人教B版选修2-1空间向量与立体几何知识小结（模版）

第一篇：人教B版选修2-1空间向量与立体几何知识小结（模版）

选修2-1 第三章：空间向量与立体几何

1、空间向量及其运算： （1）空间中的平行（共线）条件：a//bb0xR,axb 

（2）空间中的共面条件：a,b,c共面（b,c不共线）x,yR,axbyc

推论：对于空间任一点O和不共线三点A、B、C，OPxOAyOBzOC

xyz1，则四点O、A、B、C共面

（3）空间向量分解定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量

pxaybz c

（4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算

若ax1,y1,z1,bx2,y2,z2，则：abx1x2,y1y2,z1z2

 zx1y2y1zax1,y1,z1ab1x

2注1：数量积不满足结合律；

注2：空间中的基底要求不共面。

2、空间向量在立体几何证明中的应用：

（1）证明AB//CD，即证明AB//CD

（2）证明ABCD，即证明ABCD0

（3）证明AB//（平面）（或在面内），即证明AB垂直于平面的法向量或证明AB与平面

内的基底共面；

（4）证明AB，即证明AB平行于平面的法向量或证明AB垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；

（5）证明两平面//（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；

（6）证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。

第二篇：新课标选修2-1空间向量与立体几何检测题(

空间向量

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量总可以唯一表示为pxaybzc．其中正确命题的个数为

A．0B．1C．2D．3（）

（）2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C1是

A．有相同起点的向量B．等长向量

C．共面向量D．不共面向量

3．若向量垂直向量和,向量(,R且、0)则

A．//B．D．以上三种情况都可能 C．不平行于,也不垂直于（）

4．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（）

A．

5．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若,,CC1，则A1B

A．a+b－cB．a－b+cC．－a+b+c627B．637C．647D．657（）D．－a+b－c

6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角,为（）

A．30°B．45°C．60°D．以上都不对 7．若、均为非零向量，则是与共线的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

8．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）

A．2B．3C．4D．5 9．已知32,2,则5与

3A．－15 B．－5 C．－3 D．－1（）10．已知OA(1,2,3)，OB(2,1,2)，OP(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QAQB（）取得最小值时，点Q的坐标为

***7A．(，)B．(，)C．(，)D．(，)243234333333

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= ． 12．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，

若BD＝xAByACzAS，则x＋y＋z＝． 13．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，

以｛AB，AC，AD｝为基底，则GE＝．

14．设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，＝7＋2，则<,>＝．

三、解答题（本大题满分76分）

15．(12分)如图，一空间四边形ABCD的对边

AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．

16．（12分））如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；

（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．

17．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；

（3）若PDA＝45，求EF与平面ABCD所成的角的大小．

18．（12分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图Ｅ、Ｆ分别是BB1，ＣＤ的中点，（1）求证：D1F平面ADE；

（2）

．

19．（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.（1）证明 PA∥平面EDB；（2）证明PB平面EFD；

（3）求二面角C-PB-D的大小．

20．（14分）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧

棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.（1）求A1B与平面ABD所成角的大小

（结果用反三角函数值表示）；（2）求点A1到平面AED的距离.-3-

参考答案

（六）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．

311

312． 013． 14．0°2123

4三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．(12分)证明：CD0.又，(CBCA)CD0即.……①BC0.又，()0即.……②

由①+②得：0即0.ACBD.16．(12分)解：(1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)

→→→→→→

(2)∵ AB1 ＝(0,-2, 2)，ED1 ＝(0, 1, 2)∴ |AB1 |＝ 2，|ED1 | ＝5，AB1 · ED1 ＝ 0－2＋4＝2,→→

→→AB· ED 21010

∴ cos AB1，ED1 ＝＝＝ ．∴ AB1与ED1所成的角的余弦值为 ．

1010→→2×

5|AB1 |· |ED1 |

17．(12分)证：如图，建立空间直角坐标系A－xyz，设AB＝2a，BC＝2b，PA＝2c，则：A(0, 0, 0)，B(2a, 0, 0)，C(2a, 2b, 0)，D(0, 2b, 0)，P(0, 0, 2c)∵ E为AB的中点，F为PC的中点∴ E(a, 0, 0)，F(a, b, c)

→→→(1)∵EF ＝(0, b, c)，AP ＝(0, 0, 2c)，AD ＝(0, 2b, 0)→1→→→→→

∴EF ＝(AP ＋AD)∴EF 与AP、AD 共面

又∵ E 平面PAD ∴ EF∥平面PAD．

→→→(2)∵ CD ＝(-2a, 0, 0)∴ CD ·EF ＝(-2a, 0, 0)·(0, b, c)＝0 ∴ CD⊥EF．

→

(3)若PDA＝45，则有2b＝2c，即 b＝c，∴EF ＝(0, b, b)，→→→→→2b22 AP ＝(0, 0, 2b)∴ cos  EF，AP ＝＝∴  EF，AP ＝45

22b·2b→→→→

∵ AP ⊥平面 AC，∴ AP 是平面 AC的法向量 ∴ EF与平面AC所成的角为：90－ EF，AP ＝45． 18．(12分)解：建立如图所示的直角坐标系，（1

则D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），E（1，1，），F（0，0），21

则D1F＝（0，－1），D＝（1，0，0），＝（0，1，12），则D1＝0，D1FAE＝0，D1FDA，D1FAE.D1F平面ADE.12，－

（２）B1（1，1，1），C（0，1，0），故CB1＝（1，0，1），＝（－1，－），EFCB1＝－1＋0－

＝－

32，11

3

2，则





322



.150.19．（14分）解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设DC(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.a.P

aa

依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0，)

22FG是此正方形的中心，底面ABCD是正方形，aa

故点G的坐标为(，0)且PA(a,0,a),EG(a,0,a).2222PA2EG.这表明PA∥EG.而EG平面EDB且PA平面EDB，PA∥平面EDB。

aaa2a2

(2)证明：依题意得B(a,a,0),PB(a,a,a)。又DE(0，),故PBDE00

2222

PBDE, 由已知EFPB，且EFDEE,所以PB平面EFD.

(3)解：设点F的坐标为(x0,y0,z0),PFPB,则(x0,y0,z0a)(a,a,a)

从而x0

aa11a,y0a,z0(1)a.所以FE(x0,y0,z0)(a,()a,()a).由条件EF

PB知，PEPB0即a2(1)a2(1)a20,解得 



点F的坐标为(a,a,2a), 且FE(a,a,a),FD(a,a,2a).

。3

366333333

a2a22a2

PBFD0,即PBFD，故EFD是二面角CPBD的平面角.333

a2a2a2a2a24a2a2a2a2a2

∵

aa 

***



FE.FD cosEFD|FE||FD|

a2,所以，1.二面角C—PC—D的大小为.EFD

332

20．(14分)解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.如

图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1）A1（2a，0，2）

E（a，a，1）G（2a2a1，）.333

aa2

GE(，),BD(0,2a,1)，333

a20，解得a=1.33

241

BA1(2,2,2),BG(,,),333

cosA1BG

BA1BG



|BA1||BG|

14/37.13221

A1B与平面ABD所成角是arccos

.（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）

(1,1,1)(1,1，0）0，AA,1,0)0 1(0,0,2)(1ED平面AA1E，又ED平面AED.∴平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE，∴点A在平面AED的射影K在AE上.AK，则A1A1(,,2)

20由A，即，解得.01

设

44162224 A1(，),

9993333

即点A1到平面AED的距离为.

第三篇：2015年高考空间向量和立体几何空间几何体知识汇总

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

2.空间向量的运算：OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)

运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：(ab)ca(bc)

⑶数乘分配律：(ab)ab

3.共线向量

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量

或平行向量，a平行于b，记作a//b。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存在实数λ，使a＝λb。

4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

（2）①共面向量定理：如果两个向量,不共线，则向量与向量,共面的充要条件是存在实数对x、y使.Pxayb

②空间任一点、B、C，则OPxOAyOBzOC(xyz1)是．．．O．和不共线三点．．．．．．A．．．．．

PABC四点共面的充要条件.注：①②是证明四点共面的常用方法.5.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc。

若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOC。

6.空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作A(x,y,z)。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,i,jk}表示。

（3）空间向量的直角坐标运算律：

①若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则ab(a1b1,a2b2,a3b3)，ab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)，aba1b1a2b2a3b3，a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)aba1b1a2b2a3b30。

a1a2a

3，b1b2b3

②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)。③定比分点公式：若

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，APPB，则点P坐标为

（x1x2y1y2z1z

2，)111。

推导：设P（x,y,z）则

(xx1,yy1,zz1)(x2x,y2y,z2z),显然，当P为AB

P（中点时，④

x1x2y1y2z1z2，)222。

ABC中，A（x,y1,z1）,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，三角形重心P坐标为

P（x1x2x3y1y2y3z1z2z3，）

333

⑤ΔABC的五心：

内心P

：内切圆的圆心，角平分线的交点。外心P

（单位向量）

垂心P：高的交点：（移项，内积为0，则垂直）

1AP()

3重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）

中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式：若a

(a1,a2,a3)，则|a|（5）夹角公式：cosab

，ab



|a||b|（6）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|或dA,B

，(7)法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.(8)向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一

条射线，其中A，则点B到平面②.异面直线间的距离 d

(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分

别是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离).③.直线AB与平面所成角arcsin

ABm

(m为平面的法向量).|AB||m|

④.利用法向量求二面角的平面角定理：设1,n2分别是二面角l中平面,的法向量，则n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1,n2方向相同，则为补角，n1,n2反方，则为其夹角）.二面角l的平面角arccos

mn

或

|m||n|

arccos

mn

（m，n为平面，的法向量）.|m||n|

⑤.证直线和平面平行定理：已知直线a平面，A,Ba,C,D，且C、D、E三点不共线，则a∥的充要条件是存在有序实数对,使AB

CDCE..7.空间向量的数量积:若OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作

a,b；且规定0a,b，|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab.1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)公理

2(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

三个作用：(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．

平行

共面直线

相交2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类 

异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．

π[0,180])0，.（直线与直线所成角[0,90]）②范围：（向量与向量所成角23.a,b是夹在两平行平面间的线段，若ab，则a,b的位置关系为相交或平行或异面.4．直线与平面的位置关系 5．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 6．平行公理：

7．等角定理：

8、异面直线的判定方法：

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 9.两异面直线的距离：公垂线段的长度.10.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.[注]：l1,l2是异面直线，则过l1,l2外一点P，过点P且与l1,l2都平行平面有一个或没有，但与l1,l2距离相等的点在同一平面内.（L1或L2在这个做出的平面内不能叫L1与L2平行的平面）11.直线与平面平行、直线与平面垂直.（1）直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这

条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）

（2）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）

（3）直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个

P

平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直. 若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂线定理） 三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）

直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.12.平面平行与平面垂直.（1）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）

推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.（2）两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行线线平行”）

（3）两个平面垂直判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直判定二：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）

（4）两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.（5）两异面直线任意两点间的距离公式：l





O

A

m2n2d22mncos（为锐角取减，为钝角取加，综上，都取减则必有0,）

13.棱柱.棱锥.球

（1）棱柱：有两个面相互平行，其余各个侧面都是平行四边形

①{四棱柱}{平行六面体}{直平行六面体}{长方体}{正四棱柱}{正方体}.{直四棱柱}{平行六面体}={直平行六面体}.②.棱柱具有的性质：棱柱所有的侧棱都相等为平行四边形；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.．．．．．③.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.．．．．．．．．．．．．．定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,,，则co2sco2sco2s1.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,,，则

co2sco2sco2s2.（2）棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.a.①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面正多边形的中心.②正棱锥的侧面积：S

1Ch'（底面周长为C，斜高为h'）体积：V2

3S底h

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S侧

S底cos

（侧面与底面成的二面角为）

b.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.（3）球：a.①球的表面积公式：S4R.②球的体积公式：V

R.3

b.①圆柱体积：Vrh②圆锥体积：Vr2h（r为半径，h为高）

③锥体体积：V

Sh（S为底面积，h为高）3

2326

a，a，S侧a，S底

443

c.①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a，h

得

26321322426

aaaRaRRa/3a3a.434344344

R

O

第四篇：2018届二轮数学 空间向量与立体几何 专题 专题卷(全国通用)

空间向量与立体几何

一、选择题

1.已知A∈α，P∉α，＝，平面α的一个法向量n＝，则直线PA与平面α所成的角为()A.30°

B.45°

C.60°

D.150° 【答案】C 【解析】设PA与平面α所成的角为θ，则sinθ＝

∵θ∈0°，90°，∴θ＝60°，故选C.2.(2017·泸州二模)在空间直角坐标系中，点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为则m的值为()A.－9或1 B.9或－1 C.5或－5 D.2或3 【答案】B 【解析】由题意|PP1|＝1.故选B.点睛：空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量,所成的角为，则cos＝

2，即，∴(m－4)＝25，解得m＝9或m＝－

2，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式||＝·，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用⊥⇔·＝0(≠，≠)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】A，D，E分别是AC1和BB1的中点，【解析】

由已知AB＋BC＝AC，则AB⊥BC.分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设AA1＝2a，则A(0,1,0)，C(平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)，0,0)，D，E(0,0，a)，所以＝，222cos〈，n〉＝，〈，n〉＝60°，所以直线DE与平面BB1C1C所成的角为30°.故选A.点睛：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sinθ＋cosθ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．

4.如图，在三棱锥P－ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()2

A.AP⊥PB，AP⊥PC B.AP⊥PB，BC⊥PB C.平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 【答案】B 【解析】A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；

C中，BC⊥PC，AP⊂平面APC，因为平面BCP⊥平面PAC，所以BC⊥平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；

D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.点睛: 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.5.(2017·东北三校联考(一))在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角为()A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【解析】试题分析：延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角． 解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．

考点：异面直线及其所成的角．

6.(2017·丽水一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D为 时，AE＝()

A.1B.C.2－

D.2－

【答案】D

DA,DC,DP分别为【解析】试题分析：以点D为原点建立空间直角坐标系，0，0）,E（1,a,0）,C（0,2,0）,P（0,0,1），,设平面

D轴，（0，平面的法向量为，即,那么，解得:,平面的法向量为,那么，解得，所以考点：空间向量 ,故选D.7.(2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P－ABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是()

A.BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为B.BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为

C.BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30° D.BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30° 【答案】D 【解析】

连接AC，BD，交点为O，连接OP，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由正四棱锥P－ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，知A(－则 ＝，0,0)，B(0，－，＝(－，0)，C(，0，－，即，0,0)，D(0，)，＝(0，0)，P(0,0，－)，E，)，设m＝(x，y，z)是平面PAD的法向量，则m⊥，且m⊥，令x＝1，则z＝－1，y＝－1，m，＝(1，－1，－1)是平面PAD的一个法向量，设BE与平面PAD所成的角为θ，则sinθ＝故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°，故选D.点睛：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2＋cos2＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．

8.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，则点A1到平面AB1D1的距离是()A.1 B.C.D.2 【答案】B 【解析】设点A1到平面AB1D1的距离为h，因为VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，所以S△AB1D1h＝S△A1B1D1×AA1，所以h＝故选B.点睛：点面距离往往转化为对应棱锥的高，通过等体积法求高得点面距离

二、填空题

9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝则直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为．

【答案】，D，E分别是AC1，BB1的中点，【解析】

如图，取AC的中点F，连接DF，BF，则DF∥BE，DF＝BE，∴DE∥BF，∴BF与平面BB1C1C所成角的正弦值为所求．∵AB＝1，BC＝，AC＝2，∴AB⊥BC，又AB⊥BB1，∴AB⊥平面BB1C1C.作GF∥AB交BC于点G，则GF⊥平面BB1C1C，∴∠FBG为直线BF与平面BB1C1C所成的角．由条件知BG＝BC＝，GF＝AB＝，∴tan∠FBG＝

＝，∴∠FBG＝，∴sin∠FBG＝sin＝，即直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为.10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，面ABD1与面B1BD1所夹角的大小为．

【答案】60°【解析】建立空间直角坐标系D－xyz，如图．

设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)． ∴ ＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)，＝(1,1,0)．

设平面ABD1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD1的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则由m·＝0，m·＝0，可得m＝(1,0,1)，由n·＝0，n·＝0，得n＝(1，－1，0), ∴cos〈m，n〉＝＝.∴所求二平面的大小为60°.学

...学

...学

...学

...11.(2017·山西晋中五校联考)如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝4，SA＝3，E、F分别为线段BC、SB上的一点(端点除外)，满足＝λ，则当实数λ的值为时，∠AFE为直角．

【答案】

【解析】∵SA⊥面ABCD，∠BAD＝90°，故可建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.∵AB＝4，SA＝3，∴B(0,4,0)，S(0,0,3)． 设BC＝m，则C(m,4,0)，∵∴∴F∴要使∠AFE＝90°，则又∴∴16λ＝9，∴λ＝.点睛：空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量,所成的角为，则cos＝，进而，＝λ，∴

＝λ

.同理，E，，可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式||2＝·，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用⊥⇔·＝0(≠，≠)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．

三、解答题

12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝AD＝2，BC＝1，CD＝.(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；

(2)若二面角M－BQ－C为30°，设PM＝t·MC，试确定 t 的值．

【答案】(1)见解析(2)3

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD． ∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

（2）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC的法向量为，设∵，则，．，；，∴，∴

在平面MBQ中，∴平面MBQ法向量为∵二面角M-BQ-C为30，∴．，．，考点：本题考查了空间中的线面关系

点评：高考中常考查空间中平行关系与垂直关系的证明以及几何体体积的计算，这是高考的重点内容.证明的关键是熟练掌握并灵活运用相关的判定定理与性质定理.

第五篇：人教A版高中数学必修2空间立体几何知识点归纳

第一章空间几何体知识点归纳

围成的多面体叫做棱柱。

1：中心投影平行投影

（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：

①建立适当直角坐标系xOy（尽可能使更多的点在坐标轴上）

②建立斜坐标系xOy，使xOy=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；

‘

''''''

S侧面rl ⑴圆柱侧面积；S侧面2rl⑵圆锥侧面积：

⑶圆台侧面积：S侧面(rR)l ⑷体积公式：

V柱体Sh；V锥体

⑸球的表面积和体积：

3V台体Sh；

hS上



S下



S球4R，V球

243

R.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

3第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证

Al,B

l

l 

A,B

公理1的作用：判断直线是否在平面内

若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面

若Al，则点A和l确定平面

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

若mnA，则m,n确定平面

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

若mn，则m,n确定平面

n

公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

P,Pl且Pl

公理3作用：（2）证明点共线、线共点等。

4.ab,cbac 5

aa,bb且1与2方向相同1＝2 b

a'

22b'

'

aa,bb且1与2方向相反12＝180

方向相同则

∠1＝∠2

abA,a,b异面

方向相反则

∠1+∠2＝180°

6ab,（1）没有任何公共点的两条直线平行（2）有一个公共点的两条直线相交

（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

a

(2)

(1)

aa

a

A

9（即直线与平面无任何公共点）

⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

a



ba//

a//b

证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线

和它们的交线平行；





aab

b

④平行线的传递性：ab,cbac

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

a



aab

b



线和它们的交线平行；（上面的③）

⑥垂直于同一平面的两直线平行；

a

ab

b

⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直

10（即两平面无任何公共点）

（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。a,b



abA

a,b

（2）两平面平行的性质：

性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；



aab

b

性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；







性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；

A,C

ACBD

B,DABCD 

性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；





a或a

aa

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。





ln

l

mnAm,n 

⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。

lm

a

ab

b

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行12

l

 l

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

l

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

 l

（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

证明两直线垂直和主要方法：

①利用勾股定理证明两相交直线垂直；

②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； ③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；

④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）

如图：POOA是PA在平面上的射影又直线a,且aOA即：线影垂直线斜垂直，反之也成立。



aPA



空间角及空间距离的计算

1.异面直线所成角：使异面直线平移

线中的一条上取一点，过该点作另一条直线线，图：直线a与b异面，b//b，直线a与直线b的夹角为两异 如



m

l

l

lm

后相交形成的夹角，通常在两异面直

平

行

直线 面a与b所成的角，异 面直线所成角取值范围是（0，90]

2.斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：

PA是平面的一条斜线，A为斜足，O为垂足，OA叫斜线PA在平面上射影，PAO为线面角。3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角

l，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。

二面角的平面角分

如图：在二面角-l-中，O棱上一点，OA，OB，且OAl,OBl,则AOB为二面角

-l-的平面角。

别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是：

①