1-9
已知随机变量X的分布函数为
求：①系数k；
②X落在区间内的概率；
③随机变量X的概率密度。
解：
第①问
利用右连续的性质
k＝1
第②问
第③问
1-10已知随机变量X的概率密度为（拉普拉斯分布），求：
①系数k
②X落在区间内的概率
③随机变量X的分布函数
解：
第①问
第②问
随机变量X落在区间的概率就是曲线下的曲边梯形的面积。
第③问
1-11
某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？
汽车站出事故的次数不小于2的概率
答案
1-12
已知随机变量的概率密度为
求：①系数k？②的分布函数？③？
第③问
方法一：
联合分布函数性质：
若任意四个实数，满足，则
方法二：利用
1-13
已知随机变量的概率密度为
①求条件概率密度和？②判断X和Y是否独立？给出理由。
先求边缘概率密度、注意上下限的选取
1-14
已知离散型随机变量X的分布律为
0.2
0.1
0.7
求：①X的分布函数
②随机变量的分布律
1-15
已知随机变量X服从标准高斯分布。求：①随机变量的概率密度？②随机变量的概率密度？
分析:①
②
答案:
1-16
已知随机变量和相互独立，概率密度分别为，求随机变量的概率密度？
解：设
求反函数，求雅克比J＝－1
1-17
已知随机变量的联合分布律为
求：①边缘分布律和？
②条件分布律和？
分析：
泊松分布
P19
（1－48）
解：①
②
即X、Y相互独立
1-18
已知随机变量相互独立，概率密度分别为。又随机变量
证明：随机变量的联合概率密度为
因为|J|＝1,故
已知随机变量相互独立，概率密度分别为
1-19
已知随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为
求其数学期望与方差？
解:
1-20
已知随机变量X可能取值为，且每个值出现的概率均为。求：①随机变量X的数学期望和方差？②随机变量的概率密度？③Y的数学期望和方差？
①③
答案:
②
Y
P
1/5
1/5
1/5
2/5
离散型随机变量的概率密度表达式 P12，1-25式
其中
为冲激函数
1-22
已知两个随机变量的数学期望为，方差为，相关系数。现定义新随机变量为
求的期望，方差以及它们的相关系数？
0.13
1-23
已知随机变量满足，皆为常数。证明：
①
；②
；③
当且时，随机变量正交。
①
②
③
1-25
已知随机变量相互独立，分别服从参数为和的泊松分布。①求随机变量X的数学期望和方差？②证明服从参数为的泊松分布。
解：①
泊松分布
特征函数的定义
由(1-17题用过)
可得
②根据特征函数的性质，X
Y相互独立，表明Z服从参数为的泊松分布1-26
已知随机变量的联合特征函数为
求：①随机变量X的特征函数
②随机变量Y的期望和方差
解：①
②
1-28
已知两个独立的随机变量的特征函数分别是和，求随机变量特征函数？
解：
特征函数的性质：相互独立随机变量和的特征函数等于它们特征函数之积
X、Y独立，因此有
和独立
独立的等价条件（充分必要条件）
①
②
③
1-29
已知二维高斯变量中，高斯变量的期望分别为，方差分别为，相关系数为。令
①
写出二维高斯变量的概率密度和特征函数的矩阵形式，并展开；
②
证明相互独立，皆服从标准高斯分布。
解：，系数矩阵，线性变换，故也服从高斯分布，故不相关，高斯变量不相关和独立等价，独立
1-30
已知二维高斯变量的两个分量相互独立，期望皆为0，方差皆为。令
其中为常数。①证明：服从二维高斯分布；
②求的均值和协方差矩阵；
③证明：相互独立的条件为。
复习：
n维高斯变量的性质
1.高斯变量的互不相关与独立是等价的2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。
3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布
解：①
②
③相互独立、二维高斯矢量
因此互不相关
只要证为对角证
即
1-31
已知三维高斯随机矢量均值为常矢量，方差阵为
证明：相互独立。
复习：
n维高斯变量的性质
1.高斯变量的互不相关与独立是等价的2.高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布。
3.高斯变量的边缘分布仍服从高斯分布
思路：设随机矢量
由性质可得为三维高斯变量，求得方差阵为对角阵
1-32
已知三维高斯随机变量各分量相互独立，皆服从标准高斯分布。求和的联合特征函数？
思路：是线性变换故也服从高斯分布，求得就可以写出联合特征函数，线性变换，故也服从高斯分布
N维高斯变量的联合特征函数
2、已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为
(1)条件概率密度
(2)X和Y是否独立？给出理由。
解题思路：
解：(1)
(2)
X和Y不相互独立
4、已知
(X1,X2,X3)
是三维高斯变量，其期望和方差为
求：(1)
(X1,X2)的边缘特征函数。
(2)
(Y1,Y2)的联合概率密度
高斯变量的线性变换后仍服从高斯分布
所以(X1,X2)、服从高斯分布
(1)
(2)
2-1
已知随机过程，其中
为常数，随机变量
服从标准高斯分布。求
三个时刻的一维概率密度？
解：
(离散型随机变量分布律)
2-2
如图2.23所示，已知随机过程
仅由四条样本函数组成，出现的概率为。
图2.23
习题2-2
在和
两个时刻的分布律如下：
1/8
1/4
3/8
1/4
求？
2－23
2-4
已知随机过程，其中
皆为随机变量。①求随机过程的期望
和自相关函数
？②若已知随机变量相互独立，它们的概率密度分别为
和，求的一维概率密度
第②问
方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布）
步骤：
t时刻，为两个随机变量的函数
①设二维的随机矢量
②求反函数
③求雅克比行列式J，得到|J|
④利用公式
⑤由联合概率密度求边缘概率密度
⑥t为变量，则得到
方法二：
用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做
（特征函数和概率密度一一对应）
2-5
已知
为平稳过程，随机变量
。判断随机过程的平稳性？
随机过程
非平稳
2-6
已知随机过程，其中随机过程
宽平稳，表示幅度；角频率
为常数；随机相位
服从的均匀分布，且与过程
相互独立。①求随机过程的期望和自相关函数？②判断随机过程
是否宽平稳？
①
与过程
相互独立
2-8
已知平稳过程的自相关函数为，求过程的均方值和方差？
2-10
已知过程
和，其中随机变量
独立，均值都为0，方差都为5。①证明
和
各自平稳且联合平稳；②求两个过程的互相关函数？
①
2-11
已知过程
和
各自平稳且联合平稳，且
。①求的自相关函数
？②若
和
独立，求
？③若
和
独立且均值均为0，求
第①问
两个联合平稳的过程的互相关函数
第②问
两平稳过程独立
第③问
和
独立且均值均为0
2-12
已知两个相互独立的平稳过程
和的自相关函数为
令随机过程，其中
是均值为2，方差为9的随机变量，且与
和
相互独立。求过程的均值、方差和
自相关函数？
随机变量A，与
和
相互独立
可以证明过程
平稳
2-14
已知复随机过程
式中
为n个实随机变量，为n个实数。求当
满足什么条件时，复平稳？
复过程
复平稳条件
①
②
2-16
已知平稳过程的均方可导。证明的互相关函数和的自相关函数分别为
若
为宽平稳（实）过程，则
也是宽平稳（实）过程，且
与
联合宽平稳。
2-17
已知随机过程的数学期望，求随机过程的期望？
2-18
已知平稳过程的自相关函数
。求：①其导数的自相关函数和方差？②
和的方差比？
不含周期分量
补充题：若某个噪声电压
是一个各态历经过程，它的一个样本函数为，求该噪声的直流分量、交流平均功率
解：直流分量、交流平均功率
各态历经过程
可以用它的任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均
再利用平稳过程自相关函数的性质
方法二：
2-19
已知随机过程，其中
是均值和方
差皆为1的随机变量。令随机过程
求的均值、自相关函数、协方差函数和方差？
解：
1．求均值，利用
随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换
2.求自相关函数
3.求互协方差函数
4.求方差
2-20
已知平稳高斯过程的自相关函数为
①
②
求当
固定时，过程的四个状态的协方差矩阵？
分析：高斯过程四个状态的解：①
②
2-21
已知平稳高斯过程的均值为0，令随机过程。
证明
2-22
已知随机过程，其中随机相位
服从
上的均匀分布；
可能为常数，也可能为随机变量，且若
为随机变量时，和随机变量
相互独立。当
具备什么条件时，过程各态历经？
分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且
解：①
A为常数时
为平稳过程
A为随机变量时
和随机变量
相互独立
为平稳过程
②
③
l、随机过程
X(t)=A+cos(t+B)，其中A是均值为2，方差为1的高斯变量，B是（0，2p）上均匀分布的随机变量，且A和B独立。求
（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）
（2）
3-1
已知平稳过程的功率谱密度为，求：①该过程的平均功率？
②取值在范围内的平均功率？
解
3-7如图3.10所示，系统的输入为平稳过程，系统的输出为。证明：输出的功率谱密度为
3-9
已知平稳过程和相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为
令新的随机过程
①证明和联合平稳；
②求的功率谱密度？
③求和的互谱密度？
④求和的互相关函数？
⑤求和的互相关函数
解:
3-11
已知可微平稳过程的自相关函数为，其导数为。求互谱密度和功率谱密度？
Ⅰ.平稳过程
维纳－辛钦定理
Ⅱ.2-17
已知平稳过程的均方可导。证明的互相关函数和的自相关函数分别为
Ⅲ.傅立叶变换的微分性质
3-17
已知平稳过程的物理功率谱密度为，①求的功率谱密度和自相关函数？画出的图形。
②判断过程是白噪声还是色噪声？给出理由
白噪声的定义
若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，满足
(3-70)
其中为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应
h(t)=U(t)－U(t－0.5)
它的输入是功率谱密度为的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数
白噪声
4-5
已知系统的单位冲激响应，其输入平稳信号的自相关函数为，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？
分析：直流功率＝直流分量的平方
解:
输入平稳
输出的直流分量
输出的直流功率
4-7
已知如图4.21
所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为的白噪声，求：①系统的传递函数？②输出的均方值？其中
4-11
已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为
求此稳定系统的单位冲激响应？
解：
4-12
已知系统输入信号的功率谱密度为
设计一稳定的线性系统，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？
解：
4-14
功率谱密度为的白噪声作用于的低通网络上，等效噪声带宽为。若在电阻上的输出平均功率为。求的值？
书P162，解：对于低通情况
或者调用公式
图4.24
习题4-18
4-18
如图4.24所示的线性系统，系统输入是零均值，物理谱密度为1的白噪声，且。
①判断和分别服从什么分布？给出理由。
②证明是严平稳过程。
③求和的互相关函数，的功率谱密度？
④写出的一维概率密度表达式？
⑤判断同一时刻，和是否独立？给出理由。
解：①是白噪声
（白噪声带宽无限，由定义），线性系统，系统传递函数，是个低通线性系统（带宽有限）
由4.5节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，为高斯过程。
由4.5节结论1可知，为高斯过程。
和服从高斯分布
②证明是严平稳过程
证：是白噪声（宽平稳过程），通过线性系统的输出也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。
对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。
③求和的互相关函数，的功率谱密度
习题3-7的结论
④求一维概率密度表达式，则易得
思考1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量，根据严平稳过程的特性也可以推到。
思考2：试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。
⑤判断同一时刻，和是否独立？给出理由
和独立（高斯过程）
等价
互不相关（零均值）
等价
正交
和联合平稳，再由两者的相互关系可得
即不正交
和在同一时刻不独立。
—
END
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