最优化方法学习感想hmc作业

第一篇：最优化方法学习感想hmc作业

最优化方法浅谈

【摘要】最优化方法，也称做运筹学方法，是近几十年形成的一门新学科。它主要是以各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动研究对象，针对所研究的系统，力求得一个合理运用人力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法在各个领域中得到了广泛的应用。本文将着重谈谈最优化方法的应用以及学完最优化方法后的感想。

一、最优化方法的定义

最优化方法，也称做运筹学方法，主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法并不一定能够给我们带来最好的结果，但它能够使我们通过对问题的研究避开更坏的结果。

二、最优化方法的发展

最优化思想在很早之前就已经出现了。比如如今在最优化问题中得到广泛应用的黄金分割比早在公元前500的古希腊建筑美学中就已出现。

在17世纪以后，以牛顿和莱布尼茨创建的微积分为分界点，最优化方法开始逐渐成为一种科学方法。牛顿和莱布尼茨所创建的微积分中提出了求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法，而后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法

二战前后，军事上的需要和科学技术和生产的迅速发展促进了近代最优化方法的产生。以苏联康托罗维奇和美国丹齐克为代表的线性规划等最优化理论的提出标志着近代最优化方法的形成。

三、最优化方法的应用

最优化方法被广泛应用于工商企业、军事部门、民政事业等研究组织内的统筹协调问题，不受行业、部门的限制。按其所应用领域的不同，一般可以把最优化方法分为四个方面：最优设计、最优计划、最优管理和最优控制。

最优设计，主要应用于工程技术界,尤其是飞机、造船、机械、建筑等部门都已广泛应用最优化方法于设计中。从各种设计参数的优选到最佳结构形状的选取等，结合有限元方法已使许多设计优化问题得到解决。电子线路的最优设计是另一个应用最优设计的重要领域。

最优计划，主要指帮助领导部门进行各种优化决策。大到现代国民经济或部门经济的计划，小到企业的发展规划和年度生产计划，都会应用到最优计划。尤其是农业规划、种植计划、能源规划和其他资源、环境和生态规划的制订,如今都已开始应用最优化方法。

最优管理，一般应用于日常生产计划的制订、调度和运行中。随着管理信息系统和决策支持系统的建立和使用，最优管理得到迅速的发展。

最优控制，主要用于对各种控制系统的优化。例如，导弹系统的最优控制，能保证用最少燃料完成飞行任务,用最短时间达到目标;再如飞机、船舶、电力系统等的最优控制，化工、冶金等工厂的最佳工况的控制。计算机接口装置不断完善和优化方法的进一步发展，还为计算机在线生产控制创造了有利条件。

四、常见的最优化方法问题

最优化方法在实际生产生活中有着广泛的应用，有关最优化方法的应用实例不胜枚举，在生产管理和经济活动中很多问题最终都可以归结为最优化问题。

线性规划问题是最优化问题中的一类典型问题。线性规划是应用分析、量化的方法，对经济管理系统中的人、财、物等有限资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现有效管理。利用线性规划我们可以解决很多问题。如：在不违反一定资源限制下，组织安排生产，获得最好的经济效益（产量最多、利润最大、效用最高）。也可以在满足一定需求条件下，进行合理配置，使成本最小。同时还可以在任务或目标确定后，统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成任务。

上述线性规划问题是在有约束条件下求解问题，而在科学工程实际中，我们遇到的很多问题是无约束条件的优化问题，解决这些问题的方法就是无约束最优化方法。在无约束最优化法中，最速下降法是最基本的方法，牛顿法是最主要的方法，共轭梯度法是解决大型最优化问题的首选，拟牛顿法是目前最成功的方法。

其他最优化问题还有如线性与非线性最小二乘问题，二次规划问题等等。

五、最优化方法学习的感想

华罗庚先生写过一篇科普论文《统筹方法》，介绍了泡茶的最优程序，从某种程度上说这也是种最优化方法，甚至可以说“物竞天择，适者生存”的自然选择也是物种最优化的必然结果。许多人或许因为最优化方法所涉及的艰深的数理知识而对其敬而远之。确实，从我上课的体验来看，最优化确实不是那么好学，它是高等数学在实际问题中的应用，可以说是高等数学的升级版。但是我们不应当因此而忽视最优化，反而要迎难而上，攻克最优化这道难关。因为正如上文所述，最优化在实际生产中有着广泛的应用，只有用最优化的思维来武装自己，才能在处理实际问题的时候得心应手。或许当你在最优化这条洞隧中深入时，最终会豁然开朗，发现洞外的桃源美景。

第二篇：浅谈优化作业批改的方法

浅谈优化作业批改的方法

课堂教学目前已出现了新《课标》，得到较大幅度改革，但作业教学的改革却相对滞后。作业教学不能与课堂教学改革同步进行，成为薄弱环节，影响了整个数学教学质量的提高。要看到作业作为体现教学质量的载体之一，在检查“教与学”的质量，发展学生智能，反馈教情、学情等方面，起到了重要的调节作用。

一、作业批改中存在的问题。

（1）反馈时间过长。由于当前教师的工作量普遍偏重，尤其在我们农村小学，师资配备又跟不上，多数教师身兼两个学科的教学，如果对数学作业施行全批全改，批改量多（每班以40人计算，每次布置4道题，教师一次要批改160道题，若每本作业本平均用1.5分钟，就要花去60分钟，再加上平时单元测试、备课写教案等等，就要花去1时30分），造成每次作业批改的周期过长，反馈时间短则两三天，一般为四五天，长的竟达一个星期。学生作业中出现的问题不能及时解决，正确的得不到强化，错误的得不到及时改正，实际上已经失去了批改作业的信息价值，从而影响了教学质量。

（2）反馈信息量过小。由于教师教学负担过重，所谓全批全改，也只是“蜻蜓点水”一般，教师批改作业常常用“。”简单的匆匆代过，学生由这些符号就能知道哪道题错了，但不知道错在哪里？得到的只是百思不得其解的信息，找同学或同桌抄答案应付了事，如此反馈，信息量过小，作业利用价值不大。

（3）校正措施不力。因为反馈时间过长，作业返回学生手中时，知识已学过几天，加上课业负担较重，学生根本没有时间回头复习旧课以及校正作业中存在的问题，就开始做新作业，形成了问题遗留，违背了循序渐进的学习过程。

（4）作业形同虚设。学生天天做作业，老师天天批改作业，教

师花费在批改作业的时间过多了，而学生完全处于被动地位，为了应付老师“批改”，学生天天忙于按时完成作业，不管对与错，草草了事，一大部分学生出现了抄袭、问答案或叫人代替做作业等不良现象，教师也只好“上当受骗”。有的教师为了便于批改，片面追求作业的“质量”，应付上级检查，多让学生做一些订正过的习题，甚至是抄写例题，对学生来说，只是进行了知识的“搬运”。作业反而成了“负担”，它的作用逐被单元过关所代替，失去了作业应有的价值。

二、要科学地批改作业

新《课标》提出：“一切为了学生的发展”。天天作业全批全改是学生头上的“紧箍咒”，束缚了学生自主、生动活泼的学习，在这全面实施素质教育，让学生成为学习的主人的今天，要如何改变这种不良的现象呢？我建议不访做以下的尝试：

（1）精批细改。作业收齐后，找出成绩好、中、差三类学生的作业各8——10本，进行精批细改，了解各个层次学生的学习情况，是否掌握了所学知识，以便进行分类辅导，全面提高教学质量。这种方法能有效减轻教师批改作业的负担，使教师有更多时间钻研教材，改进教法。

（2）自我批改。作业做完后，教师公布解题过程和标准答案，写出各种解法，要求每个学生对照答案自己批改作业，对于不同的解法师生共同讨论解决，以完善答案。自我批改能调动学生学习积极性、主动性，启发学生思维，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

（3）分组批改。将作业按学习小组分开，指定一名学习较好的任组长，共同讨论各习题的解法及答案，教师综合各组意见后公布标准答案，然后各组成员流水作业，进行批改。这样，学生在批改中可能够吸取别的同学好的解题方法，也可以从别人的错误中吸取教训，以防重蹈覆辙。还能培养学生集体主义精神，严谨的学习态度，互帮

互学的学习风气，活跃课堂气氛。

三、作业批改要巧用评语

对数学作业的批改，我们习惯于用“√”“×”来评判正误，采用百分制量分。此法在评价学生学习成绩，判断解题正误，比较学习差异方面有一定的作用。但枯燥乏味、缺乏激励性，评价结果带有有一定的片面性。不能全面评价一个学生的基本素质、学习潜力。作业的满分仅表示“答题正确”，学生的解题思路、方法、过程、习惯、能力、品质等各方面并不能从分数中体现出来，这些东西正是小学生学习潜力之所在。而利用评语能弥补这些不足。评语，是一种作业批阅的方式，便于学生更清楚地了解自己作业中的优缺点，促进学生各方面和谐统一的进步。将评语引入数学作业的批改中，指出其不足，肯定其成绩，调动了学生的学习积极性，取得了较好的效果。

（1）指导方法，激发兴趣，强化动机

当学生作业中出现审题、计算、观察、分析、判断等方面的错误时，老师可以利用评语进行方法指导，让学生正确的解题方法。“先找准数量关系式”、“利用逆推方法试试看”、“第二步该干什么”等评语实际是向学生思考的路线。学生在老师的提示下自己去思考、改正。根据指导，学生不仅找到了错在哪里，而且知道为什么错、怎么改正。评语此时体到“四两拨千斤”的效果。

恰当的评语可以激发学习兴趣、强化学习动机。“方法太好了，可要细心呀！”、“解得巧，真聪明”、“你肯定有高招，因为你是我的骄傲”。不责骂质量特别差的作业本，相反，应尽量地发现他们的闪光点，以鼓励的语气调动他们的积极性。“你准行！”“你的进步很大，因为你付出劳动。”“看到你在进步，我万分高兴，希望你更上一层楼。”这种带感情色彩的评语使学生感受到了老师对他的关爱，充满了希望。从而会使逐渐产生浓厚的学习兴趣。

教师对学生的错或对要进行适当的评价和鼓励，这样才能使学生

对成功和失败都有一个正确的认识，从而做到胜不骄、败不馁。特别让学生从容的对待失败，树立必胜的信心，明确“失败乃成功之母”。

（2）积极引导，拓宽思路，自主创新

评语，不仅要反映学生解题的正误，对学生进行恰当的学法指导，使学生形成正确的解题思路和方法，而且要注意挖掘学生的智力因素。通过积极引导，拓宽学生的思路，培养学生自主创新。

利用评语适当给予启发，以帮助开发学生的潜能，激活创新意识。如“一题多解”培养学生从多种角度，不同方向去分析、思考问题，克服了思维定势的不利因素，开拓思路，运用知识的迁移，使学生能正确、灵活地解答千变万化的应用题。利用评语：“解得巧、方法妙”肯定其独特见解的学生。对有的题可用多种解法而学生只采用了一种，可以写上：“还有更好的解法吗?”“爱动脑筋的你肯定还有高招！”。这样的评语激发学生的创新意识,使学生开启心灵，驰骋想象；鼓励学生动脑思考发现问题做出假设尝试验证归纳总结应用；使他们敢于大胆的去想去做，鼓励学生要敢于标新立异，敢于“尝试。

（3）严格要求，积极鼓励,养成良好的学习习惯

对学生作业的批改不仅判断正误、了解学生的认知水平，还要注意对学生非智力因素的评价。养成良好的学习习惯是掌握知识、培养能力的基础，符合素质教育的要求。

教师在学生的作业书写、格式以及算理过程要严格把关。这些是体现良好学习习惯的外在标准。及时用恰当的评语指出作业中的不足之处，能使学生很快的加以改正。例如，“你很聪明,如果字再写得好一点,那就更好了!”、“结果正确，但格式正确吗？”、“聪明的你，一定能发现简便方法！”等。

对于学生由于粗心出错,首先要肯定其长处,增强自信,再提出殷励希望,改正缺点。如，“搬开你前进的绊脚石-----粗心,奋勇前进!”、“和细心交朋友!”、“你的字写得可真漂亮,要是能提高正确率,那肯

定是最棒的!”或者“再细心一些，准行！”这样,一方面不打击其自信,另一方面使其纠正不良倾向,培养严谨的志治学态度。

学生作业做得又对又好,除了打上“优☆”外,还加上各种评语展开竞赛。如“你好棒!”“太妙了!”“very good!”对字写的好,作业正确率高,解题最有创意的学生,打上“best!”对于这些陌生而新鲜的评语,学生充满了兴趣,自然得使其学习数学的优势得到了顺势迁移。

当然，写评语时要本身要简洁、明了、自然、亲切、实事求是，充满希望、付有启发性，这样才能得到良好的教学效果。

实践证明，数学作业批改中使用评语,可以弥补“√”“×”判断方法的不足，还能从学生解题思路、能力、习惯、情感、品质多方面综合评价了学生作业。它有利于促进学生的发散性思维和形成创新意识；更有利于沟通师生之间的情感，调动学生的学习积极性，促使学生养成良好的学习习惯。这种评估方式符合素质教育的要求，并在评估过程中体现素质教育。

作者通讯地址：广东省恩平市良西镇雁鹅小学 梁欢庭 邮 编：529437 工 作 单 位：广东省恩平市良西镇雁鹅小学 联 系 电 话：***；0750-7391343

第三篇：优化方法学习笔记

对偶理论：

原始问题和对偶问题的标准形式如下： 设原始问题为： min z=cx s.t.Ax <= b x>= 0 则对偶问题为： max w=yb s.t.yA >= c y>=0 式中max表示求极大值，min表示求极小值，s.t.表示“约束条件为”；z为原始问题的目标函数，w为对偶问题的目标函数；x为原始问题的决策变量列向量（n×1），y为对偶问题的决策变量行向量(1×m)；A为原始问题的系数矩阵(m×n)，b为原始问题的右端常数列向量（m×1），c为原始问题的目标函数系数行向量（1×n）。在原始问题与对偶问题之间存在着一系列深刻的关系，现已得到严格数学证明的有如下一些定理。KKT条件介绍：

一般情况下，最优化问题会碰到一下三种情况：（1）无约束条件

这是最简单的情况，解决方法通常是函数对变量求导，令求导函数等于极值点。将结果带回原函数进行验证即可。（2）等式约束条件

设目标函数为f(x)，约束条件为hk(x)，形如

0的点可能是

s.t.表示subject to，“受限于”的意思，l表示有l个约束条件。

则解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比较简单不在赘述，拉格朗日法这里在提一下，因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。

定义拉格朗日函数F(x)，其中λk是各个约束条件的待定系数。

然后解变量的偏导方程：

......，如果有l个约束条件，就应该有l+1个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值（高等数学中提到的极值），将结果带回原方程验证就可得到解。

至于为什么这么做可以求解最优化？维基百科上给出了一个比较好的直观解释。

举个二维最优化的例子：

min f(x,y)

s.t.g(x,y)= c

这里画出z=f(x,y)的等高线（函数的等高线定义：二元函数z = f（x,y）在空间表示的是一张曲面，这个曲面与平面z = c的交线在xoy面上的投影曲线f(x,y)=c称为函数z=f(x,y)的一条登高线。）：

绿线标出的是约束的点的轨迹。蓝线是的等高线。箭头表示斜率，和等高线的法线平行。从梯度的方向上来看，显然有。绿色的线是约束，也就是说，只要正好落在这条绿线上的点才可能是满足要求的点。如果没有这条约束，的最小值应该会落在最小那圈等高线内部的某一点上。而现在加上了约束，最小值点应该在哪里呢？显然应该是在的等高线正好和约束线相切的位置，因为如果只是相交意味着肯定还存在其它的等高线在该条等高线的内部或者外部，使得新的等高线与目标函数的交点的值更大或者更小，只有到等高线与目标函数的曲线相切的时候，可能取得最优值。如果我们对约束也求梯度，则其梯度如图中绿色箭头所示。很容易看出来，要想让目标函数的等高线和约束相切，则他们切点的梯度一定在一条直线上。即：∇f(x,y)=λ（∇g(x,y)-C)，其中λ可以是任何非0实数。

一旦求出λ的值，将其套入下式，易求在无约束极值和极值所对应的点。

这就是拉格朗日函数的由来。（3）不等式约束条件

设目标函数f(x)，不等式约束为g(x)，有的教程还会添加上等式约束条件h(x)。此时的约束优化问题描述如下：

则我们定义不等式约束下的拉格朗日函数L，则L表达式为：

其中f(x)是原目标函数，hj(x)是第j个等式约束条件，λ不等式约束，uk是对应的约束系数。0

j是对应的约束系数，gk是

此时若要求解上述优化问题，必须满足下述条件（也是我们的求解条件）：

这些求解条件就是KKT条件。(1)是对拉格朗日函数取极值时候带来的一个必要条件，(2)是拉格朗日系数约束（同等式情况），(3)是不等式约束情况，(4)是互补松弛条件，(5)、(6)是原约束条件。

对于一般的任意问题而言，KKT条件是使一组解成为最优解的必要条件，当原问题是凸问题的时候，KKT条件也是充分条件。

关于条件(3)，后面一篇博客中给出的解释是：我们构造L(x,λ等于0就必须使得系数u>=0，这也就是条件(3)。,u)函数，是希望L(x,λ,u)<=f(x)的（min表示求最小值）。在L(x,λ,u)表达式中第二项为0，若使得第三项小于

关于条件(4),直观的解释可以这么看:要求得推导而来。

为方便表示，举个简单的例子： 现有如下不等式约束优化问题：

L(x,λ,u)的最小值一定是三个公式项中取得最小值，此时第三项最小就是等于0值的时候。稍微正式一点的解释，是由松弛变量

此时引入松弛变量可以将不等式约束变成等式约束。设a1和b1为两个松弛变量，则上述的不等式约束可写为：

则该问题的拉格朗日函数为：

根据拉格朗日乘子法，求解方程组：

则同样 u2b1=0，来分析g2(x)起作用和不起作用约束。于是推出条件：

KKT条件介绍完毕。

拉格朗日对偶理论：

1.原始问题

假设f(x),ci(x),hj(x)f(x),ci(x),hj(x)是定义在RnRn上的连续可微函数，考虑约束最优化问题：

minx∈Rns.t.f(x)ci(x)≤0,i=1,2,…,khj(x)=0,j=1,2,…,kminx∈Rnf(x)s.t.ci(x)≤0,i=1,2,…,k

hj(x)=0,j=1,2,…,k

称为约束最优化问题的原始问题。现在如果不考虑约束条件，原始问题就是：

minx∈Rnf(x)minx∈Rnf(x)因为假设其连续可微，利用高中的知识，对

f(x)f(x)求导数，然后令导数为0，就可解出最优解很简单.但是问题来了，这里有约束条件，必须想办法把约束条件去掉才行，拉格朗日函数派上用场了。

引进广义拉格朗日函数（generalized Lagrange function）: L(x,α,β)=f(x)+∑i=0kαici(x)+∑j=1lβjhj(x)L(x,α,β)=f(x)+∑i=0kαici(x)+∑j=1lβjhj(x)不要怕这个式子，也不要被拉格朗日的名字给唬住了，让我们慢慢剖析！这里，x=(x(1),x(2),…,x(n))∈Rn,αi,βjx=(x(1),x(2),…,x(n))∈Rn,αi,βj是拉格朗日乘子（其实就是上面函数中的参数而已），特别要求αi≥0αi≥0。

现在，如果把L(x,α,β)L(x,α,β)看作是关于αi,βjαi,βj的函数，要求其最大值，即

maxα,β:αi≥0L(x,α,β)maxα,β:αi≥0L(x,α,β)再次注意L(x,α,β)L(x,α,β)是一个关于αi,βjαi,βj的函数，优化就是确定αi,βjαi,βj的值使得L(x,α,β)L(x,α,β)取得最大值（此过程中把xx看做常量），确定了αi,βjαi,βj的值，就可以得到

L(x,α,β)L(x,α,β)的最大值，因为αi,βjαi,βj已经确定，显然最大值maxα,β:αi≥0L(x,α,β)maxα,β:αi≥0L(x,α,β)就是只和xx有关的函数，定义这个函数为：

θP(x)=maxα,β:αi≥0L(x,α,β)θP(x)=maxα,β:αi≥0L(x,α,β)其中

L(x,α,β)=f(x)+∑i=0kαici(x)+∑j=1lβjhj(x)L(x,α,β)=f(x)+∑i=0kαici(x)+∑j=1lβjhj(x)

下面通过xx是否满足约束条件两方面来分析这个函数: θP(x)=maxα,β:αi≥0[f(x)+∑i=0kαici(x)+∑j=1lβjhj(x)]=+∞θP(x)=maxα,β:αi≥0[f(x)+∑i=0kαic

i(x)+∑j=1lβjhj(x)]=+∞

注意中间的最大化式子就是确定令

αi,βjαi,βj之后的结果，若ci(x)>0ci(x)>0，则αi→+∞αi→+∞，如果hj(x)≠0hj(x)≠0，很 易取值使得βjhj(x)→+∞βjhj(x)考虑xx满足原始的约束，则：

θP(x)=maxα,β:αi≥0[f(x)]=f(x)θP(x)=maxα,β:αi≥0[f(x)]=f(x)→+∞

，注意中间的最大化是确定的αi,βjαi,βj过程，将的最大值就是其本身。

f(x)f(x)看成一个常量，常量

通过上面两条分析可以得出：

θP(x)={f(x),+∞,x满足原始问题约束其他θP(x)={f(x),x满足原始问题约束+∞,其他 那么在满足约束条件下：

minxθP(x)=minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)=minxf(x)minxθP(x)=minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)=mi

nxf(x)即minxθP(x)minxθP(x)与原始优化问题等价,所以minxθP(x)minxθP(x)常用代表原始问题，下标 P 表示原始问题，定义原始问题的最优值：

p∗=minxθP(x)p∗=minxθP(x)

原始问题讨论就到这里，做一个总结：通过拉格朗日的办法重新定义一个无约束问题这个无约束问题等价于原来的约束优化问题，从而将约束问题无约束化！

2.对偶问题

定义关于α,βα,β的函数：

θD(α,β)=minxL(x,α,β)θD(α,β)=minxL(x,α,β)

注意等式右边是关于xx的函数的最小化，确定xx以后，最小值就只与有关，所以是一个关于α,βα,β的函数.考虑极大化θD(α,β)=minxL(x,α,β)θD(α,β)=minxL(x,α,β)，即

α,βα,βmaxα,β:αi≥0θD(α,β)=maxα,β:αi≥0minxL(x,α,β)maxα,β:αi≥0θD(α,β)=maxα,β:αi≥0minxL(x,α,β)这就是原始问题的对偶问题，再把原始问题写出来：

minxθP(x)=minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)minxθP(x)=minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)

形式上可以看出很对称，只不过原始问题是先固定L(x,α,β)L(x,α,β)中的xx，优化出参数α,βα,β，再优化最优xx，而对偶问题是先固定α,βα,β，优化出最优xx，然后再确定参数α,βα,β。定义对偶问题的最优值：

d∗=maxα,β:αi≥0θD(α,β)d∗=maxα,β:αi≥0θD(α,β)

3.原始问题与对偶问题的关系

定理：若原始问题与对偶问题都有最优值，则

d∗=maxα,β:αi≥0minxL(x,α,β)≤minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)=p∗d∗=maxα,β:αi≥0minxL(x,α,β)≤

minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)=p∗

证明：对任意的和，有

θD(α,β)=minxL(x,α,β)≤L(x,α,β)≤maxα,β:αi≥0L(x,α,β)=θP(x)θD(α,β)=minxL(x,α,β)≤L(x,α,β)≤maxα,β:αi≥0L(x,α,β)=θP(x)

即

θD(α,β)≤θP(x)θD(α,β)≤θP(x)

由于原始问题与对偶问题都有最优值，所以

maxα,β:αi≥0θD(α,β)≤minxθP(x)maxα,β:αi≥0θD(α,β)≤minxθP(x)

即

d∗=maxα,β:αi≥0minxL(x,α,β)≤minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)=p∗d∗=maxα,β:αi≥0minxL(x,α,β)≤

minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)=p∗

也就是说原始问题的最优值不小于对偶问题的最优值，但是我们要通过对偶问题来求解原始问题，就必须使得原始问题的最优值与对偶问题的最优值相等，于是可以得出下面的推论：

推论：设x∗x∗和α∗,β∗α∗,β∗分别是原始问题和对偶问题的可行解，如果d∗=p∗d∗=p∗，那么x∗x∗和α∗,β∗α∗,β∗都是原始问题和对偶问题的最优解。所以，当原始问题和对偶问题的最优值相等：d∗=p∗d∗=p∗时，可以用求解对偶问题来求解原始问题（当然是对偶问题求解比直接求解原始问题简单的情况下），但是到底满足什么样的条件才能使得d∗=p∗d∗=p∗呢，这就是下面要阐述的KKT 条件。

4.KKT 条件

定理：对于原始问题和对偶问题，假设函数f(x)f(x)和ci(x)ci(x)是凸函数，hi(x)hi(x)是仿射函数（即由一阶多项式构成的函数，f(x)=Ax + b, A是矩阵，x，b是向量）；并且假设不等式约束ci(x)ci(x)是严格可行的，即存在xx，对所有ii有ci(x)<0ci(x)<0，则x∗x∗和α∗,β∗α∗,β∗分别是原始问题和对偶问题的最优解的充分必要条件是x∗x∗和α∗,β∗α∗,β∗满足下面的Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件：

∇xL(x∗,α∗,β∗)=0∇αL(x∗,α∗,β∗)=0∇βL(x∗,α∗,β∗)=0α∗ici(x)=0,i=1,2,…,k(KKT对偶互补条件)ci(x)≤0,i=1,2,…,kα∗i≥0,i=1,2,…,khj(x∗)=0,j=1,2,…,l∇xL(x∗,α∗,β∗)=0∇αL(x∗,α∗,β∗)=0∇βL(x∗,α∗,β∗)=0αi∗ci(x)=0,i=1,2,…,k(KKT对偶互补条件)ci(x)≤0,i=1,2,…,kαi∗≥0,i=

1,2,…,khj(x∗)=0,j=1,2,…,l

关于KKT 条件的理解：前面三个条件是由解析函数的知识，对于各个变量的偏导数为0（这就解释了为什么假设三个函数连续可微，如果不连续可微的话，这里的偏导数存不存在就不能保证），后面四个条件就是原始问题的约束条件以及拉格朗日乘子需要满足的约束。

特别注意当α∗i>0αi∗>0时，由KKT对偶互补条件可知：ci(x∗)=0ci(x∗)=0，这个知识点会在 SVM 的推导中用到.1.总结

一句话，把原始的约束问题通过拉格朗日函数转化为无约束问题，如果原始问题求解棘手，在满足KKT的条件下用求解对偶问题来代替求解原始问题，使得问题求解更加容易。

凸集定义：

凸集的极值点和极值方向：

最优化方法的基本结构：

第四篇：优化作业

第1章 思考题

1.何为约束优化设计问题？什么是无约束优化设计问题？试各举一例说明。机械优化设计问题多属哪一类？

2.一般优化问题的数学模型包括哪些部分？写出一般形式的数学模型。3.试简述优化算法的迭代过程。

习题

1.画出满足下列约束的可行域。g1(X)= 3x1+2x1-48≤0 g2(X)= x1–18+x2≤0 g3(X)=–x1≤0 g4(X)=–x2≤0 2.试将优化问题

minF(X)=x12+x22-4x2+4 X∈DR2

D：g1(X)= 1x1+x22≤0 g2(X)= x1-3≤0 g3(X)= x2≤0 的目标函数等值线和约束边界曲线勾画出来，并回答下列问题：(a)X=[1，1]T 是不是可行点？

5(b)X21是不是可行点？ 2T(c)可行域D是否为凸集，用阴影线描绘出可行域的范围。

3.已知某约束优化问题的数学模型为

minF(X)=(x13)2+(x2-4)2

X∈DR2

D：g1(X)= x15+x2≤0 g2(X)= 2.5 x1+x2≤0 g3(X)= x1≤0 g4(X)= x2≤0(1)该问题是线性规划问题还是非线性规划问题？

(2)按一定比例画出目标函数F(X)的值分别等于1、2、3时的三条等值线，并在图上划出可行域。

(3)在图上确定无约束最优解和约束最优解。

(4)若在该问题中又加入等式约束h(x)= x1-x2=0，其约束最优解X*、F(x*)又为多少？

第2章

思考题 1.试说明函数的方向导数与梯度之间的关系？研究函数的梯度对求函数的极值有什么意义？为什么说梯度方向是函数值上升最快的方向只是函数的一种局部性质？ 2.怎样判断多元函数有无极值？

习题

1.试将函数F(X)= x12x1x2+x22写成矩阵向量式，并判断其二次型的系数矩阵是否为正定。2.试用矩阵形式表示函数F(X)= x12 +x22x1x24x2+60，并写出其海森矩阵。3.求函数F(X)3212x1x2x1x22x1在点X(0)=[2，4]T处的梯度。224.计算二元函数F(X)= x13  x1x22+5x1 6在点X(0)=[1，1]T处沿方向L=[1，2]T的方向导数FL

(X(0))和沿梯度方向F(X(0))的方向导数FF (X(0))。

5.已知目标函数

F(X)=(x1－2)2+x22 X=[x1，x2]T∈＆R 在不等式约束

g1(X)=x12+x2－1≤0

g2(X)= －x2≤0

g3(X)= －x1≤0 *T条件下求得最优点为X=[1，0]，用库恩-塔克条件检验该点是否为条件极值。

第3章

思考题

1.为什么说一维优化方法是优化方法中最简单、最基本的方法？ 2.何为初始单峰区间，它在一维优化方法中有何意义？

3.利用0.618法和二次插值法求解一维优化问题的基本思想各是什么？ 4.0.618法和二次插值法各有什么优缺点？

5.对二次函数用二次插值法求优时，为什么从理论上说只需进行一次迭代就可求得最优点？

习题

1.试用进退法确定函数F(x)=3x38x+92的初始单峰区间，给定初始点x0=0，初始步长h=0.1。2.试用黄金分割法求函数F(x)=(x3)2的最优解(最小值)。已知初始单峰区间为[1，7]，迭代精度为=0.4。

3.试用二次插值法求函数F(x)=8x32x27x+3的最优解。给定初始区间[0，2]，迭代精度为 =0.01。

4.分别利用黄金分割法和二次插值法的程序求函数F(x)=x44x36x216x+4的最小值，给定单峰区间为[1，6]，精度要求 =0.05。

5.已知某汽车行驶速度x(km/min)与百公里油耗Q(l)的函数关系为Q(x)x20(l)，试用x黄金分割法求当速度x在0.2~1(km/min)时的最经济的车速x*，并计算此时汽车每行驶100km的油耗量是多少？

第4章

思考题

1.一般无约束优化方法包括哪几个步骤?各种不同的方法主要区别在何处? 2.何为直接法?何为间接法?它们各有什么优缺点?什么情况下选用它们比较适宜，为什么? 3.为什么称梯度法为最速下降法？既然梯度法的搜索方向是最速下敢方向，为什么又说该法收敛速度慢？

4.何为牛顿方向？为什么用原始牛顿法求一个二次目标函数的最优解，从任一初始点出发，一定可以一次成功？

5.变尺度法的基本思想是什么？为什么变尺度法能得到广泛应用？ 6.为什么说坐标轮换法的效能在很大程度上取决于目标函数的性质？

7.坐标轮换法是一种降维方法，除目标函数的等值线出现“脊线”情况外，一般都能成功找到问题的最优点。为什么当初始鲍威尔出现“维数下降”的情况时，计算将归于失败？这两种算法中的降维有什么不同？

8.何为共轭方向？共轭方向有哪些重要性质，这些性质在鲍威尔方法中有何体现？共轭方向与正交方向关系如何？

9.请解释只要沿共轭方向搜索，两次就能找到二元二次正定函数的最优点。10.简述变尺度法和鲍威尔法的迭代过程。画出鲍威尔法的搜索路径图。11.何为二次收敛性？

习题

1.试用梯度法求解的搜索方向互相正交。minF(x)=x1+2x22，设初始点为

2X(0)=[4,4]T，迭代三次，并验证相邻两次迭代2.取初始点X(0)=[－1，－2]T，用阻尼牛顿法求F(X)1212x1x2的极小点。243.用梯度法求minF(x)=2x12+2x22+2x32，初始点(x)(0)=[1，1，1]T。

4.用DFP变尺度法求目标函数F(x)=4(x1－5)2+(x2－6)2的最优解。已知初始点X(0)=[8，9]T，迭代精度 =0.01。

5.试用坐标轮换法求目标函数F(x)=2x12+3x22－8x1+10的无约束最优解，初始点X(0)，迭代精度 =0.001。

6.试用鲍威尔法求目标函数F(x)=10(x1+x2－5)2+(x1－x2)2的最优解，已知X(0)=[0，0]T，迭代精度 =0.01。

第6章 约束优化

12思考题

1.在约束随机方向搜索法中，为什么有可能找到比最速下降方向还要更好的搜索方向？随机方向需满足的条件是什么？

2.内点法与外点法在构造惩罚函数时有何区别？ 3.外点法的初始点可任选择，如最优解在可行域内，初始点为内点，迭代过程会不会跑出可行域？为什么？如初始点为外点，能否收敛到可行域内？为什么？

4.外点法和混合惩罚函数法都可处理同时具有等式和不等式约束优化问题，两种方向在构造惩罚函数时有何主要区别？

5、按求解方式，约束优化问题的求解方法分为哪2类？这2类方法的适合条件和基本思路各是什么？

6、复合形法的基本思想是什么？改变复合形形状的搜索方法主要有哪4种？条件各是什么？

7、可行方向法中的可行方向必须满足哪2个条件？写出此2个条件的数学表达式

8、可行方向的产生方法有哪2种？简要阐述此2方法的基本思想

习题

1.设约束优化问题的数学模型为

minF(x)= x12+2x22

XDR2

D：g(X)=1－x1－x2≤0 试用内点惩罚函数法求约束极小点。2.设约束优化问题的数学模型为

minF(x)=(x1－1)2+(x2－2)2

XDR2

D：g1(X)= —（x2－x1）≤1

g2(X)= x1+x2≤2

—x1≤0 —x2≤0 试用外点惩罚函数法求约束极小点。3.设约束优化问题的数学模型为

minF(x)= x2－x1 XDR2

D：g1(X)=－lnx1≤0

h1(X)=x1+x2－1=0 试用混合惩罚函数法求该问题的约束极值点。

第五篇：线性代数大作业_学习感想专题

线代——于高树下遇见你

步入大学之前，从学长学姐们的口中听到的高等数学总是和一个上面挂了很多人的高树联系起来，当我怀着忐忑不安的心情走向那棵传说中的高树时，遇到了一位正在树荫下歇息着的老人，走近了，他微笑地向我打招呼，他说他就是“线性代数”。

瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说到：如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。线性代数作为数学领域德高望重的老人，肩负着把我们从过去12年的直观数学带入抽象数学的艰巨使命。线代，对有的人来说，是一位严师，在高树下给曾经浮躁情况的少年当头一棒喝，教育我们：“切不可狂妄自大，数学如此深奥，过去12年中，你们只接触到了他的皮毛，而从现在开始，数学学习将由以往的以实用为导向的、具体的‘第一代数学模型’向‘第二代数学模型’全面进化。” 他其实是慈祥的，极力不让我们觉得他的到来太突兀，他首先由我们熟悉的概念——解方程组来引出行列式，但逆序数概念的强硬安插和后面峰回路转的矩阵依旧让莘莘学子难以招架。正当我叫苦不迭的时候，他微笑地轻拍我的肩，告诉我要坚持，要打好基础，攀援他身后的这棵树时才不至于太困难；当我们怀着各种疑问和不安接受着以往数学家的各种概念、各种规定、各种定理时，他用过来人的经验告诉我们，就是这么回事，你先记着，以后会懂的。

于是我们就记着，等待着船到桥头自然直的那一天，等待着我们茅塞顿开、恍然大悟的那一天。其实在过去的12年里，我们的学习过程不也一直都是被动地接受灌输的过程吗？我们不会去问为什么1加2等于3，为什么三角形中有这些那些相似全等计算的性质，为什么我们要学数列的运算、研究曲线的代数性质。或许曾经闪过一些带着问号的念头，但考试与分数的现实性又将我们拉了回来——管他呢，就跟着教材按部就班地来吧。但是高等教育里面这样那样的定理证明实在太多了，各种莫名其妙充斥着我们的学习历程，终于受不了了，知其然而不知其所以然的滋味太难受了，抬头仰望天空，却只看到头顶绿阴荫一片。无形之中，线代敲开了我们那被考试蒙蔽了许久的求知思考的心门。

随着学习的深入，我终于渐渐体会到了数学的奇妙，由衷地敬畏数学。从矩阵等价到矩阵相似再到矩阵合同，从矩阵的秩到线性方程组的解再到特征值、特征向量的求解„„各种概念之间是相互联系的可以类比的甚至是等价的。虽然线性代数在形式上可以完全脱离几何，但线性代数里的矩阵等运算又可以应用到几何中，比如说混合积用行列式来表示就清晰明了得多。而特征值、特征方程在求解常系数线性方程中的决定性作用又让我不由得觉着这一切有着极其美妙而简约的联系，只是鉴于能力局限我暂时还不能透彻理解。线性代数就像一个工厂，经过一条流水线后复杂的代数表现形式便得以用简洁漂亮的数学语言表示出来。他将大自然的语言翻译规整为神奇的多米诺骨牌。

数学的海洋如此博大精深而又让人无限憧憬，线性代数作为我们攀援数学这棵高树的引路人，洗去我们的年少轻狂却又不至于让我们畏缩不前，更开启了我们智慧的心灵。他让我们跟随着他的脚步体会他涉猎领域之广，扩展我们对数学的理解，扩宽我们的学术胸怀。由此，我第一次体会到了数学内部各个概念命题之间的融会贯通是多么得神奇，数学和物理、计算机、工程等各个领域的关联是如此密切。感谢线代，给我带来了刻骨铭心的心灵启蒙盛宴。