高考数列试题及答案

第一篇：高考数列试题及答案

数列试题

1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1=（）A.2．已知

为等差数列，B。1C.3D.7，则等于（）212B.。C.222D.2A.-1

3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S832,则S10等于（）

A.18B.24C。60D.90

4．设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（）

A．13B．35C。49D． 63

5．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4，则公差d等于（）

A．1B

６.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝

（A）－2（B）。－

5C。-2D 3 311（C）（D）2 22

７.设等比数列{ an}的前n 项和为Sn，若

S6S

=3，则9 = S3S6

（A）2（B）。

（C）（D）3 33

８．等比数列an的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4=（A）7（B）8（ｃ）。15（4）16

９．等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0，S2m138,则m

（A）38（B）20（C）。10（D）9

本题注意：因为an是等差数列，所以，am1am12am

１０.（本小题满分14分）设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足

a22a32a42a52,S77。求数列an的通项公式及前n项和Sn；

１１。已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60求{an}前n项和sn.n1

１２。已知数列an的前n项和Snan()2（n为正整数），令bn2nan，12

求证数列bn是等差数列，并求数列an的通项公式；

１３。.设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立，记

bn

4an

(nN*)。1an

（I）求数列an与数列bn的通项公式；

（II）设数列bn的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；

１４ 设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a11,Sn14an2

（I）设bnan12an，证明数列{bn}是等比数列（II）求数列{an}的通项公式。

１５ 等比数列{an}的前n 项和为sn，已知S1,S3,S2成等差数列（1）求{an}的公比q；（2）求a1－a3＝3，求sn

1’a22,an＋2＝１６。已知数列an}满足，a1＝

anan1,nN*.2

(Ⅱ)求an}的通项公式。

令bnan1an，证明：{bn}是等比数列；

１７。已知a11,a24,an24an1an,bn

an1,nN． an

（Ⅰ）求b1,b2,b3的值；（Ⅱ）设cnbnbn1,Sn为数列cn的前n项和，求证：Sn17n

答案：１２在Snan()

n1

2中，令n=1，可得S1an12a1，即a11

2，anSnSn1anan1()n1，2

当n2时，Sn1an1()

n2

2anan1()n1,即2nan2n1an11.bn2nan,bnbn11,即当n2时，bnbn11.又b12a11,数列bn是首项和公差均为1的等差数列.

n.n21

１３（I）当n1时，a15S11,a1

于是bn1(n1)1n2an,an

n

又an5Sn1,an15Sn11

an1an5an1,即

11an11

∴数列an是首项为a1，公比为q的等比数

44an4

1n

4()1n列，∴an()，bn(nN*)

1()n

14()n

54（II）不存在正整数k，使得Rn4k成立。证明由（I）知bnn

n(4)11()4

55201516k40

b2k1b2k88kk8k8.k

(4)2k11(4)2k1161164(161)(164)

∴当n为偶数时，设n2m(mN)



∴Rn(b1b2)(b3b4)(b2m1b2m)8m4n 当n为奇数时，设n2m1(mN)

∴Rn(b1b2)(b3b4)(b2m3b2m2)b2m18(m1)48m44n ∴对于一切的正整数n，都有Rn4k



∴不存在正整数k，使得Rn4k成立。

１４解由a11,及Sn14an2，有a1a2a4,12a23a125,b1a22a13

由Sn14an2，．．．①则当n2时，有Sn4an12．．．．．② ②－①得an14an4an1,an12an2(an2an1)

又bnan12an，bn2bn1{bn}是首项b13，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得bnan12an32n1，数列{

an1an3

n n1

224

an13

}是首项为，公差为的等比数列．

242n

a1331(n1nn，an(3n1)2n2n22444

１５解：（Ⅰ）依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)

由于 a10，故 2q2q0 又q0，从而q－

（（Ⅱ）由已知可得a1a1）3故a14

1n

（41（））

81n从而Sn1（））

1321（）

１６（1）证b1a2a11, 当n2时，bnan1an所以bn是以1为首项，

an1an11

an(anan1)bn1, 222

为公比的等比数列。2

1n1

（2）解由（1）知bnan1an(),当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11()()

1212

n2

11()n1

215211[1()n2]()n1, 1

323321()

52111

当n1时，()1a1。

332521n1*

所以an()(nN)。

332

.１７。解：（Ⅰ）a24,a317,a472，所以b14.b2（Ⅱ）由an24an1an得

1772,b3 417

an2a1

4n即bn14 an1an1bn

所以当n≥2时，bn4于是c1b1,b217,cnbnbn14bn117所以Snc1c2cn17n

(n≥2)

第二篇：2013高考试题分类——数列

（2013上海卷）23．（3 分+6分+9分）给定常数c0，定义函数，数列a1,a2,a3,满足an1f(an),nN* f(x)2|xc4|x|c

（1）若a1c2，求a2及a3；（2）求证：对任意nN,an1anc，；

（3）是否存在a1，使得a1,a2,an,成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不

存在，说明理由.（2013四川卷）16．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，a2a18，且a4为a2和a3的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．

(2013上海春季卷)27．（本题满分8分）

已知数列{an}的前n项和为Snnn，数列{bn}满足bn22an*，求lim（b1b2bn）。n

(2013上海春季卷)30．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分。

在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点Pn在x轴上，其横坐标为xn，且{xn}

是首项为

1、公比为2的等比数列，记PnAPn1n，nN。

（1）若3arctan1，求点A的坐标； 3，求n的最大值及相应n的值。（2）若点A的坐标

为(0

（2013北京卷）20.(本小题共13分)

已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2,…的最小值记为Bn，dn=An－Bn。

(I)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(II)设d为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列；(III)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.（2013湖北卷）18．已知等比数列an满足：a2a310，a1a2a3125。（I）求数列an的通项公式；（II）是否存在正整数m，使得

1？若存在，求m的最小值；若不存在，a1a2am

说明理由。

（2013广东卷）19．（本小题满分14分）

设数列an的前n项和为Sn.已知a11,(Ⅰ)求a2的值；

(Ⅱ)求数列an的通项公式；(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有

（2013大纲卷）17．（本小题满分10分）等差数列an的前n项和为Sn，已知S3=a2，2Sn12

an1n2n,nN*.n33

1117

.a1a2an4

且S1,S2,S4成等比数列，求an的通项式。

18．（2013浙江卷）在公差为d的等差数列{an}中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等

比数列。

（1）求d,an；（2）若d0，求|a1||a2||a3||an|.（2013天津卷）19．(本小题满分14分)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列, 其前n2

项和为Sn(nN*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设TnSn

(nN*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.Sn

（2013陕西卷）17.(本小题满分12分)设{an}是公比为q的等比数列.(Ⅰ)导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ)设q≠1, 证明数列{an1}不是等

比数列.（2013山东卷）20．（本小题满分12分）设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）设数列bn前n项和为Tn，且 Tn

求数列cn的前n项和Rn。

（2013江西卷）17.（本小题满分12分）正项数列{an}的前项和{an}满足：

2sn(n2n1)snn(2n)0

an1

.令cnb2n(nN*).（为常数）n

（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn

（2013江苏卷）19．本小题满分16分。设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，n15*

T，数列{b}的前项和为。证明：对于任意的，都有 nNTnnnn

(n2)2a264

Sn是其前n项和。记bn

nSn*，其中c为实数。nN2

nc

（1）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：SnknSk（k,nN）；（2）若{bn}是等差数列，证明：c0。（2013江苏卷）23．本小题满分10分。

k个



1k-1

1，-2，-2,3,，3-,，3-，4-，4-，4，设数列an：（-4）1k-k，，（-）1k，即当

*

（k1）k（kk1）k1

kN时，an（-1）k，记Sna1a2annN，n22



对于lN，定义集合PlnSn是an的整数倍，nN，且1nl







（1）求集合P11中元素的个数；（2）求集合P2000中元素的个数。

(2013上海春季卷)11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和

Sn=。

（2013安徽卷）14．如图，互不-相同的点A1,A2,Xn,和B1,B2,Bn,分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn1An1的面积均相等。设OAnan.若

a11,a22,则数列an的通项公式是_________。

（2013北京卷）10.若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q；前n项和Sn（2013福建卷）9．已知等比数列{an}的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2...am(n1)m,cnam(n1)1am(n1)2...am(n1)m(m,nN*),则以下结论一定正确的是（）

A．数列{bn}为等差数列，公差为qB．数列{bn}为等比数列，公比为qC．数列{cn}为等比数列，公比为q

m2m

2m

D．数列{cn}为等比数列，公比为q

mm

（2013大纲卷）6．已知数列an满足3an1an0,a2，则an的前10项和等于 3

10

10

613（A）



10

31331+3（B13（C）（D）

10

a11，Sn为其前n项和，（2013重庆卷）12．已知an是等差数列，公差d0，若a1,a2,a5

成等比数列，则S8_____

（2013课标卷Ⅱ）3．等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1

（A）

（B）3

（C）

（D）9

（2013课标卷Ⅰ）14.若数列{an}的前n项和为Sn＝

an，则数列{an}的通项公式是33

an=______.

第三篇：2013高考试题分类—数列

2013年高考试题分类汇编——数列

2013辽宁（4）下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：

p1:数列an是递增数列；ap2:数列nn 是递增数列；

a

p4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；

n

其中的真命题为

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 2013辽宁（14）已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1，a3是方程

x25x40的两个根，则S6

2013湖南15.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn(1)nan（1）a3（2）S1S2S100

1，则 nNn

22013安徽(8)函数y=f(x)的图象如图所示, 在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…, xn ,使得

f(xn)f(x1)f(x2)

...,则nx1x2xn的取值范围是

(A){3,4}(B){2,3,4}(C){3,4,5}(D){2,3} 2013安徽(20)(13分)设函数

x2x3xn

fn(x)1x22...2(xR,nN),证明:

23n

2(1)对每个n∈N+,存在唯一的xn[,1],满足fn(xn)0;

3(2)对于任意p∈N+,由(1)中xn构成数列{xn}满足0xnxnp

1.n

2013安徽文（7）设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=（A）6（B）4（C）2（D）2

2013北京（10）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q；前n项和Sn

．

2013北京（20）（本小题共13分）

已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1,an2的最小值记为Bn，dnAnBn．

（Ⅰ）若an为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意nN*，写出d1,d2,d3,d4的值;an4an）

（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dndn1,2,3的充分必要条件为an是公差为d的等差数列;

（Ⅲ）证明：若a12，dn1n1,2,3,，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.(n2n1)sn(n2n)0 正项数列{an}的前项和{an}满足：sn

（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn都有Tn

n

1，数列{bn}的前n项和为Tn。证明：对于任意的nN*，22

(n2)a6

42013全国大纲17．（本小题满分10分）

等差数列an的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列，求an的通项式.a2a18，2013四川16．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，且a4为a2和a3的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和． 2013天津(19)(本小题满分14分)

已知首项为的等比数列{an}不是递减数列, 其前n项和为Sn(nN*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设TnSn

(nN*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.Sn

322013陕西14.观察下列等式:12112223 1222326

1222324210 …

照此规律, 第n个等式可为.2013陕西17.(本小题满分12分)设{an}是公比为q的等比数列.(Ⅰ)导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ)设q≠1, 证明数列{an1}不是等比数列.2013全国课标

7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm1＝－2，Sm＝0，Sm1＝3，则m＝()

A、3B、4C、5D、6

2013全国课标

12、设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1,2,3,… 若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝

cn＋anbn＋an

c＝n＋122，则()

A、{Sn}为递减数列B、{Sn}为递增数列

C、{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D、{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

212013全国课标14、若数列{an}的前n项和为Sn＝an，则数列{an}的通项公

3式是an=______.2013湖北

14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为

nn11

21nn。记第n个k边形数为222

Nn,kk3，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数Nn,3

121

nn 22

正方形数Nn,4n2 五边形数Nn,5

321nn 22

六边形数Nn,62n2n

……

可以推测Nn,k的表达式，由此计算N10,24。2013湖北18、已知等比数列an满足：a2a310，a1a2a3125。（I）求数列an的通项公式；（II）是否存在正整数m，使得若不存在，说明理由。

2013江苏14．在正项等比数列{an}中，a5

a1a2ana1a2an的，a6a73，则满足

21111？若存在，求m的最小值；a1a2am

最大正整数n的值为．

2013江苏19．（本小题满分16分）

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和．记

bn

nSn，n2c

nN*，其中c为实数．

（1）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk（k,nN*）；（2）若{bn}是等差数列，证明：c0．

2013浙江18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列（Ⅰ）求d，an；

（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|． 2013重庆（12）已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1、a2、a5称等比数列，则S8．

2013全国课标2（16）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________.

第四篇：2013高考试题——数列大题

2013年高考试题分类汇编——数列

x2x3xn

2013安徽(20)(13分)设函数fn(x)1x22...2(xR,nN),证明:

23n

2(1)对每个n∈N+,存在唯一的xn[,1],满足fn(xn)0;

3(2)对于任意p∈N+,由(1)中xn构成数列{xn}满足0xnxnp2013北京（20）（本小题共13分）

.n

已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1,an2的最小值记为Bn，dnAnBn．

（Ⅰ）若an为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意nN*，an4an），写出d1,d2,d3,d4的值;

（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dndn1,2,3的充分必要条件为an是公差为d的等差数列;

（Ⅲ）证明：若a12，dn1n1,2,3,，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2正项数列{an}的前项和{an}满足：sn(n2n1)sn(n2n)0

（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn都有Tn

n1*

nN，数列{b}的前项和为。证明：对于任意的，Tnnn22

(n2)a6

42013全国大纲17．（本小题满分10分）

等差数列an的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列，求an的通项

式.2013四川16．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，a2a18，且a4为a2和a3的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和． 2013天津(19)(本小题满分14分)已知首项为的等比数列{an}不是递减数列, 其前n项和为Sn(nN*), 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4成等差数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设TnSn1(nN*), 求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.Sn

322013陕西17.(本小题满分12分)

设{an}是公比为q的等比数列.(Ⅰ)导{an}的前n项和公式;

(Ⅱ)设q≠1, 证明数列{an1}不是等比数列.2013湖北

18、已知等比数列an满足：a2a310，a1a2a3125。（I）求数列an的通项公式；

（II）是否存在正整数m，使得11a1a211？若存在，求m的最小值；am

若不存在，说明理由。

2013江苏19．（本小题满分16分）

设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和．记bnnSn，2nc

nN*，其中c为实数．

（1）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk（k,nN*）；

（2）若{bn}是等差数列，证明：c0．

2013浙江18．（本小题满分14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列

（Ⅰ）求d，an；

（Ⅱ）若d<0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．

第五篇：江苏省高考试题选讲 数列

江苏省淮阴中学 高一（18）班 王世杰

高考试题选讲——数列

1【2004江苏】20.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.3

(1)若首项a1，公差d1，求满足S2(Sk)2的正整数k；

2k

(2)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有S2(Sk)2成立.k

2【2005江苏】23已知a1,a6,a11且(5n8)Sn1

123

⑴求A与B的值；

⑵证明：数列a为等差数列；

n

⑶证明：不等式aaa1对任何正整数m,nmnmn

(5n2)SnAnB,n1,2,3,，其中A.B

3【2006江苏】21．设数列{an}、{bn}、{c}满足：baa,ca2a3a(n1,2,3,)nnn2nnn1n2n

证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bb(n1,2,3,)

nn1

4【2007江苏】20．已知｛an｝是等差数列｛bn｝是公比为q的等比数列，a1=b1，a2=b2≠a1，记Sn为数列｛bn｝的前n项和。（1）若bk=am（m，k是大于2的正整数），求证：Sk-1=（m－1）a1；（4分）

（2）若b3=ai（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列｛bn｝中每一项都是数列｛an｝中的项；（8分）

（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请

说明理由；（4分）

5【2008江苏】19.（1）设a1,a2,,an是各项均不为零的等差数列（n，且公差d0，若将此数列删去某4）的数值；②求n的所有可能值；

一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求a1

d

（2）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1,b2,,bn，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

6【2009江苏】17．（本小题满分14分）

an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a（1）求数列a的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得为数列a中的项.aa

设

n

mm1

22222a3a4a5,S77

n

am

27【2010江苏】

19、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列

an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列Sn

是公差为d的等差数列。

（1）求数列an的通项公式（用n,d表示）；（2）设

c为实数对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k不等式SmSncSk都成立求证：c的最大值为9。

8.【2011江苏】20、设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1当n>k时，Snk（1）设M=｛1｝，a2

1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，Snk2(SnSk)都成立

2，求a5的值；

（2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式。