高考不等式解题详解[大全五篇]

第一篇：高考不等式解题详解

高考数学不等式解法

不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用.因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用.在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明.不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中.诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。

一、知识整合1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰.2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结

合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用.3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.证明不等式的方法多样,内容丰富、技巧性较强.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法.通过等式或不等式的运算,将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式,从而使原不等式得到证明;反之亦可从明显的、熟知的不等式入手,经过一系列的运算而导出待证的不等式,前者是“执果索因”,后者是“由因导果”,为沟通联系的途径,证明时往往联合使用分析综合法,两面夹击,相辅相成,达到欲证的目的.6.不等式应用问题体现了一定的综合性.这类问题大致可以分为两类:一类是建立不等式、解不等式;另一类是建立函数式求最大值或最小值.利用平均值不等式求函数的最值时,要特别注意“正数、定值和相等”三个条件缺一不可,有时需要适当拼凑,使之符合这三个条件.利

用不等式解应用题的基本步骤:1.审题,2.建立不等式模型,3.解数学问题,4.作答。

7.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.二、方法技巧

1.解不等式的基本思想是转化、化归,一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解,。

2.解含参数不等式时,要特别注意数形结合思想,函数与方程思想,分类讨论思想的录活运用。

3.不等式证明方法有多种,既要注意到各种证法的适用范围,又要注意在掌握常规证法的基础上,选用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。

4.根据题目结构特点,执果索因,往往是有效的思维方法。

1.常用不等式：

（1）a,bR

ab2ab

ab

2

(当且仅当a＝b时取“=”号)．(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）a,b

R

（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）ababa

2.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；

如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).3.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 xax2

a2

axa.xax2a2

xa

或x<-a.4.无理不等式： f(x)0（1



g(x)0

.

f(x)g(x)f(x)0

（2

g(x))0或f(x)0g(x

.f(x)[g(x)]2

g(x)0f(x)0（3g(x)

g(x)0

.

f(x)[g(x)]25.指数不等式与对数不等式

(1)当a>1时,af(x)ag(x)

f(x)g(x);

f(x)0loga

f(x)log

ag(x)g(x)0

.

f(x)g(x)(2)当0

a

g(x)

f(x)g(x);

f(x)0loga

f(x)log

ag(x)g(x)0



f(x)g(x)6.特殊数列的极限

0|q|1（1）limqn

q1

n

1.

不存在|q|1或q1

0(kt)（2）klimak1

knak1na0nbtt1

at

(kt).tnbt1nb0bk



不存在(kt)（3）S

lim

a11qn



a1无穷等比数列n

1q



1q

（Sa1qn1的(|q|<1)

和）.7.abicdi

ac,bd

.（a,b,c,d∈R）

8.复数z=a+bi的模（或绝对值）

9.复数的四则运算法则

(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)(abi)(cdi)10.集合关系：

acbdcd

.

bcadcd

i(cdi0)

.ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

11.平面两点间的距离公式

d

A,B

=|AB|



(A(x1,y1)，B(x2,y2)).12.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b≠0，则 a∥bb=λa 

x1y2x2y10.x1x2y1y20.a⊥b(a≠0)a·b=0点,λ



是实数，且P1PPP2

13.线段的定比分公式设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分，则）.x1x2xOP1OP211

OPOPtOP1(1t)OP2（t

11yy1y2

1

14.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G（x1x2x3,y1y2y3).''xxhxxh''

OPOPPP15.点的平移公式 '

'

yykyyk

'

P(x,y)，且PP

'

'

'

(图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F′上的对应点为的坐标为（h，k）).（注：只需记住前一个关系）

第二篇：高考解题心得体会经典

【我的记录空间】：

—— 王永富

一、集合：命题老师婉约派出生出题很含蓄，要求：会解一元二次不等式、一元二次方程、根式不等式、七、线性规划：(1)若不等式组只有3个不等式组成，比如：

含绝对值的不等式、指数不等式、对数不等式；集合中元素的构成........【我的记录空间】：

直接把不等号改为等号联立方

程组求出3个交点坐标然后代入目标函数中；特别提醒：若不等式组中含有4个或4个以上的不等式不能

二、复数：复数的完美形式：Z=a+bi（a,bR）。若为纯虚数；若为实数。见联立方程组；而不等式组中含参数或者是目标函数中含有参数的一些题目也不能联立方程组，例如：

到复数Z满足的等式通通化为完美形式 Z=a+bi。在复平面内一复数Z的坐标为（-1,2）则该复数Z=-1+

2i，反之也要会........此时，2014年高考数学解题方法与技巧总结

强调一定要“灵活”不要固步自封.....如：复数z在复平面内对应的坐标为（-1,2）则z=-1+2i 等等。

【我的记录空间】：

三、数列：熟记等差数列、等比数列的相关公式方能解题得心应手；在等差数列中若2+8=3+7则累差叠加法，累

乘法，配平求参数辅助数列法，两边同时加上（或减去）一个常数；两边同时除以2n+1或3n+1化为等差

数列等等需看题而定；求和的一般方法：错位相减法，列项相消法，分组求和法，倒序相加.......这些你会

了吗？

【我的记录空间】：

四、二项式定理：(1)若题目中出现各项系数和立马令x=1；(2)若出现所有二项式系数和为M就是：2n =M；

(3)假若叫你求二项式系数的最大值就是：（，r是正整数）那么那一项的二项式系数最大就

是第r+1项。(4)若出现2个括号相乘时有时候需要把其中一个括号展开或者2个括号都要展开，眼睛放雪

亮一些考生们！！例如：（）（）；（）（）；(5)当问题中精确到某一项或某一项的系

数时一定用通项展开式：(6)当看到缺项时比如说：

就令x=1和x=—1

【我的记录空间】：

五、程序框图：什么叫程序？你得清楚吧，那就是按部就班地完成工作，有上一步才有下一步。记住只要

你足够的细心5分你拿定了！若考程序语句的话考生们必须要知道那些单词的意思比如DO..........LOOP

UNTIL或者WHILE..........WEND你知道了吗？？

提醒：当菱形里面条件中数据较大时一般是找周期或是找规律。

【我的记录空间】：

六、三视图：下来掌握简单几何体的三视图比如 球、圆柱、三棱柱、三棱锥.........我相信你们都能记得了！

三视图的题目需要沉着、冷静在大脑中把该几何体呈现出来，有必要的话在草稿纸上大概画一下然后把

相关的数据代入对应的公式里面化简、计算。

提醒：三视图的规则：长对正，高平齐，宽相等一般的解题思路是“画出可行域”然后求出交点坐标（什么是参数？就是除了x, y, z 之外的字母如atkn........）注意：题不在于多而在于精自己找题目来训练然后总结做题的技巧和方法！若问题中出现:【我的记录空间】：

八、比较大小：如：“对数间比较大小”“指数间比较大小”“对数、指数混合比较大小”“对数、指数、幂函数混合比较大小”此种题型应做到不慌不忙，先观察.........先比较其中两个排除2个选项；再与第三者比较。可能用到的方法有：化成同底数，同指数，同根式，同系数，同分母.........可能会用到换底公式 【我的记录空间】：

九、平面解析几何的问题（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线.....）：一定要图，不画你这辈子就完了，然后把题目和图形结合起来分析、写步骤、最终解答出来.........注意：涉及到直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的相关知识和结论你记得了吗？？？【我的记录空间】：

十、空间中直线与直线、直线与面、面与面的位置关系问题：只要画一个正方体或是一个长方体就搞定，记住正方体的功能很强大.....【我的记录空间】：

十一、平面向量：先看题目所给的图形是否规则。若规则优先考虑建立坐标系的方法，若不规则可考虑向量的减法（）向量的加法（）； 见到向量的长度或模闭上眼睛平方一下可能就看到了希望如（）.【我的记录空间】：

十二、三角函数：公式虽多但记住我教你们记忆的方法，把公式熟记，相信自己是高智商之人，我们不是傻子！！提醒：强调“灵活”如1=，（sina + cosa）2=1+2sinacosa等等；尤其是：

它会出现在23题、选择题或填空题、解答题17题，难道你还不去记吗？？？注意：理解三角函数图象的平移和伸缩变换。一定要会画正弦、余弦、正切函数的图象，图一画你就会很激动一切都出来了.......【我的记录空间】：

十三、球包三棱锥、球包三棱柱或是四棱柱的问题方法：把几何体中的关键要素抽象出来，画出平面图形（关键要素：球心、球半径、圆心、圆半径...........必须抽象出来）

【我的记录空间】：

十四、函数：遇到分段函数一般思路就画图；函数的反函数必须注意（你们下来找题目训练，记住了哦........）；抽象函数给你们的结论是：自变量的差为常数考虑周期，有分母、有负号周期翻倍（如 ：；自变量的和为常数考虑对称，没有负号对称轴，有负号对称点

（）。

此时，用到的思想方法一般为数形结合。

【我的记录空间】：

十五、题目中出现最值或取值范围：一般就考虑基本不等式、重要不等式、导数、二次函数.........【我的记录空间】：

十六、解答题

17题：一般有2中题型出现：第一种考三角函数；第二种考数列

若考三角函数无非就是三角函数的相关公式和结论、正、余弦定理、三角形面积公式。

方法：（1）求角就边化角（当边化角复杂时立马停笔角化边.......什么叫复杂就是出现了:（。(2)求边就角化边；（3）若含有高次方必须降次：利用降次公式；（4）分析好问题把问题用公式写出来差什么我们求什么。(5)特殊公式：。

若考察数列：前面第三点已说过，花时间、花力气把公式记得，考生们自信是苦出来的，拿出点气质出来！

【我的记录空间】：

18、立体几何：一般有2种方法解决：几何法和向量法（有时候第1问不能用向量法解题）

（1）若用几何法抓住题干中的关键词，比如说读到中点应该要构造中位线（有时有现成的,有时需要取某些边的中点然后连接起来）、读到等腰三角形、等边三角形作高线、读到面与面垂直作交线的垂线、读到菱形4边相等且对角线垂直平分.........（2）若用空间向量需要会建立空间直角坐标系，有时候有现成的坐标系、而有时需要作辅助线或平移（读到等腰三角形、等边三角形作高线、读到面与面垂直作交线的垂线、读到菱形4边相等且对角线垂直平分.........）。有时需要把三角形的三边长求出来，验证是否满足勾股定理。然后把所涉及到的点的坐标找

对，后续的工作就考你们的细心程度了.......提醒：找中点的坐标可以用投影的方法、中点坐标公式(，)、定比分点坐标公式（）【我的记录空间】：

19、概率：一般会考查以下几块的内容：第一块：茎叶图（有陷阱：数据没有从小到大的排序）；第二块：频率分布直方图（中位数、平均数的估计值你会了吗？）；第三块：文字题目（需要勾画出关键词、重要的数据然后联合起来，整合一下就出答案......）读题目时一定要身临其境，有一种魂牵梦萦的感觉；若是做实验的题目就好比是你亲自做实验，这样可以全面的理解其中的内涵。例如：抛骰子、抛硬币、摸球等试验就是你在做实验）；第四块：独立性检验.......（）20、圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义，性质，结论要靠你们了，自信点，微笑多一点........本题只体现2个字“读写”就是说读到什么就写什么，因为时间不多了！一定要记住了考生们.......注意：（1）中点弦所在的直线方程、切线方程你会口答了吗？（2）特殊公式：过焦点的直线L 交椭圆、双曲线、抛物线于两点A、B且AF =FB 强调“F”必须在中间,则有（其中K为斜率，e为离心率）。【我的记录空间】：

21、导数（公式你记熟了吗）：(1)当看到关键词：切点、切线、切线的斜率、单调、增函数、减函数、极值点、极值、恒成立、求某些参数的取值范围时一定要求导；(2)若叫你求函数F(x)的极值点、极值、最值或恒成立问题中参数的取值范围时先判断函数F(x)的单调性；(3)若点P(x0,y0)是切点则K切=；(4)若x0是函数F(x)的极值点一定有；(5)若F(x)在区间[,]内是增函数等价于在[,]内恒成立；(6)若(x)在区间[,]内是减函数等价于在[,]内恒成立 提醒：（1）增减区间的分界点为极大值点；减增区间的分界点为极小值点（2）函数f(x)在区间[,]内不单调等价于函数f(x)在区间[,]内至少存在一个极值点。本题的解题步骤：先求定义域、求导（一般情况下需要通分化简........）...........【我的记录空间】：

23、极坐标与参数方程：自信的考生们那7个公式的相貌你记得了吗？ 总结：（1）若问题中出现最值、取值范围就选用参数方程来做（2）若问题中出现直线L与曲线交于A、B两点其中P为直线L上的一定点。求 AB =求PAPB =当直线的参数方程不是标准形式时一定要先化为标准形式（标准式的参数方程是t 的系数平方和为1）【我的记录空间】：

24、不等式：（1）解含有1个或2个绝对值的不等式你们“应该”成足在胸了吧！加油.......（2）在恒成立、求最值的问题中可能会用到的公式：（3）不等式恒成立问题：若f(x)对一切实数都成立；若f(x)的解集为【我的记录空间】：祝：高三（2、3）班全体考生高考成功！2014年4月18日

第三篇：第二讲 不等式的解题方法

高 考 实 战 不等式

第二讲 不等式的解题方法

一、拼凑法 例1：

二、分离法

三、定义法

高 考 实 战

四、条件法

不等式

五、比较法

六、综合法 高 考 实 战 不等式

七、数学归纳法

总结提高

1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.高 考 实 战 不等式

3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.高 考 实 战

一、绝对值不等式

不等式

第二讲 不等式的专题训练

二、不等式

三、单调性 考 实 战 不等式

四、线性规划

高 高 考 实 战

不等式

五、恒成立的问题

第四篇：2013高考数学均值不等式专题

均值不等式归纳总结

ab(ab

2)2ab

222(当且仅当ab时等号成立）

(1)当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值

例：求下列函数的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域为6，+∞）2x 2

1(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11当x＜0时，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧

技巧一：凑项

例:已知x，求函数y4x24514x5的最大值。

4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，x

54,54x0不是常数，所以，y4x2

1154x4x554x12313 1。当且仅当54x54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数

例1.当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0

x

32，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x技巧三： 分离常数 例3.求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1

时取“＝”号）。

技巧四：换元法

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

y

(t1)7(t1）+10

t

=

t5t

4t

t4t5

59（当t=2

当,即t=时,y即x＝1时取“＝”号）。

Ag(x)

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

B(A0,B0)，g(x)恒正

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)的单调性。

例：求函数y因t0,t

x

ax

x52的值域。

t(t

2)，则y

1t

t

1t

(t2)

1，但t1t

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故

y

52。

5所以，所求函数的值域为,。

2



技巧六：整体代换 例：已知x0,y0，且解：x0,y0,19

x

1x



9y

1，求xy的最小值。

16。

19y9x

10610161，xyxy

xyxyy

当且仅当

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12

时，xymin

变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,yR且ab

x

y

1，求xy的最小值

技巧七：消元法

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y 的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不

等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u则u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18点评：①本题考查不等式

ab2



ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；



②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到

ab与ab

之间的关系，由此想到不等式

ab

2

ab（a,bR），这样将已知条件转



换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.技巧八：平方法

已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，很简单

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本题

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5变式:

求函数y

y2

x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

44(2x1)(52x)8

y2

又y

0，所以032

当且仅当2x1=52x，即x

时取等号。

故ymax



评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2

bc

abbcca

2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、cR，且abc1。求证：

11

1118 abc

1分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“

2”连乘，又111abca

a

a

a，可由此变形入手。

bca

a

11a

abc1。

解：b、cR，a、1

a

a。

同理11

b

b

1c

c

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当1118

3abcabc

时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

9xky

1

解：令xyk,x0,y0,1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



1

10k

2

3k

。k

16，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a

b1,P

lgalgb,Q

(lgalgb),Rlg（ab2)，则P,Q,R的大小关系

是.分析：∵a

Q

b1 ∴lga0,lgb0

（lgalgb)

ab2)lg

lgalgbp

lgabQ

Rlg(ab

∴R>Q>P。

练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）y

x3x1

x,(x0)（2）y2x

1x3,x3

(3)y2sinx2．已知0

1sinx,x(0,)（4）ysinx

2sinx,x(0,)

x

x

1，求函数y的最大值.；3．0，求函数y的最大值.3.若实数满足ab2，则3a4.若log4xlog4

y2，求

3

b

1x



1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y为正实数，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.y 2

第五篇：高考常用不等式全面总结

高考常用不等式

（1）基本不等式：a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）均值不等式：a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

bbmana1

aambnb（3）分式不等式：ab 0，m0，n0，则（4）证明不等式常用方法：

比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法（5）放缩法常用不等式：

tanxxexx33,sinxxtanx,x2x1xln(1x)x,1

1n1x(x0),1x1,(1x)n1（6）调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

ab222ab2ababa，bR 当且仅当ab时等号成立。2ab

（7）a3b3c33abc(a0,b0,c0).abcabbccaa，bR 当且仅当abc时取等号。222（8）理解绝对值不等式的几何意义

①ababab

②∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；

③∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－a∣＋∣x－b∣≥c.（9）柯西不等式的几种不同形式

①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.②(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.③平面三角不等式.（10）贝努利不等式：（数学归纳法证明）

(1x)1nxn＋ ≥，x1,x0,n为大于1的正整数