分数乘除法速算巧算
教学目标
分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。
分数基本运算的常考题型有
（1）
分数的四则混合运算
（2）
分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择
（3）
复杂分数的化简
（4）
繁分数的计算
知识点拨
分数与小数混合运算的技巧
在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。
技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。
技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。
技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。
技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。
例题精讲
【例
1】的分母扩大到32，要使分数大小不变，分子应该为__________。
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛
【解析】
根据分数的基本性质：分母扩大倍数，要使分数大小不变，分子应该为扩大相同的倍数。分母扩大：（倍），分子为：。
【答案】
【巩固】
小虎是个粗心大意的孩子，在做一道除法算式时，把除数看成了来计算，算出的结果是120，这道算式的正确答案是__________。
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】
根据题意可知，被除数为，所以正确的答案为。
【答案】
【例
2】
将下列算式的计算结果写成带分数：
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式===×59=59-=58
【答案】
【例
3】
计算
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯，1试
【解析】
【答案】
【巩固】
计算
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯，2试
【解析】
【答案】
【例
4】
计算
【考点】分数乘除法
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【例
5】
计算
÷÷
【考点】分数乘除法
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
÷÷
【答案】
【例
6】
计算：
=_____
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】
原式
【答案】
【例
7】
计算
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【解析】
原式=
【答案】
【巩固】
计算
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】2007年，希望杯，1试
【解析】
【答案】
【例
8】
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【解析】
本题考察学生对带分数的灵活转化及四则运算定律的准确理解
本题非常容易出现的一种错误解法是：
也就是学生会惯性的理解为除法具有除法分配率！正确的解法如下：
【答案】
【巩固】
．
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【解析】
原式．
【答案】
【巩固】
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】2008年，清华附中考题
【解析】
原式．
【答案】
【例
9】
计算
【考点】分数乘除法
【难度】3星
【题型】填空
【解析】
本题用是重复数字的拆分和分数计算的综合，例如：，原式
【答案】
【例
10】
一根铁丝，第一次剪去了全长的，第二次剪去所剩铁丝的，第三次剪去所剩铁丝的，第次剪去所剩铁丝的，这时量得所剩铁丝为米，那么原来的铁丝长
米。
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】中环杯，六年级，初赛
【解析】
第次剪去后剩下的铁丝为(米)，第次剪去后剩下的铁丝长为，依次可以得出，原来的铁丝长为（米）。
【答案】
【巩固】
2008减去它的，再减去所得差的，……，依此类推，直到减去上次所得差的．最后的数是___________．
【考点】分数乘除法
【难度】2星
【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛
【解析】
2008减去后变为了原来的，再减去所得差的则变成了原来的，依次类推，最后所得的数为。
【答案】
分数的四则混合运算综合教学目标
分数是小学阶段的关键知识点，在小学的学习有分水岭一样的阶段性标志，许多难题也是从分数的学习开始遇到的。
分数基本运算的常考题型有
（5）
分数的四则混合运算
（6）
分数与小数混合运算，分化小与小化分的选择
（7）
复杂分数的化简
（8）
繁分数的计算
知识点拨
分数与小数混合运算的技巧
在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。
技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。
技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。
技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。
技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的变，把这些常用的数互化数表化对学习非常重要。
例题精讲
分数混合运算
【例
11】
0.30.8＋0.2＝
。（结果写成分数形式）
【考点】分数混合运算
【难度】1星
【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】
×+=+=。
【答案】
【例
12】
计算：
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
13】
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式
=16
【答案】
【例
14】
计算
【考点】分数混合运算
【难度】1星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
【解析】
原式
【答案】
【例
15】
．
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】清华附中
【解析】
观察发现如果将分成50与的和，那么50是除数的分子的整数倍，则恰好与除数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆．
原式
【答案】
【巩固】
．
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
观察发现如果将分成30与的和，那么30是除数的分子的整数倍，则恰好与除数相等．原式中其它两个被除数也可以进行同样的分拆．
原式
【答案】
【巩固】
．
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：。
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】
原式=2
【答案】
【巩固】
2006×2008×（）＝
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】2006年，希望杯，第四届，五年级，六年级，一试
【解析】
2006×2008×
+2006×2008×=+=2。
【答案】
【例
16】
计算
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：（）
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，决赛
【解析】
0.1
【答案】
【例
17】
计算
【考点】分数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式==
【答案】
【巩固】
【考点】分数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】小学数学夏令营
【解析】
【答案】
【巩固】
_______．
【考点】分数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
_______．
【考点】分数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，2试
【解析】
原式
【答案】
【例
18】
【考点】分数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
19】
计算：
【考点】分数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式()()
【答案】
【例
20】，其中（）应填
【考点】分数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】
右边，左式所以，（）。
【答案】
【例
21】
计算
【考点】分数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
【答案】
分数小数混合计算
【例
22】
计算
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式()()
()
()
【答案】
【巩固】
计算：．
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛
【解析】
原式．
【答案】
【例
23】
计算：
①
18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13
=
();②=
()。
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，一试
【解析】
10.695；1
【答案】10.695；1
【例
24】
请计算：
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
原式＝
【答案】
【巩固】
请将下面算式结果写成带分数：
【考点】分数小数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
原式
【答案】
【例
25】
计算
【考点】分数小数混合运算
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式=
【答案】
【巩固】
计算：.【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式.⑵原式
.【答案】
【例
26】
计算
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式=
【答案】
【巩固】
计算
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【例
27】
计算：的值为多少?
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】迎春杯
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算（1）
（2）
（3）
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
如果按照算式中的运算顺序进行运算，势必太麻烦.当我们观察出：，时，本题运用乘法的结合律、分配律可以很
快地算出结果.（1）原式
（2）原式()
（3）原式
【答案】（1）158000
（2）
（3）
【例
28】
计算：
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】迎春杯，决赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：()
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
()
【答案】
【巩固】
计算：
．
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】迎春杯，决赛
【解析】
原式
．
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】小学数学奥林匹克竞赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
⑴
【答案】
【例
29】
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
本题观察发现除以相当于乘以3.6则公因数就出来了
【答案】
【巩固】
计算
【考点】分数小数混合运算
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】希望杯，1试
【解析】
【答案】
繁分数计算与复杂分数化简
【例
30】
计算：________．
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，决赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式＝÷
【答案】
【例
31】
算式等于（）
A.3 B.2 C.1 D.0
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】2星
【题型】选择
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
原式＝＝＝2
【答案】
【例
32】
计算：
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，初赛
【解析】
原式=
【答案】
【例
33】
计算：=
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，五年级，决赛
【解析】
原式=
【答案】
【例
34】
设，其中a、b、c、d都是非零自然数，则a＋b＋c＋d＝___.【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】
∴a＋b＋c＋d＝2＋3＋5＋9＝19
【答案】
【例
35】
计算
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
36】
计算：
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
37】
计算
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式=
【答案】
【巩固】
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
38】
．
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，复赛
【解析】
原式
【答案】
【例
39】
计算：
．
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
观察发现分子和分母的项数相同，各有98项，且分子分母中对应项的分数的分母相同，进一步观察分子分母中相对应的数，可以发现分母中的数恰好都是分子中的数的2倍．于是，原式
【答案】
【例
40】
计算：
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】迎春杯，六年级，初赛
【解析】
原式
【答案】
【例
41】
计算：________
【考点】反分数计算与复杂分数化简
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
分数加减法速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。
知识点拨
一、基本运算律及公式
一、加法
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。即：a＋b＝b＋a
其中a，b各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。
即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
其中a，b，c各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。
二、减法
在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．
在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．
如：a＋（b－c）＝a＋b－c
a－（b＋c）＝a－b－c
a－（b－c）＝a－b＋c
在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
如：a＋b－c＝a＋（b－c）
a－b＋c＝a－（b－c）
a－b－c＝a－（b＋c）
二、加减法中的速算与巧算
速算巧算的核心思想和本质：凑整
常用的思想方法：
1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．
2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．
3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．
4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）
例题精讲
【例
1】
_____
【考点】分数约分
【难度】1星
【题型】计算
【关键词】希望杯，五年级，一试
【解析】
原式=
【答案】
【例
2】
如果，则________（4级）
【考点】分数约分
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】希望杯，六年级，一试
【解析】，所以A=2008.【答案】
模块一：分组凑整思想
【例
3】
【考点】分组凑整
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2；分母是3的和为3；……依次类推；分母是1995的和为1995.这样，此题简化成求的和.【答案】
【例
4】
【考点】分组凑整
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
观察可知分母是2分子和为1分母是3分子和为；分母是4分子和为；……依次类推；分母是20子和为.原式
【例
1】
分母为1996的所有最简分数之和是_________
【考点】分组凑整
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
因为1996=2×2×499。所以分母为1996的最简分数，分子不能是偶数，也不能是499的倍数，499与3×499。因此，分母为1996的所有最简真分数之和是
【答案】
【巩固】
所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。
【考点】分组凑整
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
小于30的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共十个，分母为17的真分数相加，和等于。
类似地，可以求出其它分母为质数的分数的和。因此，所求的和是
【答案】
模块二、位值原理
【例
5】
【考点】位值原理
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
6】
．
【考点】位值原理
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
【考点】位值原理
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
本题需要先拆分在分组，然后在做简单的等差数列求和
【答案】
【巩固】
_______
【考点】位值原理
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】走美杯，五年级，初赛
【解析】
原式
【答案】
分数裂项计算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
知识点拨
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即形式的，这里我们把较小的数写在前面，即，那么有
(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：，形式的，我们有：
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
（2）
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
例题精讲
【例
7】。
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】美国长岛，小学数学竞赛
【解析】
原式
提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：，计算过程就要变为：
．
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
8】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，……，原式
【答案】
【例
9】
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，六年级
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
10】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】101中学
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
_______
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】走美杯，初赛，六年级
【解析】
根据裂项性质进行拆分为：
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】6星
【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：＝
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】。
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
11】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，总决赛，二试
【解析】
原式
【答案】
【例
12】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】
原式
【答案】
【例
13】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】小数报，初赛
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：=。
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级，1试
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：
____。
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：，……，所以原式
【答案】
【巩固】
计算：
．
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】四中
【解析】
原式
【答案】
【例
14】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
首先分析出
原式
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式＝＋＋…+++…+
＝(－)＋(－)
＝＋＝＋
＝
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
＝＝－＝－
＝＝－＝－
＝＝－＝－……
＝＝－＝－
原式
【答案】
【例
15】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
16】
计算：
．
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第个数恰好为的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．
原式
也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为，所以，再将每一项的与分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】迎春杯，初赛，五年级
【解析】
本题的重点在于计算括号内的算式：．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．
观察可知，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以
所以原式．
（法二）
上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列的通项公式为，其中为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将与分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．，所以原式．
（法三）
本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：
所以原式．
（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：
（，3，……，9）
如果将分子分成和1，就是上面的法二；如果将分子分成和，就是上面的法一．
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：
原式
现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：，……
原式
【答案】
【例
17】
【考点】分数裂项
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
18】
【考点】分数裂项
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：
.【考点】分数裂项
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了．
原式
【答案】
【例
19】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式＝＋＋＋＋…＋
＝（）＋（）＋（）＋（）＝
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】，……，所以
原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】2星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
20】
.【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】仁华学校
【解析】
这题是利用平方差公式进行裂项：，原式
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】，……所以，原式
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：
．
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：
．
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】，，……由于，，可见原式
【答案】
【巩固】
计算：
．
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，……，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
原式
【答案】
【例
21】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中
【解析】
原式==
【答案】
【巩固】计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
22】
【考点】分数裂项
【难度】3星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【巩固】
【考点】分数裂项
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
原式=
=
=
=
=
=
【答案】
【例
23】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】5星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
24】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】4星
【题型】计算
【解析】
原式
【答案】
【例
25】
计算：
【考点】分数裂项
【难度】5星
【题型】计算
【解析】
所以原式
【答案】
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