数学建模摘要及问题

第一篇：数学建模摘要及问题

2008年高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则． 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究，讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的工正，公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员（打印并签名）：1．

2．3．

指导教师或指导老师负责人（打印并签名）：

日期：年 月 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编

学科评估模型

摘要

学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，在遵循学科评价的客观性，发展性，服务性等原则的基础上，运用建模题目岁提供的数据，本文建立两种不同的评价模型对学科进行评价。模型一首先运用层次分析法确定影响学科发展的重要因素，建立指标评价体系，然后采用理想解法来建立学科评价模型；模型二与模型一样也是运用层次分析法建立指标体系，然后运用专家分析法进行调查，对调查结果取众数，得到了关于学科评价指标体系各层次指标的判断矩阵，在运用MATLAB求判断矩阵特值，检验判断矩阵的一致性，最终求出各指标的有效权重系数，用各指标的权重系数乘以各指标的得分，以求出学科的综合得分，得分越高，说明排在前面的指标越多，在一定程度上就是说，该学科综合实力和发展水平相对其他学科靠前。最后，为防止有些学科指标得分很高，另一部分得分很低，但综合得分任然靠前，而掩饰了学科发展的不稳定，不均衡的病态现象 因此，再进一步对最低级指标计算法案差，以检测学科发展的稳定性和均衡性，从而指导学科的正确发展。

通过运用以上方法，不仅可以分出各学科的建设水平高低，学科本身也可看出自己发展的优势与劣势，从而，给学科的发展指明了方向。

本题所提供的数据是来自科研与教学并重型高效，因此，我们在此基础上还假设了数据是来自科研型或教学型的高校，又该如何改进模型以适合不同类型的高校学科特点而给出了相应的评价模型。

关键词：学科评价

层次分析法

理想解法

多级指标

1.问题的提出

学科是教学，科研等各项工作的基础和载体，学科建设水平是考察学校办学水平，办学实力，办学特色的重要标志，是高校建设的核心内容。而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科与其他学科相比较的地位及不足之处，可以更好的促进学科发展。因此，学科建设评估体系与机制的建立直接影响到高校学科建设整体水平的发展，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展的热点问题，本文研究的目的是建立一套科学可行的学科评价模型。

2.建模的原则

由于学科的发展水平和综合实力是由多种因素共同决定，比如学科的基础建设，师资队伍，科学研究，办学声誉等等，有的因素可定量分析的，而有的是不能定量分析的，本文的研究思路是在所给数据的基础上针对各个因素的特点，将影响学科综合实力的各种因素定量化，制定出综合的指标评价系统，模型构建的遵循以下五项基本原则：（1）原则影响因素，学科建设状况及其潜在竞争力是多种因素和各个子系统综合作用的结果。反映学科建设状况及其潜在竞争力的指标体系应包含学科基础，人才培养，科学研究等各个方面的指标，这就要求评价指标系要尽可能体现综合性和全面性。

（2）合理性原则。由于学科评价指标体系涉及面比较宽，在具体操作过程中必定有个对指标取舍的问题，为此，要尽可能选取能区分不同学科建设高低能力的指标。（3）可行性原则。可行性评价指标

3.模型的建立与求解

第二篇：数学建模的摘要写法及注意事项

摘要在整个数模论文中占有及其重要的地位，它是评委对你所写论文的第一印象。在全国大学生数学建模竞赛中，组委会对论文摘要提出了专门的要求，再三明文提醒参赛者要注重摘要的写作。在论文的评阅中，摘要是你的论文是否取得好名次的决定性因素，评委们通过你的摘要就决定是否继续阅读你的论文。换句话说，就算你的论文其他方面写得再好，摘要不行，你的论文也不会得到重视或者根本上就没有评委来阅读你的论文。在摘要中一定要突出6个方面：问题，方法，模型，算法，结论，特色。简而言之，摘要应该体现你用什么方法，解决了什么问题，得出了什么结论。避免有主观评论，一定要突出重点，让人一看就知道这篇论文的目的是什么，做了什么工作，用的什么方法，得到了什么结果，有什么创新和特色。只有这样的摘要才是成功的。具体写摘要的时间一般安排在论文基本完成以后，由一个队员具体负责，在写出初稿后由其他队员交替阅读提出修改，直到大家满意为止。好的摘要都包含了两个共同的特点：简单与清晰。篇幅在一页之内。

◆2002年起强调摘要是初评依据

我认为好的摘要自成一篇好的文章，要五官具体，短小精悍。评委读了就可以对文章作出评分，甚至不用读你的论文。好摘要可用议论文“三段论”手法成文，具体可分为如下三点：

⑴虎头：第一段涉及虎的五官“总问题、总方法、主要模型、软件与算法、总的结论”，语言简明扼要，让人读来，如沐春风。即本文针对大标题问题,使用某某方法,建立某某模型,使用某某软件编程,得到什么样的结果,最后还做出了灵敏度分析和误差分析。

⑵猪肚：第二段开始，第三段、第四段、„„，分别针对每个具体问题，各使用什么方法、建立什么模型、使用什么算法、得到什么结论，内容要充实，语言要准确、简洁明了。

⑶豹尾：最后一小段要突出本文的特色，交待灵敏度分析和误差分析的结果好坏，概括评价论文的优点缺点，并在横向和纵向上对模型进行了推广，注意运用思维绽放和思绪飞扬等手法。

问题、方法、模型、软件、结果、特色是摘要中重要的六点，六点缺一点扣2分，齐全就满分，最好A4的纸打满一页（含标题、关键词），摘要一般为200－500字，关键是摘要要简洁，立意要深刻，题要做的好。

范例一：公交车调度方案的优化模型（2001年全国一等奖摘要）

摘 要

本文建立了公交车调度方案的优化模型，使公交公司在满足一定的社会效益和获得最大经济效益的前提下，给出了理想发车时刻表和最少车辆数。并提供了关于采集运营数据的较好建议。

在模型Ⅰ中，对问题1建立了求最大客容量、车次数、发车时间间隔等模型，运用决策方法给出了各时段最大客容量数，再与车辆最大载客量比较，得出载完该时组乘客的最少车次数462次，从便于操作和发车密度考虑，给出了整分发车时刻表和需要的最少车辆数61辆。模型Ⅱ建立模糊分析模型，结合层次分析求得模型Ⅰ带给公司和乘客双方日满意度为（0.941，0.811）根据双方满意度范围和程度，找出同时达到双方最优日满意度(0.8807,0.8807)，且此时结果为474次50辆；从日共需车辆最少考虑，结果为484次45辆。

对问题2，交待了综合效益目标模型及线性规划法求解。对问题3，采集方法是遵照前门进中门出的规律，运用两个自动记录机对上下车乘客数记录和自动报站机(加报时间信息)作录音结合，给出准确的各项数据，返站后结合日期储存到公司总调度室。

关键词：公交调度；模糊优化法；层次分析；满意度

范例二：彩票发行方案的最优决策（2002年全国一等奖摘要）摘 要

目前，彩票在我国得到了迅速健康的发展，并且为我国的福利公益事业的发展做出了很大 贡献。本文针对目前流行的各种不同彩票发行方案，综合分析了各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素对各方案的影响，建立了三个模型。

模型I：利用超几何分布原理，建立了头奖期望模型。依照此模型，得出传统型彩票中方案、乐透型彩票中方案（即）设计较为合理；总体而言，乐透型彩票的方案 头奖期望最大，方案设计最为合理。模型II：综合考虑影响方案合理性的各种因素，建立了高项奖中奖概率、总中奖概率、奖项的设置以及奖金分配的多目标决策模型，求解得到：①方案19的加权目标函数值最大，在所有方案中它是最合理的一个方案；②“传统型”彩票方案1～4中，方案4较为合理；③“传统型”彩票方案（1～4）的加权目标函数值总体上小于“乐透型”方案（5～29），从普遍意义上讲，“乐透型”方案相对优于“传统型”； ④对于（从 中选）型的方案，相同时，为35、30、32、33、34时它们的合理性依次递减。

模型III：考虑到彩票市场供给与需求的关系，并结合彩票管理部门与彩民双方的满意度，建立了多目标最优决策模型。通过彩票市场供给、需求随销售的走势，找到了均衡点，同时利用计算机编程，搜索出了更优的彩票发行方案。

本文还从 的变化对模型的灵敏性作了准确分析，以及从单式投注向复式投注、适当提高总奖金额等方面为设置彩票发行方案作了进一步讨论。

最后据此模型，向彩票管理部门提出了更为积极、实用的彩票发行建议；并从充分认识彩票、入市动机及心态、策略和技巧等三个方面对彩民摸彩、投彩提出了科学的参考意见。

关键词：机率；期望；多目标决策；超几何分布；满意度 范例三：奥运会临时MS超市网点设计的数学模型（2003年全国一等奖摘要）摘 要

本文对调查数据进行了统计分析，在此基础上求出各商区人流量百分比和分布规律，然后进行MS网点的设计，建立了三个模型，并进行了仿真检验。

对问题一，分析得到不同年龄段观众在出行、就餐、消费等方面存在较大差别，因此依照年龄段按照性别的不同，分别对出行、就餐、消费等三个方面总结出观众概率分布的8条规律。

对问题二，利用BP神经网络原理，按照年龄段-性别-商区-进出口将网络分为三级，从就餐习惯和出入场馆两个方面进行链条分析，建立了各场馆最短路径下的人流量模型，编程求解得到20个商区的人流量分布（%）：A1到A10商区分别为11.887、7.621、8.540、10.378、18.963、7.621、8.540、8.036、10.378；B1到B6商区分别为11.686、13.932、18.760、11.686、13.932、30.004； C1到C4商区分别为18.75、20.9843、18.75、41.5157。在人流量分布求出后，总结出对称性定理，即人流量以场馆进出口连线为轴斜对称，并给出了详细证明。

在问题三中，对观众购买欲望的相关因素进行了细致分析，建立了购买欲望与年龄、消费额的数学表达式，得到欲望矩阵，并对购买能力进行了模糊计算。然后，由两个基本限制条件：满足奥运会期间的购物需求和分布基本均衡，建立了数学表达式，建立了以赢利为目标函数的非线性多目标决策模型： 用Lingo编程求解，得到了一种可参考的MS网点设计方案：A1到A10商区建立大MS个数分别为3、1、0、0、1、3、1、0、0、1，小MS个数分别为0，1，2，2、1、1、1、2、2、1；B1到B6商区建立大MS个数分别为1、2、3、1、2、3，小MS个数分别为2、1、1、2、1、1；C1到C4商区建立大MS个数分别为2、4、2、1，小MS个数分别为2、0、2、1。

考虑到奥运赛程的安排，实际人流量、消费额、赢利等将随时间而发生变化，为进一步优化网点设计方案，根据系统动力学原理，基于Venple5.3技术用计算机对人流量与收益模型进行了系统仿真，并通过调式，对模型进行了检验和评估，从而验证了模型的合理性、科学性和实用性。

最后，对北京2008年奥运会从经济收入、旅游和硬件建设等方面提出了几点建议。

关键词：概率；人流量；对称性；欲望矩阵；多目标决策；系统动力学；系统仿真

范例四：长江水质的综合评价与预测控制（2004年全国一等奖摘要）

摘 要

本文根据调查数据的统计分析，对近两年的长江水质做出了全方位的综合评价，找到了高锰酸盐和氨氮污染源所在主要地区，并对未来10年水质污染进行了预测，提出了控制方案，给出了一系列较为科学的防污建议。

首先对近两年来长江流域17个主要监测断面的水质抽样，按照时间-空间的先后交互顺序进行统计，建立概率统计评判模型，结果发现：2003-2005年，长江85％的断面满足Ⅰ～Ⅲ类水质要求，12％的断面属Ⅳ、Ⅴ类水质，劣Ⅴ类水质占3％。两年来，长江水质局部变化较大，整体较为平稳，但优质水正在下降，超标水质呈上升趋势。为了寻找污染源，我们以长江干流7个断面作为基本观察点，根据水流量、水流速和降解系数，确立了污染源反馈指标：

经计算发现：江苏南京、湖南岳阳高锰酸盐污染最为严重，湖南岳阳同时又是氨氮污染源的主要地区，较为次之的是安徽安庆和江苏南京，但同比之下相差较大。

其次，对近10年的主要统计数据，按照GM（1，1）灰色原理，建立灰色预测模型，归一化处理后，通过DPS数学统计软件的计算，得到了水质类别的预测值和趋势函数，分析认为：长江 I、II、Ⅲ类水质总量呈现下降趋势，其中 I、Ⅲ类水质急剧下降，劣Ⅴ类水质上升幅度较大，到2014年超标水质总量百分比将达到45.88%，长江水质全面恶化，水生态环境严重失去平衡。为了有效控制污染恶化趋势，防止超标水质的上升，运用二次多项式逐步回归分析，得到废水排放总量关于各类水质百分比的函数，经编程运算，我们提出了长江污水处理方案。未来10年需要处理的污水量依次是：0，0，2.66，5.14，5.76，8.21，10.86，13.71，16.77，20.07（单位：10亿吨）。

最后，基于对长江水质状况的综合评价和未来污染趋势的预测，根据“保护长江万里行”考察团的实践调查，我们深刻意识到：长江流域水生态环境破坏日益严重,前景不容乐观。为防止长江“癌变”，我们提出了几种水环保理念：做到教育先行，努力唤起民众环境保护意识；坚持依法治水，为保护长江立法；实行科学规划，走可持续发展之路；提倡人文环保，构建和谐的生态系统和人居环境。

关键词：监测断面；概率统计评判；污染源反馈；灰色预测；逐步回归；人文环保；

第三篇：投资问题数学建模

数学模型第一次讨论作业

问题：

某部门现有资金10万元，五年内有以下投资

项目供选择：

项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；

项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；

项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；

项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；

问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？

问题分析：

用表示第i年对第j个项目的投资金额

要使第五年年末本息总额最大，应当在每年将所有可用资金都用于投资，以确保资金的充分利用，由于项目投资均发生在年初，故以下只讨论年初的投资情况：

第一年：

第二年：手上资金（即第一年年末收回资金）为，全部用来对可投资项目投资，则有=

第三年：同理，有=

第四年：=

第五年：=

第五年年末本息和为（即第五年所能收回的所有资金）

建立模型：

=

=

=

=，求解模型：

Lingo解法：

可编写lingo程序如下：

model:

max=1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;!目标函数;

x11+x14=10;!以下约束条件表示每年资金全部用于投资;

1.06*x14=x21+x23+x24;

1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;

1.15*x21+1.06*x34=x41+x44;

1.15*x31+1.06*x44=x54;

x23<=3;!限制B,C项目的最大投资额;

x32<=4;

end

运行结果如下：

Global

optimal

solution

found.Objective

value:

14.37500

Infeasibilities:

0.000000

Total

solver

iterations:

Variable

Value

Reduced

Cost

X54

0.000000

0.000000

X41

4.500000

0.000000

X32

4.000000

0.000000

X23

3.000000

0.000000

X11

7.169811

0.000000

X14

2.830189

0.000000

X21

0.000000

0.000000

X24

0.000000

0.3036000E-01

X31

0.000000

0.000000

X34

4.245283

0.000000

X44

0.000000

0.2640000E-01

Row

Slack

or

Surplus

Dual

Price

14.37500

1.000000

0.000000

1.401850

0.000000

-1.322500

0.000000

-1.219000

0.000000

-1.150000

0.000000

-1.060000

0.000000

0.7750000E-01

0.000000

0.3100000E-01

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:

x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0

即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；第二年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。

Lindo解法：

可编写lindo程序如下：

max

1.06x54+1.15x41+1.25x32+1.4x23

st

x11+x14=10

1.06x14-x21-x23-x24=0

1.15x11+1.06x24-x31-x32-x34=0

1.15x21+1.06x34-x41-x44=0

1.15x31+1.06x44-x54=0

x23<=3

x32<=4

输出结果如下：

LP

OPTIMUM

FOUND

AT

STEP

OBJECTIVE

FUNCTION

VALUE

1)

14.37500

VARIABLE

VALUE

REDUCED

COST

X54

0.000000

0.000000

X41

4.500000

0.000000

X32

4.000000

0.000000

X23

3.000000

0.000000

X11

7.169811

0.000000

X14

2.830189

0.000000

X21

0.000000

0.000000

X24

0.000000

0.030360

X31

0.000000

0.000000

X34

4.245283

0.000000

X44

0.000000

0.026400

ROW

SLACK

OR

SURPLUS

DUAL

PRICES

2)

0.000000

1.401850

3)

0.000000

-1.322500

4)

0.000000

-1.219000

5)

0.000000

-1.150000

6)

0.000000

-1.060000

7)

0.000000

0.077500

8)

0.000000

0.031000

NO.ITERATIONS=

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:

x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0

即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；第二年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。

Matlab解法：

Way1可编写matlab程序如下：

f=[0

0

0

0

0

0

1.4

0

0

1.25

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06];

Aeq=[1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

-1];

beq=[10;0;0;0;0];

A=[0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0];

b=[3;4];

lb=zeros(20,1);

[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,[])

运行结果如下：

Optimization

terminated.x

=

6.5508

0

0

3.4492

0.6561

0

3.0000

0.0000

2.0066

4.0000

0

1.5268

2.3730

0

0

0.0000

0

0

0

2.3076

fval

=

-14.3750

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:x11=6.5508,x14=3.4492,x21=0.6561,x23=3,x31=2.0066,x32=4,x34=1.5268,x41=2.3730,x54=2.3076,其余值为0。

Way2可编写matlab程序如下：

f=[0 0 0 0 0 0-1.4 0 0-1.25 0 0-1.15 0 0 0 0 0 0-1.06];

A=[];

b=[];

Aeq=[1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;...0 0 0 1.06-1 0-1-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;...1.15 0 0 0 0 0 0 1.06-1-1 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0;...0 0 0 0 1.15 0 0 0 0 0 0 1.06-1 0 0-1 0 0 0 0;...0 0 0 0 0 0 0 0 1.15 0 0 0 0 0 0 1.06 0 0 0-1];

beq=[10;0;0;0;0];

lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

ub=[inf inf inf inf inf inf 3 inf inf 4 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf];

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

运行结果如下：

Optimization terminated.x =

6.5113

0

0

3.4887

0.6980

0

3.0000

0.0000

2.0003

4.0000

0

1.4877

2.3797

0

0

0.0000

0

0

0

2.3004

fval =

-14.3750

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:x11=6.5113,x14=3.4887,x21=0.6980,x23=3,x31=2.0003,x32=4,x34=1.4877,x41=2.3797,x54=2.3004,其余值为0。

讨论：利用matlab，lingo及lindo程序分别求解上述模型后，发现取到相同最优值情况下，matlab的最优解不同于lingo和lindo，该问题可能存在多个最优解？

经尝试已排除变量设置数量差异，软件版本差异及计算机系统差异的原因，可能是软件求解原理或近似导致，或者该问题本身最优解不唯一。

第四篇：数学建模生日问题

数学建模实验报告

试验名称：生日问题 问题背景描述：

在100个人的团体中，如果不考虑年龄的差异，研究是否有两个以上的人生日相同。假设每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的，那么随机找n个人（不超过365人）。求这n个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n个人中至少有两个人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？ 实验目的：

用计算机求解概率计算问题；当幂方次数较大时用多项式拟合方法确定求概率的近似计算公式；了解随机现象的计算机模拟技术。实验原理与数学模型：

这是一个古典概率问题，n个人中每一人的生日都可能在365天中任何一天，样本空间中样本点总数为365n，考虑n个人的生日两两不同，第一个人的生日可能在365天中任一天，第二个人的生日不能与第一个人生日相同，第二个人生日可能在364天中任何一天，类推可得，n个人生日两两不同的这一事件的总共有365*364*……*(365-n+1).故这n个人的生日各不相同的概率（可能性）以下面公式计算： P365*364*......*(365n1)365n（1）

因而，n个人中至少有两人生日相同这一随机事件发生的概率为： P(n)=１－365*364*......*(365n1)365n（2）

但是在利用公式进行计算时,所用的乘法次数和除法次数较多,可以考虑用多项式做近似计算。这需要解决多项式拟合问题。主要内容（要点）：

1、求出n个人中至少有两个人生日相同的概率P（n）的近似公式；

2、根据P（n）的近似公式，用计算机分别计算出当团体人数取n=1，2，……，100时的概率值：P（1），P（2），……，P（100）。在Matlab环境下用指令plot(p)绘制图形，描述概率值随团体人数变化的规律；

3、特殊概率值的计算。在有40个学生的班上，至少有2个同学生日相同的概率是多少？60个人的团体中，至少有两个人生日在同一天的概率又是多少？在80个人的团体中，情况又如何？

4、用5次多项式拟合方法寻找一个近似计算概率的公式；

5、考虑团体总人数对概率值的影响； 计算机仿真（数值模拟）。

实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：

1、利用（2），用计算机分别计算出当团体人数取n=1,2,……,100时的概率值：P（1），P（2），……，P（100），并绘制图形。Matlab程序具体如下： for k=1:100 p(k)=1-prod(365-k+1:365)/365^k;end plot(p)并以shengriyi.m为文件名保存，然后在Matlab工作环境下输入如下指令： >> shengriyi 结果所得图形如下：

2、特殊概率值的计算。由于前面已经计算了概率值P(k)(k=1,2,……,100),所以只需键入P（40），P（60），P（80）即可。如输入如下指令： >> p(40)ans = 0.8912 一个40个同学的学生班上，至少有两个同学生日相同的概率是P（40）=0.8912； 同理可求出60个人的团体中，至少有两个人生日相同的概率是P（60）= 0.9941； 在80个人的团体中，至少有两人生日相同的概率是P（80）=0.0.9999。

3、参考上图，用五次多项式拟合方法寻找近似计算概率的公式。

在Matlab环境下键入下列指令（该指令为求五次多项式拟合的多项式系数）： >> n=1:100;

>> c5=polyfit(n,p,5)c5 =-0.0000 0.0000-0.0001 0.0023-0.0046-0.0020 该多项式即为：

c1xc2xc3xc4xc5xc60x0x0.0001x0.0023x0.0046x0.002054325432在Matlab环境下继续键入下列指令：

>> p5=polyval(c5,n);////////用多项式近似计算100个概率值

>> plot(n,p,n,p5,'.')////////画出拟合多项式的图象与概率曲线作比较

结果所得的图象如下所示：

用五次多项式作近似计算P（30）、P（50）和P（70），指令和结果如下： >> p5(40)ans = 0.8895 >> p5(60)ans = 0.9985 >> p5(80)ans = 0.9943

4、在某团体中，要保证“至少有两人生日相同”的概率大于99%，可以利用第一个步骤以算出的100个概率值，键入如下指令：>> find(p>0.99)，可得结果为： ans = Columns 1 through 27 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 Columns 28 through 44 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 从结果可看出，该团体总人数若超过57人，则这个团体中至少有两人生日相同的概率将大于99%。

5、算机仿真（数值模拟）。随机产生30个正整数，介于1到365之间（用这30个数代表一个学生班的30个同学的生日），然后统计数据，观察是否有两人以上的人生日相同。当30人中有两人生日相同时，计算机输出为“1”，否则输出为“0”。如此重复观察100次，可得频率f100。下面是做计算机模拟的Matlab源程序： n=0;for m=1:100 y=0;x=1+fix(365*rand(1,30));for i=1:29 for j=i+1:30 if(x(i)==x(j)),y=1;break,end end end n=n+y;end f=n/m shengrier.m为文件名保存在Matlab工作空间中，并在Matlab环境下键入j，回车，可输出结果：f100=0.6500 实验结果报告与实验总结： 通过本试验的学习，对一般较简单的Matlab语句有了更深得了解,对一些循环语句也有了一定的认识,但对于语句与语句之间在循环判断条件下如何进行连接,以及如何写出正确的语句还存在着一定的困难。然而从这个实验中也有了不少的收获，在Matlab环境下计算概率值，但当幂方很大的时候，就较难用乘幂直接求出，其已超出计算机的最大数，最终只能作近似计算，而用拟合多项式作近似误差很小，是一种很好的方法；用计算机模拟100次，可以计算出30人中至少有两人生日相同的频率值。注意到频率的波动性，再次运行程序所得频率值的结果可能会有所差异，当模拟结果的频率值接近与前面的概率值时，给所求的概率作了直观的说明。

第五篇：数学建模A交通事故车流量问题

建模A第三问思路：

此问题可以用排队论知识来解决，模型说明：发生交通事故时，事故车辆占用了两个车道，只剩下一个车道能通行，而此时有三个队列的车辆在排队，此时可以看成是单服务台、多队列的排队问题，由于此问题较复杂，可以假设为单队列，先到先出的原则。假设λ为单位时间内到达的车辆数，也就是本题的上游车流量，μ为一标准量的车通过事故口所用的时间，1/μ就是通行能力，根据经典的排队论模型可以得到排队长L=g（λ，μ），（单位：车辆数，乘以车头间距离就是排队长度。以下同）

改进：λ的处理：由于本题中单位时间内到达的车辆数不稳定，设t为事故发生到解除所用的时间，把[0，t]这个时间段分割成k份，每一小段的时间为t/k，每一小段时间对应一个λk，利用插值法，得出λk和λk-1之间的关系,这个关系中包含了参数k，t；

μ的处理：由于是三个车道的车 通过并道由同一个出口驶出，左车道和右车道以及中间车道通过事故口所用的时间是不同的，这里可以用加权平均来求，至于权数可以通过视频数据来调整。

这样就得到了Lk=Lk-1+g(λk,t，μ）,通过递推可以得出Lk＝L0+ g(λ1…λk,t，μ）而L0是事故刚发生时排队的长度，可以认为等于0，这样就建立了排队长度L、时间t、上游车流量λk、通行能力1/μ，之间的关系

对于第四问就是当L折合成长度后＝140m时，求t 参考文献：排队论等，一点不是特别成熟的想法，希望能给你提供点帮助