高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)

第一篇：高中立体几何基础知识点全集(图文并茂)

立体几何知识点整理

姓名：

一．直线和平面的三种位置关系： 1.线面平行

l

符号表示：

2.线面相交

符号表示：

3.线在面内

符号表示：

二．平行关系： 1.线线平行：

方法一：用线面平行实现。l//

l

l//m m

方法二：用面面平行实现。

//

l

l//m

m

方法三：用线面垂直实现。若l,m，则l//m。方法四：用向量方法：

若向量和向量共线且l、m不重合，则l//m。

2.线面平行：

方法一：用线线平行实现。

l

l//m

m

m

l// l

方法二：用面面平行实现。

//

l

l// 方法三：用平面法向量实现。

若n为平面的一个法向量，nl且l,则

l//。

3.面面平行：

方法一：用线线平行实现。

l//l'



m//m'

l,m且相交//

l',m'且相交

方法二：用线面平行实现。

l//



m//

//l,m且相交

三．垂直关系：1.线面垂直：

方法一：用线线垂直实现。

lAC

lAB

ACABAl



AC,AB

方法二：用面面垂直实现。步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：





ml 22

2clm,l

2.面面垂直：

方法一：用线面垂直实现。

l

l



方法二：计算所成二面角为直角。3.线线垂直：

方法一：用线面垂直实现。

l

m

lm

方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO

lOA

lPA l

方法三：用向量方法：

若向量和向量的数量积为0，则lm。三．夹角问题。(一)异面直线所成的角：(1)范围：(0,90](2)求法： 方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

cosabc

2ab

b

(计算结果可能是其补角)

方法二：向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：

cos

(二)线面角

(1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO

于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，PAO(图中)为直线l与面所成的角。

(2)范围：[0,90]

当0时，l或l// 当90时，l(3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。

方法二：向量法(为平面的一个法向量)。

sincos,



(三)二面角及其平面角

(1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。

四．距离问题。1．点面距。方法一：几何法。

步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。步骤

2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)方法二：坐标法。

(2)范围：[0,180](3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面和，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。步骤2：解三角形，求出二面角。

dcos



2．线面距、面面距均可转化为点面距。3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。

如图，m和n为两条异面直线，n且

m//，则异面直线m和n之间的距离可转化为直

线m与平面之间的距离。

方法二：直接计算公垂线段的长度。方法三：公式法。

方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。



nn

2步骤一：计算cosn1n2

1n1n2



步骤二：判断与n1n2的关系，可能相等或

者互补。

如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，m//m'，则异面直线m和n之间的距离为：

d

c2a2b22abcos

五．空间向量(一)空间向量基本定理

若向量，为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量，都存在唯一的有序实数对

角分别为、、，则cos2+cos2+cos



x、y、z，使得xyz。

(二)三点共线，四点共面问题 1.A，B，C三点共线

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为、、，则cos2+cos2+cos2 3.若长方体的长宽高分别为a、b、c，则体对角线长为，表面积为，体积为。(二)正在底面中心。

(三)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。(四)正多面体：每个面有相同边数的正多边形，且

每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体)

(五)棱锥的性质：平行于底面的的截面与底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。

正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

(六)体积：V棱柱 V棱锥(七)球

1.定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2.设球半径为R，小圆的半径为r，小圆圆心为O1，球心O到小圆的距离为d，则它们三者之间的数量关系是。

3.球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。

4.球的表面积公式：体积公式：



OAxOByOC，且xy

1当xy时，A是线段BC的2A，B，C三点共线 2.A，B，C，D四点共面



OAxOByOCzOD，且xyz1

当xyz时，A是△ABC的3A，B，C，D四点共面xy(三)空间向量的坐标运算

1.已知空间中A、B两点的坐标分别为：

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)则：



AB;dA,BAB



2.若空间中的向量a(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)

则abab

abcosab

六．常见几何体的特征及运算(一)长方体

1.长方体的对角线相等且互相平分。

2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的

第二篇：高中立体几何基础知识点全集(图文并茂).

立体几何知识点整理 姓名:

一.直线和平面的三种位置关系: 1.线面平行 l 符号表示: 2.线面相交

符号表示:

3.线在面内 符号表示: 二.平行关系: 1.线线平行: 方法一:用线面平行实现。

m l m l l // // ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = ⋂ ⊂ β α β

α

方法二:用面面平行实现。m l m l // // ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = ⋂ = ⋂ β γ

α γ β α

方法三:用线面垂直实现。若 α α⊥ ⊥m l , ,则 m l //。

方法四:用向量方法: 若向量 和向量 共线且 l、l //。2.线面平行: 方法一:用线线平行实现。α α α// //

不重合, 则 m m

l l m m l ⇒ ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⊄ ⊂

方法二:用面面平行实现。α β β α //

// l l ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ ⊂

方法三:用平面法向量实现。若 n 为平面 α的一个法向 量 , l n ⊥且 α⊄ l , 则 α // l。3.面面平行: 方法一:用线线平行实现。βαα β // ' , ' , ' // ' // ⇒⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⊂ ⊂ 且相交 且相交 m l

m l m m l l 方法二:用线面平行实现。βαβ α α // , // // ⇒⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⊂且相交

m l m l 三.垂直关系: 1.线面垂直: 方法一:用线线垂直实现。αα ⊥⇒ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⊂ = ⋂

⊥ ⊥ l AB AC A AB AC AB l AC l , m l

方法二:用面面垂直实现。αββαβα⊥⇒⎪⎭ ⎪ ⎬⎫

⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2.面面垂直: 方法一:用线面垂直实现。βαβα⊥⇒⎭ ⎬⎫ ⊂⊥l l 方法二:计算所成二面角为直角。3.线线垂直: 方法一:用线面垂直实现。m l m l ⊥⇒⎭ ⎬⎫ ⊂⊥αα

方法二:三垂线定理及其逆定理。PO l OA l PA l αα⊥⎫ ⎪

⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭ 方法三:用向量方法: 若向量 和向量 的数量积为 0,则 m l ⊥。三.夹角问题。(一 异 面直线所成的角:(1 范围:]90, 0(︒︒(2求法: 方法一:定义法。

步骤 1:平移,使它们相交,找到夹角。

步骤 2:解三角形求出角。(常用到余弦定理 余弦定理: ab c b a 2cos 2 22-+=θ

(计算结果可能是其补角

方法二:向量法。转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角 : = θcos(二 线 面角

(1定义:直线 l 上任取一点 P(交点除外 ,作 PO ⊥ α于 O, 连结 AO , 则 AO 为斜线 PA 在面 α内 的射影, PAO ∠(图中 θ 为直线 l 与面 α所成的角。

(2范围:]90, 0[︒︒

当 ︒=0θ时, α⊂l 或 α//l 当 ︒=90θ时, α⊥l(3求法: 方法一:定义法。步骤 1:作出线面角,并证明。步骤 2:解三角形,求出线面角。方法二:向量法(为平面 α的一个法向量。><=, cos sin θ =

c b

(三 二 面角及其平面角

(1定义:在棱 l 上取一点 P ,两个半平面内分别作 l 的垂线(射线 m、n ,则射线 m 和 n 的夹角 θ为 二面角 α— l — β的平面角。

(2范围:]180, 0[︒︒(3求法: 方法一:定义法。

步骤 1:作出二面角的平面角(三垂线定理 , 并证明。步骤 2:解三角形,求出二面角的平面角。方法二:截面法。

步骤 1:如图, 若平面 POA 同时垂直于平面 βα和 , 则交线(射线 AP 和 AO 的夹角就是二面角。步骤 2:解三角形,求出二面角。

方法三:坐标法(计算结果可能与二面角互补。

步骤一:计算 12 1212 cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅ 步骤二:判断 θ与 12n n <⋅> 的关系,可能相等或 者互补。

四.距离问题。1.点面距。方法一:几何法。

步骤 1:过点 P 作 PO ⊥α于 O , 线段 PO 即为所求。步骤 2 :计算线段 PO 的长度。(直接解三角形;等 体积法和等面积法;换点法 方法二:坐标法。

>⋅<⋅=d cos = 2.线面距、面面距均可转化为点面距。3.异面直线之间的距离 方法一:转化为线面距离。

如图, m 和 n 为两条异面直线, α⊂n 且

α//m , 则异面直线 m 和 n 之间的距离可转化为直 线 m 与平面 α之间的距离。

方法二:直接计算公垂线段的长度。方法三:公式法。如图, AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段, ' //m m ,则异面直线 m 和 n 之间的距离为: θcos 2222ab b a c d ±--= 五.空间向量(一 空间向量基本定理

若向量 , , 为空间中不共面的三个向量,则对空 间中任意一个向量 ,都存在唯一的有序实数对

z y x、、,使得 z y x ++=。

(二 三点共线,四点共面问题 1.A, B , C 三点共线 ⇔ OA xOB yOC =+ ,且 1x y += 当 2 1 ==y x 时, A 是线段 BC 的 A , B , C 三点共线 ⇔λ= 2.A, B , C , D 四点共面 ⇔ OA xOB yOC zOD =++ ,且 1x y z ++= 当 1 x y z ===时, A 是△ BCD 的 A , B , C , D 四点共面 ⇐y x +=(三 空间向量的坐标运算

1.已知空间中 A、B 两点的坐标分别为: 111(, , A x y z , 222(, , B x y z 则: AB =;=B A d , AB = 2.若空间中的向量 111(, , a x y z = , , ,(222z y x = 则 a b += a b-= a b ⋅= cos a b <⋅>= 六.常见几何体的特征及运算(一 长 方体 1.长方体的对角线相等且互相平分。

2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的 角分别为 αβγ、、,则 222 cos cos cos αβγ=++

若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角 分别为 αβγ、、,则 222cos cos cos αβγ=++ 3.若长方体的长宽高分别为 a、b、c ,则体对角线 长为 ,表面积为 ,体积为。(二 正 在底面中心。

(三 正 棱柱:底面是正多边形的直棱柱。(四 正 多面体:每个面有相同边数的正多边形,且

每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。(只有五种正多面体(五 棱 锥的性质:平行于底面的的截面与底面相似, 且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。正棱锥的性质:各侧棱相等,各侧面都是全等 的等腰三角形。(六 体 积:=棱柱 V =棱锥 V(七 球

1.定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。2.设球半径为 R , 小圆的半径为 r , 小圆圆心为 O 1, 球心 O 到小圆的距离为 d ,则它们三者之间的数量 关系是。

3.球面距离:经过球面上两点的大圆在这两点间 的一段劣弧的长度。4.球的表面积公式: 体积公式:

第三篇：高中立体几何

高中立体几何的学习

高中立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。立体几何是中学数学的一个难点，学生普遍反映“几何比代数难学”。但很多学好这部分的同学，又觉得这部分很简单。那么,怎样才能学好立体几何呢?我这里谈谈自己的认识。

一．空间想象能力的提高。

开始学习的时候，首先要多看简单的立体几何题目，不能从难题入手。自己动手画一些立体几何的图形，比如教材上的习题，辅导书上的练习题，不看原图，自己先画。画出来的图形很可能和给出的图不一样，这是好事，再对比一下，那个图更容易解题。

二．逻辑思维能力的培养。

培养逻辑思维能力，首先是牢固掌握数学的基础知识，其次掌握必要的逻辑知识和逻辑思维。

1.加强对基本概念理解。

数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一，理解与掌握数学概念是学好数学，提高数学能力的关键。

对于基本概念的理解，首先要多想。比如对异面直线的理解，两条直线不在同一个平面是简单的定义，如何才能不在同一个平面呢，第一是把同一个[平面上的直线离开这个平面，或者用两支笔来比划，这样直观上有了异面直线的概念，然后想在数学上怎么才能保证两条直

线不在一个平面，那些条件能保证两条直线不在一个平面。我们多去想想，就可以知道，只要直线不平行，并且不相交，那么就异面，对于不平行的条件，在平面几何中我们已经知道，如何能保证不相交呢，想象延长线等手段能不能得到证明呢，如果不能，那么把其中一条直线放在一个平面，看另外一条直线和这个平面是否平行，这样我们对异面直线的概念就比较容易掌握。

这在立体几何“简单几何体”部分的学习中显得尤为突出，本章节中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，严谨性，辨析相近易混的概念。如：正四面体与正三棱锥、长方体与直平行六面体、轴截面与直截面、球面与球等概念的区别和联系。

2.加强对数学命题理解，学会灵活运用数学命题解决问题。

对数学的公理，定理的理解和应用，突出反映在题目的证明和计算上。需要避免证明中出现逻辑推理不严密，运用定理、公理、法则时言非有据，或以主观臆断代替严密的科学论证，书写格式不合理，层次不清，数学符号语言使用不当，不合乎习惯等。

（1）重视定理本身的证明。我们知道，定理本身的证明思路具有示范性，典型性，它体现了基本的逻辑推理知识和基本的证明思想的培养,以及规范的书写格式的养成。做到不仅会分析定理的条件和结论,而且能掌握定理的内容,证明的思想方法,适用范围和表达形式.特别是进入高中学习以后所涉及到的一些新的证题的思想方法,如新教材上的立体几何例题:“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.”此定理的证明就采用了反证法,那么反

证法的证题思想就需要去体会,一般步骤,书写格式,注意要点等.并配以适当的训练,以初步掌握应用反证法证明立体几何题.(2)提高应用定理分析问题和解决问题的能力.这常常体现在遇到一个几何题以后,不知从何下手.对于习题，我们首先需要知道：要干什么（要求的结论是什么），那些条件能满足要求，这样一步一步往前找条件。当然这要根据具体情况，需要多看习题，我反对题海，但必要的练习是不可以缺少的。

第四篇：高中数学知识点--立体几何

【高中数学知识点】立体几何学习的几点建议.txt

一 逐渐提高逻辑论证能力

立体几何的证明是数学学科中任一分之也替代不了的。因此，历年高考中都有立体几何论证的考察。论证时，首先要保持严密性，对任何一个定义、定理及推论的理解要做到准确无误。符号表示与定理完全一致，定理的所有条件都具备了，才能推出相关结论。切忌条件不全就下结论。其次，在论证问题时，思考应多用分析法，即逐步地找到结论成立的充分条件，向已知靠拢，然后用综合法(“推出法”)形式写出。

二 立足课本，夯实基础

直线和平面这些内容，是立体几何的基础，学好这部分的一个捷径就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明。例如：三垂线定理。定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述。但定理的证明在初学的时候一般都很复杂，甚至很抽象。掌握好定理有以下三点好处：

(1)深刻掌握定理的内容，明确定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。(2)培养空间想象力。

(3)得出一些解题方面的启示。

在学习这些内容的时候，可以用笔、直尺、书之类的东西搭出一个图形的框架，用以帮助提高空间想象力。对后面的学习也打下了很好的基础。

三 “转化”思想的应用

我个人觉得，解立体几何的问题，主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的。例如：

1.两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角即过空间任意一点引两条异面直线的平行线。斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角即斜线与斜线在该平面内的射影所成的角。

2.异面直线的距离可以转化为直线和与它平行的平面间的距离，也可以转化为两平行平面的距离，即异面直线的距离与线面距离、面面距离三者可以相互转化。而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离。

3.面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行。而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化。同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直。

4.三垂线定理可以把平面内的两条直线垂直转化为空间的两条直线垂直，而三垂线逆定理可以把空间的两条直线垂直转化为平面内的两条直线垂直。

以上这些都是数学思想中转化思想的应用，通过转化可以使问题得以大大简化。

四 培养空间想象力

为了培养空间想象力，可以在刚开始学习时，动手制作一些简单的模型用以帮助想象。例如：正方体或长方体。在正方体中寻找线与线、线与面、面与面之间的关系。通过模型中的点、线、面之间的位臵关系的观察，逐步培养自己对空间图形的想象能力和识别能力。其次，要培养自己的画图能力。可以从简单的图形(如：直线和平面)、简单的几何体(如：正方体)开始画起。最后要做的就是树立起立体观念，做到能想象出空间图形并把它画在一个平面(如：纸、黑板)上，还要能根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状。空间想象力并不是漫无边际的胡思乱想，而是以提设为根据，以几何体为依托，这样就会给空间想象力插上翱翔的翅膀。

五 总结规律，规范训练

立体几何解题过程中，常有明显的规律性。例如：求角先定平面角、三角形去解决，正余弦定理、三角定义常用，若是余弦值为负值，异面、线面取锐角。对距离可归纳为：距离多是垂线段，放到三角形中去计算，经常用正余弦定理、勾股定理，若是垂线难做出，用等积等高来转换。不断总结，才能不断高。还要注重规范训练，高考中反映的这方面的问题十分严重，不少考生对作、证、求三个环节交待不清，表达不够规范、严谨，因果关系不充分，图形中各元素关系理解错误，符号语言不会运用等。这就要求我们在平时养成良好的答题习惯，具体来讲就是按课本上例题的答题格式、步骤、推理过程等一步步把题目演算出来。答题的规范性在数学的每一部分考试中都很重要，在立体几何中尤为重要，因为它更注重逻辑推理。对于即将参加高考的同学来说，考试的每一分都是重要的，在“按步给分”的原则下，从平时的每一道题开始培养这种规范性的好处是很明显的，而且很多情况下，本来很难答出来的题，一步步写下来，思维也逐渐打开了。六 典型结论的应用

在平时的学习过程中，对于证明过的一些典型命题，可以把其作为结论记下来。利用这些结论可以很快地求出一些运算起来很繁琐的题目，尤其是在求解选择或填空题时更为方便。对于一些解答题虽然不能直接应用这些结论，但其也会帮助我们打开解题思路，进而求解出答案。

第五篇：立体几何知识点梳理

1.证明线面垂直的方法

1线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；

m、n，mnA2判定定理1：l；lm，ln

3判定定理2：，a；4面面平行的性质：，a；5面面垂直的性质：，l，a，ala.2．证明线线垂直的方法

1平面几何中证明线线垂直的方法；2线面垂直的性质：a，bab； 3线面垂直的性质：a，b//ab.3．证明面面垂直的方法

判定定理：a，a.4、垂直关系的转化

判定判定线线垂直线面垂直面面垂直性质性质

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．

5．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据，我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的 一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．