第一篇:3透视2013年高考数列题
透视2013年高考数列题
童其林
一、命题分析
数列是高中代数的重要内容之一,在整个高中数学中,它处于数学知识和数学方法的汇合点,数、式、方程、函数、简易逻辑、算法、三角、不等式、几何等内容均可能与数列知识产生联系.因此,它是数学高考命制能力题的主板块之一.纵观今年的高考试题,数列试题具有题型新颖,综合性强的特点.题量大多为1大题、l小题,约占全卷总分的13%,比如理科上海卷、江西卷、北京卷、陕西卷、湖北卷、广东卷、安微卷等就设置了一大一小两个题.有的省份只有一道客观题(选择题或者填空题)或只有一道解答题中,比如理科山东卷、全国新课标Ⅱ卷、浙江卷、四川卷等只有一道主观题(解答题),福建卷、辽宁卷、重庆卷等只设置了一道选择题或填空题.例外的是全国新课标课标Ⅰ卷理科,设置了三个小题——2道选择题1道填空题,占15分,还有就是江苏卷,除了一大一小两个题外,附加题也是数列题..从考查的知识和方法来看,等差等比数列的基础知识及其应用是考查的重点,知识交汇是趋势,比如2013年各地高考理科数学卷中,求通项公式的就有山东卷理科20第1小题,安微卷理科14题,全国新课标课标Ⅰ卷理科14题,江西卷理科17题第1小题,湖北卷理科18题第1小题,广东卷理科19题第2小题;求前n项和的有山东卷理科20第2小题,全国新课标课标Ⅰ卷理科第7题,四川卷理科第16题;证明或判断等差或等比数列的有上海卷理科23题第2小题,福建卷理科第9题,北京卷理科20题第2小题,陕西卷理科17题第2小题;判断数列是递增还是递减数列的有全国新课标课标Ⅰ卷理科12题,辽宁卷理科第4题;与平面解析几何交汇的有全国高考新课标1卷理科12题,安微卷理科14题;类比、归纳猜猜的有陕西卷理14题,湖北卷理14题;上海卷、广东卷考了证明不等式问题;陕西卷理科17第1小题考了推导等比数列的前n项和公式,很有特色.另外,上海卷与北京卷都把数列题作为压轴题.二、经典例题分析
1.考查数列的基础知识
理解数列的概念,并能根据递推公式写出数列的前几项;理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题;理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题——这些都是数列的基础知识.例1(福建卷,理科9)已知等比数列{an}的公比为q,记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m,cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m,nN),则以下结论一定正确的是()
A.数列{bn}为等差数列,公差为qB.数列{bn}为等比数列,公比为q
C.数列{cn}为等比数列,公比为qm2m2m
D.数列{cn}为等比数列,公比为qmm
解析:粗看本题,一个感觉就是bn,cn的表达式太复杂,特殊化是简化运算的一个手段.因为b1a1a2am,b2am1am2amm,b3b2m1b2m2b2mm,当数列an的公比q1时,b1ma1b2b3,此时公差为0,A错.当q1时,b
2qm(a1a2am), b
1b
3qm(am1am2amm)qmqm(a1a2am),b2
此时
b2b3,B错.
b1b2
因为c1a1a2am,c2am1am2amm,c3a2m1a2m2a2mm,所以c2c1c3,所以数列cn为等比数列,c2am1am2amma1qma2qmamqmm2又q,故选C.c1a1a2ama1a2am
点评:熟练掌握等差数列与等比数列的定义、性质,通项公式及其前n项和公式是解题的关键.另外,特殊化能帮助我们快速选出正确支.例2(陕西卷,理科17)设{an}是公比为q的等比数列.(Ⅰ)推导{an}的前n项和公式;(Ⅱ)设q≠1, 证明数列{an1}不是等比数列.解析:(I)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和 Sn=a1+ a1q+….a1qn-1 ①将①式两边分别乘以q得qSn=a1q+ a1q2+…a1qn
n
aanqa(n1-q)当q≠0时,Sn或Sn1 1q1q
当 q=1时,a1= a2=….an,所以Sn=na.(II)∵q≠1 假设数列{an+1}为等比数列,那么(a21)2(a11)(a31),即(a1q1)(a11)(a1q1)a1(q1)0a10或q=1,均与题设矛盾,故数列{an1}不可能为等比数列.点评:推导{an}的前n项和公式,有很多方法,上述方法只是其中的一种.本题(2)直接证明是很难完成的,反证法是最好的选择.2.考查数列与其它知识的融合数列与函数、简易逻辑、三角、不等式、几何等知识的融合是重点.例3(全国新课标Ⅱ卷,理科16)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15 =25,则nSn 的最小值为________.109d10a012
2解析:由题意得,解得d,a13,315a1514d2
512n(n1)2n210nn310n2
, 所以Sn3n,即nSn233320n310n2
n,,则有f(x)n2令f(n)
3令f(x)n
20202020
n00n,令f(x)n2n0n, 3333
n310n2
48,当n=7时,因为 n为正整数,当n=6时,f(n)
3n310n2n310n2
f(n)49,所以当n=7时,f(n)取得最小值为-49.33
点评:数列本身就是关于n的函数,利用导数求数列函数的最值也就显得自然,这里要特别注意的是n在正整数范围内取值.例4(全国高考新课标1卷理科12设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面cn+anbn+an
积为Sn,n=1,2,3,…若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=()
A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列
C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
cn+anbn+an
解:因为an+1=an,所以an=a1,而bn+1,c
+=,2从而b2c2
c1a1b1a1c1b
1a12a1, 222ca2b2a2c2b2
b3c32a22a1
222
……
bn1cn12a1,即对所有n,有bn+cn=2a1,也就是AnCn+AnB n=2a1,为定值,所以点Anx2y2
1.如图,以Bn,Cn中点为坐标原点建系,则An的轨迹为23a1
a12
4又|bn1cn1||
cnanbnan1
||bncn||bncn|,222
所以两边差越来越小,An越来越接近于椭圆短轴端点,因而An到BnCn的距离越来越大,面积Sn也越来越大,{Sn}为递增数列.点评:本题的解法也有不少,上述解法与解析几何融合,开辟了解题的新天地,很有创意.例
5(江西卷理科
17)正项数列
an的前项和Sn满足:,0sn(n2n1sn)n(2n)
(1)求数列{an}的通项公式an;(2)令bn
n1*,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:对于任意的nN,都有22
(n2)an
Tn
5.64
解析:(1)由sn(n2n1)sn(n2n)0,得
S
n
(n2n)(Sn1)0,由于an是正项数列,所以Sn0,Snn2n.
于是a1S12,当n2时,anSnSn1nn(n1)(n1)2n.所以数列an的通项公式an=2n.(2)由于an=2n,bn
n1n1111,22222216n(n2)an4n(n2)(n2)
Tn
1111111111
1 163222423252(n1)2(n1)2n2(n2)2
=
111111511.2222162(n1)(n2)16264
点评:本题考查数列的通项、前n项和公式,数列的递推,裂项相消法求数列的前n项
和,及用放缩法证明不等式等.3.探索性问题
合情推理与演绎推理的结合,也常是考查数列问题的重要内容.例6(湖北理科14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数
nn11
21nn.记第n个k边形数为1,3,6,10,…,第n个三角形数为
222
Nn,kk3,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数Nn,3
121
nn 22
正方形数Nn,4n
五边形数Nn,5
321nn 22
六边形数Nn,62nn……
可以推测Nn,k的表达式,由此计算N10,24.解析:观察n和n前面的系数,可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列,故Nn,2411n10n,N10,241000.点评:找到规律是解决问题的关键.例7(陕西卷理14)观察下列等式:121
12223 1222326
1222324210 …
照此规律, 第n个等式可为.解析:观察上式等号左边的规律发现,左边的项数一次加1,故第n个等式左边有n项,每项所含的底数的绝对值也增加1,依次次为1,2,3…n,指数都是2,符号成正负交替出现可以用(-1)n+1表示,等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和,故等式的右边可以表示为(-1)n·
n+1
n(n1),所以第n个式子可为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)2
·
n(n1)
(n∈N).2
点评:解题的关键在于:一是通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律;二是符号成正负交替出现可以用(-1)n+1表示;三是注意表达完整性,不要遗漏了n∈N.三、备考策略
从命题趋势来看,等差、等比数列的定义、通项公式以其等差、等比数列的性质一直高考考查的重点,也依然是今后考查的重点;数列与函数、数列与数学归纳法、数列与不等式、几何等知识的综合是今后考查的重要方面,难度一般较大;应用性问题、探索性问题,依然在升温,不可忽视.另外,命题一定会重视观察归纳、类比联想、倒序相加、错位相减、裂项求和、迭代、构造等具体方法的考查,也会重视函数思想、方程思想、分类讨论的思想、转化的思想、数形结合的思想、有限与无限思想、特殊与一般的思想等数学素养的考查.所以备考时,应该比较深入地理解数列的概念,理解和掌握等差等比数列的概念和性质,掌握等差等比数列的通项公式与前n项和公式.注意数列与函数、简易逻辑、三角、不等式、几何等知识的融合,并不断提炼出解决数列问题的数学方法.作者单位:福建省永定县城关中学
第二篇:数列题
k已知数列an中的相邻两项a2k1,a2k是关于x的方程x2(3k2k)x3k20的两个根,且
a2k1≤a2k(k1,2,3,).
(I)求a1,a2,a3,a7;
(II)求数列an的前2n项和S2n;(Ⅲ)记f(n)1sinn3,2sinn
(1)f(2)(1)f(3)(1)f(4)(1)f(n1),Tn…a1a2a3a4a5a6a2n1a2n
求证:
已知An(an,bn)(nN*)是曲线ye上的点,a1a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足22n2,3,4,…. Sn3n2anSn1,an0,x15≤Tn≤(nN*). 624
(I)证明:数列bn2(n≤2)是常数数列;
bn
(II)确定a的取值集合M,使aM时,数列{an}是单调递增数列;(III)证明:当aM时,弦AnAn1(nN*)的斜率随n单调递增
第三篇:高考数列专题练习(汇总)
数列综合题
1.已知等差数列满足:,的前n项和为.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令bn=(),求数列的前n项和。
2.已知递增的等比数列满足是的等差中项。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若是数列的前项和,求
3.等比数列为递增数列,且,数列(n∈N※)
(1)求数列的前项和;
(2),求使成立的最小值.
4.已知数列{
}、{
}满足:.(1)求;
(2)求数列{
}的通项公式;
(3)设,求实数为何值时恒成立
5.在数列中,为其前项和,满足.
(I)若,求数列的通项公式;
(II)若数列为公比不为1的等比数列,且,求.
6.已知数列中,,(1)求证:数列为等比数列。
(2)设数列的前项和为,若,求正整数列的最小值。
7.已知数列的前n项和为,若
(1)求证:为等比数列;
(2)求数列的前n项和。
8.已知数列中,当时,其前项和满足.
(1)求的表达;
(2)求数列的通项公式;
9.已知数列的首项,其中。
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,若,求最大的正整数.
10已知数列的前项和为,且对任意,有成等差数列.
(1)记数列,求证:数列是等比数列;
(2)数列的前项和为,求满足的所有的值.
11.已知数列的前n项和满足:(为常数,)
(1)求的通项公式;
(2)设,若数列为等比数列,求的值;
(3)在满足条件(2)的情形下,数列的前n项和为.
求证:.
正数数列{an}的前n项和为Sn,且2.
(1)试求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,{bn}的前n项和为Tn,求证:.
13已知数列是公差不为零的等差数列,其前项和为,且,又
成等比数列.
(1)求;
(2)若对任意,都有,求的最小值.
14已知数列满足:.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)令(),如果对任意,都有,求实数的取值范围.
在数列中,,(1)设,求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
16.已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p
–
1)Sn
=
p2
–
an,n
∈N*,p
0且p≠1,数列{bn}满足bn
=
2logpan.
(1)若p
=,设数列的前n项和为Tn,求证:0
Tn≤4;
(2)是否存在自然数M,使得当n
M时,an
1恒成立?若存在,求出相应的M;若不存在,请说明理由.
17.设数列的前n项和为,且对任意正整数n都成立,其中为常数,且,(1)求证:是等比数列;
(2)设数列的公比,数列满足:,求数列的前项和.
—
END
—
第四篇:数列高考复习
2012届知识梳理—数列
1a(n2k)112n
(kN*),记bna2n1,1、(河西三模)设数列{an}的首项a1,且an124a1(n2k1)n
4n
1,2,3,(I)求a2,a3;
(II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论;(III)证明b13b25b3(2n1)bn3.22(Snn)3*
2、(南开二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,对于任意的nN,有an
(I)求证:数列{an1}是等比数列,并求{an}的通项公式;(II)求数列{nan}的前n项和Tn3、(和平二模)已知数列{an}满足a1
(I)求{an}的通项公式;
(II)若Tnb12b22(III)设cna11 ,an1ann(nN*),bn2n14an1bn2,求证Tn2; 1,求数列{cn}的前n项和.bnbn
14、(河北一摸)在数列{an}与{bn}中,数列{an}的前n项Sn满足Snn22n,数列{bn}的前n项和Tn
满足3Tnnbn1,且b11,nN*.(I)求{an}的通项公式;
(II)求数列{bn}的通项公式;
(III)设cnbn(an1)2ncos,求数列{cn}的前n项和.n1
3*
5、(南开一摸)设数列{an}满足:nN,an2Sn243,其中Sn为数列{an}的前n项和.数列{bn}满
足bnlog3an.(I)求数列{an}的通项公式;
(II)求数列{cn}满足:cnbnSn,求数列{cn}的前n项和公式.6、(市内六校联考二)已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0),且f'(0)2n,nN*(I)求f(x)的解析式;(II)设数列满足
1f'(),且a14,求数列{an}的通项公式; anan
(III)记bn
{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn2.7、(市内六校联考三)数列{an}的前n项和为Sn,a11,且对于任意的正整数n,点(an1,Sn)在直线
2xy20上.(I)求数列{an}的通项公式;
(II)是否存在实数,使得{Snn
2n
为等差数列?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.112n(III)已知数列{bn},bn,bn的前n项和为Tn,求证:Tn.62(an1)(an11)
8、(河东一摸)将等差数列{an}所有项依次排列,并作如下分组:(a1),(a2,a3),(a4,a5,a6,a7),组1项,第二组2项,第三组4项,第n组
2n
1,第一
项.记Tn为第n组中各项和,已知T348,T40.(I)求数列{an}的通项公式;(II)求Tn的通项公式;(III)设{Tn}的前n项的和为Sn,求S8.9、(河西区一摸)已知数列{an}满足a1
(n1)(2ann)
1,an1(nN*)2an4n
ankn
为公差是1的等差数列,求k的值; ann
.1
2(I)求a2,a3,a4;(II)已知存在实数k,使得数列{
(III)记bn
nN*),数列{bn}的前n项和为S
n,求证Sn
10、(和平一摸)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知a11,a47,b1a11,b4a81(I)分别求出{an},{bn}的通项公式;(II)若{an}的前n项和为Sn,1
1S1S
2
与2的大小; Sn
(III)设Tn
a1a2
b1b2
an*,若Tnc(cN),求c的最小值.bn
2an1(n2k)
11、(红桥区4月)已知数列{an}满足:a11,ann1(kN*),n2,3,4,22an1(n2k1)
2(I)求a3,a4,a5;(II)设bna2n11,n1,2,3,(III)若数列{cn}满足2
2(c11),,求证:数列{bn}是等比数列,并求出其通项公式;
22(c21)
22(cn1)bncn,证明:{cn}是等差数列.12、(河北区二模)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足6Sn(an1)(an2),且S11(I)求{an}的通项公式;(II)设数列{bn}满足an(2n
b
11)1,记Tn为{bn}的前n项和,求证:3Tn1log2(an3).Sn1Sn2an1,
SnSn1an13、(第二次12校)已知数列{an}的首项a11,a23,前n项和为Sn,且
(nN*,n2),数列bn满足b11,bn1log2(an1)bn。
(Ⅰ)判断数列1{an1}是否为等比数列,并证明你的结论;
n
21),求c1c2c3cn;(II)设cnan(bn2
(Ⅲ)对于(Ⅰ)中数列an,若数列{ln}满足lnlog2(an1)(nN*),在每两个lk与lk1 之间都插入2k1(k1,2,3,kN*)个2,使得数列{ln}变成了一个新的数列{tp},(pN)试问:是否存在正整数m,使得数列{tp}的前m项的和Tm2011?如果存在,求出m的值;如果不存在,说明理由.14、(第一次12校)已知数列{an}的前n项和Sn满足:a(Snan)Sna(a为不为零的常数,aR)
(nN).
(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设cnnan1,求数列{cn}的前n项和Tn;(Ⅲ)当数列{an}中的a2时,求证:
2222232n
1. 15(a11)(a21)(a21)(a31)(a31)(a41)(an1)(an11)
315、(五校联考)在数列an中,a1
a211,an1n,nN 7an
(I)令bn
1,求证:数列bn是等比数列;(II)若dn(3n2)bn,求数列dn的前n项
an2
3
和Sn;(Ⅲ)若cn3nbn(为非零整数,nN)试确定的值,使得对任意nN,都有cn1cn成立.
16.(津南区一模)等比数列{an}为递增数列,且a4(I)求数列{bn}的前n项和Sn及Sn的最小值;
a220*,a3a5,数列bnlog3n(nN)39
2(II)设Tnb1b2b22b2n1,求使Tn5n320成立的n的最小值. 17、(河东二模)已知数列{bn}(nN)是递增的等比数列,且b1b35,b1b3
4(1)求数列{bn}的通项公式;(2)若数列{an}的通项公式是ann2,数列{anbn}的前n项和为sn,求sn
18、(河西二模)已知曲线C:yx2(x0),过C上的点A1(1,1)做曲线C的切线l1交x轴于点B1,再过点
B1作y轴的平行线交曲线C于点A2,再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2,再过点B2作y轴的平
行线交曲线C于点A3,……,依次作下去,记点An的横坐标为an(nN)
(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an}的前n项和为sn,求证:ansn1;
14n
1(3)求证:
3i1aisi
n
19.(09天津文)已知等差数列{an}的公差d不为0,设Sna1a2qanqn1
Tna1a2q(1)n1anqn1,q0,nN*
(Ⅰ)若q1,a11,S315 ,求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)若a1d,且S1,S2,S3成等比数列,求q的值。(Ⅲ)若q1,证明(1q)S2n19、(2010文)在数列an
2dq(1q2n)*
(1q)T2n,nN2
1q
中,a10,且对任意kN*,a2k1,a2k,a2k1成等差数列,其公差为2k.的通项公式;
(Ⅰ)证明a4,a5,a6成等比数列;(Ⅱ)求数列an
32232n2
(Ⅲ)记Tn……+,证明2nTn2(n2).2a2a3an
20.(2011文)已知数列{an}与{bn}满足bn1anbnan1
3(1)n1
(2)1,bn,nN*,且a12.n
(Ⅰ)求a2,a3的值;(Ⅱ)设cna2n1a2n1,nN*,证明{cn}是等比数列;(Ⅲ)设Sn为{an}的前n项和,证明
S1S2
a1a2
S2n1S2n1
n(nN*).a2n1a2n3
第五篇:高考数列题,想说爱你也容易
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高考数列题,想说爱你也容易 作者:钱军先
来源:《新高考·高三数学》2012年第01期