数学建模 雨中行走问题[五篇范文]

第一篇：数学建模 雨中行走问题

数 学 模 型 论 文

学校：班级：姓名：学号：

雨中行走问题

摘要

当我们在雨中冒雨行走时总会下意思的加快速度，似乎跑得越快淋雨量就会越小。但事实上会是这种情况吗？在这里，我们将给予综合性的考虑，来解释不同情况下的淋雨量。

在不考虑风向的情况下，若人的全身都受到雨淋，理所当然人跑的越快所淋的雨就会越少。那么模型也可算出淋雨量。

当雨线从正面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成角。因为迎着雨的方向跑，所以全身都会淋到雨，由于有夹角，可以将雨分成竖直方向和水平方向两部分。便可根据题的要求解出模型。

当雨线从后面和人的跑步方向在同一平面时，并且考虑风向的影响，雨线方向和竖直方向成角。因为背着雨的方向跑，所以全身不一定都会淋到雨。可分几种情况分别来说。

关键词

人速；雨速；风向；夹角

1.问题的重述

当人们在雨中行走时，是不是走的越快就会淋越少的雨呢？对于这个问题，建立合理的数学模型。讨论一下，在不考虑风向时，人的淋雨量为多少；进而进一步讨论一下，在考虑雨线方向与人的跑步方向在同一平面内成不同角度时的淋雨量。

2.问题的分析

当人在雨中行走时，是否跑的越快所淋的雨量就越少那，答案当然不是。人在雨中所淋到的雨量和风向有关，因为风向的不同会导致雨线和人成不同的角度。从而使人所淋到的雨量有所不同。

3.模型的假设与符号说明

3.1模型的假设

（1）把人体视为长方体，身高h米，身宽w米，身厚d米，淋雨总量C升。（2）把降雨强度视为常量，记为：I（cmh）。（3）风速保持不变。

（4）以定速度v(ms)跑完全程D。

3.2符号说明

h

人体的身高

（m）

w

人体的宽度

(m)d

人体的厚度

(m)D

人跑步的全程

(m)v

人跑步的速度

(m/s)i

降雨强度

(cm/h)c

人在跑步中的淋雨总量

(L)s

人在雨中会被雨淋的面积

(㎡)t

人在雨中跑步的时间

(s)v

雨滴下落速度

(m/s)

雨滴反方向与人速度方向的夹角



雨滴密度

4.模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向，此种情况，人的前后左右都会淋雨。淋雨面积：S2wh2dhwd（m）

行走世间：tDv(s)

I3.6*10(L)

5降雨强度：I(cmh)0.01I(mh)ISt3.6*10DIS360v(ms)

淋雨量：C()5m3结论：在此种情况下，跑步全程长度、降雨强度、淋雨面积都是定参数，只有跑步速度是变量。可知，淋雨量与速度成反比。验证了快跑能减少淋雨量。

但我们也可以发现，当我们取参数D1000m，I2cmh，w0.5m，h1.8m，d0.2m，v6ms时，可求得：S2.62m，C2.6L。也就是说

2在不到三分钟时间内淋雨量就很大了，不太符合实际情况。

结论：用这种模型来描述淋雨量问题不符合实际，原因是模型太简单，没有考虑降雨方向，使得模型太粗超。

（2）考虑降雨方向，可知，Ir

此种情况，淋雨的部位只有头顶和前面。

头顶的淋雨量：C1前面淋雨量：C2DwdrsinvDwh((rcosv)v

v6淋雨总量：CC1C2wD(drsinh(rcosv)

取参数r4ms,I3600*2cms,1.39*10

计算上式得：C6.95*10(0.8sin6cos1.5v)v4

可以看出：淋雨量与降雨的方向和跑步的速度有关。这样我们就可以把问 题转化成给定角度求淋雨量最小的问题。

2时

 C6.9510*433(1.5(v)结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为6ms。则计算可得：

C1.13L

3时

4

C6.9510*433(1.5v)结论：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量最小。若速度为6ms。则计算可得：

C1.47L 2时

雨滴将从身后落下。

C6.95*10[(40.8sin6cosv)1.5]

令2，则02。计算得：

4

C6.95*10(0.8cos6sinv1.5)

此种情况中，淋雨量有可能为负值，这是不可能的，产生的原因是我们认为雨是从前面落到身上的。这种情况另行讨论。

当跑的速度小于雨滴的水平运动速度，即vrsin时，雨滴将会从后面淋在身上。可计算得：

CDw(drcosh(rsinv)vDwdrcosrsin4

当vsin时，C取最小值。

C

代入数据得

C6.95*10cos5sin

结论：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿。

若雨滴是以23的角度落下，即雨滴以

6的角从背后落下，应该以 4 v4sin62ms 的速度行走，此时，淋雨量为 ：

这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。

当行走速度快与雨滴的水平运动速度，即vrsin你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿 你的前胸。被淋得雨量是：

CDwr(dcosrsinvhr)C0.24L

当dcosrsin0,v尽可能大，C 才会最小。当dcosrsin0,v尽可能小，C才会最小。当vrsin,v接近rsin，C才可能最小。现取v6ms，

5.模型的评价

经过解题可知： 对于问题一的模型，由于不考虑风向所带来的影响，求得的结果是非常大的。不符合现实中的实际情况。

对于问题二的模型，在考虑风向所带来的影响时，求得的结果迅速减小。并且想淋到最少的雨，就应该尽量跑得快些，因为淋雨量和人跑的速度为减函数关系。

对于问题三的模型，当雨从后面下来时，人淋雨量的多少和雨的水平分量有关。随着人跑步速度的改变淋雨量将发生不同的变化。

模型的优点：（1）模型可以准确的根据已知数据求解出淋浴量的多少。

（2）模型简单明了，易于理解。模型的缺点：（1）由于假设雨速和人跑步的速度一直不变，可能造成一些误差。6时，C0.77L

参考文献

【1】 姜启源、谢金星、叶俊

数学模型（第三版）

高等教育出版社

【2】 姜启源、谢金星、叶俊

数学模型习题参考答案

高等教育出版社

第二篇：数学建模数学建模之雨中行走问题模型

数学建模

雨

中

行

走

模 型

系别：

班级：

姓名：

学号：

正文：

数学建模之雨中行走问题模型

摘要：

考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；

若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。① 当vrsin时,淋在背上的雨量为

.pwDrhsinvhv,雨水总量CpwDdrcoshrsinvv② 当vrsin时,此时C20.雨水总量CpwDdrvcos,如300,C0.24升

这表明人体仅仅被头顶部位的雨水淋湿.实际上这意味着人体刚好跟着雨滴向前走,身体前后将不被淋雨.③ 当vrsin时,即人体行走的快于雨滴的水平运动速度rsin.此时将不断地赶上

pwDhvrsin雨滴.雨水将淋胸前（身后没有）,胸前淋雨量C2关键词：

v

淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度

1.问题的重述

人们外出行走,途中遇雨,未带雨伞势必淋雨,自然就会想到,走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处进行时,雨的速度（大小和方向）已知,问行人走的速度多大才能使淋雨量最少？

2.问题的分析.由于没带伞而淋雨的情况时时都有，这时候大多人都选择跑，一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。，一、我们先不考虑雨的方向，设定雨淋遍全身，以 最大速度跑的话，估计总的淋雨量；

二、再考虑雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1，建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算=0，=90时的总淋雨量；

0 2

三、再是雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图2.，建立总淋雨量与速度v及参数a , b , c, d , u , w ,  之间的关系，问速度多大，总淋雨量最少；

四、以总淋雨量为纵轴，对

（三）作图，并解释结果的实际意义；

五、若雨线方向不在同一平面内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进行研究了。

3.模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

1.设雨滴下落的速度为u（米/秒）,降水强度（单位时间平面上的降水厚度）为w（厘米/时）,且u,w为常量.2.设雨中行走的速度为v（米/秒）,（固定不变）.雨中行走的距离为d（米）.3.设降雨的角度（雨滴下落的反方向与人前进的方向之间的夹角）为 4.视人体为一个长方体,其身高为a（米）,身宽为b（米）,厚度为c（米）

3.2符号说明

a:代表人颈部以下的高度 b:人身体的宽度 c:人身体的厚度 d:起跑点到终点的距离 vm:跑步的最大速度

u:雨的速度

wv:降雨量 :跑步速度

:雨线方向与人体夹角 S:人的全身面积

t= d/vm:雨中行走的时间

4.模型的建立与求解

（1）不考虑雨的方向

首先讨论最简单的情形，即不考虑降雨角度的影响。雨将淋遍全身，淋雨的面积s=2ab+2ac+bc=2.2m，淋雨的时间t=d/vm=200s, 降雨量w=2cm/h=1042/18(m/s), 所以总的淋雨量Q=stw2.4L。

（2）雨从迎面吹来

雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的角度为。如图1。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算 =0， =30时的总降雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h。因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前部。分两部分计算淋雨量.顶部的淋雨量Q1= bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度usin +v，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin +v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin +v）/uv，所以总淋雨量

bdwcucosa(usinv)QQ1Q2 uvv=vm时Q最小。0时，Q=1.2L；=30，Q1.6L。

0 4

(3)考虑降雨方向的模型（雨从背面吹来）

雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为a，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，w，之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。

计算 =30的总淋雨量。

雨滴落下的速度为u=4m/s，降雨量w=2cm/h，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和背部。分两部分计算淋雨量。

顶部的淋雨量Q1=bcdw cos /v；雨速水平分量usin ，风向与v相反。合速度usinav，迎面单位时间、单位面积的淋雨量w（usin -v）/u，迎面淋雨量Q2=abdw（usin -v）/uv，所以总淋雨量：

bdwcucosa(usinav)bdwu(cosaasina)av,vusinauvuvQbdwcucosa(vusina)bdwu(cosaasina)av,vusinavuvu若ccosa0m

asina即tana>c/a，则v=usina时Q最小，否则，v=v时Q最小，当a30，tana>0.2/1.5，v=2m/s，Q0.24L最小，可与v=vm，Q0.93L相比。

(4)以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对三作图（考虑 a的影响），并解释结果的实际意义

雨从背面吹来，只要 不太小，满足tana>c/a（a=1.5m、c=0.2m时，> 即可），v=usina，Q 最小，此时人体背面不淋雨，只有顶部淋雨。

(5)若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化

再用一个角度表示雨的方向，应计算侧面的淋雨量，问题本质上没有变化。

5.模型的评价

（1）在不考虑风向情况下：

此时，你的前后左右和上方都将淋雨。人在行走中的淋雨量最大的大约为2.44升。结论表明:淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小（2）在考虑风向及雨量的情况下: 当v=usinθ时，Q取到最小.表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。

当v﹥usinθ，你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的胸膛。

6.模型的结果分析

综合上面的分析，我们得到的结论是：

1．如果雨是迎着你前进的方向落下，这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑。

2．如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制在雨中行的。走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量。

根据一般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的日常生活经验是一致的。运用简单的数学工具，我们对日常生活中司空见惯的问题给予了定量的分析。但同时必须指出的是，这里建立的简单数学模型与雨中行走的实际过程尚有距离，因为在建立数学模型的过程中我们忽略了一些相对次要的因素。关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。

参考文献

[1] 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2008.

第三篇：投资问题数学建模

数学模型第一次讨论作业

问题：

某部门现有资金10万元，五年内有以下投资

项目供选择：

项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；

项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；

项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；

项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；

问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？

问题分析：

用表示第i年对第j个项目的投资金额

要使第五年年末本息总额最大，应当在每年将所有可用资金都用于投资，以确保资金的充分利用，由于项目投资均发生在年初，故以下只讨论年初的投资情况：

第一年：

第二年：手上资金（即第一年年末收回资金）为，全部用来对可投资项目投资，则有=

第三年：同理，有=

第四年：=

第五年：=

第五年年末本息和为（即第五年所能收回的所有资金）

建立模型：

=

=

=

=，求解模型：

Lingo解法：

可编写lingo程序如下：

model:

max=1.06*x54+1.15*x41+1.25*x32+1.4*x23;!目标函数;

x11+x14=10;!以下约束条件表示每年资金全部用于投资;

1.06*x14=x21+x23+x24;

1.15*x11+1.06*x24=x31+x32+x34;

1.15*x21+1.06*x34=x41+x44;

1.15*x31+1.06*x44=x54;

x23<=3;!限制B,C项目的最大投资额;

x32<=4;

end

运行结果如下：

Global

optimal

solution

found.Objective

value:

14.37500

Infeasibilities:

0.000000

Total

solver

iterations:

Variable

Value

Reduced

Cost

X54

0.000000

0.000000

X41

4.500000

0.000000

X32

4.000000

0.000000

X23

3.000000

0.000000

X11

7.169811

0.000000

X14

2.830189

0.000000

X21

0.000000

0.000000

X24

0.000000

0.3036000E-01

X31

0.000000

0.000000

X34

4.245283

0.000000

X44

0.000000

0.2640000E-01

Row

Slack

or

Surplus

Dual

Price

14.37500

1.000000

0.000000

1.401850

0.000000

-1.322500

0.000000

-1.219000

0.000000

-1.150000

0.000000

-1.060000

0.000000

0.7750000E-01

0.000000

0.3100000E-01

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:

x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0

即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；第二年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。

Lindo解法：

可编写lindo程序如下：

max

1.06x54+1.15x41+1.25x32+1.4x23

st

x11+x14=10

1.06x14-x21-x23-x24=0

1.15x11+1.06x24-x31-x32-x34=0

1.15x21+1.06x34-x41-x44=0

1.15x31+1.06x44-x54=0

x23<=3

x32<=4

输出结果如下：

LP

OPTIMUM

FOUND

AT

STEP

OBJECTIVE

FUNCTION

VALUE

1)

14.37500

VARIABLE

VALUE

REDUCED

COST

X54

0.000000

0.000000

X41

4.500000

0.000000

X32

4.000000

0.000000

X23

3.000000

0.000000

X11

7.169811

0.000000

X14

2.830189

0.000000

X21

0.000000

0.000000

X24

0.000000

0.030360

X31

0.000000

0.000000

X34

4.245283

0.000000

X44

0.000000

0.026400

ROW

SLACK

OR

SURPLUS

DUAL

PRICES

2)

0.000000

1.401850

3)

0.000000

-1.322500

4)

0.000000

-1.219000

5)

0.000000

-1.150000

6)

0.000000

-1.060000

7)

0.000000

0.077500

8)

0.000000

0.031000

NO.ITERATIONS=

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:

x11=7.169811,x14=2.830189,x23=3,x32=4,x34=4.245283,x41=4.5,其余值为0

即第一年对A项目投资7.169811万元，对D项目投资2.830189万元；第二年对C项目投资3万元；第三年对B项目投资4万元，对D项目投资4.245283万元；第四年对A项目投资4.5万元。

Matlab解法：

Way1可编写matlab程序如下：

f=[0

0

0

0

0

0

1.4

0

0

1.25

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06];

Aeq=[1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0

0

0

1.15

0

0

0

0

0

0

1.06

0

0

0

-1];

beq=[10;0;0;0;0];

A=[0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0;

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0];

b=[3;4];

lb=zeros(20,1);

[x,fval]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,lb,[])

运行结果如下：

Optimization

terminated.x

=

6.5508

0

0

3.4492

0.6561

0

3.0000

0.0000

2.0066

4.0000

0

1.5268

2.3730

0

0

0.0000

0

0

0

2.3076

fval

=

-14.3750

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:x11=6.5508,x14=3.4492,x21=0.6561,x23=3,x31=2.0066,x32=4,x34=1.5268,x41=2.3730,x54=2.3076,其余值为0。

Way2可编写matlab程序如下：

f=[0 0 0 0 0 0-1.4 0 0-1.25 0 0-1.15 0 0 0 0 0 0-1.06];

A=[];

b=[];

Aeq=[1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;...0 0 0 1.06-1 0-1-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;...1.15 0 0 0 0 0 0 1.06-1-1 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0;...0 0 0 0 1.15 0 0 0 0 0 0 1.06-1 0 0-1 0 0 0 0;...0 0 0 0 0 0 0 0 1.15 0 0 0 0 0 0 1.06 0 0 0-1];

beq=[10;0;0;0;0];

lb=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

ub=[inf inf inf inf inf inf 3 inf inf 4 inf inf inf inf inf inf inf inf inf inf];

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

运行结果如下：

Optimization terminated.x =

6.5113

0

0

3.4887

0.6980

0

3.0000

0.0000

2.0003

4.0000

0

1.4877

2.3797

0

0

0.0000

0

0

0

2.3004

fval =

-14.3750

所得最优值为14.375万元，对应的最优解为:x11=6.5113,x14=3.4887,x21=0.6980,x23=3,x31=2.0003,x32=4,x34=1.4877,x41=2.3797,x54=2.3004,其余值为0。

讨论：利用matlab，lingo及lindo程序分别求解上述模型后，发现取到相同最优值情况下，matlab的最优解不同于lingo和lindo，该问题可能存在多个最优解？

经尝试已排除变量设置数量差异，软件版本差异及计算机系统差异的原因，可能是软件求解原理或近似导致，或者该问题本身最优解不唯一。

第四篇：数学建模摘要及问题

2008年高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则． 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究，讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的工正，公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员（打印并签名）：1．

2．3．

指导教师或指导老师负责人（打印并签名）：

日期：年 月 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编

学科评估模型

摘要

学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，在遵循学科评价的客观性，发展性，服务性等原则的基础上，运用建模题目岁提供的数据，本文建立两种不同的评价模型对学科进行评价。模型一首先运用层次分析法确定影响学科发展的重要因素，建立指标评价体系，然后采用理想解法来建立学科评价模型；模型二与模型一样也是运用层次分析法建立指标体系，然后运用专家分析法进行调查，对调查结果取众数，得到了关于学科评价指标体系各层次指标的判断矩阵，在运用MATLAB求判断矩阵特值，检验判断矩阵的一致性，最终求出各指标的有效权重系数，用各指标的权重系数乘以各指标的得分，以求出学科的综合得分，得分越高，说明排在前面的指标越多，在一定程度上就是说，该学科综合实力和发展水平相对其他学科靠前。最后，为防止有些学科指标得分很高，另一部分得分很低，但综合得分任然靠前，而掩饰了学科发展的不稳定，不均衡的病态现象 因此，再进一步对最低级指标计算法案差，以检测学科发展的稳定性和均衡性，从而指导学科的正确发展。

通过运用以上方法，不仅可以分出各学科的建设水平高低，学科本身也可看出自己发展的优势与劣势，从而，给学科的发展指明了方向。

本题所提供的数据是来自科研与教学并重型高效，因此，我们在此基础上还假设了数据是来自科研型或教学型的高校，又该如何改进模型以适合不同类型的高校学科特点而给出了相应的评价模型。

关键词：学科评价

层次分析法

理想解法

多级指标

1.问题的提出

学科是教学，科研等各项工作的基础和载体，学科建设水平是考察学校办学水平，办学实力，办学特色的重要标志，是高校建设的核心内容。而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科与其他学科相比较的地位及不足之处，可以更好的促进学科发展。因此，学科建设评估体系与机制的建立直接影响到高校学科建设整体水平的发展，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展的热点问题，本文研究的目的是建立一套科学可行的学科评价模型。

2.建模的原则

由于学科的发展水平和综合实力是由多种因素共同决定，比如学科的基础建设，师资队伍，科学研究，办学声誉等等，有的因素可定量分析的，而有的是不能定量分析的，本文的研究思路是在所给数据的基础上针对各个因素的特点，将影响学科综合实力的各种因素定量化，制定出综合的指标评价系统，模型构建的遵循以下五项基本原则：（1）原则影响因素，学科建设状况及其潜在竞争力是多种因素和各个子系统综合作用的结果。反映学科建设状况及其潜在竞争力的指标体系应包含学科基础，人才培养，科学研究等各个方面的指标，这就要求评价指标系要尽可能体现综合性和全面性。

（2）合理性原则。由于学科评价指标体系涉及面比较宽，在具体操作过程中必定有个对指标取舍的问题，为此，要尽可能选取能区分不同学科建设高低能力的指标。（3）可行性原则。可行性评价指标

3.模型的建立与求解

第五篇：关于人在雨中行走的数学模型

关于人在雨中行走的数学模型

摘要

本题在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。其中题中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。利用MATLAB软件对各个问题进行求解。

对于问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

对于问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量w与行走速度v之间的函数关系。分析表明当行走速度为vm时，淋雨量最少。

对于问题三，雨从背面吹来，雨线与行走在同一平面内，人淋雨量于人和雨相对速度有关，列出函数关系式分析并求解。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度，雨滴下落的速度，角度，降雨强度

问题重述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v.按以下步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算0,30时的总淋雨量。

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系，问速度v多，大，总淋雨量最少。计算30时的总淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对(3)作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？

问题分析

1.若不考虑雨的方向，雨以降雨量w均匀地淋遍全身。将人体简化成长方体，求出人接收雨的总面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W。

2.雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为如图1.所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向。雨迎面吹来时，由于相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间内接收雨量。同理，头顶部位接收雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间内接收的雨量，并分别乘以各自面积以及时间d/t，即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量。据此可得W与v之间的关系，并能求出0和30时的总淋雨量。

3.雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为，如图2.所示。左右方向上淋雨量为0。头顶上单位时间内接收雨的量w1与雨速垂直方向上的分量成正比，W1为头顶面积bc与时间d/vm以及w1之积。当vmusin时，前方不受雨，前后方向上单位时间内淋雨量w2与人前进方向上人相对于雨的速度（usinvm）成正比，据此推算出W2；而当时，后vmusin方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞山雨滴，即w2与vmusin成正比。W2为人体前面ab和跑步时间d/vm头顶淋雨量以及w2之积。

WW1W

2据此可得W与vm之间的关系，并能求出30

模型假设

1.人在奔跑过程中，vm大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。

2.对问题1人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。

3.对问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两次因与雨速平行而不沾雨。

4.假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，与苏均匀不变。5.假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。

6.人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。

符号说明

a 人体高度

b 人体宽度

c 人体厚度

d 跑步距离

u 雨速

w 降雨量

 雨迎面吹来时与人体的夹角

vm 跑步最大速度

W 总淋雨量

s1 头顶面积

s2 人前或后表面积

u1 雨点相对人头顶速度的垂直分量

u2 雨点相对人前后面速度的垂直分量

w1 头顶单位时间接收雨量

w2 前后面单位时间接收雨量

W1 头顶接收雨量

W2 人体前后面接收雨量

W3 人体左右面接收雨量

模型建立与求解

模型一：

不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下： W(2ab2acbc)w经计算得W0.0024m3

d vm

模型二

根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，s1（顶部）s2（前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量u1、行走的时间有关。

求解如下：

头顶： u1ucoss1bc

假设降雨量w与雨点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：

w1u

1w1wcos W1w1s1twcosbc正面：

v2vsinu 而

w2v2 vmsinuuvsinuw2mw

w2wudbcdwcos vmvm 5

s2ab W2w2s2tvmsinudwab uvm求解得：

当v5m/s时，淋雨量W最小； 当0时，W0.0012m3 当30时，W0.0016m3

模型三

根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，s1（顶部）s2（前后两面）头顶：

w1v1 v1ucos

w1wcos

s1bc W1w1s1twcosbcd vm正面：

当usinv时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面

w2v2

v2vmusin

w2vmusinw u s2ab W2vmusindwab uvm当usinv时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨沾到人的后面

w2v2

v2usinvm usinvm

w2wus2ab

W2usinvmd

wabuvm 又因为WW1W2

dbcwcosdusinvmwabvmuvm所以W

vusindbcwcosdmwabvmuvm

当vm2m/s时，总淋雨量最少；

E0.3m3 雨线方向与人体方向夹角为30时，淋雨量为0.2405556

模型评价

通过对本体的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。同时也存在不足之处就是我们没有考虑降雨密度的不均匀、风向不稳定等次要因素，因此本题的求解结果存在一定的误差，有待改进和提高。

参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：2003年8月第三版； [2]姜启源.数学模型[M].北京：高等教育出版社.1987年4月第一版。