高中数学 解题规范（合集）

第一篇：高中数学 解题规范

语言（包括数学语言）叙述是表达解题思路的过程，是数学解题的重要环节。因此，语言叙述必须规范。规范的语言叙述应步骤清楚、正确、完整、详略得当，言必有据。数学本身有一套规范的语言系统，切不可随意杜撰数学符号和数学术语，让人不知所云。

答案规范是指答案准确、简洁、全面，既注意结果的验证、取舍，又要注意答案的完整。要做到答案规范，就必须审清题目的目标，按目标作答。解答数学问题是有严格的格式化要求的。哪一类题型该用什么格式答题，教材上是有明确规定的，高考命题给出的标准答案是按照教材上的规定解答的，不符合要求的要扣分。

应用问题，解出结果之后要标明单位，要写出结论性的答案，要有一个专门的作答过程．

利用数学归纳法证明数学问题，完成n=n0和n=k到n=k+1的证明之后,要有一个结论性的表述：由1°,2°可知，命题对从0n开始的所有正整数都成立.凡是解不等式问题，其结果一定要写成解集的形式.求函数y= f(x)的定义域和值域：函数y= f(x)的定义域是自变量x取值的全体构成的集合；函数y= f(x)的值域是函数值y的全体构成的集合.求函数y= f(x)的单调区间问题.如:函数f(x)=1/(x-1)的单调区间--------(−∞,1)和(1, +∞).1.解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示，三角方程的通解中必须加k∈Z。在写区间或集合时，要正确地书写圆括号、方括号或花括号，区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开。

2.带单位的计算题或应用题，最后结果必须带单位，特别是应用题解题结束后一定要写符合题意的“解答”。

3.分类讨论题，一般要写综合性结论。

4.任何计算结果要最简。

5.排列组合题，无特别声明，要求出数值。

6.函数问题一般要注明定义域。

7.参数方程化普通方程，要考虑消参数过程中最后的限制范围。

8.轨迹问题

①注意轨迹与轨迹方程的区别。轨迹方程一般用普通方程表示，轨迹需要说明图形情况。

②有限制条件的必须注明轨迹中图形的范围或轨迹方程中x或y的范围。

9.分数线要划横线，不用斜线。

第二篇：高中数学解题基本方法

一、配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方.它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；

a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；

a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]

a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；

x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2

；……

等等.Ⅰ、再现性题组：

1.在正项等比数列{a}中，asa+2asa+aža=25，则

a＋a＝_______.2.方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____.A.

B.k<或k>1

C.k∈R

D.k＝或k＝1

3.已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______.A.1

B.－1

C.1或－1

D.0

4.函数y＝log

(－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____.A.（－∞,]

B.[,+∞)

C.(－,]

D.[,3)

5.已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____.【简解】

1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求.答案是：5.2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B.3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解.选C.4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解.选D.5小题：答案3－.Ⅱ、示范性题组：

例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____.A.2

B.C.5

D.6

【分析】

先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得.【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：.长方体所求对角线长为：＝＝＝5，所以选B.【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解.这也是我们使用配方法的一种解题模式.例2.设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围.【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2,()+()＝＝＝＝≤7，解得k≤－或k≥

.又

∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根，∴

△＝k－8≥0即k≥2或k≤－2

综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－

或者

≤k≤.【注】

关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理.本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式.假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视.例3.设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋()

.【分析】

对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω

（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab

.则代入所求式即得.【解】由a＋ab＋b=0变形得：()＋()＋1＝0，设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1.又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab，所以

()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2

.【注】

本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂.一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开.【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算.此方法用于只是未联想到ω时进行解题.假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算.二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题.三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元.如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域.为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要.如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题.均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等.我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大.如上几例中的t>0和α∈[0,].Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________.2.设f(x＋1)＝log(4－x)

（a>1），则f(x)的值域是_______________.3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________.4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________.5.方程＝3的解是_______________.6.不等式log(2－1)

·log(2－2)〈2的解集是_______________.【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；

2小题：设x＋1＝t

(t≥1)，则f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log4]；

3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；

4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2

例1.实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5

（①式），设S＝x＋y，求＋的值.【分析】

由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值.【解】设代入①式得：

4S－5S·sinαcosα＝5，解得

S＝；

∵

-1≤sin2α≤1

∴

3≤8－5sin2α≤13

∴

≤≤

∴

＋＝＋＝＝

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1.这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”.【另解】

由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，则xy＝±代入①式得：4S±5=5，移项平方整理得

100t+39S－160S＋100＝0

.∴

39S－160S＋100≤0

解得：≤S≤，∴

＋＝＋＝＝

【注】

此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题.第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解.另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法.和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式.本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5，求得a∈[0,]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值.例2．

△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值.【分析】

由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得

；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设，再代入可求cosα即cos.【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得,由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：

＋＝＋＝＋＝＝＝－2,解得：cosα＝，即：cos＝.【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°.所以＋＝－＝－2，设＝－＋m，＝－－m，所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝.【注】

本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练.假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°.所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝

y，－

x

例3.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值.【解】

设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝

∴

f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋

（a>0），t∈[-,]

t＝-时，取最小值：－2a－2a－

当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－；

当0<2a≤时，t＝2a，取最大值：

.∴

f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为.【注】

此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解.换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错.本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论.一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究.例4.设对所于有实数x，不等式xlog＋2x

log＋log>0恒成立，求a的取值范围.【分析】不等式中log、log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法.【解】

设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以，解得

∴

t<0即log<0，0<<1，解得0

(②式)，求的值.【解】

设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得：

＋＝＝

即：＋＝

设＝t，则t＋＝,解得：t＝3或

∴＝±或±

【另解】

由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0，∴t＝3或，解得＝±或±.【注】

第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数.第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形.两种解法要求代数变形比较熟练.在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低.例6.实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围.【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于是实施三角换元.【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，即

代入不等式x＋y－k>0得3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)，所以k<-5时不等式恒成立.【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围.一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”.本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0

(a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分.此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域.即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时.当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立.y

x

x＋y－k>0

k

平面区域

三、待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等.待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程.使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解.例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解.使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

①

利用对应系数相等列方程；

②

由恒等的概念用数值代入法列方程；

③

利用定义本身的属性列方程；

④

利用几何条件列方程.比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程.Ⅰ、再现性题组：

1.设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____.A.,－2

B.－，2

C.,2

D.－，－2

2.二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____.A.10

B.－10

C.14

D.－14

3.在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____.A.－297

B.－252

C.297

D.207

4.函数y＝a－bcos3x

(b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____.5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________.6.与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________.【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；

2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；

3小题：分析x的系数由C与(－1)C两项组成，相加后得x的系数，选D；

4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；

5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；

6小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1.Ⅱ、示范性题组：

例1

已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式.【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”.【解】

函数式变形为：

(y－m)x－4x＋(y－n)＝0，x∈R,由已知得y－m≠0

∴

△＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0

即：

y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0

①

不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，代入两根得：

解得：或

∴

y＝或者y＝

此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y.【注】

在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n.两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解.本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程.例2.设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程.【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了.设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程.【解】

设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a

y

B’

x

A

F

O’

F’

A’

B

∴

解得：

∴

所求椭圆方程是：＋＝1

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式，更容易求出a、b的值.【注】

圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式.在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式.一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入.例3.是否存在常数a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论.【分析】是否存在，不妨假设存在.由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立.【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：n＝1，得4＝(a＋b＋c)；n＝2，得22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得70＝9a＋3b＋c.整理得：,解得，于是对n＝1、2、3，等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(3n＋11n＋10)成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：

假设对n＝k时等式成立，即1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＝(3k＋11k＋10)；

当n＝k＋1时，1·2＋2·3＋…＋k(k＋1)＋(k＋1)(k＋2)＝(3k＋11k＋10)

＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋2)（3k＋5）＋(k＋1)(k＋2)＝（3k＋5k＋12k＋24）＝[3(k＋1)＋11(k＋1)＋10]，也就是说，等式对n＝k＋1也成立.综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到.此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法.对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行.本题如果记得两个特殊数列1＋2＋…＋n、1＋2＋…＋n求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由n(n＋1)＝n＋2n＋n得S＝1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(1＋2＋…＋n)＋2(1＋2＋…＋n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋2×＋＝(3n＋11n＋10)，综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立.例4.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.【解】

依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为xcm.∴

盒子容积

V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x，显然:15－x>0，7－x>0，x>0.设V＝(15a－ax)(7b－bx)x

(a>0,b>0），要使用均值不等式，则

解得：a＝，b＝，x＝3

.从而V＝(－)(－x)x≤()＝×27＝576.所以当x＝3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm.【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不满足时要凑配系数，可以用“待定系数法”求.本题解答中也可以令V＝(15a－ax)(7－x)bx

或

(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”.四、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来.定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念.定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点.简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象.用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去.Ⅰ、再现性题组：

1.已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______.A.2≤n≤9

B.7≤n≤9

C.5≤n≤9

D.5≤n≤7

2.设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____.A.MP

B.OM

C.AT<

D.OM

3.复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|<

|z|，则实数a的取值范围是_____.A.－1

B.a>1

C.a>0

D.a<－1或a>1

4.椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____.A.8

C.7.5

C.D.3

5.奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____.A.T

B.0

C.D.不能确定

6.正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____.【简解】1小题：利用并集定义，选B；

2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；

3小题：利用复数模的定义得<，选A；

4小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A；

5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B；

6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2.Ⅱ、示范性题组：

例1.已知z＝1＋ｉ，①

设w＝z＋3－4，求w的三角形式；

②

如果＝1－ｉ，求实数a、b的值.【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答.【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝(1＋ｉ)＋3－4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；

由z＝1＋ｉ，有＝＝＝(a＋2)－(a＋b)ｉ.由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ；

根据复数相等的定义，得：，解得.【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解.利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的.例2.已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性.【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断.【解】

解得：，∴

f(x)＝－x＋x

解f(x)>0得：0

设

x+x>，x+x>

∴

(x+x)（x+x)〉×＝1

∴

f(x)－f(x)>0即f(x)在(,1)上是减函数

∵

<1

∴

y＝logf(x)

在(,1)上是增函数.【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题.本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法.例3.求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程.【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2.抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程.y

M

F

A

x

【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y.根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：，消m得：（x－1）＋＝1，所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋＝1.【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到.本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程.在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义.一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用.五、数学归纳法

归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来.数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限.这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”.由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳.运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题.运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.Ⅰ、再现性题组：

1.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1)

（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____.A.2k＋1

B.2(2k＋1)

C.D.2.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋

(n>1)时，由n＝k

(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____.A.2

B.2－1

C.2

D.2＋1

3.某个命题与自然数n有关，若n＝k

(k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立.现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______.A.当n＝6时该命题不成立

B.当n＝6时该命题成立

C.当n＝4时该命题不成立

D.当n＝4时该命题成立

4.数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，猜想a的表达式是_____.A.3n－2

B.n

C.3

D.4n－3

5.用数学归纳法证明3＋5

(n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5应变形为_______________________.6.设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________.【简解】1小题：n＝k时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1时，左端的代数式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为，选B；

2小题：（2－1）－（2－1）＝2，选C；

3小题：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C.4小题：计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；

5小题：答案（3＋5）3＋5（5－3）；

6小题：答案k－1.Ⅱ、示范性题组：

例1.已知数列，得，…，….S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明.【解】

计算得S＝，S＝，S＝，S＝，猜测S＝

(n∈N).当n＝1时，等式显然成立；

假设当n＝k时等式成立，即：S＝，当n＝k＋1时，S＝S＋

＝＋

＝

＝＝,由此可知，当n＝k＋1时等式也成立.综上所述，等式对任何n∈N都成立.【注】

把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有(2k＋3)，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1.这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向.本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到.假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密.必须要进行三步：试值

→

猜想

→

证明.【另解】

用裂项相消法求和：由a＝＝－得，S＝（1－）＋（－）＋……＋－＝1－＝.此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现＝－的裂项公式.可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性.例2.设a＝＋＋…＋

(n∈N),证明：n(n＋1)

(n＋1)

.【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明.n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a＝a＋,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上，再与目标比较而进行适当的放缩求解.【解】

当n＝1时，a＝，n(n+1)＝，(n+1)＝2，∴

n＝1时不等式成立.假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)

(k＋1)，当n＝k＋1时，k(k＋1)＋k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)>(k＋1)(k＋2)，(k＋1)＋＝(k＋1)＋<(k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，所以(k＋1)(k＋2)

用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法.本题中分别将缩小成(k＋1)、将放大成(k＋)的两步放缩是证n＝k＋1时不等式成立的关键.为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则.本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明.主要是抓住对的分析，注意与目标比较后，进行适当的放大和缩小.解法如下：由>n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由

要证明{a}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即证：a＝a＋(n－1)d

.命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明.【解】

设a－a＝d，猜测a＝a＋(n－1)d

当n＝1时，a＝a，∴

当n＝1时猜测正确.当n＝2时，a＋(2－1)d＝a＋d＝a，∴当n＝2时猜测正确.假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a＝a＋(k－1)d，当n＝k＋1时，a＝S－S＝－，将a＝a＋(k－1)d代入上式，得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，因为k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1时猜测正确.综上所述，对所有的自然数n，都有a＝a＋(n－1)d，从而{a}是等差数列.【注】

将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题.在证明过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S＝、数列中通项与前n项和的关系a＝S－S建立含a的方程，代入假设成立的式子a＝a＋(k－1)d解出来a.另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的条件是k≥2.【另解】

可证a

－a＝

a－

a对于任意n≥2都成立：当n≥2时，a＝S－S＝－；同理有a＝S－S＝－；从而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a

－a＝

a－

a，从而{a}是等差数列.一般地，在数列问题中含有a与S时，我们可以考虑运用a＝S－S的关系，并注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多.六、参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题.直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证.换元法也是引入参数的典型例子.辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律.参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系.参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支.运用参数法解题已经比较普遍.参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题.Ⅰ、再现性题组：

1.设2＝3＝5>1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________.2.（理）直线上与点A(-2,3)的距离等于的点的坐标是________.（文）若k<－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________.3.点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________.4.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______.5.设函数f(x)对任意的x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，则f(x)的R上是______函数.(填“增”或“减”)

6.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____.A.3

B.C.D.2

【简解】1小题：设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<2x<5z；

2小题：（理）A(-2,3)为t＝0时，所求点为t＝±时，即(-4,5)或(0,1)；

（文）已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，所以e＝－；

3小题：设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于x轴向右的射线；

4小题：设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4.5小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以f(x)是奇函数，答案：减；

6小题：设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C.Ⅱ、示范性题组：

例1.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值.【分析】由a＋b＋c＝1

想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求.【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，∴

a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋(＋t)＝＋(t＋t＋t)＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥，所以a＋b＋c的最小值是.【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法的一个技巧.本题另一种解题思路是利用均值不等式和“配方法”进行求解，解法是：a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ac)≥1－2(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥.两种解法都要求代数变形的技巧性强，多次练习，可以提高我们的代数变形能力.例2.椭圆＋＝1上有两点P、Q，O为原点.连OP、OQ，若k·k＝－，①求证：|OP|＋|OQ|等于定值；

②求线段PQ中点M的轨迹方程.【分析】

由“换元法”引入新的参数，即设（椭圆参数方程），参数θ、θ为P、Q两点，先计算k·k得出一个结论，再计算|OP|＋|OQ|，并运用“参数法”求中点M的坐标，消参而得.【解】由＋＝1，设，P(4cosθ,2sinθ)，Q(4cosθ,2sinθ),则k·k＝＝－，整理得到：

cosθ

cosθ＋sinθ

sinθ＝0,即cos（θ－θ）＝0.∴|OP|＋|OQ|＝16cosθ＋4sinθ＋16cosθ＋4sinθ＝8＋12(cosθ＋cosθ)＝20＋6（cos2θ＋cos2θ)＝20＋12cos（θ＋θ）cos（θ－θ）＝20，即|OP|＋|OQ|等于定值20.由中点坐标公式得到线段PQ的中点M的坐标为，所以有()＋y＝2＋2(cosθ

cosθ＋sinθ

sinθ)＝2,即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为＋＝1.【注】由椭圆方程，联想到a＋b＝1,于是进行“三角换元”，通过换元引入新的参数，转化成为三角问题进行研究.本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M点的坐标后，将所得方程组稍作变形，再平方相加，即（cosθ＋

cosθ）＋（sinθ＋sinθ），这是求点M轨迹方程“消参法”的关键一步.一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的x、y坐标分别表示成为一个或几个参数的函数，再运用“消去法”消去所含的参数，即得到了所求的轨迹方程.本题的第一问，另一种思路是设直线斜率k，解出P、Q两点坐标再求：

设直线OP的斜率k，则OQ的斜率为－，由椭圆与直线OP、OQ相交于PQ两点有：，消y得(1＋4k)x＝16,即|x|＝；，消y得(1＋)x＝16，即|x|＝；所以|OP|＋|OQ|＝()＋（）＝＝20.即|OP|＋|OQ|等于定值20.在此解法中，利用了直线上两点之间的距离公式|AB|＝|x－x|求|OP|和|OQ|的长.七、反证法

与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得.法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论

→

推导出矛盾

→

结论成立.实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.Ⅰ、再现性题组：

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0

______.A.至多一个实根

B.至少一个实根

C.一个实根

D.无实根

2.已知a<0,－1ab>

ab

B.ab>ab>a

C.ab>a>

ab

D.ab>

ab>a

3.已知α∩β＝l，a

α，b

β，若a、b为异面直线，则_____.A.a、b都与l相交

B.a、b中至少一条与l相交

C.a、b中至多有一条与l相交

D.a、b都与l相交

4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____.(97年全国理)

A.150种

B.147种

C.144种

D.141种

【简解】1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；

2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；

3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；

4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C－C×4－3－6,选D.Ⅱ、示范性题组：

S

C

A

B

O

例1.如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.【证明】

假设AC⊥平面SOB，∵

直线SO在平面SOB内，∴

AC⊥SO，∵

SO⊥底面圆O，∴

SO⊥AB，∴

SO⊥平面SAB，∴平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.【注】否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根.试求实数a的取值范围.【分析】

三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根.先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案.【解】

设三个方程均无实根，则有,解得,即－

(其中x∈R且x≠)，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；

②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像.【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设.【证明】

①

设M(x,y)、M(x,y)是函数图像上任意两个不同的点，则x≠x,假设直线MM平行于x轴，则必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x，∵x≠x

∴

a＝1，这与已知“a≠1”矛盾，因此假设不对，即直线MM不平行于x轴.②

由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，即原函数y＝的反函数为y＝，图像一致.由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像.【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾.第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练.

第三篇：如何提高高中数学解题能力

如何提高高中数学解题能力

在近年的高中教学中，存在着一个普遍的问题：有些学生课堂似乎能够听得懂，教材内容也能读得懂，可就是在各种类型的考试中总有不少试题不会解答，以致成绩难以提高。这一问题的主要原因存在于教师的教和学生的学两个方面，应当从教师和学生两个方面下功夫才能有效解决。

从教师方面看，应积极改进教学行为：

一、强化敬业精神，提高课堂教学效果

目前实施的新一轮课程改革倡导教师要实现由教学生“学会”到教学生“会学”的转变，学校应切实加强教师职业道德建设，重点强化这部分教师的敬业精神，增强其负责意识和工作热情，引导其充满激情地上好每一节课，吃透教情和学情，把教师的教和学生的学有机地结合起来，保证《教学大纲》、《课程标准》规定的“应知”、“应会”目标的实现。

二、根据学生实际，合理确定教学的起点和难度

同级、同班高中学生之间存在着很大差别，教师要通过课堂、作业、测验、反馈和调查等方法，掌握学生的学业基础和接受能力，对不同层次的学生可制定不同层次的教学目标要求，使所有学生掌握基础知识和基本技能，会做基础题，稳拿中档分。在此基础上，再考虑适当提高优秀生的需要。

三、选择典型试题，突出课堂训练

“学习的目的全在于运用”。新课改强调要提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，课堂教学中“以训练为主线”的指导思想必须坚持。讲授新知识后，应选择具有典型性、代表性的例题向学生作解题示范，再由学生上讲台或在练习本上做同类试题，掌握解题的基本规律、方法和思路，达到举一反

三、触类旁通之程度。教师讲例题，要把重点放在试题分析和解题思维方法的构想上，使学生从中学会基本的方法和技能。

从学生方面看，应切实改进学习行为。

一、增强学习信心，端正学习态度

面对激烈的高考竞争，一些同学缺乏必胜的信念，对自己要求不严，同学们一定要明确学习目的，充分认识高中阶段是每个同学学业发展变化的关键时期，一切全在自己努力。只有下功夫，谁都能成功。从而增强信心，转变学习态度，专心致志、聚精会神地去学习。

二、抓住中心环节，课堂认真听讲

据调查，不少同学不会做题的原因，主要是对一些基础知识似懂非懂，或者缺乏解题的思路和方法。解决之法是应大力关注老师讲解例题的分析过程和解题步骤，掌握运用本节所学知识解题的基本规律及其综合运用知识分析问题的思路。这样，解题答卷能力就能从根子上提高。

三、遵循学习规律，力求融会贯通

解题能力是以扎实的知识功底作基础的，提高解题能力，必须着手知识的全面学习掌握和融会贯通。按照学习的一般规律，除课堂认真听讲外，对学习难度较大的课程，课前必须预习，读熟课文内容，找出重点和难懂的内容，为课堂学习打好基础。所有课程都应当在课后认真复习巩固。

四、强化解题练习，达到熟能生巧

“熟能生巧”是掌握一切知识和技能的普遍规律，提高解题技能也不例外。必须强化解题训练，课堂练习、作业和平时的考练题都应当一丝不苟地去做，步骤、单位等要书写完整。各科都要建立错题纠正本，重做错题，定期回头望，确保同类错误不再发生。在复课阶段，要归纳各科试题类型，每类选做代表性试题，总结出方法，做到举一反三，触类旁通。在数学方面，能力比具体的知识更重要。

第四篇：高中数学大题解题思路

同学们，欢迎你们来到MiHop教育

王福喜（专利拥有）

1、高考数学大题结构安排：

A、三角函数与向量的结合B、概率论

C、立体几何

D、圆锥曲线

E、导数

F、数列

2、解题方法浅析：其实高考大题并不可怕，它就是一个按部就班的过程，只要你能把握其中的解题思路，随便怎么都可以搞到六七十分的，甚至猛一点的可以拿满分。那么我就简单的说一下我的想法和思路，希望对大家有帮助，同时也希望大家下来在这些方面有所加强，高考数学大题就不是问题了！

a、三角函数与向量：

考点：对于这类题型我们首先要知道它一般都是考我们什么，我觉得它主要是考我们向 量的数量积以及三角函数的化简问题看，同时可能会涉及到正余弦定理，难度一般不大。只要你能熟练掌握公式，这类题都不是问题。

题型：这部分大题一般都是涉及以下的题型：

最值（值域）、单调性、周期性、对称性、未知数的取值范围、平移问题等

解题思路： 第一步就是根根据向量公式将表示出来：其表示共有两种方法，一种是模长公式（该，另一种就是用坐标

种方法是在题目没有告诉坐标的情况下应用），即公式表示出来（该种方法是在题目告诉了坐标），即

第二步就是三角函数的化简：化简的方法都是涉及到三角函数的诱导公式（只要题目出现了跟或者有关的角度，一定想到诱导公式），还有就是倍角半角公式（只要题目中的角度出现一半或者两倍的关系，一定要此方法），最后可能就是用到三角函数的展开公式（注意辅助角公式的应用）

第三步就是将化简为一个整体的式子（如y=a

解答：

最值（值域）：要首先求出的范围，然后求出y的范围

代入sin函数的单调范围解出x的范的形式）根据题目要求来单调性：首先明确sin函数的单调性，然后将

围（这里一定要注意2的正负性）

周期性：利用公式求解

对称性：要熟练掌握sin、cos、tan函数关于轴对称和点对称的公式，同时解题过程中 不要忘记了加上周期性。

未知数的取值范围：请文科生参照第九套试卷第二问的做法；理科生同样参照第九套试 卷第二问的做法。

平移问题：永远记住左右平移只是对x做变化，上下平移就是对y做变化，永远切记。b、概率：

考点：对文科生来说，这个类型的题主要是考我们对题目意思的理解，在解题过程能学 会树状图和列表，题目也是相当的简单，只要你能审题准确，这类题都是送分题；对理 科生来说，主要注意结合排列组合、独立重复试验知识点，同时会要求我们准确掌握分 布列、期望、方差的公式，难度也是不大，都属于送分题，是要求我们必须拿全部分数。题型：在这里我就不多说了，都是求概率，没有什么新颖的地方，不过要注意我们曾经 在这里遇到过的线性规划问题，还有就是篮球成功率与命中率和防守率之间关系的类似 题目。

解题思路：

第一步就是求出总体的情况

第二步就是求出符合题意的情况

第三步就是将两者比起来就是题目要求的概率

这类型题目对理科生来说一定要掌握好期望与方差的公式，同时最重要的是独立重复 试验概率的求法。

c、几何：

考点：这类题主要是考察咱们对空间物体的感觉，希望大家在平时学习过程中，多培养一些立体的、空间的感觉，将自己设身处地于那么一个立体的空间中去，这类题对文科生来说，难度都比较简单，但是对理科生来说，可能会比较复杂一些，特别是在二面角的求法上，对理科生来说是一个巨大的挑战，它需要理科生能对两个面夹角培养出感情来，这样辅助线的做法以及边长的求法就变得如此之简单了。

题型：这种题型分为两类：第一类就是证明题，也就是证明平行（线面平行、面面平行），第二类就是证明垂直（线线垂直、线面垂直、面面垂直）；第二就是计算题，包括棱锥体的体积公式计算、点到面的距离、有关二面角的计算（理科生掌握）

解题思路：

证线面平行如直线与面有两种方法：一种方法是在面中找到一条线与平行即可（一般情况下没有现成的线存在，这个时候需要我们在面做一条辅助线去跟线平行，一般这条辅助线的作法就是找中点）；另一种方法就是过直线作一个平面与面平行即可，辅助面的作法也基本上是找中点。

证面面平行：这类题比较简单，即证明这两个平面的两条相交线对应平行即可。证线面垂直如直线与面：这类型的题主要是看有前提没有，即如果直线所在的平面与面在题目中已经告诉我们是垂直关系了，那么我们只需要证明直线垂直于面与面的交线即可；如果题目中没有说直线所在的平面与面是垂直的关系，那么我们需要证明直线垂直面内的两条相交线即可。

其实说实话，证明垂直的问题都是很简单的，一般都有什么勾股定理呀，还有更多的是根据一个定理（一条直线垂直于一个面，那么这条直线就垂直这个面的任何一条线）来证明垂直。

证面面垂直与证面面垂直：这类问题也比较简单，就是需要转化为证线面垂直即可。体积和点到面的距离计算：如果是三棱锥的体积要注意等体积法公式的应用，一般情况就是考这个东西，没有什么难度的，关键是高的寻找，一定要注意，只要你找到了高你就胜利了。除了三棱锥以外的其他锥体不要用等体积法了哈，等体积法是三棱锥的专利。二面角的计算：这类型对理科生来说是一个噩梦，其难度有二，第一是首先你要找到二面角在什么地方，另一个难度就是你要知道这个二面角所在直角三角形的边长分别是多少。

二面角（面与面）的找法主要是遵循以下步骤：首先找到从一个面的顶点A出发引向另一个面的垂线，垂足为B，然后过垂足B向这两个面的交线做垂线，垂足为C，最后将A点与C点连接起来，这样即为二面角（说白了就是应用三垂线定理来找）二面角所在直角三角形的边长求法：一般应用勾股定理，相似三角形，等面积法，正余弦定理等。

这里我着重说一下就是在题目中可能会出现这样的情况，就是两个面的相交处是一个点，这个时候需要我们过这个点补充完整两个面的交线，不知道怎么补交线的跟我说一声。

d、圆锥曲线：

考点：这类题型，其实难度真的不是很大，我个人理解主要是考大家的计算能力怎么样，还有就是对题目的理解能力，同时也希望大家都能明白圆锥曲线中a，b，c，e的含义以及他们之间的关系，还有就是椭圆、双曲线、抛物线的两种定义，如果你现在还不知道，趁早去记一下，不然考试的时候都不知道的哈，我真的无语了。

题型：这种类型的题一般都是以下几种出法：第一个问一般情况就是求圆锥曲线方程或者就是求某一个点的轨迹方程，第二个问一般都是涉及到直线的问题，要么就是求范围，要么就是求定值，要么就是求直线方程

解题思路：

求圆锥曲线方程：一般情况下题目有两种求法，一种就是直接根据题目条件来求解（如题目告诉你曲线的离心率和过某一个点坐标），另一种就是隐含的告诉我们椭圆的定义，然后让我们去琢磨其中的意思，去写出曲线的方程，这种问法就比较难点，其实也主要是看我们的基本功底怎么样，对基础扎实的同学来说，这种问法也不是问题的。

求轨迹方程：这种问题需要我们首先对要求点的坐标设出来A（x，y），然后用A点表示出题目中某一已知点B的坐标，然后用表示出来的点坐标代入点B的轨迹方程中，这样就可以求出A点的轨迹方程了，一般求出来都是圆锥曲线方程，如果不是，你就可能错了。

直线与圆锥曲线问题：三个步骤你还知道吗（一设、二代，三韦达），要是有人还不知道的，我真的是想打人了。先做完这个三个步骤，然后看题目给了我们什么条件，然后对条件进行化简（一般的条件都是跟向量呀，斜率呀什么的联系起来，希望大家注意点），在化简的过程中我们需要代韦达进去运算，如果我们在运算的过程中遇到了

定要记得应用直线方程将，一表示出来，然后根据韦达化简到最后结果。最后看题目问我们什么，如果问定值，你还知道怎么做么，不知道的就现在来问我，如果问我们范围，你还知道有一个东西么（），如果问直线方程，你求出来的直线斜率有两个，还知

道怎么做么，如果要想舍去其中一个，你还记得一个东西么（）。同时如果你是一个追求完美的人，我希望你在做题的时候考虑到直线斜率存在与否的问题，如果你觉得你心胸开阔，那点分数我不要了，我考虑斜率存不存在的问题，那么我就说你牛！

个人理解的话，圆锥曲线都不是很难的，就是计算量比较复杂了一点，但是只要我们用心、专心点，都是可以做出来的，不信你慢慢的去尝试看看！

e、函数导数：

考点：这种类型的题主要是考大家对导数公式的应用，导数的含义，明确导数可以用来干什么，如果你都不知道导数可以用来干什么，你还谈什么做题呢。在导数这块，我是希望大家都能尽量的多拿一些分数，因为其难度不是很大，主要你用心去学习了，记住方法了，这个分数对我们来说都是可以小菜一碟的。

题型：最值、单调性（极值）、未知数的取值范围（不等式）、未知数的取值范围（交点或者零点）

解题思路：

最值、单调性（极值）：首先对原函数求导，然后令导函数为零求出极值点，然后画出表格判断出在各个区间的单调性，最后得出结论。

未知数的取值范围（不等式）：其实它就是一种一种变相的求最值问题，不知道大家还记得么，记住我讲课的表情，未知数放在一边，把已知的数放在另外一边，求出相应的最值，咱们就胜利了，这个种看起来很复杂，其实很简单，你说呢。

未知数的取值范围（交点或者零点）：这种要是没有掌握方法的人，觉得：哇，怎么就那么难呀，其实不然，很简单的，只是各位你要明确这种题的解题思路哈。首先还是需要我们把要求的未知数放在一边，把知道的数放在一边去，这样去求出已知数的最值，然后简单的画一个图形我们就可以分析出未知数的取值范围了，说起来也挺简单的，如果有什么不了解的，可以马上问我，不要留下遗憾。

f、数列：

考点：对于数列，我对大家的要求不是很高，我只是希望大家能尽自己的所能，尽量的去多拿分数，如果要是有人能全部做对，我也替你高兴，这类题型，主要是考大家对等比等差数列的理解，包括通项与求和，难度还是有的，其实你要是留意生活的话，这类题还是不是我们想象中那么困难哈。

题型：一般分为证明和计算（包括通项公式、求和、比较大小），解题思路：

证明：就是要求我们证明一个数列是等比数列后还是等差数列，这种题的做法有两种，一种是用，或者，我们就可以证明其为一个等差数列或者等比数列。另一种方法就是应用等差中项或者等比中项来证明数列。

计算（通项公式）：一般这个题都还是比较简单的，这类型的题，我只要求大家能掌握其中题目表达式的关键字眼（如出现要用什么方法，如果出现

如果出现如果出现要用什么方法，），我相信通项公式对大家来说应该是达到驾轻就熟的地步了，希望大家能把握这么容易的分数。求和：这种题对文科生来说，应该知道我要说什么了吧，王福叉数列（等比等差数列）呀！，三个步骤：乘公比，错位相减，化系数为一。光是记住步骤没有用的，同时我也

希望同学们不要眼高手低，不要以为很简单的，其实真正能算正确的不一定那么容易的，所以我还是希望大家多加练习，亲自操作一下。对理科生来说，也要注意这样的数列求和，同时还要掌握一种数列求和，就是这个数列求和是将其中的一个等差或等比数列按照一定的顺序抽调了一部分数列，然后构成一个新的数列求和，还有就是要注意了如果题目里面涉及到这个的时候，一定要记住数列相互奇偶性的讨论了，非常的重要哈。

比较大小：这种题目我对大家的要求很低，因为一般都是放缩法的问题，我也不是要求大家非要怎么样怎么样的，对这类问题需要我们的基本功底很深，要学会适当的放大和放小的问题，对这个问题的把握，需要大家对一些经常遇到的放缩公式印在脑海里面。

补充：在不是导数的其他大题中，如果遇到求最值的问题，一般有两种方法求解，一种是二次函数求最值，一种就是基本不等式求最值。

结语：这些都是王某人的一些浅见，我也希望大家在做题的过程要根据题目意思来做，我们要学会具体问题具体分析，我只是给大家提供一些思路，如果大家有什么不明白的，请及时向我搞明白，不要把遗憾留在后面，同时如果在这个思路中有什么不对的，也请大家指正出来。希望我这样的总结对大家有所帮助，我也祝福大家能考出好的成绩来。谢谢！

第五篇：高中数学解题方法名录

第一篇 数学具体解题方法 代入法

直接法

定义法

向量坐标法

查字典法

挡板模型法

等差中项法

逆向化法

极限化法

整体化法

参数法

交轨法

几何法

弦中点轨迹求

比较法

基本不等式法

以题攻题法

综合法

分析法

放缩法

反证法

换元法

构造法

数学归纳法

配方法

判别式法

序轴标根法

函数与方程思想

整体思想

比较法综合法向量平行法筛选法（排除法）向量垂直法数形结合法同一法特殊值法累加法 回代法（验证法）累乘法特殊图形法倒序相加法 分类法分组法运算转换法公式法结构转换法错位相减法 割补转换法裂项法导数法迭代法象限分析法角的变换法补集法公式的变形及逆距离法用法变更主元法降幂法差异分析法升幂法反例法“1”的代换法阅读理解法引入辅助角法信息迁移法三角函数线法类比联想法构造对偶式法抽象概括法构造三角形法逻辑推理法估算法等价转化法 待定系数法根的分布法特殊优先法分离参数法先选后排法抽签法捆绑法随机数表法插空法间接法数形结合思想第二篇 数学思想方法分类讨论思想化归转化 第三篇分析法数学逻辑方法 反证法归纳法抽象与概括法思想类比法