新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)（范文）

第一篇：新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)（范文）

基本不等式

知识点：

1.(1)若a,bR，则ab2ab

ab时取“=”）22(2)若a,bR，则abab222（当且仅当

2.(1)若a,bR*，则

ab时取“=”）ab2(2)若a,bR，则ab2ab *ab（当且仅当

ab(3)若a,bR，则ab）(当且仅当ab时取“=”

2*

23.若x0，则x

若x0，则x1x

1x）2(当且仅当x1时取“=”2(当且仅当x1时取“=”）

若x0，则x12即x12或x1-2(当且仅当ab时取“=”）

xxx

4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）若ab0，则

ba

a

b2即a

bb

a2或

2ab2ba（）-2当且仅当ab时取“=”5.若a,bR，则（注意： ab2)2ab2（当且仅当ab时取“=”）

(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

12x 21（2）y＝x＋ x

解：(1)y＝3x 2＋1

2x 2 ≥23x 2·12x 2＝6∴值域为[6，+∞）

1(2)当x＞0时，y＝x ≥2x1x·＝2； x

当x＜0时，y＝x＋= －（－ x－）≤－

2xx∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x

54x·=－2 x，求函数y

4x2

14x5的最大值。

解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)要进行拆、凑项，x

54,54x0，y4x2

4x5

不是常数，所以对4x

21

54x

4x554x

231 

3

当且仅当54x

154x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。

技巧二：凑系数 例： 当时，求yx(82x)的最大值。解析：由

知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将

yx

(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x

技巧三： 分离 技巧四：换元 例：求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。y

(t1)7(t1）+10

t

=

t5t4

t

t4t

5

当,即t=时,y59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

例：求函数y的值域。

t（t2)，则y

1t

1t

t

1t

(t2)

因t0,t1，但t因为yt

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y

5

。

所以，所求函数的值域为,。

2

技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。例：已知x0,y0，且

1x9y

1x

1，求xy的最小值。

9y

1x

9

xyy

12故

错．解．：x0,y0，且

1，xy



xymin

12。

等号成立条件

是xy，在错因：解法中

两次连用均值不等式，在xy1x

9y

1x



9y

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

19y9x正解：x0,y0,191，xyxy1061016

xy

xy

xy

当且仅当技巧七

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12时，xymin16。

例：已知x，y为正实数，且x ＝1，求1＋y 2 的最大值.2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

221＋y中y前面的系数为，x

y 2

a 2＋b 2。

1＋y 22· ＝2

同时还应化简1＋y 2 ＝x

x·

1y 2

＋22

1y 2

＋分别看成两个因式： 22x 2＋（1y 2

＋)22222

x 2＋ ＝

y 22＋

下面将x，x·

1y 2

＋ ≤22

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

1y 23＋≤224技巧八：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝8

∴ ab≤18∴ y≥

118

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。ab

－2t 2＋34t－31

1616

＝－2（t＋）＋34∵t＋ ≥2

t·

30－2b

tttt

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥2令u＝ab则u2＋22 u－30≤0，－5∴≤u≤3

ab≤32，ab≤18，∴y≥

ab2

ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；②



点评：①本题考查不等式





如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到

ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

2ab（a,bR），这样将已知条件转换



为含ab的不等式，进而解得ab的范围

.技巧

九、取平方

例:

求函数y



12x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y

44(2x

1)(52x)8

又y0，所以0y当且仅当2x1=52x，即x

时取等号。故ymax。

应用二：利用均值不等式证明不等式

例：已知a、b、cR，且

abc1。求证：



111

1118 abc

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111abc，可由此变形入手。

a

a

a

a

解：a、b、cR，abc1。



1a

1

1aa



bca



a

。同理

1b

1

b，1c

1

c

1111。当且仅当时取等号。abc1118

3abcabc

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

解：令xyk,x0,y0,10k

3k

1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



9xky

1

12

。k16，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若

ab1,P

lgalgb,Q

(lgalgb),Rlg（ab2)，则P,Q,R的大小关系

是.分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0

Q

（lgalgb)

ab2)lg

lgalgbp

lgabQ∴R>Q>P。

Rlg(ab

第二篇：高中数学不等式典型例题解析

高中数学不等式典型例题解析

高中数学辅导网http://www.xiexiebang.com/

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

不等式

一．不等式的性质：

1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：[同向相加，异向相减] 若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；

2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；[同向相乘，异向相除]

3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若

bn或

4．若

；若

1a，则，则，则

1b

。如

（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若则； ④若

； ②若则 ⑤若

则则

； ③若

则

；

； ⑥若

a

⑦若

则；

则

； ⑧若

1a

1b，则。

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知

（答：

ca 的取值范围是______

（答：），）；（3）已知，则，且的取值范围是______

则

二．不等式大小比较的常用方法：

1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；

5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ；

8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

（1）设

a 的大小

（答：当

时，且，比较logat和log

（时取等号）；当

时，京翰教育http://www.xiexiebang.com/

（时取等号））；

（2）设，，试比较p,q的大小

（答：）；

（3）比较1+logx3与且或

2logx2；当

时，1+logx3＞2logx2；当的大小（答：当

时，1+logx3＜

时，1+logx3＝2logx2）

三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积

最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是 A、1x 的最小值是2 2

4x4x

0)的最大值是

0)的最小值是、C、（答：C）；

（2）若，则的最小值是______、（答：）；

（3）正数x,y满足，则 的最小值为______

（答：）；

4.常用不等式有：（1

(根据目标不等式左右 的运算结构选用)；（2）a、b、，且仅当时，取等号）；（3）若

b

a

如果正数a、b满足，则ab，则

（当

（糖水的浓度问题）。如

的取值范围是_________

（答：）

五．证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：

作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：

n

1n

如（1）已知，求证：

(2)已知，求证：（3）已知，且(4)若，求证：

；； ；

a、b、c

是不全相等的正数，求证：

lg

lg

ca

； 2

（5）已知，求证：若

1已知，求证：（8）求证：

n；

1n

；(6)

。

六．简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次

因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如

（1）解不等式

（答：

（2）

不等式

（答：的解集是____ 或）； 的解集为的解集为

或）。

（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且，的解集为，则不等式______

（答：）；（4）要使满足关于x的不等式（解集非空）的每一个x的值

和x

中的一个，则实数a的至少满足不等式取值范围是______.（答：[7，818)）

七．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通

分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如

（1）解不等式

2）； 的解集为，则关于x的不等式

（答：

（2）关于x的不等式 的解集为____________）.（答：

八．绝对值不等式的解法：

1．分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式

|

（答：）；

（2）利用绝对值的定义；

（3）数形结合；如解不等式

（答：

（4）两边平方：如

若不等式______。

（答：{）

九．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是„”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如

（1）若loga，则a

对

恒成立，则实数a的取值范围为）的取值范围是__________

（答：或

（2）解不等式

ax）；

1a

1a

或）时，时，（答：

}；

时，{x|或

；

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）

不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为

__________（答：（－1,2））

十一．含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有号或有

； a、b异

如设，实数a满足，求证：

十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方

式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题

若不等式

若不等式

在区间D上恒成立,则等价于在区间D上如（1）设实数x,y满足，当时，c的取值范围是______）（答：；（2）不等式）；

在区间D上恒成立,则等价于在区间D上

对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_____（答：

（3）若不等式取值

对满足的所有m都成立，则x的范围_____

（答：（（4）若不等式

n

，））；

对于任意正整数n恒成立，则实数a的取

值范围是_____

（答：）；

（5）若不等式对求m的 取值范围.（答：）

2).能成立问题

若在区间D上存在实数x使不等式上

；

若在区间D上存在实数x使不等式上的如

已知不等式范围____

（答：）

3).恰成立问题

若不等式在区间D上恰成立, 解集为D； 的所有实数x都成立，成立,则等价于在区间D

成立,则等价于在区间D

则等价于不等式的若不等式解集为D.在区间D上恰成立, 则等价于不等式的在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值

第三篇：不等式证明的基本方法 经典例题透析

经典例题透析

类型一：比较法证明不等式

1、用作差比较法证明下列不等式：

；

(a，b均为正数，且a≠b)

（1）

（2）

思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。

证明：

（1）

当且仅当a=b=c时等号成立，（2）

（当且仅当a=b=c取等号）.∵a>0, b>0, a≠b，∴a+b>0,(a-b)2>0，∴

∴

.，总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。

举一反三：

【变式1】证明下列不等式：

(1)a2+b2+2≥2(a+b)

(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)

(3)a2+b2≥ab+a+b-1

【答案】

（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0

∴a2+b2+2≥2(a+b)（2）证法同（1）

（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0

∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1

【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2

【答案】

ax2+by2-(ax+by)2

=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)2

2、用作商比较法证明下列不等式：

(a，b均为正实数，且a≠b)，且a，b，c互不相等）

（1）

（2）（a，b，c∈

证明：

（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.∴，∵a, b为不等正数，∴

∴，∴

（2）证明：

不妨设a>b>c，则

∴

所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简.作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。

举一反三：

【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b2，b>2

∴

∴

∴

【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabb≥abba

【答案】

∵a>0, b>0, ∴ aabb与abba均为正，∴，分类讨论可知（分a>b>0, a=b>0, 0

，当且仅当a=b等号成立，∴ aabb≥abba.类型二：综合法证明不等式

3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 证明：

法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc

∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：∵a，b，c是不全相等的正数，∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)

∴不等式成立.总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。

举一反三：

【变式1】a , b, m∈R+，且a

【答案】

∵00, ∴am0, ∴.【变式2】求证lg9·lg11<1.【答案】

∵lg9>0, lg11>0，∴

∴ , ∴lg9·lg11<1.，4、若a>b>0，求证：.思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.证明：，∵ a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ，∴ ，∴

举一反三：

（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）

【变式】x, y,z∈R+, 求证：

证明：∵ x, y,z∈R+,∴ ，同理，∴ ，∴，a2-2ac+c2

5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：

证明：要证

只需证：

即证：

∵a>0，只需证a+b<2c

∵已知上式成立，∴原不等式成立。

总结升华：

1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的

问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。

2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。

3．基本思路：执果索因

4.格式：要证„„，只需证„„，只需证„„，因为„„成立，所以原不等式得证。

举一反三：

【变式1】求证：a3+b3>a2b+ab2(a，b均为正数，且a≠b)

【答案】

要证a3+b3>a2b+ab2，即证(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b)

∵a，b∈

，∴a+b>0 只需证a2+b2-ab≥ab，只需证a2+b2≥2ab 只需证(a-b)2≥0，∵(a-b)2≥0显然成立 所以原不等式成立。

【变式2】a , b, m∈R+，且a

【答案】

∵ b>0且b+m>0，.∴，∴

成立

∴.【变式3】求证：

【答案】

要证

只需证，而，只需证，只需证，显然成立，所以原不等式得证。

【变式4】若a>1，b>1，c>1，ab=10求证：logac+logbc≥4lgc

【答案】

要证logac+logbc≥4lgc，只需证

只需证，只需证

∵，∴成立

所以原不等式成立

【变式5】设x>0，y>0，x≠y，求证：

证明：要证

只需证，只需证

只需证

因x>0，y>0，x≠y，所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0成立

所以

类型四：反证法证明不等式

6、已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一个不大于。

思路点拨：此题目若直接证，从何处入手？对于这样正面情况较为复杂的问题，可以考虑使用反证法。

证明：假设原结论不成立，即，则三式相乘有：„„①

又∵0

总结升华：反证法的基本思路是：“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于

”，情况比较复杂，会出现多个由异向不等式组

”，结构简单明了，成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。

举一反三：

【变式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

【答案】

假设a≤0

若a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，则b+c>-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0，与题设矛盾

若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0

类型五：放缩法证明不等式

7、若a,b,c,dR+，求证：

思路点拨：记中间4个分式之和的值为m，显然，通过通分求出m的值再与1、2比大小是困难的，可考虑运用放缩法把异分母化成同分母。

证明：记

∵a,b,c,dR+，∴

∴1

总结升华：证后半部分，还可用“糖水公式”，即

常用的放缩技巧主要有：

① f(x)为增函数，则f(x-1)

进行放缩。

② 分式放缩如

③ 根式放缩如

举一反三：

；

【变式1】求证：

【答案】

∴

【变式2】 当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1

【答案】

∵n>2，∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴

∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1

类型六：其他证明不等式的方法

1.构造函数法

8、已知a>2，b>2，求证：a+b

当a>2时，f(a)

∴a+b

总结升华：不等式证明方法很灵活。分析不等式的结构特点，构造函数，借助函数单调性，使问题变得非常简单。

举一反三：

【变式】已知a≥3，求证：

【答案】。

令（x≥0).∵f(x)在x∈[0,+∞)上是递减函数，∴f(a-1)

2、三角换元法：

9、求证： [0,π]，证明：∵-1≤x≤1，∴令x=cos, 则

∵-1≤sin≤1，10、若x2+y2≤1，求证：

证明：设

则

11、若x>1，y>1，求证：

证明：设

则

12、已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：

证明：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设

则

总结升华：

①若0≤x≤1，则可令

②若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

③若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

④若x≥1，则可令，若xR，则可令

举一反三：

【变式1】已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd

【答案】

∵x2=a2+b2，∴不妨设

∵y2=c2+d2，∴不妨设

∴

∴xy≥ac+bd

【变式2】已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：

【答案】

由x>0,y>0，2x+y=1，可设

则

类型六：一题多证

13、若a>0，b>0，求证：

思路点拨：由于a>0，b>0，所以求证的不等式两边的值都大于零，本题用作差法，作商法和综合法，分析法给出证明。

证明：

证法一：作差法

∵a,b>0，∴a+b>0,ab>0

∴

证法二：作商法，得证。

∵a>0,b>0,∴a+b>0，∴得证。

证法三：分析法

要证，只需证a3+b3≥(a+b)ab

只需证(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)ab(∵a+b>0)

只需证a2-ab+b2≥ab

只需证(a-b)2≥0

∵(a-b)2≥0成立，∴得证 证法四：综合法

∵a>0,b>0，∴同向不等式相加得：

举一反三：

【变式】已知

【答案】

证法一：

都是实数，且求证：，同理

证法二： 即

.证法三：

要证

所以原不等式成立.证法四：

原不等式等价于不等式

用比较法证明

且

，只需证

只需证

又

所以

证法五：

设

则

即

故可考虑用三角换元法.证法六：

用向量的数量积来证明

设，

第四篇：必修五基本不等式 知识点

第三章:不等式、不等式解法、线性规划

1.不等式的基本概念

不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.2.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）

（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cd11ab（异向不等式相除）(10)ab,ab0（倒数关系）abcd

（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）

（12）ab0ab(nZ,且n1)（开方法则）

练习：（1）对于实数a,b,c中，给出下列命题：

①若ab,则acbc；②若acbc,则ab；

③若ab0,则aabb；④若ab0,则

⑤若ab0,则22222211； abba；⑥若ab0,则ab； ab

ab11⑦若cab0,则；⑧若ab,，则a0,b0。cacbab

其中正确的命题是______

（答：②③⑥⑦⑧）；

（2）已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______

（答：13xy7）；

（3）已知abc，且abc0,则

3.几个重要不等式

（1）若aR,则|a|0,a20

（2）若a、bR,则ab2ab(或ab2|ab|2ab)（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么

c1的取值范围是______（答：2,）2a2222ab.（当仅当a=b时取等号）2极值定理：若x,yR,xyS,xyP,则：

1如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；○

2如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.○

利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.(4)若a、b、cR,则abca=b=c时取等号）

3ba(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）ab

(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b|

4.几个著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么

ab（当仅当a=b时取等号）2ab

即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

2ab2a2b2ab2a2b2))ab）特别地，ab(（当a = b时，(2222

a2b2c2abc(a,b,cR,abc时取等)33

222幂平均不等式：a1a2...an21(a1a2...an)2 n

注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).1111111常用不等式的放缩法：①2(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n

n1)

（2）柯西不等式： 若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;则

2222222（a1b1a2b2a3b3anbn)2(a1a2a3an)(b12b2b3bn)aaaa当且仅当123n时取等号b1b2b3bn

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1x2),有

x1x2f(x1)f(x2)xxf(x1)f(x2))或f(12).222

2则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法 f（（1）整式不等式的解法（一元一次不等式、一元二次不等式、一元高次不等式）根轴法：

步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶回），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；

2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.a0x1x20x1x2 a000

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

f(x)g(x)0 f(x)f(x)0f(x)g(x)0;0g(x)g(x)g(x)0

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

1f(x)0定义域 g(x)0f(x)g(x)

f(x)0f(x)0或g(x)02f(x)[g(x)] ○2f(x)g(x)g(x)0

f(x)03f(x)g(x) ○g(x)02f(x)[g(x)]

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);

（5）对数不等式：转化为代数不等式 af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;

f(x)g(x)f(x)0 logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)

（6）含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x) g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同时为0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

7、线性规划

（1）线性目标函数问题

当目标函数是线性关系式如zaxbyc（b0）时，可把目标函数变形为

azczc，则可看作在在y轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题yxbbb的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：

1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.（2）非线性目标函数问题的解法

当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：

比值问题：当目标函数形如zya时,可把z看作是动点P(x,y)与定点Q(b,a)连线xb

22的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。距离问题：当目标函数形如z(xa)(yb)时,可把z看作是动点P(x,y)与定点

Q(a,b)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。

x+y02截距问题：例 不等式组xy0表示的平面区域面积为81，则xy的最小值为_____

xa

x4y30,OPOA的向量问题：例已知点P的坐标（x，y）满足：3x5y25,及A（2，0），则OAx10.

最大值是.

第五篇：1证明二 详细知识点+例题+习题

学大教育（佛山）个性化学习中心

Foshan Xueda Education Individualized learning center

个性化教学辅导教案

关注成长每一天咨询热线：0757-88018866 1

关注成长每一天咨询热线：0757-88018866

关注成长每一天咨询热线：0757-88018866

关注成长每一天咨询热线：0757-88018866

关注成长每一天咨询热线：0757-88018866