第一篇：数学建模生日问题
数学建模实验报告
试验名称：生日问题 问题背景描述：
在100个人的团体中，如果不考虑年龄的差异，研究是否有两个以上的人生日相同。假设每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的，那么随机找n个人（不超过365人）。求这n个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n个人中至少有两个人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？ 实验目的：
用计算机求解概率计算问题；当幂方次数较大时用多项式拟合方法确定求概率的近似计算公式；了解随机现象的计算机模拟技术。实验原理与数学模型：
这是一个古典概率问题，n个人中每一人的生日都可能在365天中任何一天，样本空间中样本点总数为365n，考虑n个人的生日两两不同，第一个人的生日可能在365天中任一天，第二个人的生日不能与第一个人生日相同，第二个人生日可能在364天中任何一天，类推可得，n个人生日两两不同的这一事件的总共有365*364*……*(365-n+1).故这n个人的生日各不相同的概率（可能性）以下面公式计算： P365*364*......*(365n1)365n（1）
因而，n个人中至少有两人生日相同这一随机事件发生的概率为： P(n)=１－365*364*......*(365n1)365n（2）
但是在利用公式进行计算时,所用的乘法次数和除法次数较多,可以考虑用多项式做近似计算。这需要解决多项式拟合问题。主要内容（要点）：
1、求出n个人中至少有两个人生日相同的概率P（n）的近似公式；
2、根据P（n）的近似公式，用计算机分别计算出当团体人数取n=1，2，……，100时的概率值：P（1），P（2），……，P（100）。在Matlab环境下用指令plot(p)绘制图形，描述概率值随团体人数变化的规律；
3、特殊概率值的计算。在有40个学生的班上，至少有2个同学生日相同的概率是多少？60个人的团体中，至少有两个人生日在同一天的概率又是多少？在80个人的团体中，情况又如何？
4、用5次多项式拟合方法寻找一个近似计算概率的公式；
5、考虑团体总人数对概率值的影响； 计算机仿真（数值模拟）。
实验过程记录（含：基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：
1、利用（2），用计算机分别计算出当团体人数取n=1,2,……,100时的概率值：P（1），P（2），……，P（100），并绘制图形。Matlab程序具体如下： for k=1:100 p(k)=1-prod(365-k+1:365)/365^k;end plot(p)并以shengriyi.m为文件名保存，然后在Matlab工作环境下输入如下指令： >> shengriyi 结果所得图形如下：
2、特殊概率值的计算。由于前面已经计算了概率值P(k)(k=1,2,……,100),所以只需键入P（40），P（60），P（80）即可。如输入如下指令： >> p(40)ans = 0.8912 一个40个同学的学生班上，至少有两个同学生日相同的概率是P（40）=0.8912； 同理可求出60个人的团体中，至少有两个人生日相同的概率是P（60）= 0.9941； 在80个人的团体中，至少有两人生日相同的概率是P（80）=0.0.9999。
3、参考上图，用五次多项式拟合方法寻找近似计算概率的公式。
在Matlab环境下键入下列指令（该指令为求五次多项式拟合的多项式系数）： >> n=1:100;
>> c5=polyfit(n,p,5)c5 =-0.0000 0.0000-0.0001 0.0023-0.0046-0.0020 该多项式即为：
c1xc2xc3xc4xc5xc60x0x0.0001x0.0023x0.0046x0.002054325432在Matlab环境下继续键入下列指令：
>> p5=polyval(c5,n);////////用多项式近似计算100个概率值
>> plot(n,p,n,p5,'.')////////画出拟合多项式的图象与概率曲线作比较
结果所得的图象如下所示：
用五次多项式作近似计算P（30）、P（50）和P（70），指令和结果如下： >> p5(40)ans = 0.8895 >> p5(60)ans = 0.9985 >> p5(80)ans = 0.9943
4、在某团体中，要保证“至少有两人生日相同”的概率大于99%，可以利用第一个步骤以算出的100个概率值，键入如下指令：>> find(p>0.99)，可得结果为： ans = Columns 1 through 27 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 Columns 28 through 44 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 从结果可看出，该团体总人数若超过57人，则这个团体中至少有两人生日相同的概率将大于99%。
5、算机仿真（数值模拟）。随机产生30个正整数，介于1到365之间（用这30个数代表一个学生班的30个同学的生日），然后统计数据，观察是否有两人以上的人生日相同。当30人中有两人生日相同时，计算机输出为“1”，否则输出为“0”。如此重复观察100次，可得频率f100。下面是做计算机模拟的Matlab源程序： n=0;for m=1:100 y=0;x=1+fix(365*rand(1,30));for i=1:29 for j=i+1:30 if(x(i)==x(j)),y=1;break,end end end n=n+y;end f=n/m shengrier.m为文件名保存在Matlab工作空间中，并在Matlab环境下键入j，回车，可输出结果：f100=0.6500 实验结果报告与实验总结： 通过本试验的学习，对一般较简单的Matlab语句有了更深得了解,对一些循环语句也有了一定的认识,但对于语句与语句之间在循环判断条件下如何进行连接,以及如何写出正确的语句还存在着一定的困难。然而从这个实验中也有了不少的收获，在Matlab环境下计算概率值，但当幂方很大的时候，就较难用乘幂直接求出，其已超出计算机的最大数，最终只能作近似计算，而用拟合多项式作近似误差很小，是一种很好的方法；用计算机模拟100次，可以计算出30人中至少有两人生日相同的频率值。注意到频率的波动性，再次运行程序所得频率值的结果可能会有所差异，当模拟结果的频率值接近与前面的概率值时，给所求的概率作了直观的说明。
第二篇：投资问题数学建模
数学模型第一次讨论作业
问题：
某部门现有资金10万元，五年内有以下投资
项目供选择：
项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；
项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；
项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；
项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；
问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？
问题分析：
用表示第i年对第j个项目的投资金额
要使第五年年末本息总额最大，应当在每年将所有可用资金都用于投资，以确保资金的充分利用，由于项目投资均发生在年初，故以下只讨论年初的投资情况：
第一年：
第二年：手上资金（即第一年年末收回资金）为，全部用来对可投资项目投资，则有=
第三年：同理，有=
第四年：=
第五年：=
第五年年末本息和为（即第五年所能收回的所有资金）
建立模型：
=
=
=
=，求解模型：
Lingo解法：
可编写lingo程序如下：
model:
max=1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;!目标函数;
x11+x14=10;!以下约束条件表示每年资金全部用于投资;
1.06*x14=x21+x23+x24;
1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;
1.15*x21+1.06*x34=x41+x44;
1.15*x31+1.06*x44=x54;
x23<=3;!限制B,C项目的最大投资额;
x32<=4;
end
运行结果如下：
Global
optimal
solution
found.Objective
value:
14.37500
Infeasibilities:
0.000000
Total
solver
iterations:
Variable
Value
Reduced
Cost
X54
0.000000
0.000000
X41
4.500000
0.000000
X32
4.000000
0.000000
X23
3.000000
0.000000
X11
7.169811
0.000000
X14
2.830189
0.000000
X21
0.000000
0.000000
X24
0.000000
0.3036000E-01
X31
0.000000
0.000000
X34
4.245283
0.000000
X44
0.000000
0.2640000E-01
Row
Slack
or
Surplus
Dual
Price
14.37500
1.000000
0.000000
1.401850
0.000000
-1.322500
0.000000
-1.219000
0.000000
-1.150000
0.000000
-1.060000
0.000000
0.7750000E-01
0.000000
0.3100000E-01
所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:
x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0
即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；第二年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。
Lindo解法：
可编写lindo程序如下：
max
1.06x54+1.15x41+1.25x32+1.4x23
st
x11+x14=10
1.06x14-x21-x23-x24=0
1.15x11+1.06x24-x31-x32-x34=0
1.15x21+1.06x34-x41-x44=0
1.15x31+1.06x44-x54=0
x23<=3
x32<=4
输出结果如下：
LP
OPTIMUM
FOUND
AT
STEP
OBJECTIVE
FUNCTION
VALUE
1)
14.37500
VARIABLE
VALUE
REDUCED
COST
X54
0.000000
0.000000
X41
4.500000
0.000000
X32
4.000000
0.000000
X23
3.000000
0.000000
X11
7.169811
0.000000
X14
2.830189
0.000000
X21
0.000000
0.000000
X24
0.000000
0.030360
X31
0.000000
0.000000
X34
4.245283
0.000000
X44
0.000000
0.026400
ROW
SLACK
OR
SURPLUS
DUAL
PRICES
2)
0.000000
1.401850
3)
0.000000
-1.322500
4)
0.000000
-1.219000
5)
0.000000
-1.150000
6)
0.000000
-1.060000
7)
0.000000
0.077500
8)
0.000000
0.031000
NO.ITERATIONS=
所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:
x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0
即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；第二年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。
Matlab解法：
Way1可编写matlab程序如下：
f=[0
0
0
0
0
0
1.4
0
0
1.25
0
0
1.15
0
0
0
0
0
0
1.06];
Aeq=[1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0;
0
0
0
1.06
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0;
1.15
0
0
0
0
0
0
1.06
0
0
0
0
0
0
0
0
0;
0
0
0
0
1.15
0
0
0
0
0
0
1.06
0
0
0
0
0
0;
0
0
0
0
0
0
0
0
1.15
0
0
0
0
0
0
1.06
0
0
0
-1];
beq=[10;0;0;0;0];
A=[0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0;
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0];
b=[3;4];
lb=zeros(20,1);
[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,[])
运行结果如下：
Optimization
terminated.x
=
6.5508
0
0
3.4492
0.6561
0
3.0000
0.0000
2.0066
4.0000
0
1.5268
2.3730
0
0
0.0000
0
0
0
2.3076
fval
=
-14.3750
所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:x11=6.5508,x14=3.4492,x21=0.6561,x23=3,x31=2.0066,x32=4,x34=1.5268,x41=2.3730,x54=2.3076,其余值为0。
Way2可编写matlab程序如下：
f=[0 0 0 0 0 0-1.4 0 0-1.25 0 0-1.15 0 0 0 0 0 0-1.06];
A=[];
b=[];
Aeq=[1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;...0 0 0 1.06-1 0-1-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;...1.15 0 0 0 0 0 0 1.06-1-1 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0;...0 0 0 0 1.15 0 0 0 0 0 0 1.06-1 0 0-1 0 0 0 0;...0 0 0 0 0 0 0 0 1.15 0 0 0 0 0 0 1.06 0 0 0-1];
beq=[10;0;0;0;0];
lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];
ub=[inf inf inf inf inf inf 3 inf inf 4 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
运行结果如下：
Optimization terminated.x =
6.5113
0
0
3.4887
0.6980
0
3.0000
0.0000
2.0003
4.0000
0
1.4877
2.3797
0
0
0.0000
0
0
0
2.3004
fval =
-14.3750
所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:x11=6.5113,x14=3.4887,x21=0.6980,x23=3,x31=2.0003,x32=4,x34=1.4877,x41=2.3797,x54=2.3004,其余值为0。
讨论：利用matlab，lingo及lindo程序分别求解上述模型后，发现取到相同最优值情况下，matlab的最优解不同于lingo和lindo，该问题可能存在多个最优解？
经尝试已排除变量设置数量差异，软件版本差异及计算机系统差异的原因，可能是软件求解原理或近似导致，或者该问题本身最优解不唯一。
第三篇：数学建模摘要及问题
2008年高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则． 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究，讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的工正，公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员（打印并签名）：1．
2．3．
指导教师或指导老师负责人（打印并签名）：
日期：年 月 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编
学科评估模型
摘要
学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，在遵循学科评价的客观性，发展性，服务性等原则的基础上，运用建模题目岁提供的数据，本文建立两种不同的评价模型对学科进行评价。模型一首先运用层次分析法确定影响学科发展的重要因素，建立指标评价体系，然后采用理想解法来建立学科评价模型；模型二与模型一样也是运用层次分析法建立指标体系，然后运用专家分析法进行调查，对调查结果取众数，得到了关于学科评价指标体系各层次指标的判断矩阵，在运用MATLAB求判断矩阵特值，检验判断矩阵的一致性，最终求出各指标的有效权重系数，用各指标的权重系数乘以各指标的得分，以求出学科的综合得分，得分越高，说明排在前面的指标越多，在一定程度上就是说，该学科综合实力和发展水平相对其他学科靠前。最后，为防止有些学科指标得分很高，另一部分得分很低，但综合得分任然靠前，而掩饰了学科发展的不稳定，不均衡的病态现象 因此，再进一步对最低级指标计算法案差，以检测学科发展的稳定性和均衡性，从而指导学科的正确发展。
通过运用以上方法，不仅可以分出各学科的建设水平高低，学科本身也可看出自己发展的优势与劣势，从而，给学科的发展指明了方向。
本题所提供的数据是来自科研与教学并重型高效，因此，我们在此基础上还假设了数据是来自科研型或教学型的高校，又该如何改进模型以适合不同类型的高校学科特点而给出了相应的评价模型。
关键词：学科评价
层次分析法
理想解法
多级指标
1.问题的提出
学科是教学，科研等各项工作的基础和载体，学科建设水平是考察学校办学水平，办学实力，办学特色的重要标志，是高校建设的核心内容。而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科与其他学科相比较的地位及不足之处，可以更好的促进学科发展。因此，学科建设评估体系与机制的建立直接影响到高校学科建设整体水平的发展，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展的热点问题，本文研究的目的是建立一套科学可行的学科评价模型。
2.建模的原则
由于学科的发展水平和综合实力是由多种因素共同决定，比如学科的基础建设，师资队伍，科学研究，办学声誉等等，有的因素可定量分析的，而有的是不能定量分析的，本文的研究思路是在所给数据的基础上针对各个因素的特点，将影响学科综合实力的各种因素定量化，制定出综合的指标评价系统，模型构建的遵循以下五项基本原则：（1）原则影响因素，学科建设状况及其潜在竞争力是多种因素和各个子系统综合作用的结果。反映学科建设状况及其潜在竞争力的指标体系应包含学科基础，人才培养，科学研究等各个方面的指标，这就要求评价指标系要尽可能体现综合性和全面性。
（2）合理性原则。由于学科评价指标体系涉及面比较宽，在具体操作过程中必定有个对指标取舍的问题，为此，要尽可能选取能区分不同学科建设高低能力的指标。（3）可行性原则。可行性评价指标
3.模型的建立与求解
第四篇：数学建模
A题：一种汽车比赛的最优策略
汽车运动是当前世界上一项重要的体育项目。这项运动比传统的体育项目更具综合性，尤其涉及科学技术的各个方面。数学物理科学在这个项目中自然十分重要。当然，汽车运动的比赛项目也十分丰富。其中的速度赛和节油赛就是两项基本比赛。有人设计了如下的两个比赛项目：
项目1： 给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下汽车行驶路程最远。
项目2： 给汽车加一定量的燃油，在一定的路面及其风速环境下，在确定的比赛路段内，汽车行驶时间最短。
上述两个比赛项目的要点是比赛者应设计自己的最优比赛策略，既是给出定量燃油的消耗速率v(t),尽量使上述两个项目达到最优效果。既是得到尽量好的比赛成绩。
请在合理的路面阻力和其他阻力假设下建立数学模型，并求出上述两个问题(项目)的最优策略，既是定量燃油的最优消耗律v(t)函数。
当汽车还有能量输入(例如：太阳能)时，如何修正数学模型。
B题：中国人口发展趋势对经济社会的影响
人口是影响经济社会发展的关键因素，关系到改革开放和社会主义现代化建设的成功。中国经济发展和社会管理面临的重大问题与人口数量、素质、结构、分布等密切相关。“人口问题是发展的中心问题”已成为各国共识。各国均对提高人口素质、缓解人口老龄化带来的压力等关键问题给予了特别的关注。
20世纪70年代，为了缓解人口过快增长带来的社会压力，中国开始实行计划生育政策。自那以来，我国的计划生育工作取得了举世瞩目的成就，在经济还不发达的情况下，有效控制了人口的过快增长，实现了人口再生产类型从“高、低、高”的模式向“低、低、低”模式的转变。与此同时，我国人口发展出现了一些新情况、新变化。人口总和生育率已低于临界生育率水平，我国部分大中城市老龄化已非常明显。目前我国正处于人口发生转变的关键时刻，生育率、人口性别结构、人口老龄化等问题日益凸显。
中国人口发展的这些变化将对经济社会发展产生重要影响。例如，低生育率导致的劳动力老化、劳动力供给总量的下降，会对劳动生产率的提高以及经济竞争优势产生负面影响。人口年龄结构的改变将影响储蓄和投资的比例，引起社会保障公共支出需求的增加等等。特别值得注意的是，与西方国家不同，中国未来的人口老龄化问题具有“未富先老”的特点。这就给社会保障带来一系列问题，其中养老保险受到的冲击最大。基本养老保险制度的负担系数从1984年的0.185提高到2003年的0.331，增长了近80%。预计到本世纪30年代，我国人口老龄化将达到高峰。如果对这个问题没有恰当的应对策略，不仅社会保障制度无法平稳运行，而且将影响社会经济的可持续发展。
尽管社会各界对未来中国人口发展趋势性的判断能够达成较为一致的看法，但具体测算结果仍具有较大差异。相应地，对当前是否应当调整中国现行的人口政策也存在较多分歧。一种意见认为，中国人口增速虽然回落，但人口基数依然庞大，国内资源稀缺的矛盾依然较为突出，因而当前及今后一段时期内还应继续坚持现行的计划生育政策。另一种意见则认为，中国的计划生育政策已经执行了30多年，人口增长率已经呈现明显的下降趋势，而且也产
生了一些问题，如人口结构失衡、低生育率、男女比例失调问题，甚至于民族性格的改变等。认为目前已到了重新审视计划生育政策的时候，目前中国人口的主要矛盾已经是老龄化问题。这两种意见各有其理论和实践基础，但又均没有充分的科学依据。到底如何来评估现行人口政策的影响，人口政策是否有必要调整？人口政策调整与否，在不同的情景下，未来我国的人口发展趋势及其对社会经济的影响如何？如何解决人口增长与经济、资源、环境和社会等诸多约束之间的矛盾？不同的人口政策和发展趋势对我国就业问题、教育问题和住房问题会产生什么样的影响？这些问题均需要进行深入的研究，不仅仅是定性分析，还要结合定量测算，科学地评估当前我国的人口政策，以及未来调整人口政策的可行性及如何调整，在此基础上得出可行的政策建议。
目前我国一些部门和学者对人口问题，包括人口战略等开展了许多研究，但也存在一些值得改善的地方。例如，研究对象的片面性问题。如人口部门的研究主要关注人口自身的增长问题，对其他影响人口增长的因素考虑较少。实际上人口增长脱离不了复杂的社会经济系统，它有众多的制约因素，如经济发展水平、资源环境约束、社会保障状况等。要深入考察人口问题和人口政策，需要从复杂系统的角度出发。又如人口的数据问题。由于与人口相关的数据很多是通过估算得到的，因此在准确性方面就大打折扣。刚刚完成的全国第六次人口普查为下一步的研究奠定很好的数据基础。
中共中央政治局2011年4月26日就世界人口发展和全面做好新形势下我国人口工作进行第二十八次集体学习。中共中央总书记胡锦涛在主持学习时强调，要充分认识我国人口问题的长期性、复杂性、艰巨性，不断增强做好人口工作的自觉性和主动性，加强战略研究，加强政策统筹，加强工作协调，加强任务落实，不断开创人口工作新局面，为“十二五”时期经济社会发展创造更加有利的人口环境。
问题一：试建立数学模型分析我国人口发展趋势对经济社会发展某一方面的影响，如考虑我国人口发展趋势对经济发展的影响：对经济增长速度、消费结构、产业结构、进出口等的影响，以及人口因素对劳动力市场的影响（劳动力短缺和工资成本持续上升等）；人口发展趋势对社会发展的影响：人口结构老龄化的社会影响、从业人口的养老负担系数等。（具体相关数据请自行查找，并务必在参考文献中注明出处）
问题二：考虑人口发展趋势及其经济社会发展某一方面影响基础上，并就该方面提出调整和完善人口政策的具体政策建议，并分析其可行性和正负作用。
注：论文电子版请提交到：ch8683897@126.com
C题：组合投资的收益和风险问
某公司现有数额为20亿的一笔资金可作为未来5年内的投资资金，市场上有8个投资项目（如股票、债券、房地产、„）可供公司作投资选择。其中项目
1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目
3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目
5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。
一、公司财务分析人员给出一组实验数据，见表1。
试根据实验数据确定5年内如何安排投资？使得第五年末所得利润最大？
二、公司财务分析人员收集了8个项目近20年的投资额与到期利润数据，发现：在具体对
这些项目投资时，实际还会出现项目之间相互影响等情况。
8个项目独立投资的往年数据见表2。同时对项目3和项目4投资的往年数据；同时对项目5和项目6投资的往年数据；同时对项目
5、项目6和项目8投资的往年数据见表3。(注：同时投资项目是指某年年初投资时同时投资的项目)
试根据往年数据，预测今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率、风险损失率。
三、未来5年的投资计划中，还包含一些其他情况。
对投资项目1，公司管理层争取到一笔资金捐赠，若在项目1中投资超过20000万，则同时可获得该笔投资金额的1%的捐赠，用于当年对各项目的投资。
项目5的投资额固定，为500万，可重复投资。
各投资项目的投资上限见表4。
在此情况下，根据问题二预测结果，确定5年内如何安排20亿的投资？使得第五年末所得利润最大？
四、考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金投资若干种项目时，总体风险可用所投资的项目中最大的一个风险来度量。
如果考虑投资风险，问题三的投资问题又应该如何决策？
五、为了降低投资风险，公司可拿一部分资金存银行，为了获得更高的收益，公司可在银行贷款进行投资，在此情况下，公司应该如何对5年的投资进行决策?
附：
表1.投资项目预计到期利润率及投资上限
项目 1 2 3 4 5 6 7 8
预计到期利润率（%）0.1 0.11 0.25 0.27 0.45 0.5 0.8 0.55
上限（万元）60000 30000 40000 30000 30000 20000 40000 30000 注：到期利润率是指对某项目的一次投资中，到期回收利润与本金的比值。
表2.各投资项目独立投资时历年的投资额及到期利润（万元）
项目 1 2 3 4 5 6 7 8
1986 投资额 3003 5741 4307 5755 4352 3015 6977 4993到期利润 479 126 1338 910-7955 5586 22591 8987
1987 投资额 7232 6886 5070 7929 7480 5463 3041 4830到期利润 1211 164 2210 1539 5044-1158 6386 9398
1988 投资额 3345 5659 6665 7513 5978 4558 5055 4501到期利润 507 629 2540 1233-3608-6112 36832 10355
1989 投资额 5308 6272 6333 6749 4034 7392 6442 4092到期利润 787 602 836 1616 8081 4946 16834-7266
1990 投资额 4597 5294 5148 5384 6220 6068 6095 5270到期利润 711 365 2765 1099 22300 8319-19618-2697
1991 投资额 4378 5095 5973 7294 6916 6276 7763 6335到期利润 756 621 2549 1559 5130-9028 22230 273
31992 投资额 6486 7821 4449 5586 5812 6577 6276 5848到期利润 846 935 1078 1006 9358 1318-59901 24709
1993 投资额 6974 3393 4268 5414 5589 4472 6863 3570到期利润 1489 593 1955 1740 9207 4237 38552 14511 1994 投资额 4116 4618 5474 6473 5073 6345 6866 3044到期利润 353 749 2041 1548 7044-2291-39691 4570
1995 投资额 7403 5033 6859 6707 5377 4783 5202 6355到期利润 1117 911 1392 1168 7488 1464 70314 19245
1996 投资额 4237 4996 5603 5597 5231 4181 6830 5018到期利润 571 964 3077 1881 7209 5721-21568 5075
1997 投资额 3051 5707 4877 3844 7434 4222 5370 5960到期利润 449 868 1138 1131 5196 3173 99069 14864
1998 投资额 7574 5052 5460 3681 7936 7745 6391 3861到期利润 1396 958 1372 1221 5849 10740-27334-4626 1999 投资额 3510 5870 5697 5701 3898 7216 5135 4218到期利润 364 1089 1456 1757-629 10770-24878-5786
2000 投资额 6879 7396 5516 5623 7471 5501 3174 4210到期利润 994 1558 2864 1461 7769 7151 8981 21833 2001 投资额 3511 4780 6255 6925 6598 6043 4862 7988到期利润 638 1175 3230 2223 8020 7916-46712 21357
2002 投资额 3660 7741 4315 4379 7120 6131 3661 5393到期利润 538 1527 1155 1494 4616 6411 64239-11538
2003 投资额 4486 4756 3871 5529 5807 55763029到期利润 466 862 1022 2046 5395 617811819
2004 投资额 7280 7312 6471 7760
到期利润 1389 1319 2060 3227
2005 投资额 3082 5083
到期利润 403 787
表3.一些投资项目同时投资时历年的投资额及到期利润（万元）
项目 同时投资项目1、2 同时投资项目5、6 同时投资项目5、6、83 4 5 6 5 6 8
1986 投资额 4307 5755 4352 3015 4352 3015 4993到期利润 1026 2686 1442 2634 6678 2542-3145 1987 投资额 5070 7929 7480 5463 7480 5463 4830到期利润 2188 3558 3009 2935-3861 15120 13270 1988 投资额 6665 7513 5978 4558 5978 4558 4501到期利润 3272 3222 443 14400 4794 1884-3356
1989 投资额 6333 6749 4034 7392 4034 7392 4092到期利润 2050 2778 344 4473 3002 1549 10820
1990 投资额 5148 5384 6220 6068 6220 6068 5270到期利润 1513 2533 601-6448-852-4651-1593
1991 投资额 5973 7294 6916 6276 6916 6276 6335
到期利润 2733 3542 10300 9217 20610 5595 7283 1992 投资额 4449 5586 5812 6577 5812 6577 5848到期利润 3005 2448 318 1087 4750-179 14000
1993 投资额 4268 5414 5589 4472 5589 4472 3570到期利润 2015 2609 5168-2930 3170-235 14460 1994 投资额 5474 6473 5073 6345 5073 6345 3044到期利润 1782 2969-981 2413 7304 19090 7065 1995 投资额 6859 6707 5377 4783 5377 4783 6355到期利润 3701 2636 6695 52 3795 2029 10510 1996 投资额 5603 5597 5231 4181 5231 4181 5018到期利润 3581 1809 952 844-2671 6334 12970
1997 投资额 4877 3844 7434 4222 7434 4222 5960到期利润 1510 1724-124 8984-4299 3307 10170 1998 投资额 5460 3681 7936 7745 7936 7745 3861到期利润 3996 1450 7717 2803 8062 6753 10050 1999 投资额 5697 5701 3898 7216 3898 7216 4218到期利润 3204 2488 7598-4722-968 14900-2294 2000 投资额 5516 5623 7471 5501 7471 5501 4210到期利润 1454 2199 7518 9321 6580 2131 10060 2001 投资额 6255 6925 6598 6043 6598 6043 7988到期利润 3258 2646 8671-6551 11460-4521-8039 2002 投资额 4315 4379 7120 6131 7120 6131 5393到期利润 2661 1984 2029 20300 4379 1035 4456 2003 投资额 3871 5529 5807 5576 5807 5576 3029到期利润 1800 2443 7424 8639 12680 5112 2154 2004 投资额 6471 7760
到期利润 3047 3682
2005 投资额
到期利润
表4.各投资项目的投资上限
项目 1 2 3 4 5 6 7 8
上限（万元）60000 60000 35000 30000 30000 40000 30000注：本题电子版请提交到：ch8683897@126.com 30000
第五篇：数学建模
数学建模论文格式模板
(第一页内容）
保证书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则, 我们完全明白在竞赛开始后不能以任何方式与队外的任何人（包括指导教师）讨论竞赛题的求解问题, 抄袭别人的成果也是违反竞赛规则的, 如被发现将会受到严肃处置。我们也知道如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)必须按照规定的参考文献的表述方式在正文和参考文献中明确列出。
为了确保竞赛的公正、公平性, 我们保证严格遵守竞赛规则。参赛报名号：（统一编号参赛队员不用写）
参赛队员（参赛队员分别签字）
指导教师（指导教师签字）
(第二页内容）
赛区评阅编号：
全国统一编号：
(第三页内容）
题目（写出较确切的题目；也要有新意、醒目)
摘要（包括模型的主要特点、建模方法和主要结果）
基本框架：（第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这个特点我们对问题1用……的方法解决；对问题2用……方法解决；对问题3用……方法解决。
(第2段)对于问题1我们用……数学中的……首先建立了…….模型I。在对……模型改进的基础上建立了……模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为……。然后借助于……数学算法和……软件，对附件中所提供的数据进行可筛选，去除异常数据，对残缺数据进行适当补充，并从中随机抽取了3组数据（每组8个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格）
(第3段)对于问题2我们用……
(第4段)对于问题3我们用……
如果题目是单问题，则至少要用两种模型，分别给出模型的名称、思想、软件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较，优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。
（第5段）如果在…..条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜测或建议，要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。
关键词（5-7个）本文使用到的模型名称、方法名称、特点是亮点一定要在关键词里出现。
摘要要求：
1）摘要必须指明研究的主要内容，使用的主要方法，得到的主要结论和成果；
2）摘要用语必须十分简练，内容亦须充分概括。文字不能太长，字数700~1000之间；
3）不要举例，不要讲过程，不做自我评价。
摘要是重中之重，必须要个执行！
页码1（底居中）
（第四页内容开始论文主要内容）
一、问题重述
在保持原题主体思想不变下，可以自己组织词句对问题进行描述，主要数据可以直接复制，对所提出的问题部分基本原样复制。建议篇幅不要超过一页。大部分文字提炼自原题。
二、问题分析
主要是表达对题目的理解，特别是对附件的数据进行必要的分析、描述（一般都有数据附件），这是需要提到分析数据的方法、理由。如果有多个小问题，可以对每个小问题进行分析分析。（假设有3个问题）
（一）问题1的分析
对问题1研究的意义的分析。
问题1属于……数学问题，对于解决此类问题一般数学方法的分析。对附件中所给数据特点的分析。
对问题1所要求的结果进行分析。
由于以上原因，我们可以将首先建立一个……的数学模型I，然后将建立一个…..的模型II，……对结果分别进行预测，并将结果进行比较。
（二）问题2的分析
对问题2研究的意义的分析。
问题2属于……数学问题，对于解决此类问题一般数学方法的分析。对附件中所给数据特点的分析。
对问题2所要求的结果进行分析。
由于以上原因，我们可以将首先建立一个……的数学模型I，然后将建立一个…..的模型II，……对结果分别进行预测，并将结果进行比较。
三、问题的假设
1.假设题目所给的数据真实可靠；
2.蕴涵着某些可发挥的补充假设条件，或参赛者可根据自己收集或模拟产生数据；
3.4.注意：假设对整篇文章具有指导性，有时决定问题的难易，一定要注意假设的某种角度上的合理性，不能乱编，完全偏离事实或与题目要求相抵触。注意罗列要工整。
四、符号说明（对文章中所用到的主要数学符号进行解释）
尽可能借鉴参考书上通常采用的符号，不宜自己乱定义符号，对于改进的一些模型，符号可以适当自己修正（下标、上标、参数等可以变，主符号最好与经典模型符号靠近）。对文章自己创新的名词特别解释，其他符号要进行说明，注意罗列要工整。注意格式要统一，不要出现零乱或前后不一致现象，关键是容易看懂。
五、模型的建立与求解
第一部分准备工作
（一）数据的处理
1.数据全部缺失，不予考虑；
2.对数据测试的特点，如，周期等进行分析；
3.数据残缺，根据数据挖掘等理论根据…..变化趋势进行补充；
4.对数据特点（后面会用到的特征）进行提取。
（二）聚类分析（进行采样）
用…..软件聚类分析和各个不同问题的需要，采得……组采样，每组5-8个采样值。将采样所对应的特征值进行列表或图示。
（三）预测的准备工作
根据数据特点，对总体和个体的特点进行比较，以表格或者图示方式显示。第二部分问题1的…..模型
（一）模型I（……的模型）
1.该种模型的一般数学表达式，意义，和式中各种参数的意义。注明参考文献。
2.……模型I的建立和求解
（1）说明问题1适用此模型来解决，并将模型进行改进以适应问题1.（2）借助准备工作中的采样，（用拟合等方法）确定出模型中的参数。
（3）给出问题1的数学模型I表达式和图形表示式。
（4）给出误差分析的理论估计。
3.模型I的数值模拟
将模型I进行数值计算，并与附件中的真实采样值（进行列表或图示）比较。对误差进行数据分析。
（二）模型II（……的模型）
1.该种模型的一般数学表达式，意义，和式中各种参数的意义。注明参考文献。
2.……模型I的建立
（1）说明问题1适用此模型来解决，并将模型进行改进以适应问题1.（2）借助准备工作中的采样，（用拟合等方法）确定出模型中的参数。
（3）给出问题1的数学模型I表达式和图形表示式。
（4）给出误差分析的理论估计。
3.模型II的数值模拟
将模型II进行数值计算，并与附件中的真实采样值（进行列表或图示）比较。对误差进行数据分析。
（三）模型III（……的模型）
……………….六、模型的优缺点分析
第一部分问题1的三种数学模型的比较
对三种模型的优缺点结合原始数据和模拟预测数据进行比较。给出个字的优缺点。
第二部分问题2的……个模型
第三部分问题3的……个模型
七、模型的推广和改进（评价与推广）
对本文中的模型给出比较客观的评价，必须实事求是，有根据，以便评卷人参考。
推广和优化，需要挖空心思，想出合理的、甚至可以合理改变题目给出的条件的、不一定可行但是具有一定想象空间的准理想的方法、模型。（大胆、合理、心细。反复推敲，这段500字半页左右的文字，可能决定生死存亡。）
八、参考文献
其中书籍的表述方式为：
[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。
参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：
[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：
[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。（最好另起一页）
附录文件
1．计算程序，框图（流程图）。
2．各种求解演算过程，计算中间结果。
3．各种图形、表格。
2009年数学建模评分参考标准：
摘要（很重要）5分
数据筛选35分
数学模型35分
数据模拟15分
总体感觉10分
特别注意：
1.问题的结果要让评卷人好找到，显要位置要独立成段；
2.摘要中要将方法、结果讲清楚；
3.建模的整个过程要清楚，自圆其说，有结果，有创新；
4.采样要足够多，每组不少于7个；
5.模型要与数据结合，用数据验证过；
6.如果数学方法选错，肯定失败；
7.规范、整洁；总页数在25~35之间为宜；
8.必须有数学模型，同一问题的不同模型要比较；
9.数据必须有分析和筛选；
10.模型不能太复杂，若用多项式回归分析，次数以3词为好。
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