高考数列专题总结(全是精华)[小编推荐]

第一篇：高考数列专题总结(全是精华)[小编推荐]

数列专题复习（0929）

一、证明等差等比数列

1． 等差数列的证明方法：

（1）定义法：an1and(常数)（2）等差中项法：an1an12an(n2)2．等比数列的证明方法：（1）定义法：

an

1aq(常数)（2）等比中项法：an1an1a2n(n2)

n

例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛

Sn

n

｝的前n项和，求Tn． 解：设等差数列｛an｝的公差为d，则

S1

7a121d7,a13d1,n=na1＋2n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴15a1105d75,即a

7d5,解得a1＝－2，d＝1．∴

Snn

＝a11

1＋2（n－1）d＝－2＋2（n－1）．

∵

Sn1SSn1nn12，∴数列｛nn

｝是等差数列，其首项为－2，公差为1

2，∴T1n＝

4n－

4n． 例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：

3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）求证：数列{an}是等比数列；

解：（1）由aS32ta1=1，S2=1+a2，得a2=232t

1=3t,a

13t

又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t①

3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t② ①－②得3ta2t

3n－（2t+3）an－1=0 ∴

ana，（n=2，3，…）n13t

所以{a是一个首项为1，公比为2t3

n}3t的等比数列.练习：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（1）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；

答案.(2)Tn3

2n

1,an32

n

1

1;

二．通项的求法

（1）利用等差等比的通项公式

(2)累加法：an1anf(n)例3．已知数列a1n满足a12，a1n1ann2n，求an。解：由条件知：a111n1an

n2

nn(n1)n1

n1

分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等式累加之，即

(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)

(112)(1111111

23)(34)(n1n)所以ana11n

a12，a11311n21n2n

（3）构造等差或等比 an1panq或an1panf(n)例4．已知数列an满足a11,an12an1(nN*).求数列an的通项公式；

解：a*

n12an1(nN),an112(an1),an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。

an12n.即

an2n1(nN*).例5．已知数列a1n中，a11,an1a1

n12n(2)，求an.解：在a1n1

a(1

12n2)n1两边乘以2n1得：2nan1(2nan)1 令bbnn1

n2nan，则bn1bn1,解之得：bnb1n1n1,所以an

2n2

n.1

练习:已知数列{an}满足an2an12（，且a481。1n2）

（1）求a1，a2，a3；（2）求数列{an}的通项公式。

（1）a15，a213，a333

n

n

32n

（Ⅱ）设Tn，n1,2,3,，证明：Ti

2Sni1

解：

（2）an2an12n1an12(an11)2n

412

a1S1a122

333，解得：a12 解：（I）

441

an1Sn1Snan1an2n22n1a2n14a2nn1n333

n

an2

所以数列所以：

是公比为4的等比数列



an12

n



n

an112

n1

1

an12

n

n1

an2na1214n1

∴an(n1)21

nn

得：an42（其中n为正整数）

（4）利用

an



S1(n1)

4124122

Snan2n14n2n2n12n112n13333333（II）2n32n311Tnn1

Sn2212n122n12n113113Ti1n1

221212 所以： i1

（5）累积法an1f(n)an转化为例7．已知数列an满足a1

n

SnSn1(n2)

例6．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意正整数

an2(n1)，Tn3Sn4n.求数列{bn}的通项公式；

解： an2(n1)

a14

d2

Snn23nTn3Sn4n3n25n……2分当

an1

f(n)，逐商相乘.an

n1时,T1b1358

2n

an，求an。，an1

3n1,bnTnTn16n2当n2时

bn6n2.……4分

解：由条件知

an1n，分别令n1,2,3,,(n1)，代入上式得(n1)个等式累乘之，即 

ann1

练习：1.已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通

项an

解: ∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②

由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n

当a1=3时，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;

当a1=2时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－

aa123n1a2a3a41

nn

na1a2a3an1234a1n

又a1

22，an 33n

3n1

an(n1)，求an。3n2



3n43n7526

33n13n485n3。1

练习：1.已知a13，an1

2．设数列an的前n项的和

解：an

Sn

412

an2n1，n1,2,3, 333

3(n1)13(n2)132131

a1

3(n1)23(n2)232232

2．已知数列{an}，满足a1=1，ana12a23a3(n1)an1(n≥2)，则{an}的通项an

（Ⅰ）求首项a1与通项an；

n11

n2___

解：由已知，得an1a12a23a3(n1)an1nan，用此式减去已知式，得 当n2时，an1annan，即an1(n1)an，又a2a11，aaaaan!

11,2a1,3a3,44,,nn，将以上n个式子相乘，得an(n2)12a3an1

（6）倒数变形：aan

n1

pa,两边取倒数后换元转化为an1panq。

nq

例8：已知数列｛an｝满足：aan1

n

3a1,a11，求数列｛an｝的通项公式。

n1解：取倒数：

13ana11a3

a nn1n1

1a是等差数列，11

(n1)31(n1)3a1n

nana1

3n2练习：已知数列｛a3n｝满足：a1＝，且a3nan＝n－1

n2，nN22a）n－1＋n－1

求数列｛an｝的通项公式； 解：将条件变为：1－

na＝11－n－1n3a），因此｛1－n

｝为一个等比数列，其首项为 n－1an

1－1a＝1，公比1，从而1－n

＝1n3nn，据此得an＝n（133an3

3－1n1）

三．数列求和

1、等差数列求和公式：Sn(a1an)n(n

2nan1)

1

2d（2、等比数列求和公式：Sna

1q1)n

na1(1q)1q

a1anq1q(q1)

3、错位相减法求和

{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.Sna1b1a2b2anbn 例9． 求和：S

2n13x5x7x(2n1)x

n

1解：由题可知，设Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

xSn1x3x25x37x4(2n1)xn…②（设制错位）

①－②得(1x)Sn12x2x22x32x42xn1(2n1)xn（错位相减）再

利用等比数列的求和公式得：(1x)S1xn1

n12x

1x

(2n1)xn。S(2n1)xn1(2n1)xn∴(1x)

n(1x)2

练习： 求数列

22,462n

22,23,,2

n,前n项的和.解：由题可知，{2n1

2n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{2n}的通项之积

设S22462n

n22232

n…………………………………①

12S2462nn2223242

n1…………② ①－②得

(112)S222222n

12nn22223242n2

n1 22n12n1

∴Sn2

n42

n14、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).5、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例10． 求数列的前n项和：11,1a4,1a7,,12an13n2，… 解：设S111

n(11)(a4)(a27)(a

n13n2)

将其每一项拆开再重新组合得

Sn(1

aa2a

n1)(1473n2)（分组）

3(3n1)n(3n1)n

＝（分组求和）2211n

(3n1)naa1n(3n1)n当a1时，Sn＝ a1221a

当a＝1时，Snn

6、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新则an1

Sn11（n2）2

a1

ann2（n2）

an12

相减得：anan1

又当n=1时，a1

a11，a12，2

组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）

（1）a1111

n为等差数列，a

nan1anan1d

（2）an

1nn1

n1n 例11． 求数列

112,12,,1nn1,的前n项和.解：设a1

n

nn1n1n，则

S1



1n

112



23

nn1

(2)(32)(n1n)

＝n11

例12．在数列{a1n}中，an

n12n1nn1，又b2na，求数列{bn}的前n项的和.nan1

解：∵ a1n

n12n1nn1n2∴ b211

nnn8()数列{bn}的前n项和：

21nn12S111112(23)(34)(1118n

n8[(1)nn1)] ＝8(1n1)＝ n1

练习：

1．已知数列{a1

n}的前n项和为Sn，且满足an

2Sn1。求数列{an}的通项公式； 解：（1）数列{aS1

n}的前n项和为n，且满足an2

Sn1

{an}是以a12为首项，公比q2的等比数列

an1n222n（nN*）

2．已知数列an：112122



333，…1100210023

100…100，… ①求证数列an为等差数列，并求它的公差

②设bn

anN，求b1b2…bn。nan1

n1n

解：①由条件，a12n12…nnn1nn…n2n2

∴an2n1

；∴aan2n11

n1n222n1

故a为等差数列，公差d1n2

②bn

114

n1n2

224

又知

11n2n1n1n2n1n2

n1n2 ∴b1

1n4n1n2

bb11111

112…bn…423434…4n1n2



41

1

2n2

第二篇：高考数列专题练习（汇总）

数列综合题

1．已知等差数列满足：，的前n项和为．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令bn=（），求数列的前n项和。

2.已知递增的等比数列满足是的等差中项。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若是数列的前项和，求

3.等比数列为递增数列，且，数列(n∈N※)

（1）求数列的前项和；

（2），求使成立的最小值．

4．已知数列{

}、{

}满足：.(1)求;

(2)求数列{

}的通项公式；

(3)设，求实数为何值时恒成立

5．在数列中，为其前项和，满足．

（I）若，求数列的通项公式；

（II）若数列为公比不为1的等比数列，且，求．

6．已知数列中，，（1）求证：数列为等比数列。

（2）设数列的前项和为，若，求正整数列的最小值。

7．已知数列的前n项和为，若

（1）求证：为等比数列；

（2）求数列的前n项和。

8．已知数列中，当时，其前项和满足．

（1）求的表达；

（2）求数列的通项公式；

9.已知数列的首项，其中。

（1）求证：数列为等比数列；

（2）记，若，求最大的正整数．

10已知数列的前项和为，且对任意，有成等差数列．

（1）记数列，求证：数列是等比数列；

（2）数列的前项和为，求满足的所有的值．

11．已知数列的前n项和满足：（为常数，）

（1）求的通项公式；

（2）设，若数列为等比数列，求的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，数列的前n项和为．

求证：．

正数数列{an}的前n项和为Sn，且2．

（1）试求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝，{bn}的前n项和为Tn，求证：．

13已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，且，又

成等比数列．

（1）求；

（2）若对任意，都有，求的最小值．

14已知数列满足：．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围．

在数列中，，（1）设，求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

16．已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn，(p

–

1)Sn

=

p2

–

an，n

∈N*，p

0且p≠1，数列{bn}满足bn

=

2logpan．

（1）若p

=，设数列的前n项和为Tn，求证：0

Tn≤4；

（2）是否存在自然数M，使得当n

M时，an

1恒成立？若存在，求出相应的M；若不存在，请说明理由．

17.设数列的前n项和为，且对任意正整数n都成立，其中为常数，且，（1）求证：是等比数列；

（2）设数列的公比，数列满足：，求数列的前项和．

—

END

—

第三篇：数列高考复习

2012届知识梳理—数列

1a(n2k)112n

(kN*)，记bna2n1，1、（河西三模）设数列{an}的首项a1，且an124a1(n2k1)n

4n

1,2,3,（I）求a2,a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（III）证明b13b25b3(2n1)bn3.22(Snn)3*

2、（南开二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的nN，有an

（I）求证：数列{an1}是等比数列，并求{an}的通项公式；（II）求数列{nan}的前n项和Tn3、（和平二模）已知数列{an}满足a1

（I）求{an}的通项公式；

（II）若Tnb12b22（III）设cna11 ,an1ann(nN*),bn2n14an1bn2，求证Tn2； 1，求数列{cn}的前n项和.bnbn

14、（河北一摸）在数列{an}与{bn}中，数列{an}的前n项Sn满足Snn22n，数列{bn}的前n项和Tn

满足3Tnnbn1，且b11,nN*.（I）求{an}的通项公式；

（II）求数列{bn}的通项公式；

（III）设cnbn(an1)2ncos，求数列{cn}的前n项和.n1

3*

5、（南开一摸）设数列{an}满足：nN,an2Sn243，其中Sn为数列{an}的前n项和.数列{bn}满

足bnlog3an.（I）求数列{an}的通项公式；

（II）求数列{cn}满足：cnbnSn，求数列{cn}的前n项和公式.6、（市内六校联考二）已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0)，且f'(0)2n,nN*（I）求f(x)的解析式；（II）设数列满足

1f'()，且a14，求数列{an}的通项公式； anan

（III）记bn

{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn2.7、（市内六校联考三）数列{an}的前n项和为Sn，a11，且对于任意的正整数n，点(an1,Sn)在直线

2xy20上.（I）求数列{an}的通项公式；

（II）是否存在实数，使得{Snn



2n

为等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.112n（III）已知数列{bn}，bn，bn的前n项和为Tn，求证：Tn.62(an1)(an11)

8、（河东一摸）将等差数列{an}所有项依次排列，并作如下分组：(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6,a7),组1项，第二组2项，第三组4项，第n组

2n

1，第一

项.记Tn为第n组中各项和，已知T348,T40.（I）求数列{an}的通项公式；（II）求Tn的通项公式；（III）设{Tn}的前n项的和为Sn，求S8.9、（河西区一摸）已知数列{an}满足a1

(n1)(2ann)

1,an1(nN*)2an4n

ankn

为公差是1的等差数列，求k的值； ann

.1

2（I）求a2,a3,a4；（II）已知存在实数k，使得数列{

（III）记bn

nN*)，数列{bn}的前n项和为S

n，求证Sn

10、（和平一摸）在等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a11,a47,b1a11,b4a81（I）分别求出{an},{bn}的通项公式；（II）若{an}的前n项和为Sn，1

1S1S

2

与2的大小； Sn

（III）设Tn

a1a2

b1b2



an*，若Tnc（cN），求c的最小值.bn

2an1(n2k)

11、（红桥区4月）已知数列{an}满足：a11,ann1(kN*)，n2,3,4,22an1(n2k1)

2（I）求a3,a4,a5；（II）设bna2n11,n1,2,3,（III）若数列{cn}满足2

2(c11),，求证：数列{bn}是等比数列，并求出其通项公式；

22(c21)

22(cn1)bncn，证明：{cn}是等差数列.12、（河北区二模）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足6Sn(an1)(an2)，且S11（I）求{an}的通项公式；（II）设数列{bn}满足an(2n

b

11)1，记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn1log2(an3).Sn1Sn2an1，

SnSn1an13、（第二次12校）已知数列{an}的首项a11,a23，前n项和为Sn，且

(nN*,n2)，数列bn满足b11，bn1log2(an1)bn。

（Ⅰ）判断数列1{an1}是否为等比数列，并证明你的结论；

n

21)，求c1c2c3cn；（II）设cnan(bn2

（Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列an，若数列{ln}满足lnlog2(an1)（nN*），在每两个lk与lk1 之间都插入2k1（k1,2,3,kN*）个2，使得数列{ln}变成了一个新的数列{tp}，(pN)试问：是否存在正整数m,使得数列{tp}的前m项的和Tm2011?如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.14、（第一次12校）已知数列{an}的前n项和Sn满足：a(Snan)Sna（a为不为零的常数，aR）

(nN)．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设cnnan1，求数列{cn}的前n项和Tn；（Ⅲ）当数列{an}中的a2时，求证：

2222232n

1． 15(a11)(a21)(a21)(a31)(a31)(a41)(an1)(an11)

315、(五校联考)在数列an中，a1

a211，an1n，nN 7an

（I）令bn

1，求证：数列bn是等比数列；（II）若dn(3n2)bn，求数列dn的前n项

an2

3



和Sn；（Ⅲ）若cn3nbn（为非零整数，nN）试确定的值，使得对任意nN,都有cn1cn成立．

16．（津南区一模）等比数列{an}为递增数列，且a4（I）求数列{bn}的前n项和Sn及Sn的最小值；

a220*,a3a5，数列bnlog3n（nN)39

2（II）设Tnb1b2b22b2n1，求使Tn5n320成立的n的最小值． 17、（河东二模）已知数列{bn}(nN)是递增的等比数列，且b1b35,b1b3

4（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若数列{an}的通项公式是ann2，数列{anbn}的前n项和为sn，求sn

18、（河西二模）已知曲线C:yx2(x0)，过C上的点A1(1,1)做曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点

B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平

行线交曲线C于点A3，……，依次作下去，记点An的横坐标为an(nN)

（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an}的前n项和为sn，求证：ansn1；

14n

1（3）求证： 

3i1aisi

n

19.（09天津文）已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sna1a2qanqn1

Tna1a2q(1)n1anqn1,q0,nN*

（Ⅰ）若q1,a11,S315 ,求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a1d,且S1,S2,S3成等比数列，求q的值。（Ⅲ）若q1,证明（1q）S2n19、（2010文）在数列an

2dq(1q2n)*

(1q)T2n,nN2

1q

中，a10，且对任意kN*，a2k1,a2k,a2k1成等差数列，其公差为2k.的通项公式；

(Ⅰ)证明a4,a5,a6成等比数列；(Ⅱ)求数列an

32232n2

(Ⅲ)记Tn……+，证明2nTn2(n2).2a2a3an

20．（2011文）已知数列{an}与{bn}满足bn1anbnan1

3(1)n1

(2)1,bn,nN*,且a12.n

（Ⅰ）求a2,a3的值；（Ⅱ）设cna2n1a2n1,nN*，证明{cn}是等比数列；（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明

S1S2

a1a2



S2n1S2n1

n(nN*).a2n1a2n3

第四篇：高考数列常用知识点及解题方法总结

高考数列常用知识点及解题方法总结

一、基本公式：
1.

二、求通项公式 an 的方法：
1.

三、求前 n 项和 S 的方法：
n

1.

第五篇：高考数列题型总结

数列

1.2.3.4.5.6.坐标系与参数方程 1.2.3

4..5.6.(1)(2)