初高中数学教学衔接的探求

第一篇：初高中数学教学衔接的探求

初高中数学教学衔接的探求

陈 琳

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、泛味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面就这个问题进行分析，探讨其原因，寻找解决对策。

一、高一学生学习数学产生困难是造成数学成绩下降的原因

(一)教材的原因

由于实行九年制义务教育和倡导全面提高学生素质，现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低了，那些在高中学习中经常应用到的知识，如：对数、二次不等式、解斜三角形、分数指数幂等内容，都转移到高一阶段补充学习。这样初中教材就体现了“浅、少、易”的特点，但却加重了高一数学的份量。另外，初中数学教材中每一新知识的引入往往与学生日常生活实际很贴近，比较形象，并遵循从感性认识上升到理性认识的规律，学生一般都容易理解、接受和掌握。且目前初中教材叙述方法比较简单，语言通俗易懂，直观性、趣味性强，结论容易记忆，应试效果也比较理想。相对而言，高中数学一开始，概念抽象，定理严谨，逻辑性强，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维和空间想象明显提高，知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。例如：高一《代数》第一章就有基本概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。

(二)教法的原因

初中数学教学内容少，知识难度不大，教学要求较低，因而教学进度较慢，对于某些重点、难点，教师可以有充裕的时间反复讲解、多次演练，从而各个击破。另外，为了应付中考，初中教师大多数采用“满堂灌”填鸭式的教学模式，单纯地向学生传授知识，并让学生通过机械模仿式的重复练习以达到熟能生巧的程度，结果造成“重知识，轻能力”、“重局部，轻整体”、“重试卷（复习资料），轻书本”的不良倾向。这种封闭被动的传统教学方式严重束缚了学生思维的发展，影响了学生发现意识的形成，创新思维受到了扼制。但是进入高中以来，教学教材内涵丰富，教学要求高，教学进度快，知识信息广泛，题目难度加深，知识的重点和难点也不可能象初中那样通过反复强调来排难释疑。且

高中教学往往通过设导、设问、设陷、设变，启发引导，开拓思路，然后由学生自己思考、去解答，比较注意知识的发生过程，倾重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养。这使得刚入高中的学生不容易适应这种教学方法。听课时就存在思维障碍，不容易跟上教师的思维，从而产生学习障碍，影响数学的学习.(三)学生自身的原因

1、心理原因我国现行学制的高一学生一般是16岁，在生理上，正处在青春时期，而在心理上，也发生了微妙的变化。与初中生相比，多数高中生表现为上课不爱举手发言，课内讨论气氛不够热烈，有时点名回答问题也不够直爽，与教师的日常交往渐有隔阂感，即使同学之间朝夕相处，也不大愿意公开自己的心事。心理学上把这种青年初期最显著的心理特征称为闭锁性。高一学生心理上产生的闭锁性，给教学带来很大的障碍，表现在学生课堂上启而不发，呼而不应。

2、学法原因在初中，教师讲得细，类型归纳得全，反复练习。考试时，学生只要记忆概念、公式、及例题类型，一般都可以取得好成绩。因此，学生习惯于围着教师转，不需要独立思考和对规律进行归纳总结。学生满足于你讲我听、你放我录，缺乏学习主动性。而到了高中，数学学习要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。所以，刚入学的高一新生，往往沿用初中学法，致使学习出现困难，完成当天作业都颇困难，更没有预习、复习、总结等自我消化、自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。造成高一学生数学学习的困难，还有：沿袭初中的思维方式，没有及时有效地自我调节，使之尽快适应新的学习生活。另外，学生学习数学的情感、兴趣、性格、意志品质的优劣、学习目的和学习态度如何，都会影响高一学生数学学习。

二、搞好初高中数学教学衔接，帮助学生渡过学习数学“困难期”的对策

(一)做好准备工作，为搞好衔接打好基础

1、搞好入学教育。

提高学生对初高中衔接重要性的认识，增强紧迫感，消除中考后的松懈情绪，使学生初步了解高中数学学习的特点。为此，首先给学生讲清高一数学在整个中学数学所占的位置和作用。其次，结合实例，采取与初中对比方法，给学生讲清高中数学内容体系的特点和课堂教学的特点。此外，结合实例，给学生分析初高中教学在学习方法上存在的本质区别，并向学生介绍一些优秀学法。最后，可以请高二、三年级学生谈体会和感受，引导学生少走弯路，尽快适应高中学习。

2、摸清学生学习基础，以此规划教学和落实教学要求。

教师一方面通过测试和了解入学成绩，了解学生的基础，另一方面，认真学习初高中教学大纲和教材，比较其异同，以全面了解初高中数学知识体系，找出初高中知识的衔接点。

(二)搞好初高中数学知识衔接教学

数学知识相互联系的，高中的数学知识也涉及初中的内容。如函数性质的推证，求轨迹方程中代数式的运算、化简、求值。立体几何中空间问题，转化为平面问题。初中几何中角平分线、垂直平分线的点的集合，为集合定义给出了几何模型。可以说高中数学知识是初中数学知识的延拓和提高，但不是简单的重复，因此在教学中要正确处理好二者的衔接，深入研究两者彼此潜在的联系和区

别，做好新旧知识的串连和沟通。为此在高一数学教学中必须采用“低起点，小步子”的指导思想，帮助学生温习旧知识，恰当地进行铺垫，以减缓坡度。分解教学过程，分散教学难点，让学生在已有的水平上，通过努力，能够理解和掌握知识。如：“函数概念”、“任意角三角函数的定义”等，可以先复习初中学过的函数定义、直角三角函数的定义。又如：在立体几何中学习“空间等角定理”时，可先复习近平面几何中的“等角定理”，并引导学生加以区别和联系。每涉及新的概念、定理，都要结合初中已学过的知识，以激发学生的兴趣和求知欲。(三)加强学法指导，培养良好学习习惯

良好学习习惯是学好高中数学的重要因素。它包括：制定计划、课前自习、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习这几个方面。改进学生的学习方法，可以这样进行：引导学生养成认真制定计划的习惯，合理安排时间，从盲目的学习中解放出来；引导学生养成课前预习的习惯。可布置一些思考题和预习作业，保证听课时有针对性。还要引导学生学会听课，要求做到“心到”，即注意力高度集中；“眼到”，即仔细看清老师每一步板演；“手到”，即适当做好笔记；“口到”，即随时回答老师的提问，以提高听课效率。引导学生养成及时复习的习惯，下课后要反复阅读书本，回顾堂上老师所讲内容，查阅有关资料，或向教师同学请教，以强化对基本概念、知识体系的理解和记忆。引导学生养成独立作业的习惯，要独立地分析问题，解决问题。切忌有点小问题，或习题不会做，就不加思索地请教老师同学。引导学生养成系统复习小结的习惯，将所学新知识融入有关的体系和网络中，以保持知识的完整性。引导学生养成阅读有关报刊和资料的习惯，以进一步充实大脑，拓宽眼界，保持可持续发展的后劲。加强学法指导应寓于知识讲解、作业评讲、试卷分析等教学活动中。另外还可以通过举办讲座、介绍学习方法和进行学习目的和学法交流。

(四)培养学生的数学兴趣

心理学研究成果表明：推动学生进行学习的内部动力是学习动机，而兴趣则是构建学习动机中最现实、最活跃的成份。浓厚的学习兴趣无疑会使人的各种感受尤其是大脑处于最活泼的状态，使感知更清晰、观察更细致、思维更深刻、想象更丰富、记忆更牢固，能够最佳地接受教学信息。不少学生之所以视数学学习为苦役、为畏途，主要原因还在于缺乏对数学的兴趣。因此，教师要着力于培养和调动学生学习数学的兴趣。可通过介绍古今中外数学史、数学方面的伟大成就，阐明数学在自然科学和社会科学研究中，尤其是在工农业生产、军事、生活等方面的巨大作用，来引导诱发学生对数学的兴趣；在课堂教学过程中要针对不同层次的学生进行分层教学，注意创设新颖有趣、难易适度的问题情境，把学生导入“似懂非全懂”、“似会非全会”、“想知而未全知”的情境，避免让学生简单重复已经学过的东西，或者去学习过分困难的东西，让学生学有所得，发现自己的学习成效，体会探究知识的乐趣，增强学习的信心。

课堂教学的导言，需要教师精心构思，一开头，就能把学生深深吸引，使学生的思维活跃起来。如：在高一数学学习集合初步知识，集合是一个学生未接触的抽象概念，若照本宣科，势必枯燥无味，可以这样引入：“某同学第一次到商场买了墨水、日记本和练习本，第二次买了练习本和钢笔，问这个同学两次一共买了几种东西？学生会回答应是4种，然而为什么不是3+2=5种呢？这里运用了一种新的运算，即集合的并的运算： {a,b,c} ∪{c,d}= {a,b,c,d}，可见，这一问题中所研究的对象已不仅仅是数，而是由一些具有某种特征的事物所组成的集合。集合论是德国数学家康托在19世纪创立的，它是现代数学各个分支的基础和重要工具，等待我们去学习、研究、开拓、创新，这样，学生的注意力被吸引，使他们对学习知识产生了浓厚的兴趣。

在教学过程中，教师还要通过生动的语言、精辟的分析、严密的推理、有机的联系来挖掘和揭示数学美，让学生从行之有效的数学方法和灵活巧妙的解题技巧中感受数学的无穷魅力，并通过自己的解题来表现和创造数学美，产生热爱数学的情感，从枯燥乏味中解放出来，进入其乐无穷的境地，以保持学习兴趣的持久性。

(五)学生能力的培养

培养学生能力，是初高中数学衔接非常重要的环节，主要有：

1、培养学生独立学习的能力

在高一年级开始，可选择适当内容在课内自学。教师根据教材内容拟定自学提纲──基本内容的归纳、公式定理的推导证明、数学中研究问题的思维方法等。学生自学后由教师进行归纳总结，并给以自学方法的指导，以后逐步放手让学生自拟提纲自学，并向学生提出预习及进行章节小结的要求。学生养成自学的习惯后，就能使他们的学习始终处于积极主动的状态，这必将大大提高教和学的效率。

2、培养分析问题和解决问题的能力

从高一开始，应要求学生把每条定理、每道例题都当作习题，认真地重证、重解，并适当加些批注，特别是通过对典型例题的讲解分析，最后要抽象出解决这类问题的数学思想和方法，并做好书面的解题后的反思总结出解题的一般规律和特殊规律，以便推广和灵活运用。另外，老师要鼓励学生独立解题，因为努力求解过程，也是培养分析问题和解决问题的能力过程。

3、培养学生的准确计算能力

在有些学生，特别是平时显得比较聪明的学生看来，计算是否准确只是个细心问题。其实，能准确进行计算是一项不容忽视的能力，这要靠平时认真坚持和严格训练才能养成。几乎每一个数学问题的解决，都离不开计算，因此，要使学生明白这一点并在平日里从严要求。

4、培养提出问题的能力

可训练学生从下列两种角度提出问题：其一是从逻辑角度。例如：一个真命题的逆命题是否也真？一个命题的前提部分若由好几条组成，那么每一条对结论有何影响？若把其中某条换成别的条件又会有什么结果？某个特殊命题是否是某个一般问题的特例？其二是从学科或章节内容间的联系上找问题。如：某个代数中的定理有什么几何意义？有什么物理意义？等等。

5、培养学生良好的心理素质，发挥非智力因素的作用

学习质量的优良程度与学生心理素质有着密切的关系。心理素质及非智力因素涉及面很广，对高中数学起步教学影响较大的有：学习目的、学习兴趣和愿望、学习习惯和方法、个人意志和毅力等。所以，在教学中，教师应热情地鼓励学生上进，端正学习动机，增强学习信心，激发求知欲望，还要鼓励学生克服学习困难，刻苦努力，发奋图强，使学生始终处于最佳状态下学习。

总之，在高一数学的起步教学阶段，分析清楚学生学习数学困难的原因，抓好初高中数学教学衔接，便能使学生尽快适应新的学习模式，从而更高效、更顺利地接受新知和发展能力。

（此文1999年7月获中科院心理研究所自学辅导研究会优秀论文一等奖并于1999年9月获

市数学优秀论文一等奖）

第二篇：初高中数学衔接教案

第一讲

数与式 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．

1．填空：（1）若，则x=_________；若，则

ba

练

习

（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.．选择题： 下列叙述正确的是

（）

（A）若，则（B）若，则 则

（D）若，则

（C）若，－3．化简：|x－5|－|2x13|（x＞5）． 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 ； 方公式 ．乘法公式

：；

（2）完全平

我们还可以通过证明得到下列一些

（1）立方和公式）三数和平方公式（4）两数和立方公式 ；）两数差立方公

（2）立方差公式

；

；（3（式

．

5对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 22例1 计算：． 例2 已知，求的值．

练

习1．填空： 111122（1）；（）（2）

；(3)．

完全平方式，则等于（）

942322)2222

．选择题： 12（1）若是一个

21112222（C）

（D）（A）

（B）mmmm

416322（2）不论，为何实数，的值（）ba

（A）总是正数（B）总是负数

（C）可以是零

（D）可以是正数也可以是负数 1.1.3．二次根式

一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开，等是有理式．

2得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而 2 2

21．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不

含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，a3a22 式． 与，与，与，等等．

一般地，与，与互为有理化因

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算

中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

22．二次根式的意义 a 2

例1 将下列式子化为最简二次根式：

62（1）；

（2）；

（3）． 算：．

－

例2 计例3 试比较下列各组数的大小： 2（1）和；（2）和.例化简：．

2例 5 化简：（1）；（2）． 求的值 ． ＝__

___；

例 6 已知，（1）

练习1．填空：

2（2）若，则的取值范围是_

_

___；

x

（3）__

___；

（4）若，则______

．选择题： xx等式成立的条件（A）（B）（C）（D）．若，求的值．

__．

是（）

4．比较大小：2－3

5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式 1．分式的意义 AAA形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式

BBB

具有下列性质： 3 ；

．

上述性质被称为分式

像，这样，分子或分母中又含有

例1 若，求常数的例2（1）试证：的基本性质． 2．繁分式 a 分式的分式叫做繁分式．

值．

解得 ．

（其中n是正整数）；

11（2）计算：；

1111（3）证明：对任意大于1的正整数

an，有．

2a＝0，求e的值．()；（）

c22例3 设，且e＞1，2c－5ac＋

练

习1．填空题： 111对任意的正整数n，nn2．选择题： 若，则＝

546（A）１（B）（C）（D）

．正数满足，求的值．

455算．

(1)

11114．计

习题1．1 1．解不等式： 4

；

(2)；

２．已知，求的值．

(3)． ．填空：

1819（1）＝________； ________； a

22（2）若，则的取值范围是

（3）________．

．2

分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 分解因式： 22（1）x－3x＋2；（2）x＋4x－12；（3）；（4）．

解：（1）如图1．2－1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分2解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x－3x＋2中的一次项，所以，有 2x－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 1 －2 x x 1 －ay －1 －1 x 1 －2 x 1 6 －by －2 图1．2－1 图1．2－3 图1．2－4 图1．2－2 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得 2x＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图1．2－4，得

x －1 22

＝

y

1（4）＝xy＋(x－y)－1 图1．2－5 ＝(x－1)(y+1)（如图1．2－5所示）． 5

2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：（1）；

（2）．（2）= ==．

2)（或

=

=

23．关于

=．

x的二次三项式ax+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式

2就式分

解

因

式

可：

分

解（1为.例3 把下列关于x的二次多项）；

（2）．

个因式为（）

练习1．选择题： 22多项式的一

（A）（B）（C）（D）

．分解因式： 233（1）x＋6x＋8；（2）8a－b； 2（3）x－2x－1；（4）．

习题1．2 1．分解因式： 342（1）；

（2）；

13（4）． 式分解：

2（4）． 222

3（1）；（2）；

（3）；

．在实数范围内因

（3）；

．三边b，满足，试判定的形状． 4．分解因式：x＋x－(a－a)． 第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式

2我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

．

22a4a2

因为a≠0，所以，4a＞0．于是 2（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

＝； 12，2a2（2）当b－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 b x＝x＝－； 12 2ab22（3）当b－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一

2a

定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 22由此可知，一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b－4ac来判22定，我们把b－4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 2综上所述，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

ac x＝； 12，2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 b x＝x＝－； 12 2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． 7

22（1）x－3x＋3＝0；（2）x－ax－1＝0； 22（3）x－ax＋(a－1)＝0；（4）x－2x＋a＝0． 说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题． 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）2 若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 则有

122a2a2aa 212222a2a4a4aa，；

．

122a2a

所以，一元二次方程的根与系数之间存

一在下列关系： bc2 如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x，x，那么x＋x＝，xx＝．这

aa关系也被称为韦达定理． 2

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x，x是其两根，12由韦达定理可知

x＋x＝－p，xx＝q，·1212 即 p＝－(x＋x)，q＝xx，·121222 所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x＋x)x＋xx＝0，由于x，x是一元二·12121222次方程x＋px＋q＝0的两根，所以，x，x也是一元二次方程x－(x＋x)x＋xx＝0．因·121212此有

以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 根及k的值．

122x－(x＋x)x＋xx＝0． ·12122例2 已知方程的一个根是2，求它的另一个

－例3 已知关于x的方程x＋2(m2)x＋m＝0有两个实数根，并且这两个＋4实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 2 例5 若x和x分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根． 12（1）求| x－x|的值； 12 8

11（2）求的值；

22xx1233

（3）x＋x． 12 2例6 若关于x的一元二次方程x－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围． 练习1．选择题： 22（1）方程的根的情况是（）

（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根 2（2）若关于x的方程mx＋(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）11（A）m＜（B）m＞－ 4411（C）m＜，且m≠0（D）m＞－，且m≠0 442．填空: 112（1）若方程x－3x－1＝0的两根分别是x和x，则＝ ．

xx 122（2）方程

mx＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是

．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

223．已知，当k取何值时，方程kx＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

．已知方程x－3x－1＝0的两根为x和x，求(x－3)(x－3)的值． 1212 习题2.1 1．选择题: 2（1）已知关于x的方程x＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2（2）下列四个说法： 2 ①方程x＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； 2②方程x－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7； 72③方程3 x－7＝0的两根之和为0，两根之积为；

32④方程x＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 9

22（3）关于x的一元二次方程ax－5x＋a＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－1 2．填空: 2（1）方程kx＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．

222（2）方程2x－x－4＝0的两根为α，β，则α＋β＝ ．

2（3）已知关于x的方程x－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

2（4）方程2x＋2x－1＝0的两根为x和x，则| x－x|＝ ． 1212 223．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程mx－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

24．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x－7x－1＝0各根的相反数． 2．2 二次函数 2 2.2.1 二次函数y＝ax＋bx＋c的图像和性质 22二次函数y＝ax(a≠0)的图象可以由y＝x的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得2到．在二次函数y＝ax(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 2二次函数y＝a(x＋h)＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 2由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 22bbbb222由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋)＋c＝a(x＋＋)＋c－ xx

2a4a2

2，所以，y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax的图象作左右平移、2上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

（1）当a＞0时，函数y＝ax＋

2a4abbbbx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大＝．

而增大；当x＝时，函数取最小值y

（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c

2a4abbb图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；

当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的2a2a2a 10

2增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝． 2a4a 2－例1 求二次函数y＝3x－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象． 2例2 把二次函数y＝x＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数2y＝x的图像，求b，c的值． 2例3 已知函数y＝x，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）22（A）y＝2x（B）y＝2x－4x＋2 22（C）y＝2x－1（D）y＝2x－4x 22（2）函数y＝2(x－1)＋2是将函数y＝2x（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题 2（1）二次函数y＝2x－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝ ．

2（2）已知二次函数y＝x+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．

2（3）函数y＝－3(x＋2)＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标 为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小． 3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象． 22（1）y＝x－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x． 24．已知函数y＝－x－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最 11

小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3． 2.2.2 二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 21．一般式：y＝ax＋bx＋c(a≠0)； 22．顶点式：y＝a(x＋h)＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 3．交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，其中x，x是二次函数图象与x轴交点的1212横坐标． 例 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式． 例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． 例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 练习1．选择题: 2（1）函数y＝－x＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定 1（2）函数y＝－(x＋1)＋2的顶点坐标是（）（A）(1，2)（B）(1，－2)（C）(－1，2)（D）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a(a≠0)．

2（2）二次函数y＝－x+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)． 习题2．2 1．选择题： 2－（1）把函数y＝－(x1)＋4的图象的顶点坐标是（）（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）12

2－（2）函数y＝x＋4x＋6的最值情况是（）

（A）有最大值6（B）有最小值6（C）有最大值10（D）有最大值2 2（3）函数y＝2x＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是

（）

（A）－3≤y≤1

（B）－7≤y≤1

（C）－7≤y≤11（D）－7≤y＜11

2．填空：（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为 ．（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ． 23．把已知二次函数y＝2x＋4x＋7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函数表达式． 4．已知某二次函数图象的顶点为A（2，－18），它与x轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式． 2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

方程

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是做一次项,6叫做常方程

组

2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中，叫做这个方程的二次项，叫

22xyx2xyy

数项． 我们看下面的两个

：

第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组

① ② 例2 解方程组 的解?

（3）（4）列方程组:（4）

练习

2．解下（1）

（2）1．下列各组中的值是不是方程组

（1）

（2）

（3）

2.3.2 一元二次不等式解法 2（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x，0)和(x，0)，方程122ax＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x和x(x＜x)，由图2.3－2①可知 12122不等式ax＋bx＋c＞0的解为

x＜x，或x＞x； 122 不等式ax＋bx＋c＜0的解为 x＜x＜x． 1222（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax＋bxb＋c＝0有两个相等的实数根x＝x＝－，由图2.3－2②可知

122a2不等式ax＋bx＋c＞0的解为

b x≠－ ； 2a2 不等式ax＋bx＋c＜0无解． 22（3）如果△＜0，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax＋，bx＋c＝0没有实数根由图2.3－2③可知

2不等式ax＋bx＋c＞0的解为一切实数； 2不等式ax＋bx＋c＜0无解． 例3 解不等式： 22－（1）x＋2x－3≤0；（2）xx＋6＜0； 14（3）4x＋4x＋1≥0；（4）x－6x＋9≤0； 2（5）－4＋x－x＜0． 2 例4已知函数y＝x－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．

练

习1．解下列不等式： 22（1）3x－x－4＞0；（2）x－x－12≤0； 22≤0．（3）x＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x

22≤0（a为常数）． 2.解关于x的不等式x＋2x＋1－a

习题2．3 1．解下列方程组： 2（2）

222.42

0;

222(2

3)0;

9,22

1,4,（1）

（3）

2．解下列不等式： 22

（1）3x－2x＋1＜0；

（2）3x－4＜0； 22≥－1；（4）4－x≤0．（3）2x－x 第三讲 三角形与圆 3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.ABDEABDE如图3.1-2，有.当然，也可以得出.在运用该定理l//l//123BCEFACDF解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应

关系，是“对应”线段成比例.例如图3.1-2，l//l//l123且求.AB=2,BC=3,DF=4,DE,EF 15

例2 在中，为边上的点，求证：.ABACBC

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.ABBDACDC例3

在中，为的平分线，求证：.VABCÐBAC=AD

例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该

角的两边之比）.练习1 1．如图3.1-6，下列比例式正确的l//l//l123是（）ADCEADBCA． B． == DFBCBEAFCEADAFBEC． D.==

DFBCDFCE

图3.1-6

2．如图3.1-7，求的平分线，DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,.BF 图3.1-7 3．如图，在中，AD是角BACAB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的VABC长.图3.1-8

3.1．2．相似形 我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，.ÐBACAD^BC于D

求证：（1），；

22AB=BD BCAC=CD CB（2）2AD=BD CD练习1．如图3.1-15，D是

VABCDE//BC的边AB上的一点，过D点作已知AD：DB=2：3，则等于

交AC于E.（）

S:SVEDA四边形EDCBA． B． C． D． 2:34:94:54:21图3.1-15 2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是，则梯形的上、下底长分别是__________.3:23．已知：的三边长分别是

3，4，5，与其相似的的最大边长是15，VABCVA'B'C'求的面积.'B'C'SVA'B'C'

4．已知：如图

3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.（1）请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；（2）若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是正方形？

图3.1-16 习题3.1 17

中，1．如图3.1-18，AD=DF=FB，AE=EG=GC，VABCFG=4，则（）

A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6 C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8 图3.1-18 2．如图3.1-19，BD、CE是的中线，P、Q分别是VABC BD、CE的中点，则等于（）PQ:BCA．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 图3.1-19 3．如图3.1-20，中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：YABCD

AB=2：3，求.SS=4VCDFVBEF

图3.1-20 4．如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，BE^AC求证：.2AG=AF FC 图3.1-21 3.2

三角形 3．2．1 三角形的“四心” 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三 18

角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，VABC图3.2-3 求证

AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）

图3.2-5 例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且IVABCVABCBC=a,AC=b,AB=cb+c-a在的边上的射影分别为，求证：.VABCBC、AC、ABD、E、FAE=AF=

2三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图3.2-8 例4 求证：三角形的三条高交于一点.已知 中，AD与BE交于H点.VABCAD^BC于D,BE^AC于E，求证.CH^AB 过不共线的三点

A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.19

练习1 1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2．（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆分别为（其中为斜边长），则三角形的内

a、b、c的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长

a、b、cc

切圆的半径是___________.并请说明理由.练习2 1．直角三角形的三边长为3，4，,则________.xx= 2．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.3．已知直角三角形的周长为，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.3列结论中，132A．

3习题3.2 A组 1．已知：在中，AB=AC，为BC边上的高，则下

o

正确的是（）

B．

C．

D． 6、8、10，那么它最短边2222．三角形三边长分别是上的高为（）A．6 B．4.5 C．2.4 D．8 3．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于

_________.4．已知：是的三条边，那么的取值范围是_________。，且是整数，则的值是_________。

5．若三角形的三边长分别为aa81、a、3．3圆 3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系

设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？OOll r 20

图3.3-1 观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，d>r直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如Od=rl1圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.Od

AB222.r-d=()2 当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切PA.Rt线，可

OPA,PB

得，且

在中，.222OA

PB图3.3-3 如图3.3-4，为圆的切OOPTPAB

以证得，因而.线，为圆的割线，我们可

2图3.3-4 例1 如图3.3-5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦 21

AB=6cm，D是的中点，求弦BD的长度。AB

例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和，且这两条线的距离为3.求这个圆26的半径.设圆与圆半径分别为，它们可能有哪几种位置关系？ OOR,r(R两圆相内切，r)2图3.3-7

观察图3.3-7，两圆的圆心距为，不难发现：当时，如图（1）；当时，两圆相外切，如图（2）；当时，两圆相内含，如图（3）；当时，两圆相交，如图（4）；当时，两圆相外切，如图（5）.例3 设圆与圆的半径分别为3和2，为两圆的交点，试求两圆OOOO4A,B2112 的公共弦的长度.AB练习1 1.如图3.3-9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。22 图3.3-9

2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。

3.如图3.3-10，⊙Oo的直径AB和弦CD相交于点E，求CD的长。

图3.3-10 4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.3．3．2 点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转r一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距r离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.rr我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：（1）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：（2）和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：（3）到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.练习下列条件的点的轨迹： 23 1．画图说明满足（1）到定点的距离等于的点的轨迹； 3cmA（2）到直线的距离等于的点的轨迹；

2cml（3）

已知直线，到、的距离相等的点的轨迹.AB//CDCDAB 2．画图说明，到直线的距离等于定长的点的轨迹.dl习题3.3 1． 已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（）5 A． B． C．3 D．4 3 2 2． 在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（）

A． B． C． D． 3433323 3． AB为⊙O的直径，弦，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于（）CA． B． C． D． 462622182 4． 如图3.3-12，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知oOB=10cm,OE=12cm，求AB。3.3-12

参考答案 第一讲

数与式 1.1.1．绝对值

图

1．（1）；

（2）；或 2．D 3．3x－18 公式 11111．（1）

（2）

（3）

1.1.2．乘法

b

32242．（1）D（2）A 1.1.3．二次根式 24

1．（1）（2）（3）（4）． 532100习题

2863

52．C 3．1

4．＞ 1.1.4．分式 199

1．2．B 3． 4． 2

1．1 1．（1）或（2）－4

211.2

＜x＜3

（3）x＜－3，或x＞3 3．（1）（2）（3）

2．1

分解因式 3）1． B

2．（1）(x＋2)(x＋4)

（2）

22(2)(42（1)2)（1

（2)（4）．

2)(2)(2

习题1．2

1．（1）

（2）（3）23231111

2a3

4（45252723(1)(33）135521

2．（1）；（2）；

5)（1

（4）．

（3）；

5)3

3．等边三角形 4．（1)（）第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 练习1．（1）C（2）D

22．（1）－3

（2）有两个不相等的实数根（3）x＋2x－3＝0 3．k＜4，且k≠0 4．－1 提示：(x－3)(x－3)＝x x－3(x＋x)＋9 121212习题

2．1 1．（1）C（2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜20，所以方程没有实数根；对于④，其两根之和应为－．（3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意． 25 2．（1）2（2）（3）6（3）3 4113．当

m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两

441个相等的实数根；当m＜－时，方程没有实数根．

44．设已知方程的两根分别是x和x，则所求的方程的两根分别是－x和－x，∵x＋x＝7，1212122

xx＝－1，∴(－x)＋(－x)＝－7，(－x)×(－x)＝xx＝－1，∴所求的方程为y＋7y－1＝0．12121212 2．2 二次函数 22.2.1 二次函数y＝ax＋bx＋c的图象和性质 练

习1．（1）D

（2）D

2．（1）4，0（2）2，－2，0（3）下，直线x＝－2，(－2，5)；－2，大，5；＞－2． 3．（1）开口向上；对称轴为直线x＝1；顶点坐标为(1，－4)；当x＝1时，函数有最小值y＝－4；当x＜1时，y随着x的增大而减小；当x＞1时，y随着x的增大而增大．其图象如图所示．（2）开口向下；对称轴为直线x＝3；顶点坐标为(3，10)；当x＝3时，函数有最大值y＝10；当x＜3时，y随着x的增大而增大；当x＞3时，y随着x的增大而减小．其图象如图所示．

y

(3,10)

y 2y＝x－2x－3 x＝1 －1 O 3 x 2y＝－x＋6x＋1 1 O x －3(1,－4)x＝3(2)(1)(第3题)

4．通过画出函数图象来解（图象略）．（1）当x＝－2时，函数有最大值y＝3；无最小值．（2）当x＝－1时，函数有最大值y＝4；无最小值． 26

（3）当x＝－1时，函数有最大值y＝4；当x＝1时，函数有最小值y＝0．（4）当x＝0时，函数有最大值y＝3；当x＝3时，函数有最小值y＝－12． 2.2.2 二次函数的三种表示方式 练习1．（1）A（2）C －2．（1）(x＋1)(x1)（2）4 3223．（1）y＝－x＋2x－3（2）y＝(x－3)＋5 2（3）y＝2(x－1＋2)(x＋1－2)习题2．2 1．（1）D

（2）C（3）D 222．（1）y＝x＋x－2

（2）y＝－x＋2x＋3 23．y＝2x－12x＋20 24．y＝2x－8x－10 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 练习1.（1）（2）是方程的组解；

（3）（4）不是方程组的解． 2．（1）

（2）

（3）

（4）

2.3.2 一元二次不等式解法

练习27

41．（1）x＜－1，或x＞ ；（2）－3≤x≤4；

（3）x＜－4，或x＞1；（4）x＝4． 2．不等式可以变为(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0，（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a； 2≤0，∴x＝－1；（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)

（3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a． 综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a； 当a＝0时，原不等式的解为x＝－1； 当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．

2,0,220,0,412

习题2．3 1024

53111．（1）

.,，（2）

.2253

332,2,332;3,2,12 3,3,3,（3）

（4）

34211,1,1.1,1243

33（3）1－23232．（1）无解（2）

2≤x≤1＋2（4）x≤－2，或x≥2 第二讲 三角形与圆 3.1 相似形 练习1 1．D DEADx510102．设.即 , ，,，.2833ABBD5353．ACDC49CFDC 28

4．作交于，则得，又

ACDCEGCE交5．作于，即

ABABEGEGEF 11523． 练习2 1．

C2．12，18

．（1）因

为所以是平行四边形；（2）当时，为菱形；当时，为正方形.EFGH

2o5．（1）当时，；（2）.习题3.1 1．B 2.B

3.．为直角三角形斜边上的高，又可证.ABC

BF．证略 2.（1）；（2）.3.C 8020 解得，3.2 三角形 练习1

练习2 oo71．5或 2.或

．设两直角边长为，斜边长为2，则，且，1.5.可利用面积证

习题3.2 A组 ．B 2.D 3.4.5.8 120 29

3.3 圆 练习1，，1．取COMD17

AB中点M，连CM，MD，则，且

共线，158,25,9,.534cm34cm,32，2．O到ABCD的距离分别为3cm,4cm，梯形的高为1cm或7cm，梯形的面积为7或49.cm 3.半径为3cm，OE=2cm.,OF=.4.外公切线长为12，内公切线长为.433,26cm练习1.(1)以A为圆心，3cm为半径的3.3 圆；（2）与平行，且与距离为2cm的两条平行线；（3）与ABll平行，且与AB,CD距离相等的一条直线.2.两条平行直线，图略.习题1．B 2.A 3.B 4.AB=8cm.30

第三篇：初高中数学衔接练习题

初中升高中衔接练习题（数学）

乘法公式1．填空：（1）（）；

（2）；

(3)

．

2．选择题：（1）若是一个完全平方式，则等于（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）不论，为何实数，的值（）

（A）总是正数

（B）总是负数

（C）可以是零

（D）可以是正数也可以是负数

因式分解

一、填空题：1、把下列各式分解因式：

（1）__________________________________________________。

（2）__________________________________________________。

（3）__________________________________________________。

（4）__________________________________________________。

（5）__________________________________________________。

（6）__________________________________________________。

（7）__________________________________________________。

（8）__________________________________________________。

（9）__________________________________________________。

（10）__________________________________________________。

2、若则。

二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、在多项式（1）（2）（3）（4）

（5）中，有相同因式的是（）

A.只有（1）（2）

B.只有（3）（4）

C.只有（3）（5）

D.（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式得（）

A

B

C

D3、分解因式得（）

A、B、C、D、4、若多项式可分解为，则、的值是（）

A、，B、，C、，D、，5、若其中、为整数，则的值为（）

A、或

B、C、D、或

三、把下列各式分解因式1、2、3、4、提取公因式法

一、填空题：1、多项式中各项的公因式是_______________。

2、__________________。

3、____________________。

4、_____________________。

5、______________________。

6、分解因式得_____________________。

7．计算=

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”）

1、…………………………………………………………

（）

2、……………………………………………………………

（）

3、……………………………………………

（）

4、………………………………………………………………

（）

公式法

一、填空题：，的公因式是___________________________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×”）

1、…………………………

（）

2、…………………………………

（）

3、…………………………………………………

（）

4、…………………………………………

（）

5、………………………………………………

（）

三、把下列各式分解1、2、3、4、分组分解法

用分组分解法分解多项式（1）

（2）

关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

1．选择题：多项式的一个因式为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；

（2）8a3－b3；

（3）x2－2x－1；

（4）．

根的判别式

1．选择题：（1）方程的根的情况是（）

（A）有一个实数根

（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根

（D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋

(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A）m＜

（B）m＞－

（C）m＜，且m≠0

（D）m＞－，且m≠0

2．填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝

．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是

．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是

．

3．已知，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)（x2－3)的值．

习题2.1

A

组1．选择题:（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）

（A）－3

（B）3

（C）－2

（D）2

（2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3

x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；

④方程3

x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是（）

（A）1个

（B）2个（C）3个

（D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）

（A）0

（B）1

（C）－1

（D）0，或－1

2．填空:（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝

．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝

．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是

．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则|

x1－x2|＝

．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)

x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B

组1．选择题:若关于x的方程x2＋(k2－1)

x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（）.（A）1，或－1

（B）1

（C）－1

（D）0

2．填空:（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于

．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2是

．

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：

（1）|

x1－x2|和；

（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足|

x1－x2|＝2，求实数m的值．

C

组1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）

（A）

（B）3

（C）6

（D）9

（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则的值为（）

（A）6

（B）4

（C）3

（D）

（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（）

（A）α＋β≥

（B）α＋β≤

（C）α＋β≥1

（D）α＋β≤1

（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是（）

（A）没有实数根

（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根

（D）有两个异号实数根

2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝

．

3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．(1）是否存在实数k，使(2x1－x2)（x1－2

x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

(2)求使－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，试求的值．

4．已知关于x的方程．

（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．

5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）

（A）y＝2x2

（B）y＝2x2－4x＋2

（C）y＝2x2－1

（D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝

．

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝

时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝

时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝

时，函数图象经过原点．

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为

；当x＝

时，函数取最

值y＝

；当x

时，y随着x的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；

（2）y＝1＋6

x－x2．

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；

（2）x≤2；

（3）－2≤x≤1；

（4）0≤x≤3．

二次函数的三种表示方式

1．选择题:

（1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是（）

（A）0个

（B）1个

（C）2个

（D）无法确定

（2）函数y＝－(x＋1)2＋2的顶点坐标是（）

（A）(1，2)

（B）(1，－2)

（C）(－1，2)

（D）(－1，－2)

2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a

(a≠0)

．

（2）二次函数y＝－x2+2x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为

．

二次函数的简单应用

选择题：（1）把函数y＝－(x－1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（）

（A）y＝

(x＋1)2＋1

（B）y＝－(x＋1)2＋1

（C）y＝－(x－3)2＋4

（D）y＝－(x－3)2＋1

第四篇：初高中数学衔接研究报告

初高中数学衔接教学的实验与研究研究报告

平舆县第一高级中学“初高中数学衔接教学的实验与研究”课题组

执笔人：韩雨濛

摘要： 国家教委在八十年代对初中数学教学要求和内容的调整,较大地降低了有关知识的要求,造成了初、高中数学教学的较为严重的脱节。从高一数学老师的现状看:各校大部分是教学不足5年的青年教师,有学历,有热情,但对高一数学教材不熟悉,对初中数学教材知之更少,他们急需要有一个学习、了解初高中数学数学教材的衔接与初高中教学的差异，以便于更好的组织教学，使学生更快适应高中、一、问题的提出

1．学生升入高中学习之后，无论选择理科或者文科的学习，数学课程都是必须继续学习的课程之一。初高中数学教学内容上有很强的延续性，初中数学是高中数学学习的基础，高中数学是建立在初中数学基础上的延续与发展，在教学内容上、思想方法上，均密切相关。因此，从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中刚开始阶段强化初高中衔接点的教学，为学生进一步深造打下基础，是高中数学教学必须研究的重要课题。

2．初高中数学教学衔接研究，主要从初高中数学教学内容、基本的数学思想方法、新课程标准对数学教学的要求，试图找出初高中数学教学衔接的相关关键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，让高一学生尽快适应高中数学，从而进行有效的学习。

3．近年来初高中数学教学衔接作为‚初高中教学衔接‛这一宏观课题，在很多地方被人们提及，一些教育科研部门也作过尝试，试图寻找其间的规律与共性，但大多是从教学内容上进行简单地分类研究，也没有作为专项课题进行研究。因为这一课题将直接影响学生高中数学学习的效果，因此有进行全面研究的重要价值。

二、选题目的与意义

1．找出初高中数学教学衔接的相关关键点，从而为高中数学教学提出有用的建议，为学生适应高中数学学习进行有效地定位。

2．从教学内容、数学思想方法上，理顺初高中数学之间的关系，进而在高中初期阶段强化初高中衔接点的教学，为学生进一步深造打下基础。3．为学生有效适应高中阶段的数学学习打好基础，提高教师对新课程理念以及学科课程目标的全面、深刻地理解；

三、课题研究目标

1、通过研究，促使教师从研究的视角来审视初高中数学衔接问题，在课堂教学中更多地关注学生的这一学习主体。反思自身的教学思想和教学行为。寻找初高中数学教材的知识衔接，结合旧知识，寻找新知识的结合点和突破点，充分发挥数学本身所具有的激发、推动学生学习的动力。

2、通过研究，引导教师深入探讨新课程理念下高中数学课堂数学，了解初高中学生在学习习惯、学习方法等方面的差异，帮助学生尽快建立适合高中学生学习的新的学习方法，在讲课过程中，加强学生在对数学材料的感知、记忆、思维和想象的认知过程，同时通过学生的自我意识，体验到采取不同的策略和或学习方法学习效果是不同的，增强学生的创新意识和参与意识，提高学生学习数学的兴趣，为学生数学能力与数学成绩的同步提高打下基础。通过校本教材的开发，促使教师更好地理解新课程的教学思念，取得更为理想的教学效果。

四、研究内容

1、高一学生数学学习情况研究（1）设计调查问卷

调查问卷的设计考虑初中、高中两块，考虑学生对教师教学方式方法的适应性、教材知识内容的适应性、学习方法的适应性及非智力因素的影响。

（2）统计数据，做出分析。（3）学生访谈、教师访谈。（4）课堂观察。

2、初高中数学教材的研究

主要研究初中教材中已经删减或者弱化、降低要求，但是高中教材相关内容学习习中又是以此为基础的、必须具备的只是‚脱节‛处和能力‚断层‛处。通过对初高中教材相关知识点学习要求差异的比较，设计出相关教学课件、教案和学案。

3、初高中数学教师教学方式和教学方法的衔接研究

根据初高中数学教学方法的差异，针对学生的认知特点和学习基础，采用‚低起点、小步走、缓坡度、常回头、分层次、勤反馈‛的教学方法。重视构建知识网络，结合‚问题教学‛、‚模块教学‛、‚专题教学‛，探索衔接教学的课堂模式。

4、初高中学生数学学习方法和思维方式的衔接研究

老师采用渐近式、螺旋上升式的方法做好思维方式和思维习惯的过度，引导学生开展探索学习、合作学习，帮助学生归纳、总结、反思。逐步培养学生的抽象思维能力。

五、课题研究保障条件

（1）资源保障

参与该课题研究的课题组成员队伍年轻，思想意识新，具有多年教育科研经验，在一线教学改革中做出了一定的成绩。课题组成员业务素质过硬，有较高的教科研工作热情，对该课题的研究具有浓厚兴趣，对实施该课题的重要性和必要性和可行性已进行了大量的前期研究工作，并潜心研究教育学、心理学、统计学等理论知识，我校具有较雄厚的经济实力，学校领导重视，支持教育科研，学校的资料室、图书室、电教室都为课题小组开放，图书、报刊、电子读物等藏量丰富，为教师查阅相关资料和学习研究提供了方便。这些都为该课题的研究工作提供了充足的力量保障，保障了课题研究能够顺利进行。

（2）时间保障

课题组每2周一次小型活动，每3个月一次专题研讨，每学期一次阶段总结活动。学校教导处将对课题的研究情况随时跟踪调查，及时掌握研究情况。

六、研究的主要内容、过程和方法

初中到高中是一次重要的人生转折，初高中数学衔接教学关系到高一学生从初中到高中的顺利过渡，关系到学生在高中学业进步和人格健全，关系到学生健康成长和全面发展。课题组充分认识初高中数学衔接教学研究的重要性，就如何搞好初高中数学教学教学衔接进行了认真、细致、系统、深入的研究。

（1）讨论、研究课题研究的内容、思路、方案和要点。

2015年1月和3月，课题组召开两次研讨会，讨论课题研究内容、思路、方案和要点，制定课题三个方面的目标和五项研究内容和重点，征求研究方案初稿的修订意见，确定主要学科衔接教学研究负责人。（2）组织课题研究的开题工作。

2015年5月24日下午，学校就省、市立项课题组织了开题报告会，邀请了县教研课题负责人徐诚伟主任作了教育科研如何选题、如何实施、如何结题的专题报告。

2015年5月28日下午，课题组召开了全体主要成员开题论证会，邀请本课题指导专家教科研主任张中华主任，中原名师，数学组组长贾志刚老师参加开题会并作指导，对课题实施方案进行了广泛、充分的讨论和论证，并对研究方案作了部分修订，形成了开题论证意见和开题论证会纪要，并布臵了课题前期研究工作。

（3）召集多次有关初高中数学衔接教学的师生座谈会，进行了相关初高中数学衔接学情问卷调查，了解初高中数学教学内容、方法等方面的差异、薄弱之处和初高中数学衔接教学的需求。

2015年8月20日，召集本校第一次高一部分学生初高中数学衔接学习体会座谈会。

2015年9月17日，召集本校第二次高一部分学生初高中衔接学习座谈会。

2015年10月8日，在平舆第二中学召集初三部分学生、老师座谈会。2015年10月下旬，进行第一次初高中衔接学习问卷调查。2015年11月1日，进行第二次初高中衔接学习问卷调查。（4）积极参加教育科研培训、课题研究交流活动。

2015年3月至2015年11月，参加驻马店市和平舆县有关教育科研的所有培训、工作安排、研讨、交流活动。

2015年9月至10月，课题组积极参加课题研究交流，认真完成课题中期检查、中期报告。

（5）根据初高中课标和教学要求的差异，对比新老教材内容的差异和知识断层，分析初中生学习的薄弱之处，通过调查研究和教学反思，初步形成了数学学科搞好高一新生教学衔接工作指导意见初稿。

（6）结合座谈、问卷调查和教学实践，比较初高中课标和教学内容、教学要求的差异，分析初高中差距增大的原因，探究、总结初高中数学教学衔接的指导思想、心理辅导方法和教学方法。课题组比较初高中多学科课程标准和教学内容、教学要求的差异，分析了初高中差距增大的原因。

要使衔接教学富有成效，通过衔接教学研究课进行探究、总结是十分重要的途径。课题组从2015级高一开始，开展了多轮次的衔接教学研究课活动，如2015年9月韩雨濛老师上的数学‚‘三个二次’的关系‛研究课；2015年9月魏小丽老师上的数学‚函数单调性‛研究课；2015年10月郭玉琴老师上的数学‚函数的最大（小）值‛研究课；2015年11月景御桥老师上的‚点到直线的距离‛等。通过这些研究课的探讨，总结了许多衔接教学的要素和方法。

课题组探究、总结了各学科搞好衔接教学的具体做法和心理辅导、学法指导的方法。

（7）注重课题研究的总结和反思，撰写多篇初高中数学衔接教学论文。通过课题研究的总结和反思，课题组成员撰写《初高中数学教学衔接的教学体会》

（8）认真进行课题研究的总结与真理。（9）课题研究的主要方法

本课题的研究方法采取高中一线教师合作研究方式，对初、高中数学教学内容、数学思想方法、考试导向作全面的比较分析，提出对高中数学适应性学习教学的要求，制定出适应高一初期教学的具体目标，从而解决长期以来初高中教学脱节的问题。主要采取的研究方法为行动研究法：在一定的教育理念指导下，形成研究假设，选择研究对象，实施教育行为，以验证假设。

1．调查法：了解当前我校学生当前学习的实际情况，运用采访、座谈、问卷、一般统计等方法，了解和掌握课题研究情况。该方法适用于课题研究的全过程。2．问卷法：了解学生在高中初期学习数学的需求，研究学生在合作学习过程中的所想所需。

3.研讨法：针对高中学生数学学习的实际问题进行研究分析，借以不断完善教学教学方法，提高学习学习水平。

4．个案分析法：开展课题研讨展示活动，收集典型个案，认真剖析反思，并在此基础上总结经验，发现问题，不断改进，深入研究。

5.经验总结法：注意搜集积累和总结课题研究多方面的成功经验和做法，提升教学理念。积极参加与课题有关的研讨会，不定期召开阶段总结会，交流经验。

七、研究成果的创新点 初高中数学教学衔接的重要信息

通过平舆一高高一学生问卷调查和平舆二中学生座谈，确认了高一学生在数学学科的学习中普遍感到学习门槛偏高压力较大，这种压力在高中全面启动新课程后不减反增，使得许多学生学习兴趣下降、困难加大，有些同学甚至产生反感情绪与恐惧心理。

2015年10月平舆一高高一抽样问卷调查综合统计结果：

（1）学习压力： 32.9%的学生有较大压力，64.5%的学生有一定压力，仅3.6%的学生没有感到压力。

（2）教学进度：对大多学科，48.2%认为进度太快了，36.7%认为进度比较快，15.2%认为进度不快。

（3）初高中数学学习差别：认为有很大差别占38.7%，有较大差别占44.8%，有差别但不大占14.9%，没有什么差别仅占2.2%。

（4）初高中学习方法适应性：适应或基本适应的占34.2%，不适应占65.8%。（5）对老师教学方法的适应性：能适应占24.8%，部分学科不适应占66.6%，都不适应占8.6%。

（6）教学容量：认为教学容量大的占86.2%，不大的占13.8%。（7）中考后参加暑期衔接班学习：参加了的54.7%，未参加占45.2%.(8)教学要求提高最明显的是：知识难度37.3%；方法技能45.0%；思维能力57.2%；学习主动性52.5%。

（9）高一数学学习不适应的主要方面：学习内容多53.0%；作业多50.2%；能力要求高40.9%;作业多50.2%；题目难38.7%。

通过平舆一高高一学生问卷调查和平舆一高、二中师生生座谈，获得了初高中数学教学衔接的十多条重要信息。如：确认了高一学生在数学的学习中普遍感到学习门槛偏高压力较大，这种压力在高中全面启动新课程后不减反增，使得许多学生学习兴趣下降、困难加大；通过不同学校的调查分析，越是生源弱的学校，初高中数学教学衔接越应设法搞好。（2）提出搞好初高中数学教学衔接的策略和具体方法，突出高一学生的心理辅导和学法指导。这些初高中数学教学衔接的策略和方法具有针对性和可操作性，有推广价值。

八、课题的分析阶段研究计划：

（1）准备阶段（2015年3月——2015年6月）：这一阶段是预研究和课题立项的准备工作。主要工作包括了解该课题国内的研究情况，作一些调查研究，建立课题实验设想并撰写研究方案和实施计划等。

①研制课题研究方案，驻马店市教科研课题立项申报。

②成立课题组，制定具体研究方案，进行课题组成员责任分工； ③形成阶段性成果。

（2）初步实施阶段（2015年6月——2015年9月）：这一阶段是初步探索阶段。主要的工作包括组建研究组织，确立实验教师，进行实验前检测和开展初步实验工作。

（3）正式实施阶段（2015年9月——2015年12月）：这一阶段是深入探索阶段。主要的工作包括定期开展课题研究的研讨活动。本阶段定期进行形成性检测和阶段性小结，以及资料收集和成果总结工作。

（4）总结鉴定阶段（2015年12——2016年3月）：这一阶段为总结思考阶段。主要的工作包括进行数据处理、结果分析，撰写课题研究报告和论文结集。

九、研究中存在的问题及今后的研究设想

本课题历经长时间研究，取得了一些可喜成果，同时在研究的过程中我们感到存在以下问题和困难：

（1）高考数学试题偏难的要求，使很多老师高一教学标高不敢降低，高一教学的门槛较高，学生进入高一学习上自然压力大很吃力。

（2）由于高一数学教学内容多课时紧，集中进行衔接教学的课时很有限，使衔接教学难以达到理想目标。

（3）许多学生认为衔接学习是吃‚回头草‛ 兴趣不高。由于初中教学程度不一致，老师对教学衔接认识不够，学校对教学衔接缺乏激励措施等原因，使部分老师对开展衔接教学不积极，容易使衔接教学流于形式。今后的研究设想：一是课题组老师真正树立素质教育和新课程的理念，用新课标新教材的思想来看待衔接教学，要敢于降低高一上学期的教学标高，真正做到低起点、缓坡度，扎实搞好衔接教学，促进学生全面发展和健康成长；二是根据衔接教学需要修订和完善各学科衔接教学校本教材，真正发挥它的作用；三是继续总结和优化各学科衔接教学的具体做法，提高衔接教学的有效性。

课题负责人：韩雨濛

课题组主要成员：魏小丽 郭玉琴 景御桥

第五篇：初高中数学教学衔接的几个问题

初高中数学教学衔接的几个问题

一、初高中数学新课程标准的对比

（一）两个标准的对比

1．基本理念

两个“标准”都强调数学课程的基础性和发展性。

初中数学新课程标准强调：

义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。高中数学新课程标准强调：

高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；第二，为学生进一步学习提供学习必要的数学准备。高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上得

到不同的发展。高中数学课程由必修系列课程和选修系列课程组成。必修系列课程是为了满足所有学生的共同数学需求；选修系列课程是为了满足学生的不同

数学需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。

3、学习活动

初中数学新课程标准中强调：

学生应主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

高中数学新课程标准中强调：

高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力；人们在学习数学和运用数学 解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动。另外，初中主要强调培养学生的直观感知，并逐步学会数学地思考；高中则更强调理性思维。

4、教学活动

初中数学新课程标准中指出：

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。

高中数学新课程标准中强调：

发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

5、评价

初中数学新课程标准中指出：

评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活 动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认

识自我，建立信心。

高中数学新课程标准中强调：

高中数学课程应建立合理、科学的评价体系，包括评价理念、评价内容、评价形式和评价制度等方面。评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注他们

数学学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。在数学教育中，评价应建立多元化的目标，关注学生个性与潜能的发展。例如，过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及在过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识和探索的精神。对于数学

探究、数学建模等学习活动，要建立响应的过程评价内容和方法。

6、现代信息技术

初中数学新课程标准中指出：

数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更 多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。

高中数学新课程标准中指出：

高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的整合（如把算法融入到数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合。鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。

现代信息技术的应用，在初、高中教材中都有很好的体现，许多教学内容都必须要借助于计算器、计算机等设备来进行。现代信息技术是数学教学中的一个有机组成部分。

另外，高中数学新课程标准中还着重强调了： 与时俱进地认识“双基”

这里除了涵盖了传统意义上的“双基”意义外，还把数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能。特别还提到，要克服“双基异化”的倾向。强调本质，注意适度形式化

形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可能的。

初中数学新课程标准在基本理念部分，虽没明确提出“发展学生的数学应用意识”，但在教材及实际教学中，都很好地体现了这方面的要求。二）对现行初中数学教学内容的分析

初中阶段的数学教学内容共分数与代数、空间与图形、概率与统计、实

践与综合应用四个学习领域。

1．数与代数

（1）运算能力：难度大大降低，对有理数“＋、—、×、÷”混合运算不超过三步，可以借助计算机，二次根式运算不要求分母有理化，因式分解仅限提公因式和公式法（而且用公式不超过二次），分组分解法、添项、拆项不作要求，而且每项指数是正整数。

（2）方程组：三元一次方程组不作要求（已知三点求抛物线解析式也属超纲内容），二元二次方程组不作要求，分式方程仅限可化为一元一次方程（且分式不超过两个），解一元二次方程不涉及十字相乘法，根的判别式及韦达定理不作要求。

（3）不等式：限一元一式不等式（组）。

（4）函数、直角三角函数、一次函数、反比例函数、二次函数（统称为初中四大函数）：应用题加强，但抽象题要求降低，函数与几何结合题要求降低。2．空间与图形

（1）强调借助于材料动手操作，题目大多来源于实际，灵活性大，比以前难度增加。但几何抽象证明题几乎绝迹，弱化证明。

（2）尺规作图只限最简单，考试中较少涉及。

（3）圆只限于点、线与圆关系，难度下降。3．统计与概率

（1）弱化“术语”的记忆，不考概念；

（2）强调从统计观念解决实际题目；

（3）内容比以前增加（如方差、极差等），但难度下降较大。4．实践与综合应用

这是新课程区别于老教材的根本之处，也是以“新”代“旧”的最出彩之处，一般体现在应用题上。新教材应用题的比例比以往大幅度增加。

从上述教材内容的要求，不难看出高中与初中教材单

一、直观相比，有较大的差别，自然形成了一个“台阶”。三）对高中数学教学的影响

1．关于计算能力

（1）数字运算能力差。由于初中生比较普遍地使用计算器计算，中考中也可以使用，导致学生进入高中后在数字运算上依然依赖计算器，笔算或心算能力差。而高中（包括高考）又不允许使用计算器。

（2）符号（字母）运算出错多。2．关于二次方程

（1）不会因式分解。进入高中后的第一章内容就有“解一元二次不等式”，而求一元二次方程的根是其前提，学生不习惯用因式分解求根，大多用求根公式求（套公式），这样就增加了教学的难度，降低了思维的水平；

（2）根与系数的关系（韦达定理）不清。高中数学中经常用到不求一元二次方程的根（尤其当方程很复杂或出现字母系数方程时），只需借助两根的关系进行整体代换解题的问题，如“求两根的平方和”（解几中求线段长的“设而不求”）等，此时暴露出学生相应知识准备不足。3．关于二次函数

1)画图方法停留在“列表、描点、连线”作图（有学生作直线时也用此法）阶段，不会借助关键点作函数的示意图。

2)在某个范围内的最大最小值 4．关于推理论证能力（1）不懂规范的书写格式；

（2）不会严格的逻辑推理论证。

二、初中数学与高中数学的对比教材方面

1．初高中数学教材的特点有很大不同

初中数学教材较通俗易懂，难度相对高中较小，大多研究的是常量，且较多的侧重于定量计算；而高中数学教材较多的研究的是变量，不但注重定量计算，而且还常需作定性研究。

初中教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义，三角函数的定义就是如此；对不少数学定理没有严格论证，或直接用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性质就是这样处理的；教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。

高中教材从知识内容上整体数量较初中剧增；在知识的呈现、过程和联系上注重逻辑性，在数学语言在抽象程度上发生了突变，高一教材开始就是集合、映射、函数定义及相关证明、逻辑关系等，概念多而抽象，符号多，定义、定理严格、论证严谨逻辑性强，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维明显提高，知识难度加大，且习题类型多，解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。

2．传统知识点部分移至高中，新增知识点教学要求不高

部分教学内容已由原来的初中讲授移到高中讲授（如常用对数、二次函数的图像法），而高中一些教师对调整后的大纲要求认识不够，故对编在附录内的内容认为初中讲了，而未讲这部分知识，形成了初、高中两不管的教材内容，给学生后继过程学习带来了极大的困难。

为了适应义务教育的需要，初中数学教材内容删减较多，而且难度降低幅度较大；而高中数学教材内容删减相对较少，初中较难的部分内容又移到了高中，并且高中为了适应信息社会的要求，又增加了一些现代实用性较强的知识，虽然这些新增知识点教学要求不高，但在一定程度上，加大了初高中数学教材内容的跨度；另一方面，高中由于受客观上升学压力和评价标准的影响，实际难度难以下降，因此，初高中数学教学内容的难度有所加大。3．为适应高中数学教学的要求，提高了对能力的要求

在初中阶段，等价转化思想、数形结合思想、分类讨论思想以及函数与方程思想都已得到了体现；同时为了适应高中数学教学的要求，还提高了对其它的能力的要求，如信息处理能力、探究能力等等。

4．教学内容分层推进、螺旋上升、逐步深入，以便顺利与高中数学衔接

初中数学教材中每一新知识的引入往往与学生日常生活实际很贴近，比较形象，并遵循从感性认识上升到理性认识的规律，学生一般都容易理解、接受和掌握。知识的展开也体现了分层推进、螺旋上升、逐步深入的特点。学生方面

1．初中生以直观思维为主，高中生抽象思维不断增强

初中学生的逻辑思维能力只限于平面几何证明，知识逻辑关系的联系较少，运算要求降得较低，分析解决问题的能力基本得不到培养，至于立体几何，也只能依靠要求较低的零散的立几知识来呈现，想象能力较差。相对来说，高中对数学能力和数学思想的运用要求比较高，高中数学教学中要突出四大能力，即运算能力，空间想象能力，逻辑推理能力和分析解决问题的能力。要渗透四大数学思想方法，即数形结合思想、函数与方程思想、等价化归与变换思想，分类讨论思想。这些虽然在初中教学中有所体现，但在高中教学中才能充分反映出来。2．许多学生是机械地接受知识，只知所以，不知所以然

学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯。许多初中学生习惯于跟着老师转，不善于独立思考和刻苦钻研数学问题，缺乏归纳总结的能力，只是机械地接受知识，对知识一知半解，只知所以，不知所以然。而高中则要求学生勤于思考，勇于钻研，善于触类旁通，举一反三，归纳探索规律，然而刚步入高一的学生往往沿用初中的学习方法，因此不能较快地适应高中数学教学。另一方面，初中学生的学习负担也较重，这使得他们上课注意听讲，缺乏积极思维，遇到新的问题不是自主分析思考，而是寄希望于老师讲解整个解题过程；不会自我科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，而课后也不看书，而是直接按老师上课讲的例题方法套着解题，碰到问题寄希望于老师的讲解，依赖性较强。虽然不少高一教师介绍并强调了高中数学的学法调整，但由于原有学习方法已成习惯，有的同学特别是女生不敢对自己的学习方法进行调整，高一阶段课目多负担重，突出的就是不能真正理解知识、不会灵活运用，高一同学们普遍反映数学课能听懂不会做题，或者说能做作业但考试不会，在数学上花了最多的时间去做练习，但收效不大。

3．数学成绩两极分化现象明显初高中数学成绩分化的原因分析

（1）环境和心理的变化

对高一新生来讲，学习环境可以说是全新的，新教材、新同学、新老师、新集体等等。学生有一个由陌生到熟悉的适应过程。

学生初三下期为迎接中考紧张了一学期，中考结束后整个身心松弛下来，紧接着两多月的放假，一般学生均不看书，知识遗忘多。

步入高一后，不少学生在新鲜后，认为高考还早，不必开始就如此紧张，这种突击取胜的侥幸心理，使松懈情绪得以蔓延。

不少学生进入高一前，通过各种渠道已耳闻高中数学难学，考入高一后，由于开始教材中映射函数等知识以及立体几何线线、线面、面面关系确实有一定难度，似乎证实了耳闻的正确性，使学生产生了畏惧心理，越畏惧越觉难学，越觉难学越恐慌，造成了恶性循环，严重地影响了数学学习成绩的提高。（2）初高中教材梯度过大

首先，初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单；而高中数学内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还注重理论分析，这与初中相比增加了难度。此外，内容也多，每节课容量大于初中数学。这些都是高一数学成绩大面积下降的客观原因。

其次，由于近几年教材内容的调整，虽然初高中教材都降低了难度，但都比 这下，初中降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中的教材内容的难度差距，反而加大了。数学语言在抽象程度上发生突变，思维方法向理性层次跃迁，使相当一部分成绩中等及偏下的学生陷入困境，认为数学高不可攀，不可接近。（3）课时的变化

在初中，由于内容少，题型简单，课时较充足。因此，课容量小，进度慢，对重难点内容均有充足时间反复强调，对各类习题的解法，教师有时间进行举例示范，学生也有足够时间进行巩固。而到高中，由于知识点增多，灵活性加大和新工时制实行，使课时减少，课容量增大，进度加快，对重难点内容没有更多的时间强调，对各类型题也不可能讲全讲细和巩固强化。这也使高一新生开始不适应高中学习而影响成绩的提高。

（4）高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法

初中教师重视直观、形象教学，老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习，学生到黑板表演的机会相当多；为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生死记解题方法和步骤；在初三，重点题目反复做过多次。而高中教师在授课时强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证的推理上下功夫。又由于高中搞小循环，接高一课程的教师多是刚带完高三的，他们往往用高三复习时应达到的难度来对待高一教学。因此造成初、高中教师教学方法上的巨大差距，中间又缺乏过渡过程，至使高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法。（5）高一新生的学习方法不适应高中数学学习

高一学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯。他们上课注意听讲，尽力完成老师布置的作业。但课堂上满足于听，没有做笔记的习惯，缺乏积极思维；遇到难题不是动脑子思考，而是希望老师讲解整个解题过程；不会科学的安排时间，缺乏自学、看书的能力，还有些学生考上了高中后，认为可以松口气了，放松了对自己的要求。上述的学习方法，不适应高中阶段的正常学习。教师方面

（一）共性

1．在沉重的负担下只能疲于应付

学生负担沉重的原因之一是教师对教材把握不定，被成绩捆住了手脚。我们总是担心讲得不到位，练得不到位，难得不到位，会在考场吃亏，所以即使学生已经不能承受了，还要再加法码，直到学生放弃或者成为书呆子。

2．功利性教学普遍存在 3．合作性意识有待加强

作为老师，我们经常要求学生要合作流，把更好的方法告诉大家，可我们自己往往在这方面做的不够。

4．教学基本功应成为我们重视的主要对象

5．教学新理念的实际运用急需加强

阻碍实践教学新理念一个重要因素就是教师的定式思维。在新课程下，教学中最重要的是培养学生的创新意识和合作精神，不应忽略学生获得知识的过程，而应重视这个过程，能力都是在这个过程培养出来的。而有些或者说是大部分老师却认为这个过程并不重要，只要将知识告诉学生，不理解也没什么，只要多做几道题就会用了。

阻碍实践教学新理念另一个重要因素就是不能及时转换教师角色。新课程要求，学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者与合作者。

（二）个性

1．中考和高考的要求不同

从升学考看，在初中，教师讲得细，类型归纳得全，练得熟，考试时，学生只要记准概念、公式及教师所讲例题类型，一般均可对号入座取得中考好成绩。而高考要求则不同，有的高中教师往往用高三复习时应达到的类型和难度来对待高一教学，造成了轻知识形成过程、轻概念理解、重题量的情形，造成初、高中教师教学方法上的巨大差异，中间又缺乏过渡过程，至使高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法。2．初高中的数学教法不同 传统的初中数学教学的一般过程：

复习引导→讲授新课→巩固练习→小结布置作业

特点：易于使学生理解并掌握系统的数学知识，有利于知识与技能的训练，但学生的主动性难于体现，缺乏学生间的合作与交流，知识方法和产生的过程不易得到显现。

在九年制义务教育阶段，学生接受的绝大多数是这种教学模式，当然，在少数章节中也采取讨论式、发现式的教学，但不足以形成教学气候。现代的高中数学教学的一般过程：

问题情境→学生活动→建构数学→数学理论→数学应用→回顾反思

特点：学生的自我探索，发现的主动倾向得到充分发挥，知识产生的过程与方法得到显露，同时知识与技能也得到了系统训练。

高中新课程这种教学模式给教师的教学设计与学生的学习探索留下了足够的空间，教学时，教师要注意对教材内容的二次开发。

三、我们初中教师应如何组织教学，才使高一新生不怕数学

对策探索

（一）研究教材

（二）研究教法

（三）研究学生

（一）研究教材

1．注重初、高中数学教材中相关知识点的衔接，有意识地渗透数学思想和方法

2．立足大纲，吃透教科书，并适当做些整理

3．多做些相关数学题

（二）研究教法

1．水无常形、教无定法；没有最好的教学方法，适合的才是最好的。

五字诀教学模式

（1）设即创设情境，激起兴趣

（2）启即启发诱导，探求新知

（3）练即变式练习，反馈矫正

（4）测即形成测试，评价回授

（5）归即归纳小结，深化目标

2．知识和方法的生成性学习

创设问题情景，揭示知识和方法的形成发展过程

高中数学较初中抽象性强，应用灵活，这就要求学生对知识理解要透，应用要活，不能只停留在对知识结论的死记硬套上，这就要求教师应向学生展示新知识和新解法的产生背景、形成和探索过程，不仅使学生掌握知识和方法的本质，提高应用的灵活性，而且还使学生学会如何质疑解题的思想方法，促进创造性思维能力的提高。概念的生成性学习

概念是整个教学过程所积累的主要知识点，因此上好概念至关重要。

（1）借助感性材料作铺垫

（2）变换角度多方说明

（3）突出本质特征

（4）及时下定义

（5）把握内涵和外延

（6）具体运用

3．先做后讲应成为数学习题教学的基本理念

4．复习课要构建有效链接的知识包

5．指导学生正确地处理好“听”、“思”、“记”的关系。6．充分发掘作业的功能

7．变教师的课堂小结为学生的学习体验交流 8．用建构主义理论指导教学

皮亚杰的认知发展理论

瑞士著名心理学家皮亚杰认为，智力发展可以分为四个主要阶段：感觉运动阶段、前运算阶段、具体运算阶段和形式运算阶段。

皮亚杰还认为，学生认知结构发展的过程是在新的认识活动中通过激活大脑中原有的认知结构，伴随着同化和顺应的认知结构变化，不断再构和完善认知结构的过程；只有使具有逻辑意义的新知识和认知结构中的旧知识发生相互作用(同化和顺应)，才能实现内化中的再建构。

布鲁姆的“掌握学习”策略

（三）研究学生

1．初高中学生的心理特征及认知规律特点

（1）高中学生与初中学生相比，注意力更加集中，自觉性更强，他们善于阅读分析，乐于自行钻研。

（2）高中学生与初中学生相比，认识事物更加深刻更加全面，他们善于分析思考，勇于质疑探索。

（3）高中学生与初中学生相比，学习目的更加明确，独立意识更强。

（4）高中学生与初中学生相比，更加自尊自爱，对成功充满信心。2．提高学生的学习兴趣、增强学生的学习意志力

缺乏学习数学的兴趣和学习意志力薄弱是造成数学成绩分化的主要内在心理因素。初中生以感性思维为主，故应注重培养其学习兴趣；而高中生理性思维增强，故应注重培养其意志品质。提高学生数学学习兴趣的途径（1）以“巧”激趣

（2）以“多”激趣

（3）以“疑”激趣

（4）数形结合，激发兴趣

（5）以“误”激趣

（6）以“爱”激趣

增强学生学习意志力的途径

（1）鼓励学生积极地迎接困难，让学生懂得怎样去排除障碍，征服挫折。（2）经常为学生设置一些他们能够克服的障碍，以培养其意志品质。

（3）学生做有一定难度的练习题时，要鼓励学生知难而进、独立思考，不要轻易地代替学生解答难

3．培养学生克服困难的勇气与信心。

坚韧是解除一切困难的钥匙，它可以使人们成就一切事；世界上没有别的东西可以比得上或替代坚韧的意志。

爱因斯坦说过，苦和甜来自外界，而坚强则来自内心，来自一个人的自我努力。

克勒吉夫人也曾说过，美国人的成功之秘诀，就在于他是不怕失败的。他心中想要做一件事时，赴以全力，而简直想不到有任何失败之可能。即使他失败了，他会立刻站起来，而抱了更大的决心，向前奋斗，直至成功而后矣。

帮助学生树立学好数学的自信心途径

首先我们应善于发现并肯定学生的每一个优点，及时表扬其在学习中的每一个微小进步。要有意为学生创设成功的机会，让他们在学习活动中通过成功地完成学习任务、解决困难来体验和认识自己的能力。

其次，让学生主动寻找和解决与自身直接相关的数学问题。

再次，帮助学生树立正确的人生观、价值观，使学生的数学学习扎根于人生观和理想的沃土之中，增强学生学好数学的信心和决心。

最后，明确各阶段学习目标。4．培养学生良好的学习习惯（1）培养学生预习的习惯

（2）培养学生记笔记并事后整理的习惯

（3）培养学生课后复习的习惯

（4）培养学生独立解决问题的习惯

（5）培养学生及时改错的习惯

（6）培养学生认真书写的习惯

13（7）培养学生自我反思自我总结的习惯

（8）培养学生的自学能力 5．培养学生良好的思维品质（1）重视转化和化归思想的训练

（2）重视归纳总结能力的训练

（3）重视数形结合思想的训练

（4）重视分类讨论思想的训练

（5）重视函数和方程思想的训练 6．建立和谐的师生关系

亲其师，信其道

7．关注中等学生学习成绩的提高

中等成绩的学生占据了学生中的大多数，他们考试成绩的好坏直接关系到考试均分的高低。

8．积极进行教学反思，及时反馈教学信息进行教学反思应注意的几个问题（1）反思课堂教学是否达到教学目标

（2）反思是否创造性地使用了教材

（3）反思教学过程中是否迸发出智慧的火花

（4）反思教学过程是否适应学生的个性差异 9．初中数学教师的教学要求

变学会为会学 会学才能学好；一个人一生的知识不仅是靠课堂、课本、学校学来的，大部分要靠自己在工作中不断地学习；教会学生如何学习比传授知识更重要。

（1）一个主体——以学生为主体

（2）两个中心——以课本为中心，以课堂为中心（3）三个要求——要求学生做到概念清、公式熟、运算准

（4）四个掌握——要求学生掌握课本知识，掌握解题规律，掌握数学思想，掌握学习方法。