高中立体几何初步小结（定稿）

第一篇：高中立体几何初步小结（定稿）

立体几何证明初步总结

①、三个公理和三个推论：

这是判断几点共线（证这几点是两个平面的公共点）和三条直线共点（证其中两条直线的交点在第三条直线上）的方法之一。②、证明线线平行的方法

1．平行于同一直线的两条直线平行； 2．垂直于同一平面的两条直线平行；

3．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和这条直线平行；

4．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。5．在同一平面内的的两条直线，可依据平面几何的定理证明（如三角形中位线定理；平行四边形对边平行；平行线分线段成比例定理的逆定理等）③、证明线面平行的方法

1．由定义：一条直线和平面无公共点；

2．如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；

3．两平面平行，则其中一个平面内的一条直线必平行于另一个平面； ④、证明面面平行的方法

1．由定义：没有公共点的两个平面平行；

2．如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ⑤、证明线线垂直的方法

1．定义：两直线相交成90角，或经过平移后相交成90角（异面垂直）； 2．直线和平面垂直，则该直线和平面内的任一直线垂直； 3．一条直线和两平行线中的一条垂直，也和另一条垂直；

4．平面几何中常用的定理：菱形、正方形的对角线互相垂直；等腰三角形“三线合一”；圆的直径所对的圆周角是直角；勾股定理。⑥、证明线面垂直的方法

1．定义：如果一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和平面垂直； 2．如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直； 3．如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；

4．如果两个平面垂直，那么在第一个平面内垂直于它们交线的直线，也垂直于另一个平面；

⑦、证明面面垂直的方法

1．证明两个平面的二面角为90角。

2．一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一个平面。大策略 空间平面平行关系垂直关系 小策略平行转化 线线平行 线面平行面面平行 垂直转化 线线垂直 线面垂直面面垂直

二、有“心”的三角形

1．内心：内切圆圆心，是各角平分线的交点； 2．外心：外接圆圆心，是各边垂直平分线交点；

3．重心：各边中线交点，重心将所在中线分成两段比值为2:1； 4．垂心：高的交点。

第二篇：高中立体几何

高中立体几何的学习

高中立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。立体几何是中学数学的一个难点，学生普遍反映“几何比代数难学”。但很多学好这部分的同学，又觉得这部分很简单。那么,怎样才能学好立体几何呢?我这里谈谈自己的认识。

一．空间想象能力的提高。

开始学习的时候，首先要多看简单的立体几何题目，不能从难题入手。自己动手画一些立体几何的图形，比如教材上的习题，辅导书上的练习题，不看原图，自己先画。画出来的图形很可能和给出的图不一样，这是好事，再对比一下，那个图更容易解题。

二．逻辑思维能力的培养。

培养逻辑思维能力，首先是牢固掌握数学的基础知识，其次掌握必要的逻辑知识和逻辑思维。

1.加强对基本概念理解。

数学概念是数学知识体系的两大组成部分之一，理解与掌握数学概念是学好数学，提高数学能力的关键。

对于基本概念的理解，首先要多想。比如对异面直线的理解，两条直线不在同一个平面是简单的定义，如何才能不在同一个平面呢，第一是把同一个[平面上的直线离开这个平面，或者用两支笔来比划，这样直观上有了异面直线的概念，然后想在数学上怎么才能保证两条直

线不在一个平面，那些条件能保证两条直线不在一个平面。我们多去想想，就可以知道，只要直线不平行，并且不相交，那么就异面，对于不平行的条件，在平面几何中我们已经知道，如何能保证不相交呢，想象延长线等手段能不能得到证明呢，如果不能，那么把其中一条直线放在一个平面，看另外一条直线和这个平面是否平行，这样我们对异面直线的概念就比较容易掌握。

这在立体几何“简单几何体”部分的学习中显得尤为突出，本章节中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，严谨性，辨析相近易混的概念。如：正四面体与正三棱锥、长方体与直平行六面体、轴截面与直截面、球面与球等概念的区别和联系。

2.加强对数学命题理解，学会灵活运用数学命题解决问题。

对数学的公理，定理的理解和应用，突出反映在题目的证明和计算上。需要避免证明中出现逻辑推理不严密，运用定理、公理、法则时言非有据，或以主观臆断代替严密的科学论证，书写格式不合理，层次不清，数学符号语言使用不当，不合乎习惯等。

（1）重视定理本身的证明。我们知道，定理本身的证明思路具有示范性，典型性，它体现了基本的逻辑推理知识和基本的证明思想的培养,以及规范的书写格式的养成。做到不仅会分析定理的条件和结论,而且能掌握定理的内容,证明的思想方法,适用范围和表达形式.特别是进入高中学习以后所涉及到的一些新的证题的思想方法,如新教材上的立体几何例题:“过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线.”此定理的证明就采用了反证法,那么反

证法的证题思想就需要去体会,一般步骤,书写格式,注意要点等.并配以适当的训练,以初步掌握应用反证法证明立体几何题.(2)提高应用定理分析问题和解决问题的能力.这常常体现在遇到一个几何题以后,不知从何下手.对于习题，我们首先需要知道：要干什么（要求的结论是什么），那些条件能满足要求，这样一步一步往前找条件。当然这要根据具体情况，需要多看习题，我反对题海，但必要的练习是不可以缺少的。

第三篇：高中数学立体几何初步知识点

高中数学立体几何初步知识点

高中几何是高中的一个难点。大家只要记住下面这几点相信你成绩一定会突飞猛进的！立体几何初步:①柱、锥、台、球及其简单组合体等内容是立体几何的基础，也是研究空间问题的基本载体，是高考考查的重要方面，在学习中应注意这些几何体的概念、性质以及对面积、体积公式的理解和运用。②三视图和直观图是认知几何体的基本内容，在高考中，对这两个知识点的考查集中在两个方面，一是考查三视图与直观图的基本知识和基本的视图能力，二是根据三视图与直观图进行简单的计算，常以选择题、填空题的形式出现。③几何体的表面积和体积，在高考中有所加强，一般以选择题、填空、简答等形式出现，难度不大，但是常与其他问题一起考查④平面的基本性质与推理主要包括平面的有关概念，四个公理，等角定理以及异面直线的有关知识，是整个立体几何的基础，学习时应加强对有关概念、定理的理解。⑤平行关系和垂直关系是立体几何中的两种重要关系，也是解决立体几何的重要关系，要重点掌握。跟几何说886吧，只要用心去学，相信成绩上不会再因为几何而丢大量的分数！

第四篇：第二章立体几何小结

第二章小结

-----本章主要问题方法总结

1、证线在面上：

⑴公理1 数学符号

⑵面面垂直的性质2 数学符号

2、确定一个平面的方法：公理2及其三个推论

公理2： 推论1 推论2 推论3

3、证点在线上的方法：公理3 数学符号

4、空间两直线平行的证明方法：

⑴公理4 数学符号

⑵线面平行的性质定理 数学符号

⑶面面平行的性质定理 数学符号 ⑷线面垂直的性质定理 数学符号

5、证明线面平行的方法：

⑴线面平行的定义

⑵线面平行的判定理 数学符号

⑶面面平行的性质定理补充定理：两平面平行，其中一个平面内的任意直线平行与另一个平面。

数学符号 6:、证线面相交得方法：

⑴定义法：

⑵反证法：

7、证面面平行的方法：

⑴面面平行的定义即两个平面没有公共点。

⑵面面平行的判定定理

数学符号

⑶面面平行的判定定理推论：一个平面内的两相交直线分别平行于另一个平面内的两 1 相交直线那么着两个平面平行。

数学符号 ⑷垂直于同一条直线的两平面平行。

数学符号

⑸平行于同一个平面两平面平行。

数学符号

８、线面垂直的判定方法：

⑴定义法

⑵线面垂直的判定定理

数学符号

⑶两直线平行，其中一条直线垂直一个平面另一条直线也垂直于这个平面。

数学符号 ⑷面面垂直的性质定理

数学符号

9、求空间角的问题：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角。

一般步骤： A、找出或作出有角的图形 B、证明它符合定义

C、计算角的大小（解三角形）

⑴求异面直线所成角两条思维途径：

第一条：以两条异面直线四个顶点中的一个端点为顶点作角。

第二条：以两条异面直线所在的两个平面的交线上的一点为顶点作角 说明：第一条是本质，第二条是第一条的特殊情况。

⑵直线与平面所成的角

作角的关键：通常取斜线上某个特殊点作平面的垂线段，连接垂足和斜足，是产生线面所成角的关键。作垂线时常在这个面的垂面内作垂线。⑶二面角的求法： 定义法

垂面法 垂线法

回顾性练习：

练习1 如图，三棱锥S-ABC四个面都是正三角形，已知E、F分别是棱SC、AB的中点，试求异面直线EF和SA所成的角。

SECFA

B

练习2 已知ABCD-A1B1C1D1是长方体，且ABCD是边长为a的正方形，E是D D1的中点，O是正方形ABCD的中心，直线EO与B1D1所成的角是45度，如图，求直线EO与BC1所成的角。

D1A1EB1C1DOA

CB

练习3 如图 ,∠BAD＝90度的等腰三角形⊿ABD与底面正⊿CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成的角是多少？

ABEC

练习4 如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E两点，又SA＝AB,SB＝BC.求二面角E-BD-C的大小.D

SEADBC

第五篇：《立体几何初步》教材分析——杨帆

数学必修2第一章立体几何初步章节分析

（杨帆 陕西师范大学 710062）

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小和位置关系的学科，而三维空间是人们生存的现实空间．本章将按照由整体到局部的研究方法，研究“简单几何体、直观图、三视图、空间图形的基本关系和公理、平行关系、垂直关系以及简单几何体的面积和体积”，对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证．

1.教材内容的变化

新课标新增了三视图与三视图和实物图的转换，这些内容与初中阶段“空间与图形”中的“视图与投影”紧密衔接，而《旧大纲》中 “直线、平面、简单几何体”没有这部分内容．增加这部分内容的主要目的是通过三视图以及空间几何体与其三视图的互相转化，对空间图形进行整体上的认识，培养和发展学生的空间想象能力、几何直观能力，更全面地把握空间几何体．

新课标也减少了一些内容：如异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离，点到平面的距离，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理，平行平面间的距离，多面体，正多面体．

2.教学目标

2.1知识目标

基础知识：

（1）理解柱、锥、台、球的结构特征；

（2）了解二面角及其平面角的概念；

（3）掌握空间点、直线、与平面之间的位置关系分类（重点）．

基本技能：

（1）理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图；

（2）掌握斜二测画法，能作简单几何体的直观图；

（3）了解柱、锥、台、球表面积和体积的计算公式，并能计算一些简单组合体的表面积和体积；

（4）理解并掌握平行关系和垂直关系的判断和性质（重点）；

（5）能利用公理和基本定理证明简单的几何命题（重点）．

2.2过程目标

（1）培养和发展学生的空间想象力与几何直观能力．

新课程立体几何初步新增加了三视图以及与实物图之间的转换．新增这些内容的目的就是为了让学生更好的认识我们所生活的这个三维空间，能够准确地描述现实世界与图形之间的关系，能从课本还原到现实，来解决生活、生产中的各种问题，发展学生对数学知识的应用意识．例如，平行关系和垂直关系中都是从生活中的平行或垂直关系出发，引入新课，进而进行探究，最后回到生活中来解决实际问题．此外，教师也应注重学生画图能力的培养，特别是立体图形直观图的画法．良好的空间想象能力是学生应该具备的基本数学素养，对于学生更好的生存与发展具有重要意义．

（2）培养学生自主的合情推理与演绎推理能力．

《标准》在立体几何初步部分，要求学生首先通过观察实物模型，空间几何体等，直观认识和理解空间图形的性质以及点、线、面的位置关系，并用数学语言进行表述．这种由一般到特殊，从具体到抽象的推理、归纳、并抽象的过程更易于学生的理论创新．而以往的教材只注重知识的强化和变式应用来锻炼学生的逻辑推理能力，却忽略了知识的发现过程和呈现方式．新课程强调数学的本质，强调数学思维品质的培养．我们可以适当弱化演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发，进行合情推理，转向更全面的教育价值．

2.3情感目标

旧教材将内容去头去尾烧中段呈现给学生，学生既不知道知识“从哪里来，又不知道到哪里去？”，新课程通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，这需要学生从身边的几何实体出发，动手做一做去猜想和验证一些命题．体验定理完整的探究过程，让学生感受到了概念的发是自然形成的，而不是数学家发明出来强加于人的、无用的．

3．知识结构与教学安排

3.1知识结构

3.2课时安排

§1.1简单旋转体

§1.2简单多面体

§2直观图约1课时

§3.1简单组合体的三视图约1课时

§3.2由三视图还原成实物图约1课时

§4.1空间图形的基本关系的认识约1课时

§4.2空间图形的公理约2课时

§5.1平行关系的判定约1课时

§5.2平行关系的性质约2课时

§6.1垂直关系的判定约2课时

§6.2垂直关系的性质约1课时

§7.1简单几何体的侧面积约1课时

§7.2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积约1课时

§7.3球的表面积和体积约1课时共1课时

4．教学重难点

4.1教学重点

（1）空间中点、线、面的位置关系

立体几何初步要求借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，以空间几何的上述定义和公理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中平行和垂直关系的判定和性质．

（2）三种数学语言：自然语言、图形语言、和符号语言的转化

数学拥有多种语言，这是区别于其他学科的典型特征．学生要学会从图形入手，有序地建立图形、文字、和符号这三种语言之间的联系．特别是在公理或定理教学中，要同时使用三种语言进行描述．培养符号语言的图象化事实上培养了直觉思维的发展，使文字语言符号化培养了思维的逻辑性，文字语言数学化培养了学生的数学应用意识．

4.2教学难点

（1）三视图的认识

三视图属于新课程新增内容，在三视图的教学中，组合体的三视图和依据三视图判别几何体是教学的难点．特别是对于三视图还原为实物图，教师可以实物为对象，如先画出一幅主视图，让学生用萝卜切出满足主视图的几何体，满足条件的几何体可能有很多，教师可以继续限制几何体的左视图，学生继续修改几何体，循序渐进，最后发展通过三视图来切几何体的能力，这个过程对培养学生的空间想象能力至关重要．本节课的教学需要学生动手操作，教师可借此节课培养学生对立体几何的兴趣．

（2）立体几何的证明

标准对立体几何内容是分层设计的．因此，立体几何中的证明也要分层，不能一步到位．本章学习了4条公理，4条判定定理，四条性质定理和1条从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理，标准只要求对于四个性质定理用综合几何的方法加以证明．对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何”中利用向量的方法予以证明．所以利用几何直观证明是我们培养的重点，要相应弱化形式证明．我们所要求的证明应该是较为简单的命题，即能用定理进行简单推理，而非强调技巧的证明．此处所应用的反证法又是一难点，教师可以逐步引导学生去理解应用．

（3）培养学生形成空间想象能力和几何直观能力（重难点）

5.教学建议

（1）站在全局的角度了解学生，把握新课的定位．

新课改已经由义务教育到高中教育全面推行，很多高中老师却只关心高中的课标变化，而忽略了学生在初中的几何基础，学生学习最重要的因素就是学生已经知道了什么，这样才能了解学生的最近发展区，对学生提出适度的要求，以免造成学生过重的负担或浪费他们的能力．只有立足整体，通过联系初中平面几何中的知识，将其在三维空间中进行推广或演变，将前后知识连结为整体，增强学生知识的系统性．

（2）主次分明，对于课标不要求的点到为止．

本章的重点在第三节到第六节，简单几何体的体积、球的体积和表面积，根据课标要求只需了解公式．在教这一节时，我们只要求学生初步了解公式导出过程中所隐含的数学思想方法，并不要求理解其证明过程．

（3）书中有的旁白是对定义的补充，有的是方法指导，教师不得忽略，要做适当的讲解．