从《植树问题》谈数学建模

第一篇：从《植树问题》谈数学建模

从《植树问题》谈数学建模 哈尔滨市经纬小学校 刘洋

教学片段：

师：同学们，你们知道最早的计数方法是什么吗？对了，结绳计数。这节课，老师也带来了一根绳子。这是一根长0.4米的绳子，平均0.1米分一段，可以分几段？ 生：0.4÷0.1=4（段）师：为什么用除法？ 生：因为是平均分。

师：在这根长0.4米的绳子上，每隔0.1米打一个结，共可以打几个结？ 生：0.4÷0.1=4（个）

师：究竟可以打几个结，请利用学具在小组中实际验证一下，看看有哪些情况？ 生：小组操作

师：哪个小组可以汇报你们的验证结果？

生1：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打5个结。生2：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打4个结。生3：我们小组通过操作发现，从第一个结到最后一个结，一共可以打3个结。师：仔细观察这三组结论，有什么发现？

生：第一组绳子的两端打了结。第二组绳子的一端打结，另一端没有打结。第三组绳子的两端都没有打结。

师：这么多种情况，我们逐一研究。先从第一组绳子两端都打结的情况开始，好不好？ 师：我们一共解决了两个问题，这两个问题一样吗？ 生：不一样

师：几段，几个有什么不一样呢？

生：段是指两个点之间的部分，个在这里表示打了几个结，结是打在段与段之间的点上的。师：段和点的差别又是什么？ 生：1段有2个点。师：2段有几个点？ 生：3个点。

师：点和段有什么联系？ 生：点比段多1。师：我们一起来数一数。

在数学中，我们可以用一条适当长度的线段来表示这条长度为0.4米的绳子，把这条线段平均分成4份，线段上的每一个点就可以表示绳子上的结。我们再来数一数，看看在这条线段上点和段之间是否还有这样的关系。

师：请你也选择一条适当长度的线段来表示这条绳子，用线段上平均分得的点来表示绳子上的结。生：展示作品

师：说一说你是怎样画的？为什么这样画？一共可以打几个结？

生：我用这样长的一条线段表示这条绳子。在这条绳子上每隔0.1米打一个结，就是把这条绳子平均分成了4分，所以我把这条线段也平均分成4份，这样线段上一共有5个点，那么这条绳子就可以像这样打5个结。

师：不用画线段图，如果这条绳子长1米、2米、3米……又该打几个结呢？请同学们拿出学习卡，填写表格。

师：认真观察表格，你发现在这样的一条线段上画点，段数和点数之间有什么关系？将自己的发现在小组内说一说。生：汇报发现。

师：为什么两端都打结，点数比段数多1？

借助课件帮助学生进一步直观理解。

师：在这种两端都打结的情况中，我们发现点与段之间有这样的关系，那么其他两个小组汇报的情况中，点和段又有怎样的关系呢？ 生2：我们小组发现，点和段数量相同。师：能用线段图表示你们的结论吗？试一试 生：展示作品

师：我们一起来数一数。

生3：我们小组发现，点比段少1。我们也可以用线段图这样表示。（展示作品）师：我们一起来数一数。

师：你们都是善于观察发现并乐于研究的孩子。

师：在数学中，我们把类似于这样的问题称为植树问题。这也是我们本节课要重点来研究的问题。像这样直直的线段我们可以把它看做一条直直的小路，通常我们可以把树植在像这样平均分的点上。在数学中，通常把这样的段叫做间隔，每一段的长度就是间隔长，那么段的数量就是间隔数，把这样的点称为棵，那么点的数量就是棵数。

像第一种两端都植树的情况，棵数与间隔数之间有什么关系？ 生1：棵数=间隔数+1 生2：老师我知道了。像第二种一端植树另一端不植树的情况，棵数与间隔数之间的关系是，棵数=间隔数。

生3：像第三种两端都不植树的情况，棵数与间隔数之间的关系是，棵数=间隔数-1。教学反思：

课标中对建模有这样的描述：建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立等式等表示数学问题中数量变化和变量规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用知识。对几何直观又有这样的描述：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观的理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。本节课从实物模型到数学图形（线段图），教者用这样的方式借助几何直观帮助学生分析问题并学会一种分析问题的方法，不失为这节课的亮点之处。

一、面向全体，暴露已有认知经验

“师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。”学生的已有经验中包括已有认知经验、已有知识经验，也包括已有活动经验。本课以“同学们，你们知道最早的计数方法是什么吗？”这样的问题导入新课是面向全体学生的，照顾到全体学生的已有认知经验——结绳计数，又照顾到学生刚刚掌握的已有知识经验——小数除法。由一个问题沟通已有经验和探究问题，照顾到全体学生的发展水平。

二、构建模型，充分利用数学思想

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。广义的讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。狭义的讲，只有反映特定问题或特定的具体事物系统和数学关系结构才叫数学模型。选择从实物模型过度到数学模型（线段图）就是一种广义上的建模。儿童的思维特点就是形象思维优于抽象思维，因而对于比较抽象的数学知识，借助几何直观，通过建模，帮助学生进行思维转换的做法是比较科学的。让学生借助绳子这一实物模型探究数学问题，可以帮助学生很好的将外部世界和数学沟通起来。学生在观察和操作的过程中，在相同的解决问题的情境下反复经历由实物模型到数学模型的抽象过程，培养学生的模型思想，锻炼学生的抽象思维。选择贴近学生已有认知经验的，形象性更强的实物模型符合儿童的形象思维特点。

学生通过对比观察所展示的成果，从中学生发现：在同一问题情境下却出现三种不同结果，从而引导学生观察思考，发现三种不同结果之间的内在联系与本质区别。学生在对比观察的过程中，发现三种结果平均分得的份数相同，而所画的点数却不同。进而归纳出三者不同之处的关键在于绳子的端点处是否画点以及画几个几点。学生根据不同猜测点数与平均分得份数之间有怎样的数量关系。

仅仅通过猜测得出结论并不科学，还需要继续验证。由于本课要对三种情况都进行验证，课程容量非常大，因此，课上重点验证第一种最基本的情况，即“两端都画点”。其他两种情况学生可以自主选择运用画图分析、合情推理等方法进行验证。

三、落实四基，积累基本活动经验

课标中指出数学学习的四基：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。通过画图分析和数据积累帮助学生积累基本活动经验的同时，使学生掌握了探究问题的方法，即画图分析和数据积累。

本节课以这样的问题：“仅通过一组数据，就能验证结论是正确的吗？”引导学生经历举例验证积累数据的过程，进一步发展学生的抽象思维，经历由一般到特殊的思维发展过程。考虑到探究容量大及学生的接受能力，将填表举例的过程中难度降低，只研究加减情况，使学生经历绳长变化，间隔长不变，仿照上述探究活动，用画线段图的方法在画一画，分一分，填一填，在一系列探究活动中再次经历验证规律的过程。

本节课借助几何直观，激发学生已有认知经验，通过建模，逐步深入的引导学生通过合理猜测、画图分析、寻求规律、解决问题一系列掌握一种数学活动经验。学生在本节课不仅仅学会解决一类问题的方法，感受几种数学思想，而是学会了一种探究问题的方法，这才是学生最应该积累的数学学习经验，在“做数学”中将生活“数学化”。

第二篇：投资问题数学建模

数学模型第一次讨论作业

问题：

某部门现有资金10万元，五年内有以下投资

项目供选择：

项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；

项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；

项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；

项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；

问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？

问题分析：

用表示第i年对第j个项目的投资金额

要使第五年年末本息总额最大，应当在每年将所有可用资金都用于投资，以确保资金的充分利用，由于项目投资均发生在年初，故以下只讨论年初的投资情况：

第一年：

第二年：手上资金（即第一年年末收回资金）为，全部用来对可投资项目投资，则有=

第三年：同理，有=

第四年：=

第五年：=

第五年年末本息和为（即第五年所能收回的所有资金）

建立模型：

=

=

=

=，求解模型：

Lingo解法：

可编写lingo程序如下：

model:

max=1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;!目标函数;

x11+x14=10;!以下约束条件表示每年资金全部用于投资;

1.06*x14=x21+x23+x24;

1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;

1.15*x21+1.06*x34=x41+x44;

1.15*x31+1.06*x44=x54;

x23<=3;!限制B,C项目的最大投资额;

x32<=4;

end

运行结果如下：

Global

optimal

solution

found.Objective

value:

14.37500

Infeasibilities:

0.000000

Total

solver

iterations:

Variable

Value

Reduced

Cost

X54

0.000000

0.000000

X41

4.500000

0.000000

X32

4.000000

0.000000

X23

3.000000

0.000000

X11

7.169811

0.000000

X14

2.830189

0.000000

X21

0.000000

0.000000

X24

0.000000

0.3036000E-01

X31

0.000000

0.000000

X34

4.245283

0.000000

X44

0.000000

0.2640000E-01

Row

Slack

or

Surplus

Dual

Price

14.37500

1.000000

0.000000

1.401850

0.000000

-1.322500

0.000000

-1.219000

0.000000

-1.150000

0.000000

-1.060000

0.000000

0.7750000E-01

0.000000

0.3100000E-01

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:

x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0

即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；第二年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。

Lindo解法：

可编写lindo程序如下：

max

1.06x54+1.15x41+1.25x32+1.4x23

st

x11+x14=10

1.06x14-x21-x23-x24=0

1.15x11+1.06x24-x31-x32-x34=0

1.15x21+1.06x34-x41-x44=0

1.15x31+1.06x44-x54=0

x23<=3

x32<=4

输出结果如下：

LP

OPTIMUM

FOUND

AT

STEP

OBJECTIVE

FUNCTION

VALUE

1)

14.37500

VARIABLE

VALUE

REDUCED

COST

X54

0.000000

0.000000

X41

4.500000

0.000000

X32

4.000000

0.000000

X23

3.000000

0.000000

X11

7.169811

0.000000

X14

2.830189

0.000000

X21

0.000000

0.000000

X24

0.000000

0.030360

X31

0.000000

0.000000

X34

4.245283

0.000000

X44

0.000000

0.026400

ROW

SLACK

OR

SURPLUS

DUAL

PRICES

2)

0.000000

1.401850

3)

0.000000

-1.322500

4)

0.000000

-1.219000

5)

0.000000

-1.150000

6)

0.000000

-1.060000

7)

0.000000

0.077500

8)

0.000000

0.031000

NO.ITERATIONS=

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:

x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0

即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；第二年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。

Matlab解法：

Way1可编写matlab程序如下：

f=[0

0

0

0

0

0

1.4

0

0

1.25

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06];

Aeq=[1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

-1];

beq=[10;0;0;0;0];

A=[0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0];

b=[3;4];

lb=zeros(20,1);

[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,[])

运行结果如下：

Optimization

terminated.x

=

6.5508

0

0

3.4492

0.6561

0

3.0000

0.0000

2.0066

4.0000

0

1.5268

2.3730

0

0

0.0000

0

0

0

2.3076

fval

=

-14.3750

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:x11=6.5508,x14=3.4492,x21=0.6561,x23=3,x31=2.0066,x32=4,x34=1.5268,x41=2.3730,x54=2.3076,其余值为0。

Way2可编写matlab程序如下：

f=[0 0 0 0 0 0-1.4 0 0-1.25 0 0-1.15 0 0 0 0 0 0-1.06];

A=[];

b=[];

Aeq=[1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;...0 0 0 1.06-1 0-1-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;...1.15 0 0 0 0 0 0 1.06-1-1 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0;...0 0 0 0 1.15 0 0 0 0 0 0 1.06-1 0 0-1 0 0 0 0;...0 0 0 0 0 0 0 0 1.15 0 0 0 0 0 0 1.06 0 0 0-1];

beq=[10;0;0;0;0];

lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

ub=[inf inf inf inf inf inf 3 inf inf 4 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf];

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

运行结果如下：

Optimization terminated.x =

6.5113

0

0

3.4887

0.6980

0

3.0000

0.0000

2.0003

4.0000

0

1.4877

2.3797

0

0

0.0000

0

0

0

2.3004

fval =

-14.3750

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:x11=6.5113,x14=3.4887,x21=0.6980,x23=3,x31=2.0003,x32=4,x34=1.4877,x41=2.3797,x54=2.3004,其余值为0。

讨论：利用matlab，lingo及lindo程序分别求解上述模型后，发现取到相同最优值情况下，matlab的最优解不同于lingo和lindo，该问题可能存在多个最优解？

经尝试已排除变量设置数量差异，软件版本差异及计算机系统差异的原因，可能是软件求解原理或近似导致，或者该问题本身最优解不唯一。

第三篇：数学作文《植树问题》

数学作文教学案例及评析

我们去植树

——作文和数学整合编写案例

【学习内容】

人教版第八册数学广角《植树问题》 【学习目标】 学科目标：利用生活中的问题，通过动手操作的实践活动让学生发现分的段数与植树棵数之间的关系，并能利用规律来解决简单植树的问题。培养学生从实际问题中发现规律，应用规律解决问题的能力。

作文目标：能认真记录自己在植树问题上的发现、思考、疑惑，或真实再现课堂情景，理清学习的思路，提高学习效率。

【课堂情景】

一、问题情景：南教学楼到操场的有一段 20米的小路，学校打算在小路一侧种树。请按照每隔5米种一棵的要求设计一份方案植树方案，并说明设计理由。

二、发现规律：讨论交流，大家怎么说的，课堂气氛如何，最后达成什么结论。

三、应用规律 1．基础练习：

如果在我校操场的一侧种树，如果每隔8米种一棵，需要多少棵？ 2．联系生活

其实我们的生活中像植树问题的现象有很多，你能举例吗？ 3．分层练习

A组：一根10米长的木头，把它平均分成5段，每锯下一段需要8分钟，锯完一共需要多少分钟？

B组：同学们布置教室，挂了6只红灯笼，再在每两只红灯笼中间挂了2只黄灯笼，一共挂了几只黄灯笼？

（1）选择一题，独立解题。

（2）找好朋友或者选择同样题目的小伙伴交流。（3）集体交流。【习作指导】

这是一节有趣的数学课，也是一节很实用的数学课。我们为什么要学数学？今天的课给了我们一个很好的答案，学数学不是玩数字游戏，一会儿加一会儿减，把数字倒来倒去，其实每一个数字都是有意义的，我们学数学是为了解决生活中的问题的。这节课解决的是植树问题，把抽象的数学还原为真实的生活，为我们的作文提供了丰富的素材。那么我们怎么来写这次的数学作文呢？

首先，我们要确定写作的内容。每一个同学在这节数学课上关注点不同，收获也不一样，感兴趣的内容也不可能相同，有的关注老师的讲解，老师怎么引出问题，怎么教同学解决问题，课堂上老师的语言、动作及对同学的指导帮助；有的心思不在课堂，只想着自己到公园，看见一棵棵翠绿的树，用自己幼小的手抚摸它们，并亲自种了一棵树；还有的一直记住和同桌讨论的情景，围绕植树棵数加一减一，争论得面红耳赤；不少的同学对设计植树方案情有独钟，植什么树，要植多少，怎么植，怎么开展植树活动，当家作主，热情高涨；还有的由植树问

题想到楼梯问题、排队问题等，兴趣盎然；或者我们还可以就一个植树问题的具体解答过程，一一再现我们的思考，理清我们的解题思路，这也是不错的作文内容。

第二，理清写作思路，先写什么，后写什么，重点写什么，心中要清楚。比如我们写植树的解题过程。先交代一下今天的学习内容：植树问题，老师怎么讲解的，这类问题的解题要点是什么。老师出了一个什么题？我们先读了一遍题，知道了题目的已知条件，要解决的问题，这时，你是怎么思考的？开始动手做了吗？遇到什么困难，怎么解决的，这是重点。最后问题解决了，和同学对了答案，对了，有什么感受，错了，错在哪？为什么错？自己又是怎么处理的。

最后就可以动笔写文章了，注意一动笔就一口气写完，不要写一句看一句，改一句，这样影响我们的思路，文章磕磕巴巴，大家就觉得写文章很难受。你一口气先写完了，一看写了不少，很有成就感，这时，我们好好读读修改，相信你一定能写出好的文章。【范例评析】

数学是研究数量关系和空间形式的科学，它与学生的生活密切相关，《全日制义务教育数学课程标准》（修改稿）指出：“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。”“我们去植树”就是生活中学数学的最好案例。学生植树活动中，动手实践、自主探索、合作交流，经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。这些观察、体验、实践、交流、活动完全可以成为作文素材，写成数学作文。

数学作文就是以学生的数学活动为内容，记录学生在数学学习过程中的思考、疑惑、感受、理解、评价、意见，记载数学课堂发生的趣闻轶事以及和数学学习相关的背景、故事，数学作文不仅拓宽学生数学学习的视野，理清学习思路，提高学习效率，而且帮助教师了解学生学习数学情况，提高教学效率，所以，国内外关于数学作文的研究有很多，尤其在美国，1991年，美国数学全国委员会在制定《教师规范》中倡议利用“数学日记”作为加强数学教学的手段，并在全美范围推广，（《美国数学教育中的“数学日记”》孙旭花

《广州师院学报（社会科学版）1997年第2期》）可见数学作文意义重大，数学和作文两者关系密切，相互促进，共同服务与学生的素质的全面和谐发展。

我们去植物，既是我们作文经常使用的标题，每年的植树节，我们的同学都会参加类似的活动，植树是日常生活的一部分，植树中还有很多的数学问题，通过这个数学作文的案例，我们可以好好理一理数学和作文的关系，并在今后的学习中能自觉地写好数学作文。

1、数学学习为作文提供了丰富的素材

传统的作文往往局限记人、叙事、写景、状物，写同桌，写老师，写我敬佩的人，一件有意义的事，等等，和数学的学习丝毫没有联系。写数学作文，把作文和数学的学习联系起来，大大拓宽了作文内容。在数学作文文中，学生可以描述数学现象、发表对数学问题的看法、表明对数学内涵的认识和探索，可以写一堂课的学习历程，一个知识点的探究过程，课堂活动的情景，学习中的趣闻，解题的过程，合作交流的经历，知识点背后的故事，甚至可以用童话的形式表现知识的生发、运用的故事等，可写的内容很多，涉及各种作文形式，各种表达方式。学生学了百分数，可以写老师教我百分数、生活中的百分数、百分数游戏、百分数的故事、百分号的来历，我设计的百分号，百分号奇遇记，百分数给我的烦恼，我教同学百分数等，可写的题目很多，可写的内容很多，可以写人，可以记事，可以写成知识性的说明文，也可以写成童话式的科普文章。“我们去植树”，围绕植物问题，可写的内容也是非常多。老师在习作指导时，首先指导学生选材，可以是课堂学习情景，老师的讲解，同学的学习；可以是植树的方案、植物的活动；还可以是植物问题的生活运用；植树问题的解决过程等。

2．作文让学生把数学和生活对接 作文和生活紧密相连，没有生活的体验也就没有作文，数学也是来源与生活，是对生活现象的抽象，数学的学习最后还是要运用到生活中。“植树”问题来自生活，一条路植多少棵树，种多少花，树多少路灯，插多少面红旗等等，把一条路分成一段一段，段数和树的棵数有什么关系，问题来自生活，要从生活中找出规律，抽象为数学的解答，然后要利用这些规律解决生活中的问题，包括楼梯问题，排队问题，钟面分割问题等，每一个问题的解决都要经历一个过程，在这个过程中，有观察、体验、分析、思考、求证，最后获得答案，这些经历对学习本身非常有价值，这些经历的写成文字，更促进学生进一步理解数学和生活的关系，学会在生活学习数学，在生活中运用数学解决问题。

3．作文让数学思维更条理

作文的过程就是思维清晰化、条理化的过程，数学作文是学生通过对自己数学学习过程的回忆、梳理、反思，对已学数学知识进行理解、领悟、内化，进而再发现、再加工、在创造。当我们的数学学习只是一个模糊的印象，你是不可能写出数学作文来的，当我们的学习思路杂乱，你的数学作文也只能条理混乱。反过来，我们要把数学作文写通畅，写得条理清楚，我们必须把学习的内容理清楚，我们学了什么内容，怎么学的，这些知识在生活中有什么作用，这些知识的具体内涵是什么，我们该选择什么内容来写，怎么组织材料，先写什么，再写什么，要重点写什么。学生写植树的解题过程，先交代学习内容：植树问题，老师怎么教的，这类问题的解题要点是什么。老师出了什么题？我们读题，理解题意是什么？你怎么思考的，怎么动手解决的，遇到什么困难，又是如何想办法解决，这是重点。最后对了吗，错，错在哪里，怎么想的，又是如何处理的，一一写出来，完整经历巩固知识、转化知识、运用知识的全过程，促进思维的条理性、敏捷性和深刻性。

4.作文让数学学习更有效平时的数学学习，不注重学生在学习活动中的内在方式和情感体验，学生对为什么学、怎样学、学了有什么用等问题无意识涉及，数学作文则要求学生从元认知的角度认识自己的数学智能活动过程。显然，数学作文能够促使人反省，而反省能够开启新的思维或经验。“当我们觉察到自己，并且在某种程度上回过头审视自己时，我们将会获得新的生活力量。我们会对自己的行动承担责任。我们将不再感觉自己是别人决策的牺牲品。我们将不会再固守一些习惯性的、机械性的行为模式。”（——《学习之路：教给学生和家长多元智能》[美] 戴维·拉齐尔著

张晓峰主译

教育科学出版社

2004年7月）数学的学习成为了一种自在自觉的行为，既有了学习的原动力，又有对学习的深层领悟和把握。学生学习观察物体（苏教版小学数学第七册），了解到从不同角度看到的物体的面不相同，进而联系日常生活，学会从不同的角度看事物，更会学习者，能再引申出去，从生活哲理的角度明确，人们对事物的看法，因为角度不同，观点也是各种各样，所以苏轼写道：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。学生以此作文，其意义已超出数学学习本身，其学习效率也远远超过教学目标。同样，当学生写作“我们去

植树”，进一步体验学习数学的快乐，运用数学解决日常生活问题，获得更深一层的成功体验，学生会更喜欢数学，学习数学更有效率。

第四篇：数学建模摘要及问题

2008年高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则． 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究，讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的工正，公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员（打印并签名）：1．

2．3．

指导教师或指导老师负责人（打印并签名）：

日期：年 月 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编

学科评估模型

摘要

学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，在遵循学科评价的客观性，发展性，服务性等原则的基础上，运用建模题目岁提供的数据，本文建立两种不同的评价模型对学科进行评价。模型一首先运用层次分析法确定影响学科发展的重要因素，建立指标评价体系，然后采用理想解法来建立学科评价模型；模型二与模型一样也是运用层次分析法建立指标体系，然后运用专家分析法进行调查，对调查结果取众数，得到了关于学科评价指标体系各层次指标的判断矩阵，在运用MATLAB求判断矩阵特值，检验判断矩阵的一致性，最终求出各指标的有效权重系数，用各指标的权重系数乘以各指标的得分，以求出学科的综合得分，得分越高，说明排在前面的指标越多，在一定程度上就是说，该学科综合实力和发展水平相对其他学科靠前。最后，为防止有些学科指标得分很高，另一部分得分很低，但综合得分任然靠前，而掩饰了学科发展的不稳定，不均衡的病态现象 因此，再进一步对最低级指标计算法案差，以检测学科发展的稳定性和均衡性，从而指导学科的正确发展。

通过运用以上方法，不仅可以分出各学科的建设水平高低，学科本身也可看出自己发展的优势与劣势，从而，给学科的发展指明了方向。

本题所提供的数据是来自科研与教学并重型高效，因此，我们在此基础上还假设了数据是来自科研型或教学型的高校，又该如何改进模型以适合不同类型的高校学科特点而给出了相应的评价模型。

关键词：学科评价

层次分析法

理想解法

多级指标

1.问题的提出

学科是教学，科研等各项工作的基础和载体，学科建设水平是考察学校办学水平，办学实力，办学特色的重要标志，是高校建设的核心内容。而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科与其他学科相比较的地位及不足之处，可以更好的促进学科发展。因此，学科建设评估体系与机制的建立直接影响到高校学科建设整体水平的发展，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展的热点问题，本文研究的目的是建立一套科学可行的学科评价模型。

2.建模的原则

由于学科的发展水平和综合实力是由多种因素共同决定，比如学科的基础建设，师资队伍，科学研究，办学声誉等等，有的因素可定量分析的，而有的是不能定量分析的，本文的研究思路是在所给数据的基础上针对各个因素的特点，将影响学科综合实力的各种因素定量化，制定出综合的指标评价系统，模型构建的遵循以下五项基本原则：（1）原则影响因素，学科建设状况及其潜在竞争力是多种因素和各个子系统综合作用的结果。反映学科建设状况及其潜在竞争力的指标体系应包含学科基础，人才培养，科学研究等各个方面的指标，这就要求评价指标系要尽可能体现综合性和全面性。

（2）合理性原则。由于学科评价指标体系涉及面比较宽，在具体操作过程中必定有个对指标取舍的问题，为此，要尽可能选取能区分不同学科建设高低能力的指标。（3）可行性原则。可行性评价指标

3.模型的建立与求解

第五篇：数学广角《植树问题》说课稿

人教版五年级上册数学广角《植树问题》集体备课稿

沙镇中心校 主备人：德胜

一、单元教材分析

“植树问题”是人教版五年级上册“数学广角”的内容，本单元内容由原实验教材四年级下册移来，例3调整为封闭曲线上的植树问题。本单元共有三个例题，例1是直线植树中两端都栽的情况，例2是直线植树中两端都不栽的情况，例3是封闭曲线上植树问题。考虑到教学内容的需要，教学本部分知识时重点就是借助图画方法和“一一对应”“化繁为简”等方法解决问题。

二、本单元教学目标

1．引导学生通过观察、猜测、试验、推理等活动，初步体会植树问题的模型思想。2．通过画线段图初步培养学生探索解决问题有效方法的能力。

3．让学生尝试用植树问题的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生解决实际问题的能力。

三、本单元教学重点、难点

教学重点：建立“树的棵树与间隔数”的模型思想。

教学难点：学会运用图画方法和“一一对应” “化繁为简”的思想解方法决问题。

四、教学措施

1．例1：一条线段上植树（两端都栽）

植树问题教学的重点是解决点和间隔的关系，建立相应的模型。但是当数据比较大时，不利于学生发现规律，所以教材编排上体现了化繁为简和建模的思想。

例1是关于一条线段上的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生在解决这个问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历解决问题的过程。（1）渗透化繁为简的思想，经历解决问题的过程

通过学生的话“100 m太长了，可以先用简单的数试试”渗透化繁为简的解决问题的方法，接下来的编排渗透了“猜测—探索—归纳—应用”的解决问题的策略。（2）重点培养学生借助线段图建立数学模型的能力

教材呈现学生用画示意图或线段图的方法帮助思考，通过观察两端都栽树的示意图或线段图，把分割点和栽树的棵树一一对应起来，发现并初步总结栽树的棵数与间隔数之间的关系。再让学生在30 m、35 m上加以验证，从而建立起一条线段两端都栽这类植树问题的数学模型。从而找到解决问题的方法。

2．例2：一条线段上植树（两端都不栽）例2是关于一条线段的植树问题的另一种情况，即两端都不栽树的情况。教材继续通过画线段图的方法帮助学生分析、理解，找出一般规律来解决问题，突出学生的迁移能力培养。

有了例1的基础，可以放手让学生独立思考。学生自然会想到借助线段图来分析，教材呈现学生画线段图进行分析，发现当两端都不栽树时，植树的棵数比间隔数少1，然后利用发现的规律解决例题的问题。

一端栽另一端不栽的情况放在“做一做”第2题让学生自己探究。通过画线段图，可以与例

1、例2的对比来获得对这一基本模型的理解，同时运用发现的规律解决要求的问题。

3．例3：封闭曲线上植树（1）突出画图的策略

例3是在一条首尾封闭的曲线上植树的问题。编排思路和例1相同，继续渗透化繁为简的思想和画图的策略。借助图示探索规律，建立模型。

（2）注重模型的对比与沟通

通过小精灵的问题“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”启发学生联系已有的知识找出这种植树问题的规律，即栽树的棵树正好等于间隔数，也就相当于一条线段上植树的一端栽另一端不栽的情况，渗透转化的数学思想。

五、教学建议

1．经历建模的过程，感悟思想方法

“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。具体到本单元，教学时，教师应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。比如例1的教学，可以让学生经历猜想、实验、归纳、推理的过程，渗透简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等数学思想，激发学生学习数学的兴趣。

2．突出画图（线段图）的策略

几何直观是课标的核心概念之一，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。本单元通过画示意图或线段图来解决植树问题，可以更直观理解、更好地发现规律，建立模型，找出解决问题的方法。

另外，学生在学习中容易将两端都栽、一端栽另一端不栽、两端都不栽三种情况弄混。事实上，学生不用记每种模型的结论，遇到问题，只要画个线段图，问题就迎刃而解了，从而体会到画图策略的价值。