高中数学竞赛大纲

第一篇：高中数学竞赛大纲

高中数学竞赛大纲（修订讨论稿）

中国数学会普及工作委员会制定

（2006年8月）

从1981年中国数学会普及工作委员会举办全国高中数学联赛以来，在“普及的基础上不断提高”的方针指导下，全国数学竞赛活动方兴未艾，每年一次的数学竞赛吸引了上百万学生参加。1985年我国步入国际数学奥林匹克殿堂，加强了数学课外教育的国际交流，20年来我国已跻身于IMO强国之列。数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。

为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《高中数学竞赛大纲》，这份大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导性作用，我国高中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。

近年来，新的教学大纲的实施在一定程度上改变了我国中学数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原来的《高中数学竞赛大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经过广泛征求意见和多次讨论, 对《高中数学竞赛大纲》进行了修订。

本大纲是在《全日制普通高级中学数学教学大纲》的精神和基础上制定的。《全日制普通高级中学数学教学大纲》指出：“要促进每一个学生的发展，既要为所有的学生打好共同基础，也要注意发展学生的个性和特长；„„在课内外教学中宜从学生的实际出发，兼顾学习有困难和学有余力的学生，通过多种途径和方法，满足他们的学习需求，发展他们的数学才能。”

学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导。教师应引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们设置一些选学内容，提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。

教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，使不同程度的学生在数学上得到相应的发展，并且要贯彻“少而精”的原则。

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：

1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形旁心、费马点、欧拉线；

几何不等式；

几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转；

圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；第二数学归纳法；

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

3．初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。

4．组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

组合计数，组合几何；

抽屉原理；

容斥原理；

极端原理；

图论问题；

集合的划分；

覆盖；

平面凸集、凸包及应用*。

(有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。)

注：上述大纲在2006年第十四次普及工作会上讨论通过

初中数学竞赛大纲(修订讨论稿)

中国数学会普及工作委员会制定

(2006年8月)

数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。

为了使全国数学竞赛活动持久、健康地开展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《初中数学竞赛大纲》，这份大纲的制定对全国初中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导性作用，使我国初中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。

近年来，课程改革的实践在一定程度上改变了初中数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动所涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原来的《初中数学竞赛大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经过广泛征求意见和多次讨论，对《初中数学竞赛大纲》进行了修订。

本大纲是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的精神和基础上制定的。在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中提到：“„„要激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；„„要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；„„”由于各种步同的因素，学生在数学知识、技能、能力方面和志趣上存在着差异，教学中要承认这种差异，区别对待，因材施教，因势利导。应根据基本要求和通过选学内容，适应学生的各种不同需要；对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组织课外活动等多咱形式，满足他们的学习愿望，发展他们的教学才能；鼓励学生积极参加形式多样的课外实践活动。

学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导，引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，重在培养学生的学习兴趣、学习习惯和学习方法，使不同的学生在数学上都得到相应的发展，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关注，这样才能加强基础，不断提高。

1．数

整数及进位制表示法，整除性及其判定；

素数和合数，最大公约数与最小公倍数；

奇数和偶数，奇偶性分析；

带余除法和利用余数分类；

完全平方数；

因数分解的表示法，约数个数的计算；

有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2．代数式

综合除法、余式定理；

因式分解；

拆项、添项、配方、待定系数法；

对称式和轮换对称式；

整式、分式、根式的恒等变形；

恒等式的证明。·

3．方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布； 含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；

含绝对值的一元一次不等式；

简单的多元方程组；

简单的不定方程(组)。

4．函数

yaxb,yax2bxc,yax2bxc的图象和性质； 二次函数在给定区间上的最值，简单分式函数的最值；

含字母系数的二次函数。

5．几何

三角形中的边角之间的不等关系；

面积及等积变换；

三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质；

相似形的概念和性质；

圆，四点共圆，圆幂定理；

四种命题及其关系。

6．逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用；

简单的组合问题；

简单的逻辑推理问题，反证法；

极端原理的简单应用；

枚举法及其简单应用。

注：上述大纲在2006年第十四次普及工作会上讨论通过

第二篇：高中数学竞赛大纲范文

高中数学竞赛大纲（修订讨论稿）

中国数学会普及工作委员会制定

（2006年8月）

从1981年中国数学会普及工作委员会举办全国高中数学联赛以业，在“普及的基础上不断提高”的方针指导下，全国数学竞赛活动方兴未艾，每年一次的数学竞赛吸引了上百万学生参加。1985年我国又步入国际数学奥林匹克殿堂，加强了数学课外教育的国际交流，20年来我国已跻身于IMO强国之列。数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。

为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《高中数学竞赛大纲》，这份大纲的制定对高中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导性作用，我国高中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。

近年来，课程改革的实践在一定程度上改变了我国中学数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动年涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原来的《高中数学竞赛大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经过广泛征求意见和多次讨论，对《高中数学竞赛大纲》进行人修订。

本大纲是在教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》的精神和基础上制定的，该教学大纲指出：“要促进每一个学生的发展，既要为所有的学生打好共同基础，也要注意发展学生的个性和特长；„„在课内外教学中宜从学生的实际出发，兼顾学习有困难和学有余力的学生，通过多种途径和方法，满足他们的学习需求，发展他们的数学才能。”

学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导阅读自学、自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性。教师要根据学生不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导。教师应引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。对于学有余力并对数学有浓厚兴趣的学生，教师要为他们设置一些选学内容，提供足够的材料，指导他们阅读，发展他们的数学才能。

教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的基本要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。“课堂教学为主，课外活动为辅”也是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的内容充分考虑了学生的实际情况，使不同程度的学生在数学上都能得到相应的发展，并且要贯彻“少而精”的原则。

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

高中数学联赛加试

全国高中数学联赛（加试）在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：

1、平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

三角形帝心、费马点、欧拉线；

几何淡等式；

几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转；

圆的幂和根轴；

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2、代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三解恒等式，三角议程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性学系数递归数列的通项公式；

第二数学归纲法；

平均值不等式，柯西不等式，欧拉公式，棣莫费定理，单位根；

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根＊，多项式的插值公式＊；

n次多项式的个数，根与系数的关系，实际数多项式虚根成对定理；

函数迭代，求n次迭代＊，简单的函数议程＊。

3、初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数［x］，费马小定理，格占及其性质，无穷递降法＊，欧拉定理＊，孙子定理＊。

4、组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

组合计数，组合几何；

抽屉原理；

容斥原理；

极端原理；

图论问题；

集合的划分；

覆盖；

平面凸集、凸包及应用＊。

（有＊号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。）

注：上述大纲在2006年第十四次普及工作会上讨论通过

初中数学竞赛大纲（修订讨论稿）

中国数学会普及工作委员会制定

（2006年8月）

数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。

为了使全国数学竞赛活动持久、健康地开展，中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《初中数学竞赛大纲》，这份大纲的制定对全国初中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导性作用，使我国初中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。

近年来，课程改革的实践在一定程度上改变了初中数学课程的体系、内容和要求。同时，随着国内外数学竞赛活动的发展，对竞赛活动年涉及的知识、思想和方法等方面也有了一些新的要求，原来的《初中数学竞赛大纲》已经不能适应新形势的发展和要求。经过广泛征求意见和多次讨论，对《初中数学竞赛大纲》进行了修订。

本大纲是在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的精神和基础上制定的。在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中提到：“„„要关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；„„”由于各种不同的因素，学生在数学知识、技能、能力方面和志趣上存在差异，教学中要承认这种差异，区别对待，因材施教，因势利导。应根据基本要求和通过选学内容，适应学生的各种不同需要；对学有余力的学生，要通过讲授选学内容和组织课外活动等多种形式，满足他们的学习愿望，发展他们的数学才能；鼓励学生积极参加形式多样的课外实践活动。

学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程，不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导，引导学生主动地从事数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效学习策略。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容，在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，他阶段、分层次让学生逐步地去掌握，重在培养学生的学习兴趣、学习习惯和学习方法，使不同的学生在数学上都得到相应的发展，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。

1、数

整数及进位制表示法，整除性及其判定；

素数和合数，最大公约数与最小公倍数；

奇数和偶数，奇偶性分析；

带余除法和利用余数分类；

完全平方数；

因数分解的表示法，约数个数的计算；

有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

2、代数式

综合除法、余式定理；

因式分解；

拆项、添项、配方、待定系数法；

对称式和轮换对称式；

整式、分工、根式的恒等变形；

恒等式的证明。

3、方程和不等式

含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布； 含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；

含绝对值的一元一次不等式；

简单的多元方程组；

简单的不定方程（组）。

4、函数

二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；

含字母系数的二次函数。

5、几何

三角形中的边角之间的不等关系；

面积及等积变换；

三角形中的边角之间的不等关系；

面积及等积变换；

三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；

相似形的概念和性质；

圆，四点共圆，圆幂定理；

四种命题及其关系。

6、逻辑推理问题

抽屉原理及其简单应用；

简单的组合问题

简单的逻辑推理问题，反证法；

极端原理的简单应用；

枚举法及其简单应用。

注：上述大纲在2006年第十四次普及工作会上讨论通过

第三篇：高中数学竞赛校本课程

高中数学竞赛校本课程

一、课程目标

数学是研究空间形式和数量关系的学科，也是研究模式与秩序的一门学科。数学本身的特点决定了它作为科学基础的地位，中学数学的内容与其中蕴含的数学思想方法，尤其是通过数学学习培养的思考问题、解决问题的数学能力将在更深一层次的科学研究中大有作为。

1、夯实学生数学基础，使学生熟练掌握各种数学基本技能；全面提高学生演绎推理、直觉猜想、归纳抽象、体系构建、算法设计等诸多方面的能力，并在此基础上培养学生学习新的数学知识的能力，数学地提出、分析、解决问题的能力，数学表达与交流的能力；发展学生数学应用意识与数学创新意识。

2、努力扩展学生的数学视野，全面渗透研究性学习，激发学生学习数学的兴趣，使学生能欣赏数学的美学魅力，认识数学的价值，崇尚数学的思考，培养从事科学研究的精神与方法。

3、多角度衔接高等教育，大胆引入现代数学基本理念，为学生继续从事高深科学领域的学习奠定所必需的数学基础。

二、课程设计理念与课程内容特色

本课程始终围绕学生群体设计，从他们的学习与发展的实际学情为基本出发点。课程的内容的选择是严格的，它具有鲜明的针对性，能体现数学教学的特点。本课程设计向要突现以下几点：

1、注重发展学生的数学综合能力

“学以致用”，数学知识的学习必须进入运用的层次，接受实践的考验。20世纪下半叶以来，数学的最大发展是应用，这也对数学教学产生了深刻的影响。本课程在数学知识的理论应用与实践运用上大大加强，数学的融会贯通与“数学建模”成为主体；加强了数学各分支间的结合，以重要的数学思想方法来贯穿数学学习。

2、重视数学思想与数学方法养成的创新学习理念

传授数学知识不是数学教学的重点，‘授人以鱼，不若授之以渔’。引导学生掌握解决问题的科学的数学思想与数学方法是本课程的核心。课程不完全以知识系统为主线，很多例题与练习是为了凸现其中的蕴含的数学思想方法而设计。本课程试图通过数学思想方法的养成为学生形成正确的，积极主动的学习方式创造有利条件，为学生提供“提出问题，探索研究，实践应用”的空间，帮助学生形成独立思考、自主钻研的习惯，培养学生的自主能力，提高理性的数学思维，养成勇于创新的科学理念。

3、拓展数学视野，形成开放体系，努力增强时代感

由于本课程的学习对象为具备教好的数学基础与学习能力的学生，因此在内容上必须有一定的深度与广度，要能够印发学生的思考，要有新的知识内容与视角，传统的

数学课程内容长期以来已经模式化，可选择性不强，本课程大胆突破高考限制，引入“向量几何”、“矩阵理论”、“概率统计”、“线性规划”、“微积分初步”等现代数学内容，摆脱以往数学课程内容的被动与滞后，是本课程力图突破的一点。此外，本课程通过每个章节设置的“本章阅读”介绍著名数学家、数学趣题、数学发展史以及最新数学进展来拓展学生的视野，提高学习数学兴趣。

三、课程内容与数学计划 高一上学期

第一章.集合与命题 第二章.函数 第三章.不等式 第四章.三角函数 高一下学期

第五章.直线与平面 第六章.多面体与旋转面

第七章.行列式、矩阵与向量初步 第八章.复数 高二上学期

第九章.数列与数学归纳法 第十章.直线

第十一章.圆锥曲线 第十二章.参数方程 高二下学期

第十三章.排列组合与二项式定理 第十四章.概率与统计

四、教学方法

自学指导与问题教学法，对知识的掌握，不能依赖教师的教授，因为知识在不断的更新，因此培养学生的自学能力尤为中要。在自学的过程中，强调讨论与交流，鼓励参与，鼓励质疑，鼓励创新，以问题解决带动知识学习与能力锻炼是值得提倡的。理科班的学生良好综合素质为此提供了可能。实践证明“自主学习+教师指导”的方法是可行而且高效的。

五、课程评价

知识水平与实际能力相结合的综合评价，以能力考察为重点，鼓励拔尖，对突出的成绩获得给予特别加分。

第四篇：新高中数学竞赛培训教案

预备↓↓ 初中知识衔接

平面几何基础

函数基础

整式分式整理基础

暴力计算能力

观察能力

类比归纳能力

举一反三能力

数形结合能力

图形的直观认识

一笔画水平

数列猜想分析能力

数学游戏（博弈之绝对胜利、数独、24点、幻方、分形几何、多米诺拼接）

高等数学（极限、函数、微积分、级数*（Abel定理）、向量、复数、XX中值定理）数学分析（内容同于高数高于高数，再来一遍）线性代数（行列式△、矩阵）（次要）空间解析几何（向量（三个积）、向量的分解

空间方程概述）初等数论（整除、同余、系、几个定理、阶乘、方程（韦达定理）（费马大定理的推导普及、不定方程））连分数

几个数论函数

勾股

pell

无穷递降法

拆分数

组合数学(第三版)离散数学-屈婉玲（拓扑学（莫比乌斯））图论

科学的历程（或费马大定理）数学史选讲 阿波罗尼斯著作

正式↓↓

不等式

木桶

糖水

均值

（幂平均、加权、加权幂平均、权方和）排列

柯西

（霍尔德

切比雪夫

兰顿

钟开莱）

Jensen

schur schur分拆

嵌入

三角（内切圆）

对勾函数

Abel代换

局部

调整

导数

二项式

配以偶式

几何法

无字证明

构造

SOS

pqr

拉格朗日配方法

作差

放缩

切线

轮换（对称）

比较

积分

数形结合 归纳

数列

基础

不动点

特征根（斐波那契数列及其性质）

递推

归纳（大跨度）

递归

杂化

解析几何

直线---圆---多边形-----圆锥曲线

公式（长度、比例）

线性规划

线系（切线法线方程）△

坐标系（笛卡尔系、极坐标系、球坐标系、柱坐标系、无限系）dandelin 立体几何

三视图

各种体（公式）

欧拉定理

归纳

缺角理论

正四面体性质

球面几何 向量法

平面几何

基础知识

圆幂定理

三角形五心

对称

放射

旋转

位似 面积法

几何变换

蝴蝶

张角

清宫 鸡爪、鸭爪

梅涅劳斯、塞瓦 托勒密定理 帕斯卡

笛沙格 牛顿定理

帕普斯定理

氵尺山定理

婆罗摩笈多定理

费尔巴哈定理

不怜香定理

德萨格定理

托式定理

拿破仑定理 Simon线

欧拉线

斯台沃特定理

费马点

布洛卡角

角平分线定理

陪位中线

等角线

共轭点

圆系（genzhou、yuanmi）

共线共面共点

调和点列（调和四边形）反演、仿射

向量法（复数法、解析法）

集合论

集 系（CRK）域

环（伽罗瓦理论概论）容斥原理

鸽巢定理 佛光定理 归纳法（第一、第二、第三）

奇偶分析

反证

逻辑学（逻辑语言、二进制、K进制）

最小数原理

极端原理

排序原理

加强命题

存在性问题

函数

二次函数

定义域值域

周期

对称变换

三角

诱导公式（特殊值）

六边形（二、三）和差

倍角（半、二、三、N）

积化和差和差化积

辅助角

万能公式

倍半角规律

正弦定理

第一第二余弦定理

正切定理

切变换

Ravi变换

三角恒等式☆

三角不等式☆

复数三角式

向量、复数（数系）：

棣莫弗定理

数系的拓展

群论的普及

排列组合：

排列组合高考难题

母函数

组合恒等式

形式幂级数

贝叶斯公式

伯努利错件问题

多项式（差分）：

复杂的因式分解（因式余式定理）

韦达定理

爱森斯坦定理

朗格朗日插值公式

近似计算

拉格朗日恒等式卡当公式

差分二次

组合：

网络问题

皮克定理

ramsey数

有向图

着色

覆盖问题

树与圈

七桥问题（图论）

厄尔米特恒等式

高斯定理

圆盘

幻方问题

魔方问题 棋类问题

交通问题

几个科学家的理论专题

欧几里得

阿基米德

阿波罗尼斯

泰勒斯

海伦

达芬奇

托勒密 牛顿

莱布尼兹 笛卡尔

黑格尔

高斯

康托尔

费马

朗格朗日

欧拉

（拿破仑）

勒让德

单德林

韦达 埃米尔特

卡当

雅克比

庞加莱

刘徽

秦九韶

祖冲之

张衡

丘成桐

莫比乌斯

第五篇：2021全国高中数学竞赛专题-三角函数

全国高中数学竞赛专题-三角函数

三角恒等式与三角不等式

一、基础知识

定义1

角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。

若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。

定义2

角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。

弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。

若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=

r

L,其中r

是圆的半径。

定义3

三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x

轴的正半轴重合，在角的终边上任意取

一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s

in

α=r

y,余弦函数co

s

α=r

x,正切函数tan

α=

x

y，余切函数cot

α=y

x，正割函数se

c

α=x

r,余割函数c

s

c

α=.y

r

定理1

同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan

α=αcot

1,s

in

α=αcsc

1，co

s

α=αsec

1；

商数关系：tan

α=α

α

αααsin

cos

cot,cos

sin

=；

乘积关系：tan

α×co

s

α=s

in

α,cot

α×s

in

α=co

s

α；

平方关系：s

in

2α+co

s

2α=1,tan

2α+1=se

c

2α,cot

2α+1=c

s

c

2α.定理2

诱导公式（Ⅰ）s

in

(α+π)=-s

in

α,co

s(π+α)=-co

s

α,tan

(π+α)=tan

α,cot

(π+α)=cot

α;

（Ⅱ）s

in

(-α)=-s

in

α,co

s(-α)=co

s

α,tan

(-α)=-tan

α,cot

(-α)=cot

α;

（Ⅲ）s

in

(π-α)=s

in

α,co

s(π-α)=-co

s

α,tan

=(π-α)=-tan

α,cot

(π-α)=-cot

α;

（Ⅳ）s

in

???

??-απ2=co

s

α,co

s

???

??-απ2=s

in

α,tan

???

??-απ2=cot

α（奇变偶不变，符号看象限）。

定理3

正弦函数的性质，根据图象可得y

=s

inx

（x

∈R）的性质如下。

单调区间：在区间??

?

??

?+

22,2

2πππ

πk

k

上为增函数，在区间??

?

??

?++

πππ

π232,22k

k

上为减函数，最小正周期：2π.奇偶性：奇函数

有界性：当且仅当x

=2kx

+2π时，y

取最大值1，当且仅当x

=3k

π-2

π

时,y

取最小值-1，值域为[-1，1]。

对称性：直线x

=k

π+

π

均为其对称轴，点（k

π,0）均为其对称中心。这里k

∈Z

.定理4

余弦函数的性质，根据图象可得y

=co

s

x

(x

∈R)的性质。

单调区间：在区间[2k

π,2k

π+π]上单调递减，在区间[2k

π-π,2k

π]上单调递增。

最小正周期：2π。

奇偶性：偶函数。

有界性：当且仅当x

=2k

π时，y

取最大值1；当且仅当x

=2k

π-π时，y

取最小值-1。值域为[-1，1]。

对称性：直线x

=k

π均为其对称轴，点??

?

?

?+

0,2π

πk

均为其对称中心。这里k

∈Z

.定理5

正切函数的性质：由图象知奇函数y

=tanx

(x

≠k

π+

2π)在开区间(k

π-2π,k

π+2

π)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k

π，0），（k

π+2

π，0）均为其对称中心。

定理6

两角和与差的基本关系式：co

s(α±β)=co

s

αco

s

β

s

in

αs

in

β,s

in

(α±β)=s

in

αco

s

β±co

s

αs

in

β;

tan

(α±β)=

.)

tan

tan

1()

tan

(tan

βαβα

±

两角和与差的变式：2222

sin

sin

cos

cos

sin()sin()αββααβαβ-=-=+-

2222

cos

sin

cos

sin

cos()cos()αββααβαβ-=-=+-

三角和的正切公式：tan

tan

tan

tan

tan

tan

tan()1tan

tan

tan

tan

tan

tan

αβγαβγ

αβγαββγγα

++-++=

---

定理7

和差化积与积化和差公式:

s

in

α+s

in

β=2s

in

???

??+2βαco

s

???

??-2βα,s

in

α-s

in

β=2s

in

???

??+2βαco

s

???

??-2βα,co

s

α+co

s

β=2co

s

???

??+2βαco

s

???

??-2βα,co

s

α-co

s

β=-2s

in

???

??+2βαs

in

???

??-2βα,s

in

αco

s

β=21[s

in

(α+β)+s

in

(α-β)],co

s

αs

in

β=21

[s

in

(α+β)-s

in

(α-β)],co

s

αco

s

β=21[co

s(α+β)+co

s(α-β)],s

in

αs

in

β=-2

[co

s(α+β)-co

s(α-β)].定理8

二倍角公式：s

in

2α=2s

in

αco

s

α,co

s2α=co

s

2α-s

in

2α=2co

s

2α-1=1-2s

in

2α,tan

2α=

.)

tan

1(tan

22αα

三倍角公式及变式：3

sin

33sin

4sin

ααα=-，3

cos34cos

3cos

ααα=-

1s

i

n

(60)s

i

n

s

i

n

(60)s

i

n

34α

ααα-+=，1

cos(60)cos

cos(60)cos34

αααα-+=

定理9

半角公式:

s

in

2α=2)cos

1(α-±,co

s

α

=2)cos

1(α+±,tan

2α=)cos

1()

cos

1(αα+-±=

.sin)cos

1()

cos

1(sin

αααα-=+

定理10

万能公式:

?

?

?

??+?

??

??=

2tan

12tan

2sin

2ααα,???

??+???

??-=2tan

12tan

1cos

22ααα,.2tan

12tan

2tan

2???

??-???

??=ααα

定理11

辅助角公式：如果a,b

是实数且a

2+b

2≠0，则取始边在x

轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则s

in

β=22b

a

b

+,co

s

β=2

2b

a

a

+，对任意的角α.a

s

in

α+bco

s

α=)(22b

a

+s

in

(α+β).定理12

正弦定理：在任意△ABC

中有R

C

c

B

b

A

a

2sin

sin

sin

===，其中a,b,c

分别是角A，B，C的对边，R

为△ABC

外接圆半径。

定理13

余弦定理：在任意△ABC

中有a

2=b

2+c

2-2bco

s

A，其中a,b,c

分别是角A，B，C的对边。

定理14

射影定理：在任意△ABC

中有cos

cos

a

b

C

c

B

=+，cos

cos

b

a

C

c

A

=+，cos

cos

c

a

B

b

A

=+

定理15

欧拉定理：在任意△ABC

中，2

2OI

R

Rr

=-，其中O,I

分别为△ABC的外心和内心。

定理16

面积公式：在任意△ABC

中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长2

a

b

c

p

++=

则211sin

2sin

sin

sin

(sin

sin

sin)224a

abc

S

ah

ab

C

rp

R

A

B

C

rR

A

B

C

R

=

=====++

222

1)(c

o

t

c

o

t

c

o

t)4

c

a

A

b

B

c

C

==++

定理17

与△ABC

三个内角有关的公式：

（1）sin

sin

sin

4cos

cos

cos

;222

A

B

C

A

B

C

++=

（2）cos

cos

cos

14sin

sin

sin

;222

A

B

C

A

B

C

++=+

（3）tan

tan

tan

tan

tan

tan

;A

B

C

A

B

C

++=

（4）tan

tan

tan

tan

tan

tan

1;222222

A

B

B

C

C

A

++=

（5）cot

cot

cot

cot

cot

cot

1;A

B

B

C

C

A

++=

（6）sin

2sin

2sin

24sin

sin

sin

.A

B

C

A

B

C

++=

定理18

图象之间的关系：y

=s

inx的图象经上下平移得y

=s

inx

+k的图象；经左右平移得y

=s

in

(x

+?)的图象（相位

变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的ω

1，得到y

=s

in

x

ω(0>ω)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A

倍，得到y

=A

s

inx的图象（振幅变换）；y

=A

s

in

(ωx

+?)(ω>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A

倍，得到y

=A

s

inx的图象（振幅变换）；y

=A

s

in

(ωx

+?)(ω,?>0)(|A

|

叫作振幅)的图象向右平移ω

?

个单位得到y

=A

s

in

ωx的图象。

定义4

函数y

=s

inx

?

?

???-∈2,2ππx的反函数叫反正弦函数，记作y

=a

r

c

s

inx

(x

∈[-1,1])，函数y

=co

s

x

(x

∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y

=a

r

cco

s

x

(x

∈[-1,1]).函数y

=tanx

?

??

?

?-

∈2,2ππx的反函数叫反正切函数。记作y

=a

r

ctanx

(x

∈[-∞,+∞]).函数y

=co

t

x

(x

∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y

=a

r

ccotx

(x

∈[-∞,+∞]).定理19

三角方程的解集，如果a

∈(-1,1)，方程s

inx

=a的解集是{x

|x

=n

π+(-1)n

a

r

c

s

ina,n

∈Z

}。

方程co

s

x

=a的解集是{x

|x

=2kx

±a

r

cco

s

a,k

∈Z

}.如果a

∈R，方程tanx

=a的解集是{x

|x

=k

π+a

r

ctana,k

∈Z

}。

恒等式：a

r

c

s

ina

+a

r

cco

s

a

=

2π；a

r

ctana

+a

r

ccota

=2

π.定理20

若干有用的不等式：

（1）若???

?

?∈2,0πx，则s

inx

（2）函数sin

x

y

x

=在(0,)π上为减函数；函数tan

x

y

x

=在(0,)2

π

上为增函数。

（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z

∈R，有2

2cos

2cos

2cos

x

y

z

yz

A

xz

B

xy

C

++≥++

等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.二、方法与例题

1．结合图象解题。

例1

求方程s

inx

=lg

|x

|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数y

=s

inx

与y

=lg

|x

|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。

2．三角函数性质的应用。

例2

设x

∈(0,π),试比较co

s(s

inx)与s

in

(co

s

x)的大小。

【解】

若??

?

?

??∈ππ,2x，则-1所以s

in

(co

s

x)

≤0,又02x

π?

?

∈

??

?，则因为s

inx

+co

s

x

=2s

in

(x

+

4π)≤2π，所以co

s(s

inx)>co

s（2

π

-co

s

x)=s

in

(co

s

x).综上，当x

∈(0,π)时，总有co

s(s

inx)3．最小正周期的确定。

例3

求函数y

=s

in

(2co

s|x

|)的最小正周期。

【解】

因为co

s(-x)=co

s

x，所以cos

|x

|=co

s

x,所以T

=2π是函数的周期；

4．三角最值问题。

例4

已知函数y

=s

inx

+x

2cos

1+，求函数的最大值与最小值。

【解法一】

令s

inx

=???

??≤≤=

+ππ

θθ4304

sin

2cos

1,cos

x,则有y

=).4

sin(2sin

2cos

2π

θθθ+

=+

因为

ππ

4304≤≤，所以ππθπ≤+≤42，所以)4

sin(0π

θ+≤≤1，所以当πθ43=，即x

=2k

π-2π(k

∈Z)时，y

m

in

=0，当4πθ=，即x

=2k

π+2

π

(k

∈Z)时，y

m

ax

=2.【解法二】

因为y

=s

inx

+)cos

1(sin

2cos

1222

x

x

x

++≤

+=2（因为(a

+b)2≤2(a

2+b

2)），且|s

inx|≤1≤x

2cos

1+，所以0≤s

inx

+x

2cos

1+≤2，所以当x

2cos

1+=s

inx，即x

=2k

π+2

π

(k

∈Z)时,y

m

ax

=2，当x

2cos

1+=-s

inx，即x

=2k

π-2

π

(k

∈Z)时,y

m

in

=0。

5．换元法的使用。

例5

求x

x

x

x

y

cos

sin

1cos

sin

++=的值域。

【解】

设t

=s

inx

+co

s

x

=).4sin(2cos

22sin

222π+=???

?

??+x

x

x

因为,1)4

sin(1≤+

≤-π

x

所以.22≤≤-t

又因为t

=1+2s

inxco

s

x,所以s

inxco

s

x

=212-t，所以2

1121

2-=+-=t

t

x

y，所以

.212212-≤≤--y

因为t

≠-1，所以121-≠-t，所以y

≠-1.所以函数值域为.212,11,212??

?

??--???-+-∈

y

6．图象变换：y

=s

inx

(x

∈R)与y

=A

s

in

(ωx

+?)(A,ω,?>0).例6

已知f

(x)=s

in

(ωx

+?)(ω>0,0≤?≤π)是R

上的偶函数，其图象关于点???

??0,43πM

对称，且在区间??

?

???2,0π上是单调函数，求?和ω的值。

【解】

由f

(x)是偶函数，所以f

(-x)=f

(x)，所以s

in

(ωx+?)=s

in

(-ωx

+?)，所以co

s

?s

inx

=0，对任意x

∈R

成立。又0≤?≤π，解得?=2

π，因为f

(x)图象关于??

?

??0,43πM

对称，所以)43()43(x

f

x

f

++-ππ=0。

取x

=0，得)4

3(πf

=0，所以sin

.024

3=???

??+πωπ

所以243ππωπ+=k

(k

∈Z)，即ω=32(2k

+1)

(k

∈Z).又ω>0，取k

=0时，此时f

(x)=sin

(2x

+

2π)在[0，2

π

]上是减函数；

取k

=1时，ω=2，此时f

(x)=sin

(2x

+2π)在[0，2

π

]上是减函数；

取k

=2时，ω≥310，此时f

(x)=sin

(ωx

+2π)在[0，2

π

]上不是单调函数，综上，ω=3

或2。

7．三角公式的应用。

例7

已知sin

(α-β)=

135，sin

(α+β)=-

135，且α-β∈???

??ππ,2，α+β∈??

?

??ππ2,23，求sin

2α,cos

2β的值。

【解】

因为α-β∈??

?

??ππ,2，所以cos

(α-β)=-.1312)(sin

-=--βα

又因为α+β∈??

?

??ππ2,23，所以cos

(α+β)=.1312)(sin

12=+-βα

所以sin

2α=sin

[(α+β)+(α-β)]=sin

(α+β)cos

(α-β)+cos

(α+β)sin

(α-β)=169

120,cos

2β=cos

[(α+β)-(α-β)]=cos

(α+β)cos

(α-β)+sin

(α+β)sin

(α-β)=-1.例8

已知△ABC的三个内角A，B，C

成等差数列，且B

C

A

cos

2cos

1cos

1-=+，试求2

cos

C

A

-的值。

【解】

因为A

=1200-C，所以cos

C

A

-=cos

(600-C)，又由于)

120cos(cos

cos)120cos(cos

1)120cos(1cos

1cos

00C

C

C

C

C

C

C

A

-+-=+-=+

=

222

1)2120cos()

60cos(2)]2120cos(120[cos

21)60cos(60cos

2000000-=---=-+-C

C

C

C，所以232

cos

22cos

242--+-C

A

C

A

=0。解得222cos

=-C

A

或8232cos

-=-C

A。

又2

cos

C

A

->0，所以222cos

=-C

A。

例9

求证：tan

20?+4cos

70?

【解】

tan

20?+4cos

70?=??20cos

20sin

+4sin

20?

?

??+=+=20cos

40sin

220sin

20cos

20cos

20sin

420sin

?

???+=++=20

cos

40sin

10cos

30sin

220cos

40sin

40sin

20sin

.320cos

20cos

60sin

220cos

40sin

80sin

==+=?

?

例10

证明：7

cos77cos521cos335cos

64cos

x

x

x

x

x

+++=

分析：等号左边涉及角7x、5x、3x、x

右边仅涉及角x，可将左边各项逐步转化为x

sin、x

cos的表达式，但相对较繁.观察到右边的次数较高，可尝试降次.证明：因为,cos

33cos

cos

4,cos

3cos

43cos

x

x

x

x

x

x

+=-=所以

从而有x

x

x

x

x

226cos

9cos

3cos

63cos

cos

16++=

=)2cos

1(2

9)2cos

4(cos

326cos

1x

x

x

x

+++++

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

cos

20cos

2cos

30cos

4cos

12cos

6cos

2cos

64,2cos

992cos

64cos

66cos

1cos

327

6+++=+++++=

.cos

353cos

215cos

77cos

cos

20cos

153cos

153cos

65cos

65cos

7cos

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+++=++++++=

评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷.另本题也可利用复数求解.令

77)1

(cos

128，1cos

2,sin

cos

z

z

z

z

i

z

+=+=+=αααα从而则，展开即可.例11

已知.20012tan

2sec

:,2001tan

1tan

1=+=-+αααα求证

证明：)4tan()22

sin()22cos(12cos

2sin

12tan

2sec

απαπαπ

αααα+=++-=+=+.2001tan

1tan

1=-+=αα.2001tan

1tan

1=-+=

αα

例12

证明：对任一自然数n

及任意实数m

n

k

m

x

k，,2,1,0(2

=≠

π为任一整数），有

.2cot

cot

2sin

14sin

12sin

1x

x

x

x

x

n

n

-=+++

思路分析：本题左边为n

项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多

中间项.证明：,2cot

cot

2sin

2cos

cos

sin

2cos

22sin

2cos

cos

22sin

122x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

-=-=-=

同理

x

x

x

4cot

2cot

4sin

1-=

……

x

x

x

n

n

n

2cot

2cot

2sin

11-=-

评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：

n

n

n

n

-=

-+++α

α

ααααααtan

tan

tan)1tan(3tan

2tan

2tan

tan

.1cot

1cos

cos

88cos

12cos

1cos

11cos

0cos

1.2cot

2cot

2tan

22tan

22tan

2tan

1122=+++-=++++++ααααααn

n

n

n

例13

设ABC

?的内角A

B

C，所对的边，a

b

c

成等比数列，则

sin

cot

cos

sin

cot

cos

A

C

A

B

C

B

++的取值范围是（）

A.(0,)+∞

B.C.D.)+∞

[解]

设，a

b

c的公比为q，则2,b

aq

c

aq

==，而sin

cot

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cot

cos

sin

cos

cos

sin

A

C

A

A

C

A

C

B

C

B

B

C

B

C

++=

++

sin()sin()sin

sin()sin()sin

A

C

B

B

b

q

B

C

A

A

a

ππ+-=

====+-．

因此，只需求q的取值范围．

因，a

b

c

成等比数列，最大边只能是a

或c，因此，a

b

c

要构成三角形的三边，必需且只需a

b

c

+>且

b

c

a

+>．即有不等式组

22,a

aq

aq

aq

aq

a

?+>??+>??即22

10,10.q

q

q

q

?--解得q

q

q

q，因此所求的取值范围是．故选C

例14

△ABC

内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1、B1、C

1，则C

B

A

C

CC

B

BB

A

AA

sin

sin

sin

2cos

2cos

2cos

111++?+?+?的值为（）

A

．2

B

．4

C

．6

D

．8

解：如图，连BA

1，则AA

1=2sin(B+)2

2cos(2)222sin(2)2C

B

C

B

C

B

A

A

-=-+++=)2

cos(2cos

2cos

2cos)22cos(22cos

1C

B

C

A

C

B

A

A

C

B

A

AA

-=-++-+=-=∴π,sin

sin)2cos(B

C

B

+=-+π

同理,sin

sin

2cos

1C

A

B

BB

+=,sin

sin

cos

1B

A

C

CC

+=),sin

sin

(sin

22cos

2cos

2cos

111C

B

A

C

CC

B

BB

A

AA

++=++∴原式=.2sin

sin

sin)

sin

sin

(sin

2=++++C

B

A

C

B

A

选A.例15

若对所有实数x，均有sin

sin

cos

cos

cos

2k

k

k

x

kx

x

kx

x

?+?=，则k

=（）.A、6；

B、5；

C、4；

D、3．

解：记()s

i

n

s

i

n

c

o

s

c

o

s

c

o

s

k

k

k

f

x

x

k

x

x

k

x

x

=?+?

-，则由条件，()f

x

恒为0，取2

x

π

=，得

()s

i

n

12k

k

π=-，则k

为奇数，设21k

n

=-，上式成为sin

12n

ππ?

?-=-

???，因此n

为偶数，令2n

m

=，则

41k

m

=-，故选择支中只有3k

=满足题意．故选D

例16

已知()()

2222212f

x

x

a

b

x

a

ab

b

=++-++-是偶函数，则函数图象与y

轴交点的纵坐标的最大值是

A

B.2

C.解：由已知条件可知，2

10a

b

+-=，函数图象与y

轴交点的纵坐标为2

2a

ab

b

+-。令,s

cos

in

b

a

θθ==，则2222

2sin

cos

sin

cos

2sin

2c

s

2o

a

ab

b

θθθθθθ+=+=--+≤

选

A。

例17

已知,R

αβ∈，直线

1sin

sin

sin

cos

x

y

αβαβ+=++与1cos

sin

cos

cos

x

y

αβαβ

+=++的交点在直线y

x

=-上，则cos

sin

c

in

s

s

o

ααββ+++=。

解：由已知可知，可设两直线的交点为00(,)x

x

-，且,in

s

s

co

αα为方程

00

1sin

cos

x

x

t

t

ββ

-+=++，的两个根，即为方程2

0sin

c

(cos)sin

os

(cos)i

0s

n

t

t

x

ββββββ-++-=+的两个根。

因此cos

(sin

sin

cos)ααββ+=-+，即cos

sin

c

in

s

s

o

ααββ+++=0。

1、＝。

2、已知函数)45

41(2)cos()sin()(≤≤+-=

x

x

πx

πx

x

f，则f

(x)的最小值为_____。

3、已知

3sin)2sin(=+αβα，且),(2,21Z

k

n

n

k

∈+≠+≠π

πβαπβ。则

ββαtan)tan(+的值是_

__.4、设函数f

(x)=3sin

x

+2cos

x

+1。若实数a、b、c

使得af

(x)+bf

(x

?c)=1对任意实数x

恒成立，则a

c

b

cos

=

5、设0)cos

1(2

θθ

+的最大值。

6、求证：.112tan

312tan

18tan

18tan

3=++

7、已知a

0=1,a

n

n

-(n

∈N

+)，求证：a

n

2+n

π

.8、已知.cos

sin)tan(:,1||),sin(sin

A

A

A

-=+>+=ββ

βαβαα求证

9、若A，B，C

为△ABC

三个内角，试求s

inA

+s

inB

+s

inC的最大值。

10、证明：.2

sin

21sin)2sin()sin()2sin()sin(sin

β

ββαβαβαβαα++

=

+++++++n

n

n11、已知α，β为锐角，且x

·（α+β-2π）>0，求证：.2sin

cos

sin

cos

?

??+?

??x

x

αββα

12、求证：①16

78cos

66cos

42cos

6cos

=

②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.10641(45?

全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式

实战演练答案

1、解：根据题意要求，2

605x

x

+≥+，2

0571x

x

+≤+≤。于是有2

715x

x

+=+。因此

cos01==。因此答案为

1。

2、解：实际上)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x

x

π

πx

x

f，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x

ππx

x

g，则g

(x)≥0，g

(x)在]43,41[上是增函数，在]4

5,43[上是减函数，且y

=g

(x)的图像关于直线43=x

对称，则对任意]43,41[1∈x，存在]45,43[2∈x，使g

(x

2)=g

(x

1)。于是)(2)(2)(2)()(22

212111x

f

x

x

g

x

x

g

x

x

g

x

f

=+≥+=+=，而f

(x)在]45,43[上是减

函数，所以554)4

()(=

≥f

x

f，即f

(x)在]4

5,41[上的最小值是554。

3、解：

.213131sin)2sin(1sin)2sin(]sin)2[sin(21]

sin)2[sin(21

sin)cos(cos)sin(tan)tan(=-+=-+++=-+++=?+?+=+α

βααβααβααβαβββαββαb

a4、解：令c=π，则对任意的x

∈R，都有f

(x)+f

(x

?c)=2，于是取2

==b

a，c=π，则对任意的x

∈R，af

(x)+bf

(x

?c)=1，由此得1cos

-=a

c

b。

一般地，由题设可得1)sin(13)(++=?x

x

f，1)sin(13)(+-+=-c

x

c

x

f

?，其中20π2

tan

=?，于是af

(x)+bf

(x

?c)=1可化为1)sin(13)sin(13=++-+++b

a

c

x

b

x

a

??，即

0)1()cos(sin

13cos)sin(13)sin(13=-+++-+++b

a

x

c

b

c

x

b

x

a

???，所以0)1()cos(sin

13)sin()cos

(13=-+++-++b

a

x

c

b

x

c

b

a

??。

由已知条件，上式对任意x

∈R

恒成立，故必有??

?

??=-+==+)3(01)2(0

sin)1(0cos

b

a

c

b

c

b

a，若b

=0，则由(1)知a

=0，显然不满足(3)式，故b

≠0。所以，由(2)知sin

c

=0，故c=2k

π+π或c=2k

π(k

∈Z)。当

c=2k

π时，cos

c

=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2k

π+π(k

∈Z)，cos

c

=?1。由(1)、(3)知21

=

=b

a，所以1cos

-=a

c

b。

5、【解】因为020π

θ，所以s

in

2θ>0,co

s

θ>0.所以s

in

2θ（1+co

s

θ）=2s

in

2θ·co

s

θ

=2cos

2cos

2sin

22222θθ

θ???

≤3

22232cos

2cos

2sin

22??

???

?

?θθθ=.9342716=

当且仅当2s

in

2θ=co

s

22θ,即tan

2θ=22,θ=2a

r

ctan

22时，s

in

θ

(1+co

s

θ)取得最大值934。

6、思路分析：等式左边同时出现

12tan

18tan、12tan

18tan

+，联想到公式β

αβ

αβαtan

tan

1tan

tan)tan(-+=+.证明：

12tan

312tan

18tan

18tan

3++

112tan

18tan)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

112tan

18tan)12tan

18tan

1)(1218tan(312tan

18tan)12tan

18(tan

3=+-+?=++=

18tan(3

t

18(tan

3=+?=+=

评述：本题方法具有一定的普遍性.仿此可证)43tan

1()2tan

1)(1tan

1（+++22

2)44tan

1(=+

等.7、【证明】

由题设知a

n

>0，令a

n

=tana

n,a

n

∈??

?

??2,0π，则a

n

=

.tan

2tan

sin

cos

1tan

1sec

tan

1tan

1111

12n

n

n

n

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

==-=-=

-+-------

因为21-n

a，a

n

∈???

??2,0π，所以a

n

=121-n

a，所以a

n

=.210a

n

??

?

??

又因为a

0=tana

1=1，所以a

0=4π，所以n

n

a

??

?

??=21·4π。

又因为当0时，tanx

>x，所以.2

2tan

22++>=n

n

n

a

ππ

注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x

∈??

?

??2,0π时，有tanx

>x

>s

inx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。

8、分析：条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A

”入手.证法1：),sin(sin

βαα+=A),sin()sin(βαββα+=-+∴A),cos(sin))(cos

sin(),sin(sin)cos(cos)sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A

A

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而

cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而

.cos

sin)tan(,0)cos(,0cos,1||A

A

A

-=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而

证法2：αβαβββαβααββββsin)sin(cos

sin)sin()sin(sin

cos

sin

sin

sin

-++=+-=-A).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαβ

βαββαβαβββα+=++=-+-++=).tan(sin)cos(sin)sin(])sin[()sin(cos

sin)sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=

9、【解】

因为s

inA

+s

inB

=2s

in

2B

A

+co

s

2sin

22B

A

B

A

+≤-,①

s

inC

+s

in

3sin

3cos

3sin

π

π

π

π

+≤-+=C

C

C,②

又因为3

sin

3cos

43sin

3sin

sin

ππ

π

π

≤-

-++

++=+++C

B

A

C

B

A

C

B

A，③

由①，②，③得s

inA

+s

inB

+s

inC

+s

in

3π≤4s

in

π,所以s

inA

+s

inB

+s

inC

≤3s

in

3π=233,当A

=B

=C

=3

π

时，（s

inA

+s

inB

+s

inC）m

ax

=233.注：三角函数的有界性、|s

inx

|≤1、|co

s

x

|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调

性等是解三角最值的常用手段。

10、证明：)],2

cos()2[cos(212sin

sin

βαβαβ

α--+-=)]sin()2sin()sin([sin

sin，)]2

2cos()212[cos(212sin)sin(,)]2

cos()25[cos(212sin)2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(βαβαβααβ

βαβαββαβαβαββαβ

αβαβ

βαn

n

n

n

+++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+

各项相加得类似地

.2

sin)2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n

n

n

.2

1sin)2sin()]

2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--+

+-=n

n

n

所以，.2

sin

sin)2sin()sin()sin(sin

βββαβαβαα++=+++++n

n

n

评述：①类似地，有.2

sin)2cos(21sin)cos()cos(cos

β

βαββαβααn

n

n

++=

+++++

②利用上述公式可快速证明下列各式：2sin

cos

2sin

cos

3cos

2cos

cos

θ

θθθθθθ+=++++n

n

n

.21

97cos

95cos

93cos

9cos

.2

75cos

73cos

9cos

等=+++=++ππ

πππππ.2197cos

95cos

93cos

9cos

.2

175cos

73cos

cos

等=+++=++πππππππ

11、【证明】

若α+β>2π，则x

>0，由α>2π-β>0得co

s

απ-β)=s

in

β,所以0又s

in

α>s

in

(2π-β)=co

s

β,所以0β

sin

cos

0,所以βαsin

cos

>1。

又0β

sin

cos

>1，所以2sin

cos

sin

cos

sin

cos

sin

cos

0

=???

?

?+?

??x，得证。

注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。

12、证明：①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°

54cos

78cos

42cos

?

.16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16154cos

4)183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?==

.16

154cos

4)

183cos(4154cos

478cos

42cos

18cos

=?=

=

②sin1°sin2°sin3°…sin89°

=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°

=4

387sin

6sin

3sin)41(29?

60sin

30sin)87sin

33sin

27(sin)66sin

54sin

6)(sin

63sin

57sin

3(sin

3)4

(30=

45)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

45sin)54sin

36)(sin

63sin

27)(sin

72sin

18)(sin

18sin

9(sin

3)41(81

sin

18sin

9sin

3)41(4040???=??=

又)72cos

1)(36cos

1(41)36sin

18(cos

-+=

165)72cos

36cos

1(4

1)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4

1)72cos

36cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

165)72cos

36cos

1(4136cos

72cos

36cos

1(41=+=--+=

即

.45

36sin

18cos

=

所以

.106)4

(89sin

2sin

1sin

45?=

36sin

18cos

3)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)41(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

18sin

36cos

18cos

223)41(54cos

72cos

36cos

18cos

223)41(18cos

36cos

54cos

72cos

223)41(72sin

54sin

36sin

18sin

223)4(434342424242?=?=?=?=?=?=

36sin

18cos

223)41(54cos

72sin

223)41(54cos

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