高考不等式大盘点（写写帮推荐）

第一篇：高考不等式大盘点（写写帮推荐）

高考不等式大盘点

从高考考题分析,不等式及其不等式的应用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何、概率等各个内容中,涉及的深度、广度也在不断地提高和增大,充分体现了不等式知识点的重要性、不等式思想方法的独特性,既有一般的解不等式(组)和证明不等式的题,也有将其作为数学工具应用的试题.不等式部分考题分散到选择题、填空题和解答题,难度差别比较大,选择题和填空题难度系数在0.5～0.7左右,解答题的难度系数变化比较大.不等式的证明是难点,解不等式是重点,含参数不等式综合题是高考命题的热点.其高考命题热点主要表现在:(1)在选择题中考察实数的大小比较,涉及函数的小综合题;(2)在填空题中考查不等式,求含参变量问题中参数的取值范围及函数的最值;(3)在解答题中,其主要题型为解不等式、证明不等式、讨论含参数的方程或不等式等,常把不等式与函数、三角、数列、解析几何、立体几何、概率等知识综合起来考查.1.不等式的性质不等式的性质主要考察实数大小的比较,不等式的相关性质,均值不等式等内容.例1设a、b、c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是()A.a-b≤a-c+b-cB.a2+a......(本文共

透过2010年高考题看不等式怎么考

杨文金

【摘要】：正不等式在高考中属主体内容,它与代数内容联系密切,高考中所占比例约为10%～15%。从近几年的高考试题来看,考查的内容主要有以下几点:

一、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式这些内容大多出现在选择题或填空题中,一般属于容易题或中档题。因此,关于这一部分的知识,考生在备考中要注意理解并深刻记忆基本公式。例1(2010年江苏省高考题·12)设实数x,y满

【作者单位】： 山东省枣庄市第二中学;

【关键词】： 不等式 高考题 绝对值 线性规划问题 最小值 最大值 数学知识 取值范围 解析 选择题

【分类号】：G634.6

【正文快照】：

不等式在高考中属主体内容，它与代数内容联系密切，高考中所占比例约为10%一巧%。从近几年的高考试题来看，考查的内容主要有以下几点:

一、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式这些内容大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。因此，关于这一部分的知识，

第二篇：2013高考数学均值不等式专题

均值不等式归纳总结

ab(ab

2)2ab

222(当且仅当ab时等号成立）

(1)当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值

例：求下列函数的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域为6，+∞）2x 2

1(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11当x＜0时，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧

技巧一：凑项

例:已知x，求函数y4x24514x5的最大值。

4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，x

54,54x0不是常数，所以，y4x2

1154x4x554x12313 1。当且仅当54x54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数

例1.当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0

x

32，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x技巧三： 分离常数 例3.求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1

时取“＝”号）。

技巧四：换元法

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

y

(t1)7(t1）+10

t

=

t5t

4t

t4t5

59（当t=2

当,即t=时,y即x＝1时取“＝”号）。

Ag(x)

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

B(A0,B0)，g(x)恒正

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)的单调性。

例：求函数y因t0,t

x

ax

x52的值域。

t(t

2)，则y

1t

t

1t

(t2)

1，但t1t

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故

y

52。

5所以，所求函数的值域为,。

2



技巧六：整体代换 例：已知x0,y0，且解：x0,y0,19

x

1x



9y

1，求xy的最小值。

16。

19y9x

10610161，xyxy

xyxyy

当且仅当

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12

时，xymin

变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,yR且ab

x

y

1，求xy的最小值

技巧七：消元法

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y 的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不

等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u则u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18点评：①本题考查不等式

ab2



ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；



②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到

ab与ab

之间的关系，由此想到不等式

ab

2

ab（a,bR），这样将已知条件转



换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.技巧八：平方法

已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，很简单

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本题

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5变式:

求函数y

y2

x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

44(2x1)(52x)8

y2

又y

0，所以032

当且仅当2x1=52x，即x

时取等号。

故ymax



评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2

bc

abbcca

2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、cR，且abc1。求证：

11

1118 abc

1分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“

2”连乘，又111abca

a

a

a，可由此变形入手。

bca

a

11a

abc1。

解：b、cR，a、1

a

a。

同理11

b

b

1c

c

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当1118

3abcabc

时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

9xky

1

解：令xyk,x0,y0,1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



1

10k

2

3k

。k

16，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a

b1,P

lgalgb,Q

(lgalgb),Rlg（ab2)，则P,Q,R的大小关系

是.分析：∵a

Q

b1 ∴lga0,lgb0

（lgalgb)

ab2)lg

lgalgbp

lgabQ

Rlg(ab

∴R>Q>P。

练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）y

x3x1

x,(x0)（2）y2x

1x3,x3

(3)y2sinx2．已知0

1sinx,x(0,)（4）ysinx

2sinx,x(0,)

x

x

1，求函数y的最大值.；3．0，求函数y的最大值.3.若实数满足ab2，则3a4.若log4xlog4

y2，求

3

b

1x



1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y为正实数，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.y 2

第三篇：高考常用不等式全面总结

高考常用不等式

（1）基本不等式：a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）均值不等式：a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

bbmana1

aambnb（3）分式不等式：ab 0，m0，n0，则（4）证明不等式常用方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法（5）放缩法常用不等式：

tanxxexx33,sinxxtanx,x2x1xln(1x)x,1

1n1x(x0),1x1,(1x)n1（6）调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

ab222ab2ababa，bR 当且仅当ab时等号成立。2ab

（7）a3b3c33abc(a0,b0,c0).abcabbccaa，bR 当且仅当abc时取等号。222（8）理解绝对值不等式的几何意义

①ababab

②∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；

③∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－a∣＋∣x－b∣≥c.（9）柯西不等式的几种不同形式

①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.②(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.③平面三角不等式.（10）贝努利不等式：（数学归纳法证明）

(1x)1nxn＋ ≥，x1,x0,n为大于1的正整数

第四篇：高考不等式解题详解

高考数学不等式解法

不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。

一、知识整合1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰.2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结

合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用.3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.证明不等式的方法多样,内容丰富、技巧性较强.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的.6.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时,要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这三个条件.利

用不等式解应用题的基本步骤:1.审题,2.建立不等式模型,3.解数学问题,4.作答。

7.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.二、方法技巧

1.解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解,。

2.解含参数不等式时,要特别注意数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想的录活运用。

3.不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证法的基础上,选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

4.根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。

1.常用不等式：

（1）a,bR

ab2ab

ab

2

(当且仅当a＝b时取“=”号)．(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）a,b

R

（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）ababa

2.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；

如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).3.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 xax2

a2

axa.xax2a2

xa

或x<-a.4.无理不等式： f(x)0（1



g(x)0

.

f(x)g(x)f(x)0

（2

g(x))0或f(x)0g(x

.f(x)[g(x)]2

g(x)0f(x)0（3g(x)

g(x)0

.

f(x)[g(x)]25.指数不等式与对数不等式

(1)当a>1时,af(x)ag(x)

f(x)g(x);

f(x)0loga

f(x)log

ag(x)g(x)0

.

f(x)g(x)(2)当0

a

g(x)

f(x)g(x);

f(x)0loga

f(x)log

ag(x)g(x)0



f(x)g(x)6.特殊数列的极限

0|q|1（1）limqn

q1

n

1.

不存在|q|1或q1

0(kt)（2）klimak1

knak1na0nbtt1

at

(kt).tnbt1nb0bk



不存在(kt)（3）S

lim

a11qn



a1无穷等比数列n

1q



1q

（Sa1qn1的(|q|<1)

和）.7.abicdi

ac,bd

.（a,b,c,d∈R）

8.复数z=a+bi的模（或绝对值）

9.复数的四则运算法则

(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)(abi)(cdi)10.集合关系：

acbdcd

.

bcadcd

i(cdi0)

.ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

11.平面两点间的距离公式

d

A,B

=|AB|



(A(x1,y1)，B(x2,y2)).12.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b≠0，则 a∥bb=λa 

x1y2x2y10.x1x2y1y20.a⊥b(a≠0)a·b=0点,λ



是实数，且P1PPP2

13.线段的定比分公式设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分，则）.x1x2xOP1OP211

OPOPtOP1(1t)OP2（t

11yy1y2

1

14.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G（x1x2x3,y1y2y3).''xxhxxh''

OPOPPP15.点的平移公式 '

'

yykyyk

'

P(x,y)，且PP

'

'

'

(图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F′上的对应点为的坐标为（h，k）).（注：只需记住前一个关系）

第五篇：高考冲刺不等式的证明

高考冲刺不等式的证明

【本周授课内容】：不等式的证明

【重点】：正确使用不等式的基本性质与定理，理解并掌握证明不等式的常用方法。

【难点】：据所证不等式的结构特征选择证明方法以及把握不等式证明过程的基本过程及格式的规范。

主要内容及重点例题参考：

1．不等式证明的理论依据：不等式的概念和性质，实数的性质，以及一些基本的不等式：

（1）若a∈R，则|a|≥0，a2≥0。

（2）若a,b∈R，则a2+b2≥2ab。

（3）若a,b∈R+，则

（4）若a,b同号，则

（5）若a,b,c∈R+，则

2．证明不等式的基本方法：比较法(作差、作商)，综合法，分析法，数学归纳法及反证法；另外还有如换元法、放缩法等。

3．例题分析:

例1．a,b,c∈R+，求证：a3+b3+c3≥3abc。

分析与解答：

证法一：（比较法）

∵ a3+b3+c3-3abc

=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

=(a+b+c)[

证法二（综合法）：

∵ a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)ab（当且仅当a=b时“=”成立）

b3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)≥(b+c)bc（当且仅当b=c时“=”成立）

c3+a3=(a+c)(c2+a2-ca)≥(c+a)ca（当且仅当c=a时“=”成立）

∴ 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2

=b(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)

≥2abc+2abc+2abc=6abc。（当且仅当a=b=c时“=”成立）

∴ a3+b3+c3≥3abc。

例2．已知a,b,c为不等正数，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

≥+。≥2。≥。（6）若a,b∈R，则||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|。(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0。∴ a3+b3+c3≥3abc。

分析：由于所证不等式两端都是幂和积的形式，且a,b,c为正数，可选用商值比较法。

证明：a,b,c为不等正数，不失一般性，设a>b>c>0，这时a2ab2bc2c>0，ab+cbc+aca+b>0。

=a(a-b)+(a-c)b(b-c)+(b-a)c(c-b)+(c-a)=()a-b()b-c()c-a

∵ a>b>c>0，∴ >1，a-b>0；>1，b-c>0；0<)b-c>1，(<1，c-a<0。)c-a>1。由指数函数的性质可知：()a-b>1，（∴ >1，即：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b。

评述：例1的证法一与例2都是应用比较法证明不等式，求差比较法的基本步骤是“作差——变形——判定差式的正负”；求商比较法的基本步骤是“作商——变形——判定商式大于1或小于1”，应注意，求商比较法一般用于各字母均为正数的不等式的证明。

例3．已知a,b,c∈R，求证：

分析：不等式的左端是根式，而右端是整式，应设法通过适当的放缩变换将左式各根式的被开方式转化为完全平方式。

证明：∵ a2+b2≥2ab，∴ 2(a2+b2)≥a2+2ab+b2=(a+b)2，++≥(a+b+c)。

即a2+b2≥，两边开方，得：≥|a+b|≥(a+b)

同理可得≥(b+c)，≥(c+a)

三式相加，得：

++≥(a+b+c)

例4．已知a,b,c∈R+，且a+b+c=1，求证：（1）

分析：利用基本不等式，采用综合法解决问题。

（1）证法一：++=+，∴ abc≤+，∴ ++≥9，（2）a2+b2+c2≥。=3+≥27，+++++≥3+2+2+2=9。证法二：∵ 1=a+b+c≥3

∴

++≥3≥3=9。

（2）∵ 1=a+b+c，∴ 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2)=3(a2+b2+c2)。

∴ a2+b2+c2≥。

评述：利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系，不等式左右两端的差异和联系，如例4是个条件不等式的证明问题。给出的特定条件是a+b+c=1，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换就是证明不等式的关键。

例5．已知|a|<1，|b|<1，求证：|

分析：利用分析法证明。

证明：要证||<1成立，只要证|a+b|<|1+ab|，|<1。

只要证(a+b)2<(1+ab)2，即a2+b2+2ab<1+2ab+a2b2，只要证a2+b2-1-a2b2<0，只要证(a2-1)(1-b2)<0，只要证(a2-1)(b2-1)>0。∵ |a|<1，|b|<1，∴ a2<1，b2<1，∴(a2-1)，(b2-1)同号，∴(a2-1)(b2-1)>0成立，∴ |

例6．已知a，b是不等正数，且a3-b3=a2-b2，求证：1

分析：已知条件中等式两端和求证结论中不等式两端有次数上的差异，因此在证明中应采用从已知条件出发，施行降次变换，或从求证结论出发，施行升次变换的方法。

证明：a，b是不等正数，且a3-b3=a2-b2，a2+ab+b2=a+b

3(a+b)<4(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b3(a+b)2<4(a+b)a+b>1。|<1。a+b<

3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2)a2-2ab+b2>0(a-b)2>0。

成立。即(a-b)2>0一定成立，故a+b<

评述：分析法是从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立。分析法的思路是：执果索因：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。在例6中证明a+b>1采用的是综合法。证明a+b<

常常是相互配合交替进行的。

例7．已知a,b,c∈(0,1)，求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于

证明：假设(1-a)b>，(1-b)c>，(1-c)a>。采用的是分析法，事实上，推理论证中，由因导果和执果索因两种方法

∵ a,b,c∈(0,1)，∴ 1-a，1-b，1-c∈(0,1)，∴ >，+>，+>，>。

三式相加，得：

由平均值定理可知：++≤++=

与上式相矛盾，故假设不成立。

∴(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a中至少有一个不小于。

评述：反证法：基本思路是“假设——矛盾——肯定”，采用反证法证明不等式时，从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理都必须是正确的。由于本题（例7）题目的结论是：三个数中“至少有一个不大于

复杂，会出现多个由异向不等式组成的不等式组，一一证明十分繁杂，而对结论的否定是三个数“都大于

明了，为推出矛盾提供了方便，故采用反证法是适宜的。

4．课后练习：

（1）已知x∈R，求证：1+2x4≥x2+2x3

（2）已知a,b∈R，a≠b，求证：a2+ab+b2>0。”，情况比较”，结构简单

（3）求证log56·log54<1。提示：先化成常用对数，然后用均值不等式，有

（4）设x≠0，求证：x+≥2或x+≤-2。