第一篇:动点问题、存在性问题小结
动点问题和存在性问题小结训练
一、基础训练
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为X=﹣.下列结论中,正确的是()
A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a+c<2b
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论:
① b2-4ac>0;② 2a+b<0;③ 4a-2b+c=0;④ a:b:c= -1:2:3.其中正确的是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④
3.已知二次函数的图象过(-2,0)、(4,0)、(0,3)三点,求这个二次函数的关系式.
4.已知一个二次函数当x = 8时,函数有最大值9,且图象过点(0,1),求这个二次函数的关系式.
5.已知二次函数的图象过(3,0)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式.
6.某商场购进一批单价为4元的日用品.若按每件5元的价格销售,每月能卖出3万件;若按每件6元的价格销售,每月能卖出2万件,假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数关系.(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)当销售价格定为多少时,才能使每月的利润最大?每月的最大利润是多少?
7.如图,在平面直yax2bxc角坐标系中,抛物线yax2bxc经过
A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线对称轴上一点,求AM+OM的最小值.(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
二、温故提升
1.如图,在△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,有一动点P从A沿AB移动到B,移动速度为2单位/秒,有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCA相似。
2.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由;
(2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ?
3.如图,抛物线ymx22mx3mm0与x轴交于A、B两点,与y轴交于
C点.(1)请求出抛物线顶点M的坐标(用含m的代数式表示),A、B两点的坐标;(2)经探究可知,△BCM与△ABC的面积比不变,试求出这个比值;
(3)是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线?若存在,请求出;如果不存在,请说明理由..如图, 已知抛物线y12x2bxc与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.5.如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C(1)求抛物线的函数解析式;
(2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE是平行四边形,求点D的坐标。
6.在平面直角坐标系中,点A和点B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,且OA、2OB分别是关于x的方程x-7x+12=0的两个根(OA<OB)(1)求直线AB的解析式;
(2)线段AB上一点C使得S△ACO:S△BCO=1:2,请求出点C的坐标;
(3)在(2)的条件下,y轴上是否存在一点D,使得以点A、C、O、D为顶点的四边形是梯形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由
7.如图,抛物线y=ax+bx+c经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.(1)求该抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点Q,使△QMB与△PMB的面积相等?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.
第二篇:2015 相似三角形存在性问题小结
全国十佳课外辅导机构星火官网:www.xiexiebang.com
相似三角形存在性问题
需要注意的问题:
1、若题目中问题为ABC∽DEF,则对应线段已经确定。
2、若题目中为ABC和(与)DEF相似,则没有确定对应线段,此时有 三种情况:
①、ABC∽DEF
②、ABC∽EFD
③、ABC∽FDE
3、若题目中为ABC和(与)DEF、并且有AD(或为90°),则确定了一条对应的线段,此时有二种情况:①、ABC∽DEF
②、ABC∽DFE 需要分类讨论上述的各种情况
例1.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.
解题的步骤:①假设经过t时间后,两个三角形相似并求出满足要求的t的取值范围;(设t)
②用未知数t去表示相似边;(表示边长)
③根据假设列出相似的各种情况;(出相似)
④根据相似写出对应的相应线段比,并用各种已知量和未知数t列出分式方程;(解方程)
⑤验证t是否符合条件。全国十佳课外辅导机构星火官网:www.xiexiebang.com 例2.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=三角形相似.,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角
例
3、已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,讨论若问题为以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?
例
4、如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10. 全国十佳课外辅导机构星火官网:www.xiexiebang.com(1)求梯形ABCD的面积S;
(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;
思考题 全国十佳课外辅导机构星火官网:www.xiexiebang.com 1.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?
2.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.
第三篇:探究动点轨迹问题
探究动点轨迹问题(2)
福州时代中学戴炜
一、实验内容 探究圆锥曲线中两直线交点的轨迹问题
掌握利用超级画板进行动态探究的常用方法
二、设计理念
本讲意在通过具体任务,驱动学生进行主动探究,发现规律性质,并能总结出一般结论。最后能体会利用超级画板探究动态几何问题的一般方法,并将其应用到更加广泛的探究过程中去。
三、实验过程
1.探究问题(轨迹为定点型)x2
y21,过椭圆的右焦点F作与x轴不垂直的直线L,交椭圆于已知椭圆方程为5
A、B两点,C是点A关于x轴的对称点,试用超级画板探究直线BC与x轴的交点N的轨迹。
探究过程
(1)求出椭圆的右焦点2,0
x2
y21和过点2,0的直线xmy2,用画笔标出交点A、B(2)作出椭圆:5
(3)作出点A关于x轴的对称点C,作直线BC,找出其与x轴的交点N
(4)拖动关于m的滑动块,观察点N的轨迹
(5)猜测点N的坐标,你能用数学方法加以说明吗?
探究结果
直线BC与x轴的交点N是定点,定点的坐标为5,0 2
x2y2
拓展探究:若椭圆的方程为221,试用超级画板探究N点的轨迹是否仍是定点。ab
2.探究问题(轨迹为圆锥曲线型)
x2
y21,点A、B是椭圆长轴的两个端点,直线(1)已知椭圆C的方程为4
xm(2m2)与椭圆C交于P,Q两点,且AP和BQ交于S点,试用超级画板探究,当m变化时S的轨迹,并求出该轨迹方程。
x2x2y22
y1改为椭圆221,点A、B是椭圆长轴的两个端(2)若将椭圆C:4ab
点,直线xmaxa与椭圆C交于P,Q两点,且AP和BQ交于S点,试求S的轨迹方程。
x2y2x2y2
(3)若将椭圆C:221改为双曲线221,点A、B是双曲线实轴的两
abab
个端点,直线xm与双曲线C交于P,Q两点,且AP和BQ交于S点,试求S的轨迹方程。
探究过程
x2
y21和点A(-2,0)(1)作出椭圆:,点B(2,0)4
(2)作出直线xm,用画笔标出交点P、Q(3)作直线AP、BQ,用画笔标出交点S(4)拖动关于m的滑动块,观察点S的轨迹(5)你能求出S的轨迹方程吗?
x2y2x2y2
(6)用类似的方法探究椭圆方程为221和双曲线方程为221时S的轨
abab
迹。
探究结果
x2
y21(1)S的轨迹为双曲线,方程为4x2y2
(2)S的轨迹为双曲线,方程为221
ab
x2y2
(3)S的轨迹为椭圆,方程为221
ab
互动交流:结合“交轨法”求轨迹方程做相应讨论和总结。
x2y2x2y2
以问题(3)为例,若将椭圆C:221改为双曲线221,点A、B是双
abab
曲线实轴的两个端点,直线xm与双曲线C交于P,Q两点,且AP和BQ交于S点,试求S的轨迹方程。
解析过程:设P点的坐标为x1,y1,则Q点的坐标为x1,y1.又有Aa,0,Ba,0 则直线AP的方程为y
y1
xa① x1a
y1
xa② x1a
直线BQ的方程为y
y1222
①×②得y2③ xa2
x1a
x12y12
又因点P在双曲线上,故221
abm222
即y2x1a
n
x2y2
代入③并整理得221,此即为点S的轨迹方程.ab
拓展探究:(1)若直线xm改为垂直于y轴的直线,最终的轨迹如何?
(2)若将问题架构在抛物线上,如抛物线y2x上任意一点P向其准线l引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点,则R点的轨迹如何?
结果:轨迹方程为y2xx 3.探究问题(轨迹为直线型)
前面的探究问题中,直线的平移是生成点M轨迹的因素之一,若将直线的平移改为旋转,点S的轨迹如何?
x2
y21,已知曲线C的方程为曲线C与x轴的交点分别为A、B,设直线xmy14
与曲线C交于P,Q两点,且AP和BQ交于S点,试用超级画板探究,当m变化时,S的轨迹是不是恒在一条直线上?如果是,请求出该直线方程。
探究过程
x2
y21和直线xmy1,用画笔标出点A、B和交点P、Q,(1)作出曲线C:4
作直线AP、PQ,找出交点S,拖动关于m的滑动块,观察S的轨迹,判断S的轨迹是不是恒在一条直线上,并求出该直线方程。
x2y2
(2)插入变量尺a、b,作出椭圆221;控制椭圆的长短轴大小,观察轨迹变
ab
化;
(3)猜测影响轨迹位置与形状的因素,你能用数学方法加以说明吗? 探究结果
(1)m改变时,S的轨迹为一条直线,直线方程为x4
x2y2
(2)插入变量尺,作出椭圆221,改变a的值,轨迹位置发生改变,改变b
ab的值,轨迹位置不变;
x2y22
(3)假设椭圆方程为221,则按上述方法做出的点S的轨迹为直线xa
ab
拓展探究
x2y2
(1)若曲线C由椭圆变为双曲线221,S的轨迹是不是仍在一条直线上?你
ab
能否求出该直线方程。
x2y2
(2)假设椭圆方程为221,前面的探究问题中,A、B点为曲线和x轴的交点,ab
现在若将A、B点改为x轴上的定点(-2,0)和(2,0),则点S的轨迹还是直线吗?请试用超级画板探究,判断S的轨迹为何种类型的曲线。
结果:当a2时,S的轨迹为一个椭圆
当1a2时,S的轨迹为一个双曲线
第四篇:全等三角形动点问题
全等三角形动点问题专练
班级:
姓名:
1.已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。
(1)试猜想线段AC与CE的位置关系,并证明你的结论.(2)若将CD沿CB方向平移至图2情形,其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。
(3)若将CD沿CB方向平移至图3情形,其余条件不变, 结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由。
AEBCD 图1
AAEEFFBC2C1DC2BC1D
图2 图3 1 / 4
2.如图所示,有一直角三角形△ABC,∠C=900,AC=10cm,BC=5cm,一条线段PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动,问P点运动到AC上什么位置时,△ABC才能和△APQ全等?
MQBDCA
3.在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内任意一点,将AP绕点A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ,CP;
(1)如图1,试说明BQ=CP;(2)若将点P在△ABC外,如图2,其它条件不变,结论依然成立吗?试说明理由。
AQAPPQPBC
BC
/ 4
4.如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若点B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN.(1)延长MP交CN于点E(如图2),①求证:△BPM≌△CPE;②求证:PMPN;(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时,点B、P在直线a的同侧,其它条件不变.此时PMPN还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时,其它条件不变,请直接判断PMPN还成立吗?不必说明理由.图1
图2
/ 4
图3
5.在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行,其中一只蜗牛爬到终点时,另一只也停止运动,经过t分钟后,它们分别爬行到D、E处,请问:
(1)如图1,在爬行过程中,CD和BE始终相等吗?(2)如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”,改为“沿着AB和CA的延长线爬行”,EB与CD交于点Q,其他条件不变,蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变,请利用图2说明:∠CQE=60°;
(3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行,连接DE交AC于F”,其他条件不变,如图3,则爬行过程中,DF始终等于EF是否正确?
EAAADEDBCFBCEBCDQ
图1
图2
图3
/ 4
第五篇:动点问题解题总结
解题关键是动中求静
一.建立动点问题的函数解析式(特点:动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?)1.应用勾股定理建立函数解析式 2.应用比例式子建立函数解析式
3.应用求图形面积的方法建立函数关系式
二.动态几何型压轴题(特点:问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性,如特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。)此类题型一般考察点动问题、线动问题、面动问题。解题方法:
1、特殊探路,一般推证。
2、动手实践,操作确认。
3、建立联系,计算说明。
三.双动点问题。点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力。主要分一下四种。
1.以双动点为载体,探求函数图像问题
2.以双动点为载体,探求结论开放性问题
3.以双动点为载体,探求存在性问题
4.以双动点为载体,探求函数最值问题
四.函数中因动点产生的相似三角形问题
五.以圆为载体的动点问题