

点P在圆外d>r.2、直线与圆的位置关系

设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则： 直线l与⊙O相交 dr 直线和圆没有公共点。

3、圆与圆的位置关系

①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含； 如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切； 如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。

②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则： 两圆外离 d＞r2＋r1； 两圆外切 d＝r2＋r1； 两圆相交

r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）； 两圆内切 d＝r2－r1（r2＞r1）； 两圆内含 0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。

（四）圆的切线

1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

2、性质：

①圆的切线到圆心的距离等于半径。②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

3、判定：

①利用切线的定义。

②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。

（五）圆与三角形

1、三角形的外接圆

（1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

（2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。

2、三角形的内切圆

（1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

（2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。

（六）圆与四边形

1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。

*

2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。

（七）圆与正多边形

1、正多边形的定义

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形与圆的关系

把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆叫做正n边形的外接圆。

3、正多边形的有关计算（11个量）

边数n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长an，半径Rn，边心距rn，周长ln，面积Sn

(Sn=1/2lnrn)

4、正多边形的画法

画正多边形的步骤：首先画出符合要求的圆；然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。

（八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式

l弧长nR180 nR21lRS扇形＝＝

(其中l为弧长)2360S圆锥侧＝rl(其中l为母线长)

（九）直角三角形的一个判定

如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。