第二十二章一元二次方程小结

第一篇：第二十二章一元二次方程小结

第二十二章 一元二次方程 小结

昆明市实验中学 初三（５）班 陈璇

Ⅰ、本章知识结构框图：

Ⅱ、本章知识点：

１、一元二次方程的定义及一般形式：

只含有一个未知数、并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是：ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０），其中ａｘ²叫做二次项，ａ叫做二次项系数，ｂ叫做一次项系数，ｃ叫做常数项。注意：（１）一般形式中，ｂ、ｃ可以是任何实数；二次项系数ａ是不等于0的实数，这是因为ａ等于0，方程就不是二次方程了；

（２）要确认一元二次方程的各项系数，必须先将此方程化简整理成一般形式，然后再确定ａ、ｂ、ｃ，同时不要漏掉符号。２、一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。

３、一元二次方程的四种解法：

解一元二次方程常用的方法有：开平方法，配方法，公式法和因式分解法。其中开平方法和因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推导出来的求根公式是一般方法，一般方法对任何一元二次方程都可以使用。

（１）直接开平方法：

把方程变为形如（ｘ+ａ）²＝ｂ（ｂ≥０）的方程可用直接开平方法求解。两边直接开平方得：ｘ+ａ＝ ｂ或ｘ+ａ＝－ ｂ。

∴ｘ１＝-ａ+ ｂ，ｘ２＝－ａ－ ｂ。

注意：（１）直接开平方的理论根据是平方根的定义，故只有在ｂ≥０条件下，方程才有实数根。若ｂ＜０，则方程（ｘ+ａ）²＝ｂ无实数根；

（２）在实际问题中，要联系实际情况确定方程的解。（２）因式分解法：

如果一元二次方程经过因式分解能化成ａ·ｂ＝０的形式，且ａ与ｂ都是含有未知数的一次式那么它就可以化为两个一元一次方程ａ＝０或ｂ＝０，根据这种思想解一元二次方程的方法，就是因式分解法。

因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方法的步骤是：

①将已知方程化为一般形式，使方程右端为０； ②将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积；

③分别令方程左边的两个因式为０，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解。

注意：因式分解法是解一元二次方程常用的方法，务必熟练掌握。

（２）配方法：

通过配方把一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０变形为（ｘ+）²＝的形式，再利用直接开平方法解之，这就是配方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ②化二项系数为１：在方程两边都除以二次项系数； ③配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为（ｘ＋ｍ）²＝ｎ（ｎ≥０）的形式；

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意（１）“将二项系数化为１”是配方的前提条件，配方是关键也是难点；

（２）配方法是一种重要的数学方法，应予以重视。（４）公式法：

应用配方法可导出一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的求根公式ｘ＝

（ｂ²－４ａｃ≥０）。

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

①化方程为一般形式，即ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）； ②确定ａ、ｂ、ｃ的值，并计算ｂ²－４ａｃ的值（注意符号）； ③当ｂ²－４ａｃ≥０时，将ａ、ｂ、ｃ及ｂ²－４ａｃ的值代入球根公式，得出方程的根：ｘ＝

；当ｂ²－４ａｃ＜０时，原方程无实数解。

注意：（１）在运用公式法解一元二次方程时，一定要先把方程化为一般形式，再确定ａ、ｂ、ｃ的值，否则，易出现符号错误；

（２）用公式法解一元二次方程时，套入公式要运算准确。

４、怎样选择恰当的方法解一元二次方程：

解一元二次方程常用的方法有四种。使用时关键是选择适当的方法，一般按照先特殊后一般的程序选择，考虑的顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法。没有特殊要求，配方法一般不用，因为配方法解方程比较麻烦，但配方的方法要熟练掌握。５、一元二次方程根的判别式及应用：

（１）一元二次方程根的判别式概念及定理内容：

概念：一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）是否有实数根，完全取决于ｂ²－４ａｃ的符号，因此，把ｂ²－４ａｃ叫一元二次方程的根的判别式。用“Δ”表示，即Δ＝ｂ²－４ａｃ。

内容：对于一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０），Δ＝ｂ²－４ａｃ＞０，方程有两个不相等实数根；

Δ＝ｂ²－４ａｃ＝０，方程有两个相等的实数根；

Δ＝ｂ²－４ａｃ＜０，方程无实数根。

注意：（１）Δ＝ｂ²－４ａｃ只适用于一元二次方程；

（２）使用时，要先将一元二次方程化为一般形式后，才能确定ａ、ｂ、ｃ，求出Δ；

（３）当Δ＝ｂ²－４ａｃ≥０时，方程有实数根。（２）一元二次方程根的判别式主要有以下应用： ①不解一元二次方程，判断根的情况； ②证明字母系数方程有实数根或无实数根； ③根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。６、一元二次方程根与系数的关系及应用：（１）内容：

①如果ｘ１，ｘ２是一元二次方程ａｘ²+ｂｘ+ｃ＝０（ａ≠０）的两根，那么ｘ１+ｘ２＝－，ｘ１·ｘ２＝

；

②如果方程ｘ²+ｐｘ+ｑ＝０的两个根是ｘ１，ｘ２，那么ｘ１+ｘ２＝－ｐ，ｘ１·ｘ２＝ｑ（韦达定理）；

③以两个数ｘ１，ｘ２为根的一元二次方程（二次项系数为１）是ｘ²－（ｘ１+ｘ２）ｘ+ｘ１·ｘ２＝０.（２）应用：

①已知方程的一个跟，求另一根及未知系数； ②不解方程，求与已知方程两根有关的代数式的值； ③已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值。

7、列一元二次方程解应用题的方法步骤：

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，解题方法是相同的，但由于一元二次方程有两个解，要注意检验方程的解是否符合实际意义。

其步骤为：

①设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；

②列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致； ③解：解所列方程，求出解来；

④验：一是检验是否为方程的解；二是检验是否为应用题的解； ⑤答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。

8、主要题型：

列一元二次方程解应用题的类型很多，在日常生活、生产、科技等方面有广泛的应用，如面积问题、平均增长率（降低率）问题、利润问题、数字问题、刹车问题等。Ⅲ、本章数学思想方法：

配方法

转化思想：主要体现在解一元二次方程通过开平方法或因式分解法转化为一元一次方程；把一般形式的一元二次方程转化为特殊形式的方程（ｘ+ａ）²＝ｂ（ｂ≥０）

分类讨论思想

化归思想：化归思想就是把所要解决的问题转化归结为另一个较容易的问题或已经解决的问题

方程思想 数学建模思想

第二篇：一元二次方程的解法小结

一元二次方程的解法小结

【学习目标】

1.会选择利用适当的方法解一元二次方程；

2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法．

【前置学习】

一、自主学习（自主探究）：

1.独立思考·解决问题

解下列方程：

（1）；

（2）x2＋2x＝0；

（3）3x（x－2）＝2（x－2）

（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；

（5）x2－x＋1＝0；

（6）（x－2）（x＋3）＝66．

2.合作探究·解决问题

通过对以上方程的解法，你能说出解一元二次方程的基本思路，总结出对于不同特点的一元二次方程选择什么样的方法去解了吗？

知识汇总

（1）.解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为，即

．

（2）.一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：

方法名称

理论根据

适用方程的形式

直接开平方法

平方根的定义

配方法

完全平方公式

公式法

配方法

因式分解法

两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0

（3）.一般考虑选择方法的顺序是：

法、法、法或

法

二、疑难摘要：

【学习探究】

一、合作交流，解决困惑：

1.小组交流：（在小组内说说通过自主学习，你学会了什么？你的疑难与困惑是什么？请同伴帮你解决.）

2.班级展示与教师点拨：

展示1：用直接开方法解方程：（1）；

（2）．

展示2：用因式分解法解方程：（1）；

（2）．

展示3：用配方法解方程：（1）；

（2）．

展示4：用公式法解方程：（1）；

（2）．

二、反思与总结：本节课你学会了什么？你有哪些收获与体会？

【自我检测】

选择适当的方法解下列方程:

1.x2－3x＝0；

2.x2＋2x－8＝0；

3.3x2＝4x－1；

4.（x－2）（x－3）＝6；

5.（2x－1）2＝4x－2；

6.（3x－1）2＝（x＋5）2；

7.x2-7x＝0；

8.x2＋12x＝27；

9.x（x－2）－x＋2＝0；

10.；

11.．

12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)

第三篇：一元二次方程实际问题

例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过10000=250kg，在这个提前下，40

•求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000

（3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-40）[500-10（x-50）]=8000解得：x1=80，x2=60

当x1=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．

当x2=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

例4.某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x

则：1000+2000x·80%+（1000+2000x·8%）x·80%=1320

整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

解得：x1=-2（不符，舍去），x2=

答：所求的年利率是12．5%．

1=0.125=12.5% 8

第四篇：一元二次方程应用2010

1、（2009烟台市）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

2、(2009武汉)某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？

3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.（2）增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量达到60400个?

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请售答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）商店想在月销售成本不超过1000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

5、某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）．设销售单价为x元，日均获利为y元．求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

6、（2009年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去。

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2

间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式。

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式。

7、（2009年甘肃庆阳）（8分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？

8、(2009年湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案.9.建造一个面积是140平方米的仓库，要求其一边靠墙，墙长16米，在与墙平行的一边开一道２米宽的门。现人32米长的材料来建仓库，求这个仓库的长是多少米？

10、如图在△ABC中，∠B是直角，AB=6厘米，BC=12厘米。点P从A点开始，沿AB方向以每秒1厘米的速度移动，同时点Q从点B开始，沿BC方向以每秒厘米移动。问几秒时△PBQ的面积等于8平方厘米？

11．（2009年甘肃庆阳）若关于x的方程x2

2xk10的一个根是0，则k．

12.、（2009威海）若关于x的一元二次方程x2

(k3)xk0的一个根是2，则另一个根是______．、（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价P 13由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是．

第五篇：2014最新人教版一元二次方程 简单

《一元二次方程》单元训练题

班级：姓名：

一、选择题(每小题3分，共24分)

1．方程x2＝2x－3化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为()

A． 1、2、－3B．

1、2、－3C．

1、－

2、3D．1、2、3

2．方程(m2)x23mx10是关于x的一元二次方程，则（）

A．m2B．m2C．m2D．m2

3．一元二次方程x2－4＝0的解是()

A．x1＝2，x2＝－2B．x＝－2C．x＝2D．x1＝2，x2＝0

4．用配方法解方程x2－4x＝－2，下列配方正确的是()

A．(x－2)2＝2B．(x＋2)2＝2C．(x－2)2＝－2D．(x－2)2＝6

5．已知一元二次方程x2＋x－1＝0，下列判断正确的是()

A．该方程有两个相等的实数根B．该方程有两个不相等的实数根

C．该方程无实数根D．该方程根的情况不确定

6．若x1、x2是方程x23x50的两个根，则x1x2的值为（）

22A.3B.5C.3D.5 7．如果x＝4是一元二次方程x3xa的一个根，则常数a的值是（）

A．2B．－2C．±2D．±4

8．为了美化环境，某市加大对环境绿化的投资．2009年用于绿化投资20万元，2011年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为()

A．20x2＝25B．20(1＋x)＝25C．20(1＋x)2＝25D．20(1＋x)＋20(1＋x)2＝25

二、填空题（每小题3分，共21分）

9.一元二次方程x2x的解为：；

10．已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋4x－p＝0的一个根，则p的值是_______．

11．已知

3、－5是关于x的方程x+px+q=0的两根,则 ,.12．已知x2＋x－1＝0，则3x2＋3x－5＝_______．

13．三角形的两边长分别为3和4，第三边的长是方程x6x80的一个根，则这个三角形的周长是

14．已知代数式x2x3与x7的值相等，则x的值是．

15．已知方程x－4x+3=0的两根为x1、x2, 则x1+x2=，x1·x2=，三．解下列方程（每小题5分，共20分）

21．x90；2．3x216x． 2222211． x1x

22x4．2x(x3)5x( 33．2x13

四．解答题（共35分）

1．已知x1＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一个根，求m的值及方程的另一个根x2．(8分)

4．已知关于x的一元二次方程x+（m+1）x+m+4=0，当m为何值时，方程有两个相等的实数根．（8分）

2．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．问该公司的年增长率是多少？（8分）

3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．

设每件商品降价x元.据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（11分）