第一篇：1证明二 详细知识点+例题+习题
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第二篇：浮力知识点及典型例题
(考查范围：浮力及其应用)
附:本章知识小结(一)本章词语解释
1.上升: 物体在液体中向液面运动的过程.2.下沉: 物体在液体中向容器底部运动的过程.3.漂浮: 物体独自静止地浮在液面上,有一部分体积在液面下为V排,有一部分体积在液面上为V露.4.悬浮: 物体独自静止地悬在液体中任何位置,此时V排＝V物.5.沉底: 物体在液体中沉到容器底,容器底对它有一个支持力.6.浸没: 物体全部浸在液体中,此时V排＝V物.7.浸入: 物体部分或全部浸在液体中.8.浮体: 凡是漂浮或悬浮在液体中的物体.(二)重难点分析
1.浮力的三要素
2.对阿基米德原理的理解(F浮＝G排或F浮＝ρ液gV排)A.原理中“浸入液体里的物体”指两种情况
B.能区分G物与G排；V物与V排；ρ物与ρ液的意义.C.明确此公式的适用条件:既用于液体也适用于气体.D.由此式理解决定浮力大小的因素.即:物体浸在液体中所受浮力的大小跟液体(气体)的密度和物体排开液体(气体)的体积有关,而跟物体本身的体积、密度、形状以及物体浸没在液体(气体)中的深度等无关.因此,在用F浮＝ρ液gV排计算或比较浮力大小时,关键是分析液体的密度ρ液和排开液体的体积V排的大小.3.怎样判断物体的浮沉及浮沉的应用
A.物体的浮沉条件 浸没在液体里的物体若只受重力和浮力的作用,由力运动的关系可知: 当F浮>G物(ρ液>ρ物)时,物体上浮→漂浮(F'浮＝G物).当F浮=G物(ρ液=ρ物)时,物体悬浮.当F浮 技术上为了实现浮沉总是设法改变重力与浮力的“力量对比”,来达到目的.若保持浮力不变,可改变自身的重力,实现沉浮；若保持重力不变,可改变排开液体(气体)的体积来实现沉浮.a 轮船采用”空心”办法,使它排开水的体积增大,达到增大浮力.b 潜水艇 浮力不变,通过改变“自重”来实现上浮、下沉的.c 气球与飞艇 用小于空气密度的氢气或氦气充入气球和飞艇中,通过改变气球和气囊的体积而改变浮力的大小,实现升降.d 密度计用来测定液体密度的仪器.它利用漂浮原理:G密度计＝F浮＝ρ液gV 排,即ρ液大,V排就小,密度计露出部分大而做成的.4.关于液面升降的问题.分析 其实质是比较变化前后的V排.例: 一块冰浮于水面,如图.那么当冰熔化前后,其水面将______(选填“升高”、“降低”或“不变”)解: 冰熔化前: 由于漂浮,F浮＝G物.则V排＝m冰g/ρ水g＝m冰/ρ水.冰熔化后:由于m水＝m冰,由ρ＝m/V得 V化水＝m水/ρ水＝m冰/ρ水 因 V排水＝V化水,即冰熔化成水后,刚好填满原来被冰排开的水的体积,因此,水面保持不变.扩展一 ① 若上题中的冰包含有气泡,则冰熔化后液面将如何变? ② 若上题中的冰包有一小木块(ρ物<ρ水),则冰熔化后液面又将如何? ③ 若上题中的冰包含有一小石块(ρ物>ρ水),则冰熔化后又如何? 扩展二 如图甲,铁块A叠放在木块B上,然后放在水缸中当将铁块从木块上拿下,并放在水缸底部时,水面高度将() A.上升 B.下降 C.不变 D.无法确定 5.如何用浮力知识来测固体或液体的密度.A.测固体的密度 例一 请利用弹簧测力计、水、烧杯测出一块小石头(ρ物>ρ水)的密度.① 实验原理 F浮＝G－F拉(称重法)② 步骤 a 用弹簧测力计先测出小石块在空气中的重力记为G石； b 用弹簧测力计悬吊着小石块,使之浸没在水杯中,并记下此时弹簧测力计的示数为F拉； c 由F浮＋F拉＝G可求得小石块浸没在水中受到的浮力为F浮＝G石－F拉； d 由F浮＝ρ液gV排和G＝mg＝ρ物gV物及V物＝V排得ρ石＝ ρ水 例二 利用量筒、水、细针测出不沉于水的蜡块(ρ物<ρ水)密度.① 实验原理 F浮＝G(漂浮法)② 步骤 a 先往量筒中倒入适量的水,记下水的体积为V0； b 然后往量筒中放入小蜡块,待小蜡块静止后,记下水面现在所对应的刻度为V1,即蜡块漂浮时V排＝V1－V0； c 用细针将蜡块全部按入水中,记下现在水面刻度为V2,此时蜡块的体积为V蜡＝V2－V0； d 利用漂浮条件F浮＝G,即ρ水gV排＝ρ蜡gV蜡得出ρ蜡＝ρ水 B.测液体的密度 第一 原理 F浮＝G－F拉和F浮＝ρ液gV排.(称重法)器材 弹簧测力计、烧杯、适量的水、适量的待测液体和一个密度大于水和液体的物体.过程 用上述器材分别测出物体在水中和待测液体中的浮力,则有 即:ρ液＝ 第二 原理 F浮＝G物(漂浮法) 器材 量筒、水和待测液体、一个密度比水和待测液体小的物体.过程 用上述器材分别测出物体在水中和待测液体中的V排即可,即:由G物＝F 浮水和G物＝F浮液可知 ρ水gV排水＝ρ液gV排液,也即ρ液＝ 6.掌握计算浮力大小的四种方法.A.称重法.利用弹簧测力计两次读数不等来计算浮力.基本公式 F浮＝G－F拉(式中的G和F拉分别为称在空气中的物体和称在液体中的同一物体时弹簧测力计的读数) 适用范围 此式适用于液体中下沉的物体.常用于题中已知用弹簧测力计称物体重的情况.B.压力差法.利用浮力产生的原因来计算浮力.基本公式 F浮＝F向上－F向下.适用范围 此法用于判断物体是否受到浮力或计算浸没深度已知的规则物体所受的浮力.C.原理法.利用阿基米德原理来计算浮力.基本公式 F浮＝G排液或F浮＝ρ液gV排液.适用范围 普遍适用.D.平衡法.利用物体漂浮或悬浮的条件来计算浮力.基本公式 F浮＝G物、F浮＋N支＝G物、F浮＝G物＋F拉.适用范围 漂浮体、悬浮体、沉底、连接体等.其中称重法、原理法、平衡法是常用的计算浮力的方法.其它方法一般都要与原理法联合使用,才能顺利完成浮力问题的解答.7.求解浮力问题的一般步骤 a 明确研究对象 b 明确研究对象所处的运动状态.(漂浮、悬浮、沉底、上浮或下沉等) c 对研究对象进行受力分析,并画出受力示意图.(除分析重力、浮力外,还要注意是否有其它相关联的物体对它有拉力、压力等) d 列出物体处于平衡状态下的力的平衡方程(在展开方程时,应注意抓住题中的关键字“全浸”、“部分浸”、“漂浮”、“沉底”、“露出水面”等)e 解方程求出未知量.1、第二次世界大战时期，德国纳粹一潜水艇在下潜过程中，撞到海底被搁浅而不能浮起来，这是因为()A.有浮力，但浮力小于重力 B.有浮力，且浮力等于重力 C.潜水艇底部没有水进入，不产生浮力 D.机器坏了，不产生浮力 2．一艘轮船从东海驶入长江后，它所受到的浮力()A.变小 B.不变 C.变大 D.不能确定 3．甲、乙两物体的质量之比是3∶5,密度之比是3∶10,若把它们浸没在同种液体中,则它们所受的浮力之比是()A.3∶5 B.3∶10 C.1∶2 D.2∶1 4．如图所示，体积相同的甲、乙、丙三个物体浸没在水中。甲上浮、乙悬浮、丙下沉，在甲露出水面之前，关于它们所受浮力的说法正确的是()A.甲受到的浮力 B.乙受到的浮力大 C.丙受到的浮力大 D.甲、乙、丙受到的浮力一样大 7．如图所示，浸没在烧杯底部的鸡蛋所受水的浮力F1小于鸡蛋的重力，现将适量的浓盐水倒入烧杯中，鸡蛋所受的浮力为F2，则F1与F2的关系是()A.F1>F2 B.F1 9．潜水员从水下15m的地方上浮到距水面lm的地方，则潜水员所受的浮力和压强()A.压强和浮力都将变大 C.压强和浮力都将变小 B.压强减小，浮力不变 D.压强不变，浮力变小 10．一个边长为a的立方体铁块从图（甲）所示的实线位置（此时该立方体的下表面恰与水面齐平）下降至图中的虚线位置，则图（乙）中能正确反映铁块所受水的浮力的大小F和铁块下表面在水中的深度h关系的图像是()a F F F F 2a 水 0 a 2a h 0 a 2a h 0 a 2a h 0 a 2a A B C D 11．将质量相等的实心铁块、铝块和木块放入水中，静止时，比较它们受到的浮力(ρ铁=7.8g／cm3、ρ33铝=2.7g/cm、ρ木=0.4g/cm)()A.铁块受到的浮力最小 B.铝块受到的浮力最小 C.木块受到的浮力最小 D.铁块和铝块受到的浮力一样大 12．如图所示，是一位先生巧用物理知识将帽子送给楼上女士的情景。此 过程中应用的关键知识是() A.气球受到重力 B.帽子质量大于气球质量 C.帽子密度大于气球密度 D.空气对物体有浮力作用 13．悬浮在水中的潜水艇排出水舱中的一部分水后，受到的浮力大于自身受到的重力，潜水艇将（） A.下沉 B.上浮 C.悬浮在水中 D.先下降后上升 14．打捞江底的沉船，下面采取的措施，不合理的是()A.使沉船与水底淤泥尽量分离 B.使用费力的机械把沉船拉起来 C.清除船体中的泥沙，使船变轻 D.将浮筒与船绑在一起，再排出浮筒内的水 15．将一实心物体先后投入足量的水和酒精中，物体静止时，所受浮力分别为6N和5N，判定物体在水、酒精中的浮沉状态可能是（ρ3酒=0.8×10kg/m3）()A.在水中漂浮，在酒精中漂浮 B.在水中漂浮，在酒精中沉底 C.在水中悬浮，在酒精中漂浮 D.在水中沉底，在酒精中沉底 16．质量相等的木块和蜡块，漂浮在同一盆水中，它们所受浮力的大小关系是（）A.木块受浮力大 B.木块和蜡块受浮力相等 C.蜡块受浮力大 D.条件不足，无法比较 17．如图所示，质量相等的A．B．C三个小球，放在同一液体中，结果A球漂浮，B球悬浮，C球下沉到容器底部，下列说法中正确的是（）A．如果三个小球都是空心的，则它们的体积可能相等 B．如果三个小球的材料相同，则A．B两球一定是空心的 C．如果三个小球都是空心的，则它们所受浮力的大小关系为FA＞FB＞FC D．如果三个小球都是实心的，则它们密度的大小关系为ρA＞ρB＞ρC 18．如图所示,在三个相同的容器中分别盛有甲、乙、丙三种液体；将三个完全相同的铜球,分别沉入容器底部,当铜球静止时,容器底部受到铜球的压力大小关系是F甲>F乙>F丙,则液体密度相比较() A.甲的最小 B.乙的最小 C.丙的最小 D.一样大 19．在弹簧测力计下挂一实心物体，弹簧测力计的示数是Ｆ，如果把物体浸没在水中央，物体静止时弹簧测力计的示数为F/5，则该物体的密度是（）A.1.0×103kg/mB.0.8×103kg/m3 C.1.5×103kg/m3 D.1.25×103kg/m3 20．如图所示，将两只同样盛满水的溢水杯放在天平的两盘时天平平衡。将一木块放在右盘的溢水杯中木块漂浮在水面上，并将溢出的水取走，此时天平()A.右边上移 B.保持平衡 C.右边下移 D.无法确定 21．用一个量筒、水、一根细针做实验来测木块的某些物理量，下列说法中正确的是()A.只能测木块的体积 B.只能测木块所受的浮力 C.只能测木块的体积，质量和密度 D.木块的体积，所受的浮力，质量和密度都能测量 三、填空题 22．潜水艇充满水时，可以悬浮在海水中静止不动．此时，它在竖直方向上受到_______ 力和_________力的作用，这两个力的合力是_________。 23．如图所示，卷成团的牙膏皮弄成空心后，立在水中受到的重力________，排开水的体积__________，受到的浮力_______(填“变大”、“变小”或“不变”)． 24．水下6米深处有一条体积为300厘米3的鱼，它受到的浮力为______牛，这条鱼若再向下游5米，则它受到的浮力将_______。(填“变大”、“变小”或“不变”) 25．一金属块在空气中称重27N，把它全部浸没在水中称弹簧秤读数为17N，则该金属块受到水对它的浮力是______N，浮力的方向是_________，物体的体积3为______m。 26．如图所示，重为3×105牛的飞艇静止在空中，飞艇受到的浮力大小为___________牛，方向竖直___________。 27．一个重5N的木块漂浮在水面上，它受到的浮力为 ___________ N，它排开水的体积为___________m3.28．一个质量、体积均可忽略不计的塑料袋(不漏水)装上1千克的水后再放入水中，它们受到水的浮力是_____N．(g=1ON／kg)29．如图所示，将两块相同的橡皮泥做成实心球形和碗形，分别放入相同的甲、乙两杯水中，静止时甲杯中橡皮泥所受的浮力___________乙杯中橡皮泥所受的浮力（选填“大于”、“小于”或“等于”），________杯中水面升高得多。 30．如图所示，物体浸没在水中时，所受到的浮力为______N；如果直接将该物体投入水中，该物体将______（填“上浮”、“悬浮”或“下沉”）；从图乙、丙可以看出浮力的大小与液体的_______有关.31．小明把一块地瓜放进杯中的水里，结果地瓜沉到杯底，如图所示，请参考表中数据判断，下面哪个办法能使地瓜浮出水面.32．一个物体所受的重力为10N，将其全部浸没在水中时，它所排开的水所受的重力为20N，此时它所受的浮力为_____________N，放手后物体将_____________（填“上浮”、“下沉”或“悬浮”），物体静止时所受浮力为______________N.33． “五·一”黄金周期间，小明与家人到我省大英县的“死海”游玩，这“死海”其实就 是咸水湖，当人完全浸没水中时，人受到的浮力_______________人受到的重力（选填“大于”、“小于”或“等于”），所以人就会自然向上浮起；当人漂浮在水面上静止不动时，人受到的浮力___________人受到的重力（选填“大于”、“小于”或“等于”）。 34．在如图所示的装有水的杯中漂浮着一块冰，冰块内有一实心小铁块．当 冰全部融化后，杯中的液面将会_________(填“升高”、“降低”或“不变”) 35．体积是125厘米3的正方体石块，浸没在水中某处时，受到的浮力大小是_______牛，如果此时正方体的上表面受到向下的压力是2.5牛，则下表面受到向上的压力是_______牛。(g=10牛/千克) 36．一只质量是790克的实心铁球放入水中受到的浮力是______牛，放入水银中静止后受到的浮力是______牛。(ρ=7.9×103千克/米3) 37．体积为50厘米，质量为48克的生橡胶块放入足够深的水中静止后，水对它的浮力是_________牛。(g＝10牛/千克) 38．将同一小石块分别浸没在水和某种液 体中，弹簧测力计的示数如图所示，则小石块的密度是________kg/m3,，这种液体的密度是__________ kg/m3.(g取10N/kg) 39．轮船进港卸下货物后，吃水深度减少0.5m，如果轮船在水平方向上的平均截面积约 为5400m，那么，卸下货物的质量大约是_________． 40．一艘轮船满载时的排水量是7500t，轮船受到的浮力是 N；满载时轮船排开水 3的体积是 m。在水面下3m深处，水对船体的压强是 Ｐa（轮船的排水量是指轮船排开水的质量） 41．将一个密度为0.9×103kg/m3的实心小球，先后放入水和酒精当中，则小球排开水的体积与排开酒精的体积之比为 ________；小球在水和酒精中所受浮力之比是______ (ρ酒=0.8 ×l0kg/m) 42．一个空心铜球质量为89g,它能漂浮在水中，且有1/3个球露在水面上，已知铜的密度为8.9×103 kg/m3，则此铜球的体积为________cm3,，其空心部分的体积为_______cm3． 几何证明与计算 （二）2007、1【目标要求】 掌握等腰三角形（包括等边三角形）的判定，能应用等腰三角形的性质（底角相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一）进行有关的计算和证明． 能应用直角三角形的重要性质（两个锐角互余，斜边上的中线等于斜边的一半，30°角所对的直角边斜边的一半及其逆定理），以及勾股定理及其逆定理进行有关的计算和证明．【解题指导】 例1如图1，已知在△ABC中，点M是边BC的中点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，且MD=ME． 求证：△ABC是等腰三角形． 拓展与引申（1）本题的条件不变，还可证明MD等于AB边的高的一半．（2）如果在△ABC中，AB=AC，点M是BC边的任意一点，MD⊥AB于点D，ME⊥AC于点E，这两个条件不变，可证明MD+ME等于AB边上的高． （3）如图2，在等边△ABC中，P为三角形中的任意一点，那么P到三边的距离之和为定值，这个定值等于等边△ABC高． 例2 如图3，在△ABC中，AB=AC，D、E是AB及AC延长线上的点，连结DE交BC于F，若F是DE的中点，求证：BD=CE． 拓展与引申当点D为AB的中点时，可证明点F是BC的四等分点． 初二数学第1页 （图1） C （图2） C （图3） 例3如图4，在△ABC中，AF平分∠BAC，BF⊥AF于F，CE⊥AF于E，点D是BC的中点．求证DE=DF= （AB-AC）． 2（图4） B 例4 如图5，已知△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAC=90°.（1）（2） 当∠B=30°时，求证：BD=当BD= CD； 2 CD时，∠B是否一定为30°？ 2 如果一定，请给出证明；如果不一定，请说明理由.（图5） 例5 如图6, 等边△ABC的边长为1, 点D、E分别在AB、BC边上，DE将△ABC分成面积相等的两部分，点F、G在AC边上，DF//BC，EG//AB, 设AF=x,CG=y.（1）求y与之间的函数解析式，并写出它的定义域； x （2）试问以AF、FG、GC的长为三边的长能否构成直角三 角形？请说明理由． C （图6） 拓展与引申 如图7，在Rt△ABC中，点D、E分别在AB、BC边上，DE将△ABC分成面积相等的两部分，点F、G在AC边上，DF//BC，EG//AB, 试问以AF、FG、GC的长为三边的长能否构成直角三角形？请说明理由． （图7） 初二数学第2页 【作业】A组 1．填空题（1）等腰三角形的顶角为α度，那么底角等于度．（2）在ΔABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，那么BC=cm．（3）在ΔABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，那么ΔABC的面积等于cm2．（4）直角三角形两个锐角的度数之比是4∶5，那么较大的一个锐角等于度．（5）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，CE是角平分线，∠A=25°.那么∠DCE=________° （6）等边三角形的边长等于a，那么它的高等于． 2．选择题 （1）用以下长度的三条线段不能组成一个直角三角形的是（）． （A）6cm，8cm，10cm（B）5cm，12cm，13cm（C）7cm，11cm，15cm（D）8cm，15cm，17cm （2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CM分别是这个三角形的高和中线，那么下列结论错误的是（）． （A）∠ACD=∠B（B）∠MCD =∠ACD（C）∠ACD=∠BCM（D）∠ACM=∠BCD（3）如果一个等腰三角形能够分割为两个小的等腰三角形，那么顶角不可能是（）． （A）36º（B）72º （C）90º（D）108º D 3．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在 点E处，BE与AD相交于点F．求证：△BDF是等腰三角形． C 4．已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，以点A 为圆心，AD的长为半径画弧，交BC于点E．求∠CDE的度数． 第4题5．在△ABC中，AB=AC，∠B和∠C的平分线相交于点D，求证：点D在边BC的垂直平分线上． C 第5题 6．求证：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那 么这个三角形是直角三角形． E 7．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC，CE垂直∠B的平分线BD，垂足为点E．求证：BD=2CE． B C （第7题） 初二数学第3页 B组 1．填空题（1）等腰三角形两条边的长度分别为3和6，那么周长等于． （2）等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为45°，那么顶 角为度． （3）如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是△ABC和△ ACB的平分线，点D、E在BC边上，且PD//AB，PE//AC，那么ΔPDE第1（3）题的周长是_______ cm.． （4）已知直角三角形的周长为9cm，斜边上的中线长为A 2cm，那么两条直角边长的和为cm． （5）在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线MN交边AC于点M，如果∠B=55°，那么∠CBM度． E （6）等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，那么这个B D 等腰三角形的顶角等于_____度． 2．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，C ∠ADC=50°，点E是对角线BD的中点．求∠CAE的度数． 第2题 3．在直角坐标平面中，点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（2，5），点C的坐标为（-1，8），试判断△ABC是否为直角三角形，并证明你的结论． A 4．如图，已知∠ABD=∠ADB，∠ABC=∠ADC，BE=DC．试比 较∠DCB+2∠ACB与180度的大小． C 5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，过点C任意 画一条与斜边相交的直线，分别过点A、B作这条直线的垂线，垂足分别为点D和点E．求证：DE=AD-BE． C B 第5题 6．已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，过点C作直线l（直线l不经过点A和点B），过点A作AD⊥l，垂足为点D，过点B作BE⊥l，垂足为点E，试探索DE、AD、BE长度之间的关系． 初二数学第4页 基本不等式 知识点： 1.(1)若a,bR，则ab2ab ab时取“=”）22(2)若a,bR，则abab222（当且仅当 2.(1)若a,bR*，则 ab时取“=”）ab2(2)若a,bR，则ab2ab *ab（当且仅当 ab(3)若a,bR，则ab）(当且仅当ab时取“=” 2* 23.若x0，则x 若x0，则x1x 1x）2(当且仅当x1时取“=”2(当且仅当x1时取“=”） 若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”） xxx 4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）若ab0，则 ba a b2即a bb a2或 2ab2ba（）-2当且仅当ab时取“=”5.若a,bR，则（注意： ab2)2ab2（当且仅当ab时取“=”） (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y＝3x 2＋ 12x 21（2）y＝x＋ x 解：(1)y＝3x 2＋1 2x 2 ≥23x 2·12x 2＝6∴值域为[6，+∞） 1(2)当x＞0时，y＝x ≥2x1x·＝2； x 当x＜0时，y＝x＋= －（－ x－）≤－ 2xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例已知x 54x·=－2 x，求函数y 4x2 14x5的最大值。 解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)要进行拆、凑项，x 54,54x0，y4x2 4x5 不是常数，所以对4x 21 54x 4x554x 231 3 当且仅当54x 154x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。 技巧二：凑系数 例： 当时，求yx(82x)的最大值。解析：由 知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将 yx (82x)凑上一个系数即可。 当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。 变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。 2x32x9 解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2 222 当且仅当2x32x,即x 技巧三： 分离 技巧四：换元 例：求y x7x10 x 13 0,时等号成立。42 (x1)的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。 当,即 时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。y (t1)7(t1）+10 t = t5t4 t t4t 5 当,即t=时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 例：求函数y的值域。 t（t2)，则y 1t 1t t 1t (t2) 因t0,t1，但t因为yt 1t 解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y 5 。 所以，所求函数的值域为,。 2 技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知x0,y0，且 1x9y 1x 1，求xy的最小值。 9y 1x 9 xyy 12故 错．解．：x0,y0，且 1，xy xymin 12。 等号成立条件 是xy，在错因：解法中 两次连用均值不等式，在xy1x 9y 1x 9y 即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。 19y9x正解：x0,y0,191，xyxy1061016 xy xy xy 当且仅当技巧七 yx 9xy 时，上式等号成立，又 1x 9y 1，可得x4,y12时，xymin16。 例：已知x，y为正实数，且x ＝1，求1＋y 2 的最大值.2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 221＋y中y前面的系数为，x y 2 a 2＋b 2。 1＋y 22· ＝2 同时还应化简1＋y 2 ＝x x· 1y 2 ＋22 1y 2 ＋分别看成两个因式： 22x 2＋（1y 2 ＋)22222 x 2＋ ＝ y 22＋ 下面将x，x· 1y 2 ＋ ≤22 ＝即x 1＋y 2 ＝2 ·x 1y 23＋≤224技巧八： 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.ab 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 30－2b－2 b 2＋30b 法一：a＝，ab＝·b＝ b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝8 ∴ ab≤18∴ y≥ 118 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。ab －2t 2＋34t－31 1616 ＝－2（t＋）＋34∵t＋ ≥2 t· 30－2b tttt 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥2令u＝ab则u2＋22 u－30≤0，－5∴≤u≤3 ab≤32，ab≤18，∴y≥ ab2 ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；② 点评：①本题考查不等式 如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到 ab与ab之间的关系，由此想到不等式 ab 2ab（a,bR），这样将已知条件转换 为含ab的不等式，进而解得ab的范围 .技巧 九、取平方 例: 求函数y 12x 52)的最大值。 解析：注意到2x1与52x的和为定值。 y 44(2x 1)(52x)8 又y0，所以0y当且仅当2x1=52x，即x 时取等号。故ymax。 应用二：利用均值不等式证明不等式 例：已知a、b、cR，且 abc1。求证： 111 1118 abc 分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111abc，可由此变形入手。 a a a a 解：a、b、cR，abc1。 1a 1 1aa bca a 。同理 1b 1 b，1c 1 c 1111。当且仅当时取等号。abc1118 3abcabc 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且 1x9y 1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。 解：令xyk,x0,y0,10k 3k 1x 9y 1， xykx 9x9yky 1. 10k ykx 9xky 1 12 。k16，m,16 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若 ab1,P lgalgb,Q (lgalgb),Rlg（ab2)，则P,Q,R的大小关系 是.分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0 Q （lgalgb) ab2)lg lgalgbp lgabQ∴R>Q>P。 Rlg(ab 证明 （一）1交流必须对某些名称和术语有共同的认识才能进行，为此，就要对名称和术语的含义加以描述，做出明确的规定，也就是给出它们的定义。 2判断一件事情的句子，叫做命题。如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。 3每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项，一般地，命题都可以写成“如果„„那么„..”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论。4正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 5要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。 6公认的真命题称为公理。除了公理外，其他真命题的正确性都通过真理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，而证明所需的定义，公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面。 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。三边对应相等的两个三角形全等。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 公理 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.公理 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。定理 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 证明定理：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。这一定理可以简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180度。 三角形的一个外角等于和它相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 证明 （二）公理 三边对应相等的两个三角形全等（SSS）公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS）公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)公理 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)定理 等腰三角形的两个底角相等。 推论 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。 定理 有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。.定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 定理 如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题，如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点并且这一点到三个顶点的距离相等。 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。定理 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 证明 （三）定理平行四边形的对边相等。定理平行四边形的对角相等。 定理 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 定理 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。定理 矩形的四个角都是直角。定理 矩形的对角线相等。 推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。定理 菱形的四条边都相等。 定理 菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。定理 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。第三篇：几何证明与计算习题精选(二)
第四篇：新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)（范文）
第五篇：证明(一)(二)(三)知识点总结
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