随机数据处理方法 答案 第四章

第一篇：随机数据处理方法 答案 第四章

第四章大数定律与中心极限定理习题参考答案与提示

1.试利用切比雪夫不等式证明:能以0.97的概率断言,将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面H的次数在400至600次之间。

分析：将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验，因此1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布。

解：设X表示1000次试验中出现正面H的次数，则X是一个随机变量，且X~B(1000，1/2)。因此

EXnp10001500 2

11DXnp(1p)1000(1)250 22

而所求的概率为

P{400X600}P{400500X600500}

P{100XEX100}

P{XEX100}

1DX0.975 2100

2．已知随机变量X的概率分布为

X13

P0.20.30.5

试利用切比雪夫不等式估计事件的概率。XE(1.}5

分析：要利用切比雪夫不等式，需先根据给出的随机变量分布列求得相应的期望和方差。

解：由题设知，EX10.220.330.52.3，EX2120.2220.3320.55.9。

从而DXEX2(EX)25.92.320.61。

由切比雪夫不等式得

P{XEX1.5}1DX0.729。21.5

3．设X为非负随机变量，试证；当t0时，P(Xt)1EX。t

t

分析：P{Xt}F(t)f(x)dx，而EXxf(x)dx，代入要证的不等

式的两侧比较，会发现证明实质上是对积分限的放大或缩小，以及变量间暗含的大小关系，很容易就联系到对切比雪夫不等式的证明技巧。

证明：设随机变量X的分布密度函数为f(x)，则当t0时，P{Xt}f(x)dx1ttf(x)dx

1

tx1f(x)dx1xf(x)dx ttt

111xf(x)dx1EX。tt

4．设X为一列独立同分布的随机变量，且k阶原点矩存在，,X,,X,12n

1nkp记作EXk。试证明：Xik。ni1k

分析：由题设条件X为一列独立同分布的随机变量，以及,X,,X,12n

1nk1n1E(Xi)EXiknkk，可见所证结论与辛钦大数定律的结论非常ni1ni1n

类似，即知证明应用独立同分布的辛钦大数定律。

证明：由X1,X2,,Xn为一列独立同分布的随机变量，以及yxk是连续函数知，X1k,X2k,,Xnk相互独立。再由EXkk，得

1nk1n1E(Xi)EXiknkk，ni1ni1n

1nkp则由辛钦大数定律知：Xik ni1

5．在一家保险公司里10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡者家属可向保险公司领得1000元。问：

（1）保险公司亏本的概率多大？

（2）保险公司一年的利润不少于40000元的概率多大？

分析：对于每个人，在一年内要么死亡，要么不死亡，只有这两种可能性，因此考虑10000个人在一年中是否死亡可看成10000重贝努利试验，故死亡人数服从二项分布。因此应用棣莫弗-拉普拉斯极限定理解决该问题。

解：设一年中死亡的人数为X，每人的死亡概率就为p0.006，从而

X~B(10000,0.006)，保险公司每年收入1000012120000元，需支付1000X元。

（1）设A：“保险公司亏本”，则有

P(A)P{1000X120000}P{X120}

 =1P{0X120}1

1

1(7.7693)(7.7693)22(7.7693)

2-2=0

可见保险公司亏本的概率近似为零。

（2）设B：“保险公司一年中获利不少于40000元”，则

P(B)P{1200001000X40000}P{0X

80}



(2.59)(7.7693)(2.59)(1(7.7693))

0.9952

即一年中保险公司以近99.52%的概率获利40000元以上。

6.100道单项选择题，每题1分，考生每次从四个答案中选一个正确答案。若一考生全为乱猜，试用切比雪夫不等式和正态逼近两种方法计算其成绩15分至35分之间的概率约为多少？

解：设X表示考生成绩（选对个数），则X服从二项分布B(100,1/4)，由切比雪夫不等式

P{15X35}P{X2510}1DX 100

由于 EX25，DX75/4，所以

P{15X35}1DX75/410.8125 100100

35251525)()4754正态逼近法 P{15X35}（(2.31)(2.31)

2(2.31)10.9792

7．某厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概率均为0.02，假设各台机器工作是相互独立的，试求机器发生故障的台数不小于2的概率。解：设X为机器发生故障的台数，则由题意知X~B(400，0.02)，问题化为求

。以下用三种方法来求解： PX{2}

（1）利用二项分布

4001399 P{XP2}1{X2}10.98C0.020.980.9972400

（2）用泊松分布作近似计算（此时）np4000.028

88 P{X2}1P{X2}1e()1819e0.9970

（3）用正态分布作近似计算（利用定理4-5及4-4的推论1）由于X~B(400，0.02)，则由定理4-4的推论1知X~N(n，n)N(8，4000.980.)02N(8，2.8)近似

于是

08X828 P{X2}10P{X2}2.82.82.868。1[))]0.98592.82.8

8．假设X是来自总体X的简单随机抽样，已知EXkk，X，，X12n

1n2(k1，2，3，4)，证明当n充分大时，随机变量ZnXi近似服从正态分ni1

布，并指出其分布参数。

2222证明：由假设条件可知，X，X，，X12n为来自总体X的简单随机抽样，22222则X同分布,即E，X(i1,2,,)n，X，，Xi212n相互独立且与X

222222,则由独立同分布的中心极限定理有 DXE(X)(EX)xRiii42

2Xni2

nnxlini1422x}12edt 1t221n22近XXni2近似似ni1i1即，所以当n充分大（，）01，（，01）~N~N2242(42)/n2i

421n22时，ZnXi近似服从参数为（2）的正态分布。ni1n

第二篇：调研数据处理方法：

调研数据处理办法：调研数据显示新一季MINISO名创优品在华知名度高达63%

当前国内实体零售业市场普遍收缩的大环境下，MINISO名创优品的异军突起，为广大零售业界同行所震撼。为剖析MINISO名创优品品牌逆势而上的品牌战略，探究其赢取市场青睐的原因，本所组织成立研究生项目调研小组开展了独立的针对MINISO名创优品品牌现状调研项目，现撰写形成《MINISO名创优品品牌现状调研报告2.0》。

半年来，国内零售业市场惊现了休闲时尚百货品牌MINISO名创优品强势来袭的景象，其以惊人的开业速度进军全国各大重要商圈，特别是改革开放前沿阵地的广东，仅上下九商圈就开设了5家MINISO名创优品店铺，深受广大消费者热捧，成绩斐然。在当前国内实体零售业市场普遍收缩的大环境下，MINISO名创优品的异军突起，为广大零售业界同行所震撼。为剖析MINISO名创优品品牌逆势而上的品牌战略，本所组织成立研究生项目调研小组开展了独立的针对MINISO名创优品品牌现状调研项目。本项目获得了名创优品（中国）有限公司的支持，向项目组提供了很多有关其品牌、新媒体渠道、深度访问协助等间接资料和帮助。

第一季度调研时间：2014年3月1日10时始至31日16时止；调研对象：部分城市消费者；调研主要方式：网络问卷自填定量调研；调研辅助方式：购物现场消费者深度访问的定性调研；调研问卷设计维度：从消费者对品牌的知晓度、首次进店行为兴奋点、首次卖场感知、品牌接受状况、购买心动理由、品牌分享意愿等6个维度设计问卷。据统计，第一季度品牌调研活动共吸引了44247人查收电子调研问卷，回收问卷15034份，有效问卷14712份，最终形成《MINISO名创优品品牌现状调研报告1.0》。

《MINISO名创优品品牌现状调研报告1.0》主要内容回顾如下：

1)62％的消费者表示没听说过MINISO名创优品，仅38%的消费者表示听说过MINISO名

创优品，可见当前的MINISO名创优品品牌知晓度不高，需加快全国重要商圈布局开店步伐，同时需配合高密度的广告策略。

2)51％的消费者醉心于MINISO名创优品高端大气的店铺形象，MINISO名创优品高端大

气的SI是针对商圈经过人群的高效杀伤性武器。

3)50％的消费者认同MINISO名创优品品牌理念，认同MINISO名创优品“真正物美价廉”的品牌主张，消费者品牌体验良好。

4)72％的消费者明确表示会再度光临消费，且会因价格吸引愿意购买计划外商品。

5)60％的消费者认为使其做出购买决定的最心动理由是其商品超高的性价比。

6)82％的消费者愿意将MINISO名创优品品牌动态信息分享给身边好友。

第二季度调研时间：2014年5月21日12时始至6月20日12时止；调研对象：部分城市消费者；调研主要方式：网络问卷自填定量调研；调研辅助方式：购物现场消费者深度访问的定性调研；调研问卷设计维度：从品牌知晓度、品牌令你最心动的原因、购买的首要考虑因素、偏向购买的品类、关注的媒介渠道、品牌分享意愿等6个维度设计问卷。据统计，该调研活动共吸引了88250人查收电子调研问卷，回收问卷56139份，有效问卷55578份，最终形成《MINISO名创优品品牌现状调研报告2.0》。

《MINISO名创优品品牌现状调研报告2.0》调研基本结果简述：

1)MINISO名创优品品牌知名度同比第一季度调研结果提升25％，高达63％。

2)MINISO名创优品主张的“真正物美价廉”品牌理念的认同度同比第一季度调研结果提

升了14％，高达64％。

3)MINISO名创优品消费者购买的首要考虑因素有51％集中在品牌主张的“真正物美价廉”的先发优势区间，即超高性价比，同时25％消费者折服在国际著名休闲时尚百货品牌的影响力下。

4)MINISO名创优品品牌代表的区隔品类是“休闲时尚百货”，62％的消费者用购买行动

认同和支持着品牌引入初期的品类区隔，有利于品牌差异化识别，其中37％的消费者会首选生活百货，25％的消费者会首选创意家居。

5)92％的消费者明确表示会选择通过MINISO名创优品微信、微博等自媒体平台收听其品

牌动态和商品信息，夯实了MINISO名创优品自媒体低成本传播的基础，确保其可持续提供“真正物美价廉”的商品。

6)97％的消费者会支持MINISO名创优品媒介策略，并愿意将其良好的消费体验和海量物

美价廉信息分享推广，支持MINISO名创优品低成本品牌推广策略。

第三篇：北京地铁沉降监测方法及数据处理

北京地铁沉降监测方法及数据处理

摘要:北京是轨道交通工程在建项目最多的城市,沉降监测对地铁工程的安全施工有着重要意义,同时监测数据能够直接用来评价地铁施工对地表环境的影响。本文重点论述了北京地铁沉降监测的方法与技术要求,介绍了所用仪器数据文件的格式,详述了数据处理和统计分析。最后,文章给出了变形预报分析的数学方法,并说明了其现实意义。

关键词:沉降监测;数字水准仪;数据处理引言

北京是一个国际化的大都市,人口与车辆的增多给北京城带来了很严重的交通问题。随着2008年奥运会的日趋临近,解决这个问题就显得越来越紧迫。轨道交通是解决日益恶化的城市交通问题的一个主要手段。然而,在人口密集、建筑设施密布的城市中进行轨道工程施工,由于岩土开挖不可避免地产生对岩土体的扰动并引起洞室周围地表发生位移和变形,当位移和变形超过一定的限度时,势必危及周围地面建筑设施、道路葙地下管线的安全。因此,研究城市轨道工程开挖过程中地表沉降的有效控制问题,对于地表环境保护及轨道工程的安全施工都具有十分重要的意义。2 沉降基准点和沉降监测点的布设与观测

从2005年3月开始,我们开始对北京地铁四号线某标段(车站)的沉降监测工作,预计该标段的土建施工工作和监测工作将于2006年底结束。监测仪器使用TrimbleDiNi12数字水准仪,监测内容包括建筑物沉降监测和地表沉降监测。沉降监测控制网采用地铁四号线的高程控制网。水准基点与工作基点的联测采用一等水准观测,起初开始观测时,一个月复测一次,三个月以后每三月观测一次。遇跨雨季等特殊情况增加观测次数,以判定工作基点的稳定性。工作基点均位于沉降影响范围外的已稳定的永久性建筑物上。2·1 监测点布设主要要点

1)监测点布设的范围为地铁结构外沿30m内,但在车站主体结构施工地段,地铁结构外沿50m范围内的重点建(构)筑物也应监测。

2)地表沉降监测应尽量和施工单位监测同点量测,同时要注意和施工单位量测的时间也应一致(同天量测),以进行监测数据的比对和校核。

3)由于此地铁属于盖挖车站,原则上沿线路走向上每40m布设一个地表沉降测点,布设3排;车站中线一排,区间线路延长线各一排。

4)建筑物沉降监测点一般布设在3层以上(含3层)的永久建筑物上,但对于3层以下的重要建筑物(如具文物性质的建筑物)也应布设沉降监测点。沉降测点要布设在建(构)筑物主体结构的角点、中点和承重墙上,(如图1,2所示)。2·2 监测技术要求及观测方法

沉降观测精度等级的确定,根据各监测内容的

定精度(式中ms———沉降量S的观测中误差;mΔs———沉降差Δs的观测中误差;QH———网中最弱观测点高程H的权倒数;Qh———网中待求观测点间高差h的权倒数),参考国际测量工作者协会(FIG)于1981年第16届大会提出的常用取值方法,即:为实用目的,观测值中误差不应超过变形允许值的1/26~1/10。结合《地下铁道、轻轨交通工程测量规范》,本次沉降监测网采用国家二等水准测量方法,即: 相邻基准点的高程中误差≤0.5mm,观侧点的高程中误差≤1.0mm。

各项观测限差为:

1)附合或环线闭合差≤0.5(mm)(n为测站数)

2)视线长度≤5m、前后视距差≤1.0m、前后视距累积差≤3.0m。

观测顺序和方法如下:

1)往测时,奇数站照准标尺为后前前后(BFFB),偶数站照准标尺为前后后前(FBBF)。

2)返测时,奇、偶数站照准标尺的顺序分别与往测偶、奇数站相同。

3)分别利用两工作基点起算,采用闭合水准路线观测监测点。

盖挖法施工车站监测频率表:(×标段×站)沉降观测的数据处理

3·1 TrimbleDiNi12的数据格式

TrimbleDiNi12使用两种记录数据模式,一种模式记录测量原始数据(RM),另一种模式记录计算数据(RMc)。同时,DiNi12有两种数据格式(与记录模式不是同一个概念),一种是RECE(M5),另一种是REC500,RECE(M5)和REC500格式都可用于记录和传输数据,但RECS00记录的信息量少。RM模式下的数据仅记录了测量读数的标准差,这样情况下不可以进行线路平差,作业时应避免这种情况,表1为M5格式说明表。

RECE(M5)数据格式:

RECE(M5)格式的数据行包含121个字符,总的数据以这个数据乘以地址行数而存在项目文件中。字符119为空格,接下来的字符120、121为回车符(CR)、换行符(LF)。空格字符在RECE(M5)格式中是重要的,不能被删除。3·2 监测成果与变化分析

可以统计出每次监测点的沉隆量,MicrosoftExcel提供了丰富的统计函数功能,再结合自编的程序,可以轻松制作出沉降量周报报表(见表2)。

2)沉隆量曲线图

图表具有较好的视觉效果,可方便用户查看数据的差异、图案和预测趋势。在沉降量曲线图中,可以直接查看到最小沉降点和最大沉降点,当沉降趋势较明显时,可引起用户的注意。我们利用MicrosoftExcel的图表功能自动生成沉降量曲线图,在Excel中,图表是和数据表相链接的。横坐标以观测时间为单位,纵坐标以沉降量为单位,坐标刻度以2mm为主要刻度,这样足以反映出大于2mm的沉降量(见图3)。

3)变形预报和安全判断

1)沉降量报表

北京地铁四号线第三方监测在主体结构施工阶段是一周一次,根据各次变形监测点的高程数据, 可以统计出每次监测点的沉隆量,MicrosoftExcel提供了丰富的统计函数功能,再结合自编的程序,可以轻松制作出沉降量周报报表(见表2)。

在考虑施工进度(主要是隧道开挖进度)和监测点沉降量统计分析的基础上,采用数值分析中的线性内插法来推算时域外的变形值。因为外推预报值时使用最近的两次监测值,对于连续下沉的监测点有简单实用的优点。

yi+1=yi-1+(yi-yi-1)·(ti+1-ti-1)/(ti-ti-1)

式中:y—沉降量;t—时间。

沉降观测数据为地铁安全施工提供一个重要依据,因而具有十分重要意义。监测项目中建(构)筑物沉降、裂缝,地表沉降,直接用来评价地铁施工对周边环境的影响程度。从我们前期的监测数据显示来看,车站1#风道采用暗挖法,设置在地铁车站1#风道附近的监测点和地面上的监测点整体沉降量较大,这与施工进度相关,同时也说明了我们的作业方法良好。根据设计单位要求,建筑物点的累积沉降限值为±20mm,地面点的累积沉降限值为±25mm,当沉降量接近限值时,则及时向业主及相关部门汇报情况,并同施工单位共同分析原因,以便采取处理措施。每次监测点沉降量大于2mm的,要在报告中加以说明并进行回归分析,对变形趋势进行预测预报。结束语

1)监测仪器操作简单,精度高,读数客观,能对同一测站两次高差之差超限发出警告,测量数据全部存储在PCMCIA卡,便于计算机处理。

2)变形预报采用线性内插法的变换形式来外推预报值,在短期内较回归分析更具现实意义,从数学方法上来说,短期内的一元线性回归方程与线性内插公式的变换形式基本等效。

3)沉降量曲线图能较沉降量报表直观地反映监测点的变化情况,可以预测监测点变化趋势,以便及时将信息反馈至监测管理单位。此外,每月要对施工地段巡察至少一次,确保沉降影响范围内的建筑物及地面没有异常情况,没有出现裂缝、裂纹。

参考文献

[1]北京勘察技术公司.北京地铁四号线第三方监测实施大纲.2005.[2]地下铁道、轻轨交通工程测量规范(GB50308-1999).中国计划出版社.2000.[3]胡伍生,潘庆林,黄腾.土木工程测量手册.人发交通出版社.2004,10.[4]天宝.DiNi12说明书.[5]周祖渊.电子数字式水准仪的性能及测量原理.重庆交通学院学报.2005,2.[6]李刚,徐鹏,张伟娜.高精度电子水准仪在煤仓沉降观测中的应用.工程地球物理学报.2004,12.

第四篇：大学物理实验数据处理方法总结

有效数字

1、有效数字不同的数相加减时，以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准，最后结果与它对其，余下的尾数按舍入规则处理。

2、乘除法以参与运算的数值中有效位数最少的那个数为准，但当结果的第1位数较小，比如1、2、3时可以多保留一位（较小：结果的第一位数小于 有效数字最少的结果第一位数）！例如：n=tg56° θ=56° dθ=1°

dndtgdddcos210.05cos2cos256180

带入56，1

nntg561.48（8为保留）

3、可以数字只出现在最末一位：对函数运算以不损失有效数字为准。例如：20*lg63.4 可疑最小位变化0.1 Y=20lgx dy20dlnx20dx200.1dx0.01

ln10dxln10xln1063.20lg63.436.04

4、原始数据记录、测量结果最后表示，严格按有效数字规定处理。（中间过程、结果多算几次）5、4舍5入6凑偶

6、不估计不确定度时，有效数字按相应运算法则取位；计算不确定度时以不确定度的处理结果为准。

真值和误差

1、误差=测量值-真值

ΔN=N-A

2、误差既有大小、方向与政府。

3、通常真值和误差都是未知的。

4、相对约定真值，误差可以求出。

5、用相对误差比较测量结果的准确度。

6、ΔN/A≈ΔN/N

7、系统误差、随机误差、粗大误差

8、随机误差：统计意义下的分布规律。粗大误差：测量错误

9、系统误差和随机误差在一定条件下相互转化。

不确定度

1、P（x）是概率密度函数

x测量结果落在xpdx之间的概率是P(xP)dx当x取遍所有可能的概率值为1.2、正态分布且消除了系统误差，概率最大的位置是真值A

3、曲线“胖”精密度低“瘦”精密度高。

4、标准误差：无限次测量(x)（XA）P(X)dx 有限次测量且真值不知道标准偏

-2差近似给出S(X)(XiX)2K1

5、正态分布的测量结果落入X左右范围内的概率是0.683

6、真值落入测定值Xi左右区间内的概率为0.683

7、不确定度是测量结果带有的一个参数，用以表征合理赋予被测量值的分散性。

8、A类：用统计方法获得不确定度 B类：非统计方法。

例如：单摆测量为A类

B类：准确度级别 1.0级电流报表 ΔI=1.0%X15mA=0.15mA为不确定度极限

9、不确定度分量的合成1、重复性误差S1由平均值的标准差算出

2、仪器误差由仪器误差线除以根号3算出

3、方法误差由实际公式通过理论导出。

不确定度的方差合成

1、方差uuu不确定度（标准差形式）

2、uj-标准不确定度分量 标准差或s。由仪器最大误差限给出的误差称为展伸不确定度。Uj=kuj.uj为标准不确定度，K称谓包含因子或置信印子。正太分布K=

3、均匀分布K=根号3.3、（样本）标准偏差2212jujn2j uj是参与第j个不确定度的分量开根号后即为合成S(X)(XiX)2n1（单次测量的标准偏差）。平均值的标准偏差S(X)S(X)。n4、多次测量的算术平均值X

5、间接测量不确定度的传播

Xiin平均值X的标准偏差S(X)(XiiX)2。

n(n1)例如：伏安法测电阻Rx。RxVRg IV~Vu(V)I~Iu(I)u(Rx)Rg~Rgu(Rg) 由于u(I)u(V)u(Rg)，1 ,把由此造成的不确定度看成微分看成IVRgV1RXRRdIXdVXdRg dRX2dIdVdRg

IIIVRgdRX22222 u(RX)u1u2u3 u2(RX)u12u2u3u1RXRXVRX1u(Rg)u(Rg)u(I)2u(I)u2u(v)u(v)u3RgIIvI222推广到多个分量u(Y)uX1uX2uXn

ux1(Y)YYu(X1)uxn(Y)u(Xn)X1Xn6、乘除或幂指数形式采用相对不确定度往往要简单

乘除 左右同时取对数后再求微分 例如 bb' ln11d1db1dblnblnb 微分  222b2b222u()1u(b)1u(b)把微分符号改换成不确定度的合成法则2b2b U(α)即可求出

7、不确定度提供了在概率含义下的误差可能取值范围的一种估计

8、不确定度原则上只保留一位非零数字，被测量的取位与不确定度对齐，例如u(L)=0.0851cm 第一位不为零的数为8 而51大于50 所以最后是0.09cm。对中间过程多保留几位。9、10、方差合成的成立条件 ：各分量是小量并且相互独立。物理实验中的数据处理方法

1、列表法 作图法 线性回归法 逐差法

2、列表法：方法简便 对应直观 常用于原始数据的记录 或其它数据处理的基础

①表格的设计明确合理 ②数据记录的规范和完整 ③注意环境参数 列出引用的东西 注意原始数据的记录。

3、作图法：把实验数据依据自变量和因变量的关系做成曲线以便反映两者的函数关系找出经验

①列表法的基本要求给出原始的数据表格 ②坐标的选取和分度 ：最小分度与仪器的最小分度相对应③实验点用便于识别位置的符号表示，曲线拟合要平滑。不适用于校准曲线例如校准电流表

4、求公式： 直线处理 ：经验公式，直线两头的坐标 求出斜率以及截距 by2y1

x2x1x2y1x1y2 取点从拟合后的直线上进行 不取原来的实验点，应在实验范围内，尽量x2x1远离。

5、一元线性回归方法（最小二乘法）

y=a+bx 实验测得数据并不严格符合直线关系 选出一条直线使得实验数据到直线Δy的平方和最小

yimin

i2bxyxyXX22 ybx

①变量关系的选择 等精度测量u(yi)相等 X-无误差 ②线性关系的检验: 线性模型的合理性 数据的相关性 检验方法：（1）物理规律（2）计算相关系数r rxyxy(xx)(yy)2222 1r1 r接近于零 不相关

③曲线改直线

6、逐差法

第五篇：常用大数据量、海量数据处理方法 (算法)总结

 大数据量的问题是很多面试笔试中经常出现的问题，比如baidu google 腾讯 这样的一些涉及到海量数据的公司经常会问到。

下面的方法是我对海量数据的处理方法进行了一个一般性的总结，当然这些方法可能并不能完全覆盖所有的问题，但是这样的一些方法也基本可以处理绝大多数遇到的问题。下面的一些问题基本直接来源于公司的面试笔试题目，方法不一定最优，如果你有更好的处理方法，欢迎与我讨论。

1.Bloom filter

适用范围：可以用来实现数据字典，进行数据的判重，或者集合求交集

基本原理及要点：

对于原理来说很简单，位数组+k个独立hash函数。将hash函数对应的值的位数组置1，查找时如果发现所有hash函数对应位都是1说明存在，很明显这个过程并不保证查找的结果是100%正确的。同时也不支持删除一个已经插入的关键字，因为该关键字对应的位会牵动到其他的关键字。所以一个简单的改进就是 counting Bloom filter，用一个counter数组代替位数组，就可以支持删除了。

还有一个比较重要的问题，如何根据输入元素个数n，确定位数组m的大小及hash函数个数。当hash函数个数k=(ln2)*(m/n)时错误率最小。在错误率不大于E的情况下，m至少要等于n*lg(1/E)才能表示任意n个元素的集合。但m还应该更大些，因为还要保证bit数组里至少一半为0，则m应该>=nlg(1/E)*lge 大概就是nlg(1/E)1.44倍(lg表示以2为底的对数)。

举个例子我们假设错误率为0.01，则此时m应大概是n的13倍。这样k大概是8个。

注意这里m与n的单位不同，m是bit为单位，而n则是以元素个数为单位(准确的说是不同元素的个数)。通常单个元素的长度都是有很多bit的。所以使用bloom filter内存上通常都是节省的。

扩展：

Bloom filter将集合中的元素映射到位数组中，用k（k为哈希函数个数）个映射位是否全1表示元素在不在这个集合中。Counting bloom filter（CBF）将位数组中的每一位扩展为一个counter，从而支持了元素的删除操作。Spectral Bloom Filter（SBF）将其与集合元素的出现次数关联。SBF采用counter中的最小值来近似表示元素的出现频率。

问题实例：给你A,B两个文件，各存放50亿条URL，每条URL占用64字节，内存限制是4G，让你找出A,B文件共同的URL。如果是三个乃至n个文件呢？

根据这个问题我们来计算下内存的占用，4G=2^32大概是40亿*8大概是340亿，n=50亿，如果按出错率0.01算需要的大概是650亿个bit。现在可用的是340亿，相差并不多，这样可能会使出错率上升些。另外如果这些urlip是一一对应的，就可以转换成ip，则大大简单了。

2.Hashing

适用范围：快速查找，删除的基本数据结构，通常需要总数据量可以放入内存

基本原理及要点：

hash函数选择，针对字符串，整数，排列，具体相应的hash方法。

碰撞处理，一种是open hashing，也称为拉链法；另一种就是closed hashing，也称开地址法，opened addressing。

扩展：

d-left hashing中的d是多个的意思，我们先简化这个问题，看一看2-left hashing。2-left hashing指的是将一个哈希表分成长度相等的两半，分别叫做T1和T2，给T1和T2分别配备一个哈希函数，h1和h2。在存储一个新的key时，同时用两个哈希函数进行计算，得出两个地址h1[key]和h2[key]。这时需要检查T1中的h1[key]位置和T2中的h2[key]位置，哪一个位置已经存储的（有碰撞的）key比较多，然后将新key存储在负载少的位置。如果两边一样多，比如两个位置都为空或者都存储了一个key，就把新key 存储在左边的T1子表中，2-left也由此而来。在查找一个key时，必须进行两次hash，同时查找两个位置。

问题实例：

1).海量日志数据，提取出某日访问百度次数最多的那个IP。

IP的数目还是有限的，最多2^32个，所以可以考虑使用hash将ip直接存入内存，然后进行统计。

3.bit-map

适用范围：可进行数据的快速查找，判重，删除，一般来说数据范围是int的10倍以下

基本原理及要点：使用bit数组来表示某些元素是否存在，比如8位电话号码

扩展：bloom filter可以看做是对bit-map的扩展

问题实例：

1)已知某个文件内包含一些电话号码，每个号码为8位数字，统计不同号码的个数。

8位最多99 999 999，大概需要99m个bit，大概10几m字节的内存即可。

2)2.5亿个整数中找出不重复的整数的个数，内存空间不足以容纳这2.5亿个整数。

将bit-map扩展一下，用2bit表示一个数即可，0表示未出现，1表示出现一次，2表示出现2次及以上。或者我们不用2bit来进行表示，我们用两个bit-map即可模拟实现这个2bit-map。

4.堆

适用范围：海量数据前n大，并且n比较小，堆可以放入内存

基本原理及要点：最大堆求前n小，最小堆求前n大。方法，比如求前n小，我们比较当前元素与最大堆里的最大元素，如果它小于最大元素，则应该替换那个最大元素。这样最后得到的n个元素就是最小的n个。适合大数据量，求前n小，n的大小比较小的情况，这样可以扫描一遍即可得到所有的前n元素，效率很高。

扩展：双堆，一个最大堆与一个最小堆结合，可以用来维护中位数。

问题实例：

1)100w个数中找最大的前100个数。

用一个100个元素大小的最小堆即可。

5.双层桶划分

适用范围：第k大，中位数，不重复或重复的数字

基本原理及要点：因为元素范围很大，不能利用直接寻址表，所以通过多次划分，逐步确定范围，然后最后在一个可以接受的范围内进行。可以通过多次缩小，双层只是一个例子。

扩展：

问题实例：

1).2.5亿个整数中找出不重复的整数的个数，内存空间不足以容纳这2.5亿个整数。

有点像鸽巢原理，整数个数为2^32,也就是，我们可以将这2^32个数，划分为2^8个区域(比如用单个文件代表一个区域)，然后将数据分离到不同的区域，然后不同的区域在利用bitmap就可以直接解决了。也就是说只要有足够的磁盘空间，就可以很方便的解决。

2).5亿个int找它们的中位数。

这个例子比上面那个更明显。首先我们将int划分为2^16个区域，然后读取数据统计落到各个区域里的数的个数，之后我们根据统计结果就可以判断中位数落到那个区域，同时知道这个区域中的第几大数刚好是中位数。然后第二次扫描我们只统计落在这个区域中的那些数就可以了。

实际上，如果不是int是int64，我们可以经过3次这样的划分即可降低到可以接受的程度。即可以先将int64分成2^24个区域，然后确定区域的第几大数，在将该区域分成2^20个子区域，然后确定是子区域的第几大数，然后子区域里的数的个数只有2^20，就可以直接利用direct addr table进行统计了。

6.数据库索引

适用范围：大数据量的增删改查

基本原理及要点：利用数据的设计实现方法，对海量数据的增删改查进行处理。

扩展：

问题实例：

7.倒排索引(Inverted index)

适用范围：搜索引擎，关键字查询

基本原理及要点：为何叫倒排索引？一种索引方法，被用来存储在全文搜索下某个单词在一个文档或者一组文档中的存储位置的映射。

以英文为例，下面是要被索引的文本：

T0 = “it is what it is” T1 = “what is it”

T2 = “it is a banana”

我们就能得到下面的反向文件索引：

“a”: {2} “banana”: {2} “is”: {0, 1, 2} “it”: {0, 1, 2} “what”: {0, 1}

检索的条件“what”, “is” 和 “it” 将对应集合的交集。

正向索引开发出来用来存储每个文档的单词的列表。正向索引的查询往往满足每个文档有序频繁的全文查询和每个单词在校验文档中的验证这样的查询。在正向索引中，文档占据了中心的位置，每个文档指向了一个它所包含的索引项的序列。也就是说文档指向了它包含的那些单词，而反向索引则是单词指向了包含它的文档，很容易看到这个反向的关系。

扩展：

问题实例：文档检索系统，查询那些文件包含了某单词，比如常见的学术论文的关键字搜索。

8.外排序

适用范围：大数据的排序，去重

基本原理及要点：外排序的归并方法，置换选择 败者树原理，最优归并树

扩展：

问题实例：

1).有一个1G大小的一个文件，里面每一行是一个词，词的大小不超过16个字节，内存限制大小是1M。返回频数最高的100个词。

这个数据具有很明显的特点，词的大小为16个字节，但是内存只有1m做hash有些不够，所以可以用来排序。内存可以当输入缓冲区使用。

9.trie树

适用范围：数据量大，重复多，但是数据种类小可以放入内存

基本原理及要点：实现方式，节点孩子的表示方式

扩展：压缩实现。

问题实例：

1).有10个文件，每个文件1G，每个文件的每一行都存放的是用户的query，每个文件的query都可能重复。要你按照query的频度排序。

2).1000万字符串，其中有些是相同的(重复),需要把重复的全部去掉，保留没有重复的字符串。请问怎么设计和实现？

3).寻找热门查询：查询串的重复度比较高，虽然总数是1千万，但如果除去重复后，不超过3百万个，每个不超过255字节。

10.分布式处理 mapreduce

适用范围：数据量大，但是数据种类小可以放入内存

基本原理及要点：将数据交给不同的机器去处理，数据划分，结果归约。

扩展：

问题实例：

1).The canonical example application of MapReduce is a process to count the appearances of

each different word in a set of documents: void map(String name, String document):

// name: document name

// document: document contents

for each word w in document:

EmitIntermediate(w, 1);

void reduce(String word, Iterator partialCounts):

// key: a word

// values: a list of aggregated partial counts

int result = 0;

for each v in partialCounts:

result += ParseInt(v);

Emit(result);

Here, each document is split in words, and each word is counted initially with a “1” value by

the Map function, using the word as the result key.The framework puts together all the pairs

with the same key and feeds them to the same call to Reduce, thus this function just needs to

sum all of its input values to find the total appearances of that word.2).海量数据分布在100台电脑中，想个办法高效统计出这批数据的TOP10。

3).一共有N个机器，每个机器上有N个数。每个机器最多存O(N)个数并对它们操作。如何找到N^2个数的中数(median)？

经典问题分析

上千万or亿数据（有重复），统计其中出现次数最多的前N个数据,分两种情况：可一次读入内存，不可一次读入。

可用思路：trie树+堆，数据库索引，划分子集分别统计，hash，分布式计算，近似统计，外排序

所谓的是否能一次读入内存，实际上应该指去除重复后的数据量。如果去重后数据可以放入内存，我们可以为数据建立字典，比如通过 map，hashmap，trie，然后直接进行统计即可。当然在更新每条数据的出现次数的时候，我们可以利用一个堆来维护出现次数最多的前N个数据，当然这样导致维护次数增加，不如完全统计后在求前N大效率高。

如果数据无法放入内存。一方面我们可以考虑上面的字典方法能否被改进以适应这种情形，可以做的改变就是将字典存放到硬盘上，而不是内存，这可以参考数据库的存储方法。

当然还有更好的方法，就是可以采用分布式计算，基本上就是map-reduce过程，首先可以根据数据值或者把数据hash(md5)后的值，将数据按照范围划分到不同的机子，最好可以让数据划分后可以一次读入内存，这样不同的机子负责处理各种的数值范围，实际上就是map。得到结果后，各个机子只需拿出各自的出现次数最多的前N个数据，然后汇总，选出所有的数据中出现次数最多的前N个数据，这实际上就是reduce过程。

实际上可能想直接将数据均分到不同的机子上进行处理，这样是无法得到正确的解的。因为一个数据可能被均分到不同的机子上，而另一个则可能完全聚集到一个机子上，同时还可能存在具有相同数目的数据。比如我们要找出现次数最多的前100个，我们将1000万的数据分布到10台机器上，找到每台出现次数最多的前 100个，归并之后这样不能保证找到真正的第100个，因为比如出现次数最多的第100个可能有1万个，但是它被分到了10台机子，这样在每台上只有1千个，假设这些机子排名在1000个之前的那些都是单独分布在一台机子上的，比如有1001个，这样本来具有1万个的这个就会被淘汰，即使我们让每台机子选出出现次数最多的1000个再归并，仍然会出错，因为可能存在大量个数为1001个的发生聚集。因此不能将数据随便均分到不同机子上，而是要根据hash 后的值将它们映射到不同的机子上处理，让不同的机器处理一个数值范围。

而外排序的方法会消耗大量的IO，效率不会很高。而上面的分布式方法，也可以用于单机版本，也就是将总的数据根据值的范围，划分成多个不同的子文件，然后逐个处理。处理完毕之后再对这些单词的及其出现频率进行一个归并。实际上就可以利用一个外排序的归并过程。

另外还可以考虑近似计算，也就是我们可以通过结合自然语言属性，只将那些真正实际中出现最多的那些词作为一个字典，使得这个规模可以放入内存。