整数的尾数函数的性（5篇）

第一篇：整数的尾数函数的性

整数的尾数函数的性质

1.定义：整数a的个位数也称为整数a的尾数，并记为Ga，Ga也称为尾数函数，2.它有以下性质：

（1）G(G(a))G(a)

（2）G(abc)G(G(a)G(b)G(c))

（3）G(abc)G(G(a)G(b)G(c))。特别的，G(an)G(Gn(a))

（4）G(10a)0,G(10ab)G(b)

（5）若ab10c,则G(a)G(b)

（6）G(a4k)G(a4),a,kN

（证明：分别另a=1,2，…,9可知个位数都以a4为一个周期。例如：212,224,238,2416,2532。因此G(a4k)G(a4)）

（7）G(a4kr)G(ar),k0,0r4,a,k,rN，（证明：由上六可知：a4a与a的个位数是相同的，所以4krr）G(a)G(a)

第二篇：用尾数造句

【注音】： wei shu

尾数解释

【意思】：（１）小数点后面的数。（２）结算帐目中大数目之外剩下的小数目。

尾数造句：

1、尽管算法不是很明显，但还是可以通过位屏蔽来查找尾数。

2、该尾数概率告诉您获取一个象您观察到的极限值是可能（如一个大的尾数区域）还是不可能（小的尾数区域）。

3、通过一些步骤，就可以找到尾数、取尾数的对数并将该值添加到指数，但这有些费劲。

4、但当时并没有那么多的内存，如果你忽略1900，你就可以根据一年的尾数是不是00来判断那年是不是闰年。

5、或者，变量如何在使用不同寻址方案（大尾数法，小尾数法）的机器间发送？

6、我们的讨论显示，零售商有好几个理由以99便士作尾数，也有好几个理由以整数计价。

7、我在一片文章中读到，超市正放弃以99便士作尾数的定价，转而选择“整数价”，因为这会让商品价格看上去更低一些，也体现出一种更诚实的商业行为。

8、朱彤表示一种观点是认为应该只允许车牌尾数为当天日期数的轿车上路。

9、这比因特网行业所带动的还要多一个尾数零。

10、例如，PNG文档（TIFF的一个竞争者）始终使用大尾数法。

11、该设置用于查找X平方分布的抽样分布中包含尾数区域等于alpha断开值（0。05）的位置（或临界值）。

12、实际上，我不使用这些图来计算尾数概率，因为我可以实现数学函数来返回给定X平方分布值的尾数概率。

13、另外，Om—Ah—Hum还要求，成交的日期必须是一个尾数为8的日子。

14、请问一个负数的浮点数的尾数还带不带符号呀？

15、某一数制中的指定的数值，按其指数幂乘方再乘以尾数即可得到所要表示的实际数。

16、他们把价钱去掉尾数调低为整卢布数。

17、调整某个操作数的指数以使其匹配其他操作数指数的一个问题是，我们只有同样多的位数可用以表示尾数。

18、介绍了一种针对软件开发过程中因数据处理不当，导致尾数误差的调整算法。

19、从狂欢化视角来看，《尾数》中铺天盖地的情欲描写，绝非为了满足消费社会大众的窥淫癖。

20、不得以不能汇尾数而要求折扣，您可以汇总数，剩余的钱会跟包裹一起寄退还给您。

21、采用本文研究的API内插模型，小数分频的尾数调制寄生谱可以抑制到相位内插信号准确地匹配相位误差的程度。

22、然后选择对电瓶进行分析研究，根据失效数据和截尾数据建立电瓶的寿命分布模型。

23、本文介绍了一种对二路随机脉冲尾数求差的原理，并在此基础上推出用十进制求差的计算法。

24、一定要记清楚尾数，这个数目可千万不要错。

25、我总结出一条规律，尾数逢1、2、7的年份，出现重大UFO事件可能性比较大。

第三篇：银行卡尾数的意义

银行卡尾数为：9

银行卡尾数为9的朋友们，这类的卡不招财也不旺财，不过呢却有很强的保护能量！所谓的保护能量就是指这类卡片本身的安全性很高！仿佛受到一些莫名力量的保护一样，好比你无意中把这个卡遗失了，当找回时你还会意外发现这卡里的钱一分也没有少！建议大家可将重要存款放在这类尾数为9的卡片中，非常保险！

银行卡尾数为：0~3

银行卡尾数为0~3的数字，暗示你的卡不招财也不漏财，它是稳定型的卡片。现在，一人拥有多个银行卡作不同的功用是很平常的事。而一般拥有这类数字银行卡的朋友们，多数会将这个银行卡作为主要储蓄用途的卡，而非处理其他业务使用。

银行卡尾数为：4~5

银行卡尾数为4~5的朋友们，坦白说这类数字尾数的卡通常不太招财，且多为出财或漏财卡！这里指的出财即，你通常会将这个数字尾数的卡作为处理一些日常支出的功用，而这类尾数的卡通常也不太招财，要么你会将很少的钱存在上面作为不时之需，要么就很容易会遗失或是意外的有破财迹象！要注意保管好哦

银行卡尾数为：6~8

银行卡尾数为6~7的朋友们，这类的卡是很招财的！蛮有意思的是，拥有这类尾数卡的朋友们一般不太会用这种卡去办一些支出类的业务，至少是概率比较少啦！这类尾数的银行卡招财功力很旺，虽也会被作一些重要储蓄，但这类卡上的帐目多半是流动性的收支状况。

银行卡尾数为：9

银行卡尾数为9的朋友们，这类的卡不招财也不旺财，不过呢却有很强的保护能量！所谓的保护能量就是指这类卡片本身的安全性很高！仿佛受到一些莫名力量的保护一样，好比你无意中把这个卡遗失了，当找回时你还会意外发现这卡里的钱一分也没有少！建议大家可将重要存款放在这类尾数为9的卡片中，非常保险！

第四篇：函数的凸性与拐点解读

九江学院理学院

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§ 5 函数的凸性与拐点

一． 凸性的定义及判定：

1． 凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数f(x)在区间I上连续.若对x1,x2I 和(0,1)恒有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)

则称曲线 yf(x)在区间I的凸函数, 反之, 如果总有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2)

则称曲线 yf(x)在区间I的凹函数.若在上式中, 当x1x2时, 有严格不等号成立, 则称曲线yf(x)在区间[a,b]上是严格凸(或严格凹)的.引理 yf(x)为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: x1x2x3 , 总有

f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)x2x1x3x2定理6.13 设函数f(x)在区间I上可导, 则下面条件等价:(i)

为I上凸函数

(ii)

为I上的增函数(iii)对I上的任意两点x1,x2 有

f(x2)f(x1)f(x1)(x2x1)

2． 利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 6.14 设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数, 则在(a,b)内

⑴ f(x)0,  f(x)在(a,b)内严格上凸;⑵ f(x)0,  f(x)在(a,b)内严格下凸.证法一(用Taylor公式)对x1,x2(a,b), 设x0

x1x2, 把f(x)在点 2九江学院理学院

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x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有

f(x1)f(x0)f(x0)(x1x0)f(1)(x1x0)2, 2f(2)(x2x0)2.2 f(x2)f(x0)f(x0)(x2x0)其中 1 和 2在 x1 与 x2 之间.注意到 x1x0(x2x0), 就有

f(x1)f(x2)2f(x0)1f(1)(x1x0)2f(2)(x2x0)2, 2于是, 若有f(x)0,  上式中0,  f(x1)f(x2)2f(x0), 即 f(x)严格上凸.若有f(x)0,  上式中0,  f(x1)f(x2)2f(x0), 即f(x)严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若f(x)0, 则有f(x)↗↗.不妨设 x1x2, 并设 x0x1x2, 分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用2Lagrange中值定理, 有

1(x1,x0),  f(x0)f(x1)f(1)(x0x1), 2(x0,x2),  f(x2)f(x0)f(2)(x2x0).有x11x02x2,  f(1)f(2), 又由 x0x1x2x00，

f(1)(x0x1)

x1x2，f(x)严格下凸.2九江学院理学院

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3． 凸区间的分离: f(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数f(x)xex的上凸、下凸区间和拐点.解 f的定义域为( , )，f(x)ex(12x2), f(x)2x(2x23)ex.令f(x)0, 解得

x12223 , x20 , x323.2在区间( , 3333),( , 0),(0 ,),(, )内f 的符号依次为 222233333232 ,  ,  , ， .拐点为: 2 , 2e ,(0 , 0),  2 , 2e.倘若注意到本题中的f(x)是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen不等式及其应用: Jensen不等式: 设函数f(x)为区间[a,b]上的凸函数, 则对任意 xi[a,b], i0,i1,,i1, 有Jensen不等式: i1nf(ixi)if(xi)，i1i1nn且等号当且仅当x1x2xn时成立.1n证 令x0xk, 把f(xk)表为点x0处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿nk1前述定理的证明，注意(xk1nkx0)0, 即得所证.九江学院理学院

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例2 证明: 对x,yR, 有不等式 exy21x(eey).2例3 证明均值不等式: 对a1,a2,,anR, 有均值不等式

aa2an na1a2an  1.111na1a2ann证 先证不等式 na1a2an  a1a2an.n 取f(x)lnx.f(x)在(0 , )内严格上凸, 由Jensen不等式, 有

1n1n1n1nlnnxklnxkf(xk)fxklnxk.nk1nk1k1nk1nk1由f(x)↗↗  na1a2an  na1a2an.n对111，,R用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 证明: 对x1,x2,,xnR, 有不等式

22x1x2xnx12x2xn .(平方根平均值)

nn222例5 设xyz6，证明 xyz12.2解 取f(x)x, 应用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求证 sinAsinBsinC33.2解 考虑函数f(x)sinx, 0x.fsinx 0 , 0x . sinx在 区间(0 , )内凹, 由Jensen不等式, 有

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sinAsinBsinCf(A)f(B)f(C)3ABC. fsin33332 sinAsinBsinC33.2例7 已知a,b,cR, abc1.求证 33a733b733c76.解 考虑函数f(x)3x, f(x)在(0 , )内严格上凸.由Jensen不等式, 有

3a733b733c7f(3a7)f(3b7)f(3c7)

f33a73b73c7f(abc7)f(8)382.

3 33a733b733c76.例8 已知 0 , 0 , 332.求证 2. 解 函数f(x)x在(0 , )内严格下凸.由Jensen不等式, 有

33332()3f()f()1,  f228222()38 ,  2.

第五篇：函数凹凸性的性质判定及应用（模版）

函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳

数学计算机科学学院

摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍了它们应用。

关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用；

Convex function of Judge Properties and Applications

Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance.In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem.On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application.One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties.This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application.Keywords: Convexity;One Function;Binary function;Multiple functions;Criterion;Applications;

1.引言

凸函数是数学中一类极其重要的函数，它在最优化，运筹与控制理论，模具设计等方面具有重要的理论和实践意义。凸函数在大学数学中很少具有直接的运用，而导数在函数图像的凹凸性研究是大学数学中一个重要的知识点，这说明凸性在大学数学，特别是数学分析中的应用没有得到应有的正视，长期以来，凸函数被热为只在一些具体学科，如机器人学，模具设计或一些数学分支（如全局优化，运筹学等）中具有重要的运用，而在大学数学中没有应用。本文将重点探讨凸函数在分析学中的一些简单应用。在本文中，我们首先给出凸函数的多种定义，性质，然后探讨二元与多元的情况下凸函数的定义，判定及性质。

2.一元函数凹凸性的判定

2.1 凸函数的多种定义及等价证明 下面先先给出凸函数的13种常见定义。假设IR，f:IR.定义2.1.11： f在I内连续ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,则称f为凸函数。

x1，x2，x3Ｉ，定义2.1.21：若 f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2则称f为凸函数

定义2.1.31：

１ｆ（ｘ）ｘ１１x1，x2，x3Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２的行列式0，则称f为凸函数

ｘ１ｆ（ｘ）３３定义2.1.41：

x1，x2Ｉ，ｔ（0，1），则称f为凸函数 ｆ（tｘ＋（1-t）ｘ）tｆ（x１）＋（1-t）ｆ（ｘ）１２２，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）定义2.1.5:ｔｋｋｋｋｋ1ｋ11nnnｔｆ（ｘ），则称f(x)为凸函数

ｋｋｋ1定义2.1.61：（1.）ｘＩ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－＋－＋＇＇(2）x1，x2，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋１－２＇＇＇＇

则称f(x)为凸函数

I, 定义2.1.71：若ｆ在Ｉ内存在单增函数,ｘ０xI,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘｘ０（ｔ）dｔ，则称f为凸函数。

定义2.1.81：

设f在I上连续，x1，x2Ｉ，且x1＜x2有ｆ（x1+x22）1ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔf(x1)f(x2)2，则称f为凸函数。定义2.1.91：若ｘ，．．．，xｎＩ，ｆ（１ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎＮ），则称f为凸函数。

定义2.1.101：若ｆ在Ｉ内可导，ｘ，ｙＩ，有ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f为凸函数。定义2.1.111：若ｆ在Ｉ可导，且ｆ＇（ｘ）单调递增，则称f为凸函数。定义2.1.121：ｆ在Ｉ内二次可导，ｆ＇＇（ｘ）０，则称f为凸函数。定义2.1.131：ｆ在区间Ｉ上凸函数的充要条件是：函数

为[0,1]上的凸函数，（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２下面给出几种定义间的相互证明。

定理2.1.11 若ｆ在区间Ｉ上可导，则定义７定义１０

Ｉ，ｘＩ，有：证明：因为ｆ在Ｉ内存在单增函数，ｘ ０（ｔ）dt

（１）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘ０ｘ故对于ｙＩ，不妨设ｙ＜ｘ，有： ｆ（ｙ）－ｆ（ｘ）＝（ｔ）dt

（２）０ｘ０ｙ（ｘ）将式（１）两边关于ｘ求导，得ｆ＇（ｘ）＝．

（１）－（２），得：

ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｔ）dｔ－（ｔ）dｔ＝（ｔ）dｔ＋（ｔ）dｔ＝

ｘ０ｘ０ｘ０ｘｙｘｘ０ｙｘｙ（）；ｙ＜＜ｘ

（３）（ｔ）dｔ＝（ｘ－ｙ）（ｔ）（ｙ）（），式（２）可化为： 因为单调递增，且ｙ＜，所以（）（ｘ－ｙ）（ｙ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｙ）＝（ｘ－ｙ）＝（ｘ－ｙ）ｆ＇（ｙ）

即ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ）

定理2.1.21： 若ｆ在Ｉ上连续，则定义１３定义８。

（）证明：因为＝ｆ（ｘ＋为０，１上的凸函数，故：（１－）ｘ）１２（）＝＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２（１＋（１－）０）（１）＋（１－）（０）＝ ｆ（ｘ）＋（１－）ｆ（ｘ）１２特别地，当＝12时，有ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２

先证不等式的左边．

I，ｘ，由实数的性质知在Ｉ上可确定一个闭区间ｘ，若ｔx1，ｘ＜ｘｘ２１２１２，１［ｘ１ｘ＋ｘ２２］，则ｔ关于

ｘ＋ｘ１２２的对称点是ｘ＋ｘ－ｔ，而ｆ在Ｉ上连续，所以１２积分存在，所以：ｘ２ｘ＋ｘ１２２ｘ１ｘ＋ｘ１２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝ｄｆ（ｔ）＋ｆ（ｘ１＋ｘ２＋ｔ）ｔ２ｘ）２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｄｔ＝２（ｘ－ｘ）ｆ（２１ｘ＋ｘ１２２ｘ＋ｘ１２２１

即ｆ（）ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）ｄｔ 下证不等式的右边． 作变换ｕ＝x２－t（0ｕ１），则t＝x２－u（x２－x１）＝ux１＋（1－u）x２，dt＝（x１－x２）du，x２－x１当t＝x１时，u＝1；t＝x２时，ｕ＝0ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔ＝１１（ｘ－ｘ）ｆｕｘ＋（１－ｕ）ｘｄｕ（ｘ－ｘ）ｕｆ（ｘ）＋（１－ｕ）ｆ（ｘ）ｄｕ＝２１１２２１１２００ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２（ｘ－ｘ）２１２ｘｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２１２ｆ（ｔ）ｄｔ即，故ｘ１２ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋ｘ１２２）１ｘ－ｘ２１ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１

定理2.1.31 若ｆ在Ｉ上二次可导，则定义８定义１２。证明 因x1，x2Ｉｘ，＜ｘ１２ｆ（ｘ＋ｘ１２２）１ｘ－ｘ２１ｘ２ｆ（ｔ）ｄｔｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２ｘ１

令ｘ＝x１＋ｘ２２，则ｘ＜ｘ＜ｘ，故ｆ（ｘ）１２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２，即ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）１１ｘ－ｘ＝ｘ－ｘ＞０，所以１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（x２）－ｆ（ｘ）１；又因为ｆ在Ｉ

ｘ－ｘｘ－ｘ１２上可导，则ｆ在Ｉ上连续，故由极限的性质可知ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＇＇１２lim，即ｆ＋（ｘ）ｆ－（ｘ）１２xｘ１ｘ－ｘｘ－ｘ１２limxｘ２．

x＇＇＇（ｘ）＝ｆ（ｘ），ｆ－（ｘ）＝ｆ（ｘ）有二阶导数，所以ｆ＇，即x1，2Ｉ，都有＋１１２２ｆ（ｘ）ｆ（ｘ），设ｘ为Ｉ上任意固定点，则１２＇＇ｆ（ｘ＋x）－ｆ（ｘ）＇ lim０，所以ｆ（ｘ）０。x0x＇＇定理2.1.41 定义１１定义2

＇（ｘ）证明

因为ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，且ｆ单调递增，ｘ，ｘ，ｘI, 且１２３Ｉ，曲线ｙ＝ｆ（ｘ）在（。可确定两个区间ｘ，ｘｘ＜ｘ＜ｘｘ，ｘ１２３１２２３x2，＇（ｘ）ｆ（x2））的切线方程为ｙ－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ－ｘ）故横坐标为ｘ的曲线的２２２＇（ｘ）纵坐标与切线纵坐标之差为：ｆ（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ－ｘ）２２２Ｉ，而ｆ（ｘ）在Ｉ内可导，而ｘ故ｆ（ｘ）在ｘ内连续，在（ｘ），ｘ，ｘ，ｘ２３２３２３上可导，所以ｆ（ｘ）在ｘ上满足拉格朗日中值定理，即１（ｘ），ｘ，ｘ２３２３＇ｆ（１）（ｘ－ｘ）。由式（３）ｓ．ｔ．ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ＝，当ｘ＝ｘ３时，有：）３２２＇＇（ｘ）ｆ（１）ｆ（ｘ３）－ｙ＝ｆ（ｘ３）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝－（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２３２３２ｆ（ｘ）（１）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）０ ２２３２３２＇＇＇同理ｆ（ｘ）在ｘ，上满足拉格朗日中值定理，即２（ｘ），ｓ．ｔ． ｘ，ｘ１２１２＇（２）（ｘ－ｘ）ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ）＝ｆ。由式（３），当ｘ＝ｘ１时，有：ｆ（ｘ１）２１１＇＇＇（ｘ）（２）（ｘ）－ｙ＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）－ｆ＝ｆ－ｆ（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）（ｘ－ｘ）２２１２１２１２＇＇（２）（ｘ）＝（ｆ－ｆ）（ｘ－ｘ）０。由式（４）得２１２ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ３２（ｘ），ｆ２＇由式（５）得ｆ（x１）－ｆ（ｘ）２ｘ－ｘ１２（ｘ），所以ｆ２＇ｆ（x１）－ｆ（ｘ）ｆ（x３）－ｆ（ｘ）２２ ｘ－ｘｘ－ｘ１２３２2.2 凹函数的多种定义及等价证明 凹函数的13种常见定义。定义2.2.11： f在I内连续ｆ（ｘ＋ｘ１２２）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）１２２,则称f为凹函数。

定义2.2.21：若x1，x2，x3Ｉ，定义2.2.31：

f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x2)x3x2则称f为凹函数

１ｆ（ｘ）ｘ１１x1，x2，x3Ｉ，x1＜x2＜x3，ｘ１ｆ（ｘ）２２的行列式0，则称f为凹函数

ｘ１ｆ（ｘ）３３定义2.2.41x1，x2Ｉ，ｔ（０，１），ｆ（ｔｘ＋（１－ｔ）ｘ）ｔｆ（ｘ）＋（１－ｔ）ｆ（ｘ）１２１２则称f为凹函数

定义2.2.5 :ｔ，ｔ＝１，有ｆ（ｔｘ）ｋｋｋｋｋ1ｋ11nnnｔｆ（ｘ），则称f为凹函数

ｋｋｋ1定义2.2.61：

（１。）ｘＩ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）且ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（２。）x1，x2，ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－＋－＋＋１－２＇＇＇＇＇＇则称f为凹函数

I, 定义2.2.71：若ｆ在Ｉ内存在单减函数,ｘ０xI,有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝０ｘｘ０（ｔ）dｔ，则称f为凹函数。

定义2.2.81： 设f在I上连续，x1，x2Ｉ，且x1＜x2有，ｆ（x1+x22）1ｘ－ｘ２１ｘ２ｘ１ｆ（ｔ）dｔf(x1)f(x2)2则f为凹函数

定义2.2.91：若ｘ，．．．，xｎＩ，ｆ（１ｘ＋ｘ＋．．．＋ｘｎ１２ｎ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＋．．．．＋ｆ（ｘ）１２ｎｎ（ｎＮ），则称f为凹函数。

定义2.2.101：若ｆ在Ｉ内可导，ｘ，ｙＩ，有ｆ（ｘ）ｆ＇（ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｆ（ｙ），则称f为凹函数。

定义2.2.111：若ｆ在Ｉ可导，且ｆ＇（ｘ）单调递减，则称f为凹函数。定义2.2.121：ｆ在Ｉ内二次可导，ｆ＇＇（ｘ）０，则称f为凹函数。定义2.2.131：ｆ在区间Ｉ上凹函数的充要条件是：函数。

为[0,1]上的凹函数。（）＝ｆ（ｘ＋（１－）ｘ）１２几种定义间的推到证明即可类比与凸函数的情况 2.3 关于凸凹函数性质的总结

上一段为凸（或凹）函数的十三种定义及部分定义间的相互证明，这一段在此基础上就凸（或凹）函数的性质方面作进一步思考。根据上文所提到的定义，可知

性质2.3.12：当ｆ在Ｉ上一阶可导时，由ｆ在Ｉ单增（或减），ｆ（ｘ）（或）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）０００＇证明：必要性：计算ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（）（ｘ－ｘ）－ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＝００００００＇＇＇

（ｆ（）－ｆ（ｘ））（ｘ－ｘ）００＇＇（介于ｘ和ｘ之间）０由于ｆ在Ｉ单增（或减），可知上面两个因子同号，故有

（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）（或）ｆ０００＇＇（x０）（x－x０）＋f（x０）充分性：设x，x０Ｉ，有f（x）（。当x１，x２Ｉ，或）f而x１＜x２时就有f（x１）（或x１－x２）＋f（x２）及f（x２）（或（x１）（x２－x１）＋f（x１））f（x２）（或）f ＇＇＇＇（ｘ）－ｆ（ｘ）］（ｘ－ｘ）．两式相加即有ｆ（ｘ）由＋ｆ（ｘ）（或）［ｆ２１１２１２（x１）（或）f（x２），可见f即f在I上I上单减（或单增）ｘ＜ｘ　１２＇＇性质2.3.22 设ｆ在Ｉ上可导，ｆ在Ｉ下凸（或上凹）ｘｘＩ，ｆ（ｘ）（或１，２）f（x１）＋f（x１）（x－x１），由于f（x）＝f（x１）＋f（x１）（x－x１），是过＇＇的曲线的切线，由于上面不等式的几何意义是：下凸（上凹）曲线（ｘ，ｆ（ｘ））１１总在曲线上的任一点的切线之上（下）。

性质2.3.32：当ｆ在Ｉ上二阶可导时，则可得 当ｆ在Ｉ上二阶可导时，ｆ在Ｉ下凸

＇（x）（或）0（或上凹）xI，f＇＇（ｘ）证明：必要性：ｆ在Ｉ上二阶可导，且下凸（或上凹）ｆ在I上单增（或单减））ｆ（ｘ）（或）0，xI ＇充分性：

ｘｘＩ１，２＇ｆ（ｘ）ｆ（）２１，有ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋（ｘ－ｘ）＋（ｘ－ｘ）（或２１２１２１１！２！＇）ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ），据上面的证明中徳充分性，可知已做；额下面１２１１证明链的证明：ｆ（ｘ）（或f在I上单增或单减）２（ｘ）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ））ｆ１２１１＇性质2.3.42：若ｆ在Ｉ上可导，则下述两个断语等价：

（１）

＇f（x２）（或）f（x１）（x２－x１）＋f（x１）（２）

f（x１）＋f（x２））（或）22证明：（１） f（x１＋x２（２）ｘ令ｘ３＝，ｘＩ，１２

于是ｆ（ｘ）（或１）ｆ（＇ｘ＋ｘ１２2，－ｘ＝则ｘ１３ｘ－ｘ１２2，ｘ－ｘ＝２３ｘ－ｘ２１2

ｘ＋ｘ１２2ｘ＋ｘ１２）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝１３３ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ１２＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）222两式相加，即得ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（或１２ｘ－ｘｘ＋ｘｘ＋ｘ２１＇１２２ｆ（）＋ｆ（１）过点2222ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１＝与的弦为亦即（ｘ，ｆ（ｘ））（ｘ，ｆ（ｘ））２２１１ｘ－ｘ２１）ｆ（＇）（ｘ－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝２３３ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１2ｘ－ｘ２１（或2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１）＝）当令上式中的ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１ｘ－ｘ２１（ｘ－ｘ是两点横坐标的差）（ｘ，ｆ（ｘ）），（ｘ，ｆ（ｘ））２１１１２２2ｘ－ｘ２１＝令ｘ２－ｘ当此时两点的横坐标缩小一半时），上式仍然成立１2ｘ－ｘ２１ｆ（ｘ＋）－ｆ（ｘ）１１２2（或ｘ－ｘ２１ｘ－ｘ＝２１2２ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１，用数学归纳法易证）＝ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１有ｎＮ，ｆ（ｘ＋１ｘ－ｘ２１）－ｆ（ｘ）１ｎ2（ｘ－ｘ２１ｎ或

2ｆ（ｘ＋（ｘ－ｘ））－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）１２１１２１）＝，此即ｆ（ｘ）（或２ｘ－ｘｘ－ｘ２１２１）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）（ｘ－ｘ）１１２１＇

2.4 一元函数凹凸性判定定理及其应用 定理2.4.11： 设ax1x2b，（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则'f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);（2）若f(x)的图形在[a,b]上是凹的，则'f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);

证 先证（1）：由于f(x)的图形在[a,b]上是凸的，可知f(x)在[a,b] 连续，在(a,b)内可导。因为ax1x2b，在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点(x1,x2)(a,b)，使得f'()[f(x2)f(x1)]/(x2x1)。有由于f(x)的图形在[a,b]上是凸的，有f''(x)0,f'(x)在(a,b)上单调递减，得到''''f(x1)f()f(x2)，从而有f(x1)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)f'(x2);

同理可证（2）

几何意义 如图所示，在弧AB上任取两点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),，其中ax1x2b，若f(x)的图形在[a,b]上是凸的（或凹的），则弦MN的斜率

'（大于）过点N的切线斜率f(x2)，大于（小kMN[f(x2)f(x1)/(x2x1)小于于）过点M的切线斜率f'(x1)，即弦MN斜率的大小总是在过两端点的切线的斜率之间。

: 定理2.4.22 :设ax1x2x3b

（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则（2）若f(x)的图形在[a,b]上是凹的，则

f(x2)f(x1)x2x1f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x1)x3x1f(x3)f(x1)x3x1;;

证明 因为f(x)在[a,b]连续，在(a,b)内可导，故在[x1,x2]上使用拉格朗日中值定理，至少存在一点(x1,x2)(a,b)，使得f(x2)f(x1)f'()(x2x1)令g(x)[f(x2)f(x1)]/(x2x1)则g(x)'f(x)(xx1)[f(x)f(x1)](xx1)2'[f(x)f()](xx1)(xx1)2''=

f(x)f'()xx1',其中x1x.（1）若f(x)的图形在[a,b]上是凸的，则f''(x)0，f'(x)在[a,b]上单调递减，于是f'(x)f'()，从而g'(x)0，即g(x)在[x1,x]上单调递减。取x1x2x3xb则有g(x2)g(x3)即

f(x2)f(x1)x2x1f(x3)f(x1)x3x1;

同理可证凹函数。

几何意义 如图所示，在弧AB上任取3点M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),P(x3,f(x3))，其中ax1x2x3b。当f(x)的图形在[a,b]上是凸的(凹的)时，弦MN的斜率率f(x3)f(x1)x3x1f(x2)f(x1)x2x1大于(小于)弦MP的斜

（1）函数凹凸性的直观解题法

以函数yf(x)在某区间I 上单调增加为例说明我们不难理解,随着自变量x的稳定增加,当函数y的增量越来越大时,函数图形是凹的,当函数y 的增 量越来越小时,函数图形是凸的,当函数y的增量保持不变时,函数图像是直线.对于减函数我们可以作类似的分析.例题

例１

如图，液体从一圆锥形漏斗流入正方体容器中，开始时漏斗盛满液体，经过50 秒漏完!已知正方体容器液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥中液面下落的距离,则H 与下落时间t(秒)的函数关系用图像表示只可能是以下哪一选项?

分析: 不难看出圆锥中液面下落的距离H 随着时间t 是单调增加的函数, 由于正方体中液面上升的速度是一个常量,所以自变量t 是稳定增加的,因此 液体从漏斗漏出的速度为一常量.又由于圆锥的截面越向下越小,所以随着时间t的稳定增加,圆锥中液面下降的距离H 的变化将越来越快,H关于t 的函数图形应是凹的，故正确答案选(B)

例2： 用凸函数方法证明younger不等式：ｘｙｘ＋ｙ（ｘ，ｙ，，均

＇（ｘ）＝－为正数＋＝１）证明：令 ｆ（ｘ）＝lnx,则ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）为凹函数。从而ｆ（ｘ＋ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＝ｌｎｘ＋ｌｎｙ＝ｌｎｘｙ或

由ｅｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）ｘ的单调增加性：

ｅｅ即ｘｙｘ＋ｙ 我们可以推广至三元甚至n元的情况１２ｎｘｘ．．．．ｘ１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，１，．．．，ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎｌｎ（ｘ＋ｙ）ｌｎ（ｘ＋ｙ）均为正数１＋．．．＋ｎ＝１）

＇（ｘ）＝－证明:令ｆ（ｘ）＝lnx,则ｆ＇1ｘ２＜０，ｆ（ｘ）为凹函数。从而

１ｆ（１ｘ＋２ｘ２＋．．．．＋ｎｘｎ）１ｆ（ｘ）＋２ｆ（ｘ２）＋．．．．＋ｎｆ（ｘｎ）＝１ｌｎｘ＋．．．＋ｎｌｎｘｎ＝ｌｎｘｘ２２．．．．ｘｎｎ１１１１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ）ｌｎ（ｘ＋ｘ＋．．．．＋ｘ）或lｎ（１从１２ｎ１２ｎ１２ｎ而１２ｎｘｘ．．．．ｘ１ｘ＋２ｘ＋．．．．＋ｎｘ（ｘ，．．．，ｘ，１，．．．，ｎ１２ｎ１２ｎ１ｎ－１1ｘｙ＋例3：证明：对任何正数ｘ，ｙ，当1时，有ｘ－１ｙ

证明：注意不等式系数之和用凸，凹函数证明。

－１1＋＝１，且ｘ，ｙ及系数均为正数，可考虑＇设ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ，则ｆ＇（ｘ）＝－１ｘ２＜０为凹函数，故

－１1ｘ－１1ｘｆ（ｙ＋）ｆ（ｙ）＋ｆ（）－１－１ｙｙ＝－１1ｌｎｙ＋［ｌｎｘ－（－１）ｌｎｙ］ ｌｎ（－１1ｘｙ＋）ｙ－１＝ｌｎｘ由ｅ的单调增加性知：ｅｘｅｌｎｘ－１1ｘｙ＋ｘ 即－１ｙ例4：ｆ（ｘ）为内的凹函数，证明对任意的（ａ，ｂ）有，ｘ［，］，［，］（ａ，ｂ），Ｌ＞０，ｓ．ｔ．ｘ１２ ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ１２１２证明：由知，存在ｈ＞０，使得[h，h]记［，］（ａ，ｂ）（ａ，ｂ）Ｍ＝ｍａｘ{ｆ（ｘ），}ｍ＝ｍｉｎ{ｆ（ｘ），}于是对ｘ，ｘ［，］,若１２取ｘ由于f(x)为凸函数，故ｘ＜ｘ，＝ｘ＋ｈ，１２３２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ）Ｍ－ｍ２１３２，从而ｘ＋ｘｘ＋ｘｈ２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ２１

若ｘ可取ｘ由于f(x)为凸函数，有ｘ，＝ｘ－ｈ，２１３２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｍ－ｍＭ－ｍ２３１２ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｘ－ｘ２１１２ｘ－ｘｘ－ｘｈｈ２３１２，ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）成立，若ｘ２＝ｘ１２１Ｍ－ｍｈｘ－ｘ１２亦成立，综上所述

ｘ，ｘ［，］，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）Ｌｘ－ｘ１２１２１２

(2）应用凹凸性的常规定义证题

对函数凹凸性定义, 不同教材有不同的定义形式,下面给出其中一种定义形式: 设f(x)在区间I 上连续,如果对I 上任意两点x1,x2都有f(x1x22)f(x1)f(x2)2那么称f(x)在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如

x1x22)f(x1)f(x2)2n果对I上任意两点x1,x2都有f(的图形是(向上)凸的(或凸弧).,那么称f(x)在I上

1n一般地,看f(x).是区间I上的凹函数,则有.f(i1xin)nf(xi)其中xi是I 内

i1的任意点(ｉ=1,2,…,n)若.f(x)是区间I 上的凸函数时,则不等号反向).定理设f(x).在,[a.b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,如果在(a,b)内.f''(x)0(或f''(x)0).那么f(x).在[a.b]上的图形是凹的（或凸的）（证明全略）

（3）数形结合解题

函数的凹凸性揭示了函数因变量随自变量变化而变化的快慢程度，如果结合函数其它性质，可使我们对函数图形的描绘更加精确。

例1：如图所示 半径为r=4的圆c 切直线AB于0 点,线OT从OB出发绕O 点逆时针方向旋转

到OA!OT 交圆C 于P,记.PCO 弓形PMO 的面积s=f(x),试判定f(x)在[0,2]上的凹凸性。

解：由题意可得SS扇形PMOCSPOC, S扇形PMOC12rx2又因为

12rsinx2

rcosx212rsinx2124x8x,SPOC22

124sinx8sinx,x[0,2] 2所以，得f''(x)8x8sinx.当x(0,)时，f''(x)0;当x(,2)时，f''(x)0;由函数凹凸性定理可知，f(x)在[0,]上函数图形为凹，在[0,2]上函数图形为凸。

函数的凹凸性是函数图形的一个重要特征，了解函数的凹凸性能使函数图形的描绘更加精确化。在解决函数变化率的过程中或求某些特殊不等式时，用函数凹凸性求解!会显得更为简捷。

3.二元函数凹凸性的判定及其应用

3.1 二元函数凹凸的定义

定义3.1.13:设f(x,y)是定义在区域C上的二元函数，且满足对任意(x1,y1)C,(x2,y2)C;1,20，且121，有1f(x1,y1)2f(x2,y2)（或）f(1x12x2,1y12y2)我们称f(x,y)在C上为凹（或凸）函数。为了研究方便，设定f(x,y)非常数函数和一次函数。

从定义中看出，为上面定义中等号成立的充分条件而非必要条件。3.2 二元函数凹凸性的判定定理

定理3.2.1

3设fx,y在区域D上具有二阶连续偏导数，记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfxy(x,y), ''''''则

（1）在D上恒有A<0，且ACB20时，f(x,y)在区域D上是凸函数；（2）在D上恒有A>0, 且ACB20时，f(x,y)在区域D上是凹函数。如果A仅在个别处为零，并不影响函数在该区域的凹凸性.但如果在区域D上恒有A=0时，依据定理1无法判断f(x,y)在区域D上的凹凸性，定理2可解决这个问题。

定理3.3.23

设f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfxy(x,y),在''''''D恒有A=0,ACB20时，则当

当C0时，f(x,y)在区域D上是凹函数。C0时，f(x,y)在区域D上凸函数；证明

任取(x1,y1)，(x2,y2)D,设tx1(1t)x2x0,ty1(1t)y2y0,t(0,1).记x1x0x,y1y2y,则x2x0泰勒

公

tt1x,y2y0tt1y,由二元函数的得

式可tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(x0,y0)''2=t(f(x2,y2)f(x0,y0))=t{fx'(x0,y0)xfy'(x0,y0)y20.5[fxx(1,1)(x)

t(f(x1,y1)f(x0,y0))(12fxy(1,1)xyfyy(1,1)(y)]}(1t){fx(x0,y0)fy(x0,y0)0.5(tt1'''''2'tt1xtt1''y2''''2)[fxx(2,2)(x)2fxy(2,2)xyfyy(2,2)(y)]}

=0.5t{f(1,1)(x)2f(1,1)xyf(1,1)(y)''xx2''xy''yy2t22(1t)[fxx(2,2)(x)1)(y)]''22

2fxy(2,2)xyfyy(2,2)(y)},其中：''''21x01(x1x0),1y01(y1y0),2x02(x2x0),2y02(y2y0)(o1,21),显然

（1，1）D,(2,2)D.2

由A=0及ACB0得 B=0，于是tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2) 0.5tf(1,1)(y)''yy2t22(1t)fyy(2,2)(y)(t(0,1)).''2

当c0时，即f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2),f(x,y)在区域D上是即f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2),f(x,y)在区域D上是

tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)0，tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2)0，凸函数。当c0时，凹函数。

２例1 讨论ｆ（ｘ，ｙ）＝３ｘ＋ｙ的凹凸性

函数的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)3,fy'(x,y)2y，于是Afxx(x,y)0,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)2,，于是AO,ACB0且''''''2c0，由定理3.3.2可知f(x,y)在其定义域上是凹函数

定理3.3.33设f(x,y)在开区域内2个偏导数，fx(x,y),fy(x,y)，都存在且连续 f(x,y)在D内是凸（凹）函数的充要条件是：对于任意(x1,y1),(x2,y2)D，有f(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)（orf(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)证明

只证明凸

''''函数的情形 充分性

任取

t0,1,令x0tx1(1t)x2,yty1(1t)y2由已知可得

''''，'f(x1,y1)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x1x0)fy(x0,y0)(y1y0)f(x2,y2)f(x0,y0)fx(x0,y0)(x2x0)fy(x0,y0)(y2y0)'tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(x0,y0)fx(x0,y0)[tx1(1t)x2x0]fy(x0,y0)[ty1(1t)y2y0]，所以f(x,y)在区域D内是凸函数

必要性 由于f(x,y)在区域D内是凸函数，则对任何t0,1,(x1,y1),(x2,y2)D，都有

tf(x1,y1)(1t)f(x2,y2)f(tx1(1t)x2,ty1(1t)y2),整理得

f(x1,y1)f(x2,y2)1t

(f(x2t(x1x2),y2t(y1y2))f(x2,y2))

1''22＝{fx(x2,y2)t(x1x2)fy(x2,y2)t(y1y2)o([t(x1x2)][t(y1y2)])}t＝fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)''o(t(x1x2)(y1y2))t'22

令t0，两边取极限得

f(x1,y1)f(x2,y2)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2),f(x1,y1)fx(x2,y2)(x1x2)fy(x2,y2)(y1y2)f(x2,y2)'''即

同理可证凹函数的情形。

3.4 二元凹凸函数的应用（求最大值，最小值）定理3.4.1

5设是在开区域D内具有连续偏导数的凸（或凹）函数，(x0,y0)D且

则f(x0,y0)必为f(x,y)在D内的最大值与最小值

证明：

只证明凸函数的情形。因为ｆ（ｘ，ｙ）是在开区域D内具有连续偏导数的凸函数，由定理3可知，对于任给（ｘ，ｙ）Ｄ,有f(x,y)f(x0,y0)fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)又f(x0,y0)0,f(x0,y0)0, 'x'y''fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0,''

例1：求二元函数f(x,y)3x23y22x2y2的最大值或最小值。解：函数的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)6x2,fy'(x,y)6y2，于是得xfx(x,y)0,fy(x,y)0，''13,y13，所以f(x,y)在其定义域内最小值为114f(,)333

同理可证凹函数的情形。

例2 求二元函数f(x,y)3x23y22x2y2在定义域内的最大值或最小值

解函数。的定义域为{(x,y):xR,yR},fx'(x,y)6x2,fy'(x,y)6y2，于是

Afxx(x,y)6,Bfxy(x,y)0,Cfyy(x,y)6则A0,ACB0所以''''''2f(x,y)在其定义域内是凹函数，令fx(x,y)0,fy(x,y)0，得x''13,y13，所以f(x,y)在其定义域内最小值为f(,)331143

4．多元函数凹凸性的判定

4.1多元函数凹凸性的几个定义

定义4.1.16 设D是n维空间的一个区域，若＇'''p(x1,x2,...,xn)D,p(x1,x2,...,xn)D 则

''（1）设fxy 总能分解成fxy''g(x,y).h(x,y),fxxg(x,y),fyyh(x,y)(fxxg,fyyh),''''''''则D上是凹（凸）的；

''''（2）设（1）的条件成立并且关于fxx,fyy的两个不等式中，Q(x1(x1x1),x2(x2x1),...,xn(xnxn))D,'''f(x,y)在则称D是凸函数，否则称D为凹函数。

定义4.1.26 设f(p)是定义在凸函数D上的函数，p1(x11,x12,...,x1n),p2(x12,x22,...xn2)是D上的任意两点，记p0(12x11x222,x21x22212,...,xn1xn22).（1）若恒有[f(p1)f(p2)]f(p0)([f(p1)f(p2)]f(p0)),且等号不恒成立，则称f在D上是凹（或凸）的)]f0(p)([1f(p)2f(p)]0f(p)),则称f在D上是严（2）若[f(p1)f(p22211格上的凹（或凸）的。

（3）若[f(p1)f(p2)]f(p0)，则称在D上是线性的，21则称f在D上是线性的。这两种定义是等价的

在二元函数中，设D是２维空间的一个区域，若p(x1,x2)D,p＇(x1',x2')D

''则由定义一知（1）设fxy总能分解成

fxy''g(x,y).h(x,y),fxxg(x,y),fyyh(x,y)(fxxg,fyyh),''''''''则在ｆ（ｘ，ｙ）'D上是凹（凸）的；

''''（２）设（1）的条件成立并且关于fxx,fyy的两个不等式中，Q(x1(x1x1),x2(x2x２))D,则称

'D是凸函数，否则称D为凹函数。

由定义二知

设f(p)是定义在凸函数D上的函数p1(x11,x12),p2(x12,x22)是D上的任意两点，记p0(x11x22212,x21x222).1（1）若恒有[f(p1)f(p2)]f(p0)([f(p1)f(p2)]f(p0)),且等号不恒成2立，则称f在D上是凹（或凸）的)]f0(p)([1f(p)2f(p)]0f(p)),则称f在D上是严（2）若[f(p1)f(p22211格上的凹（或凸）的。

（3若[f(p1)f(p2)]f(p0)，则称f在D上是线性的。

21例如三元函数f(x,y,z)xyz就是一个凹函数 4.2多元函数凹凸性的几个判定定理 定理4.2.18 设f(x,y)是凸区域D上具有二阶连续偏导数的二元函数，记''''''2那么，Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfyy(x,y),BAC,若C0且不恒为0，当A0或C0，函数f在D上上凹，当A>0或C<0，函数f在D上上凸，若0当A0或C0，函数f在D上是凹的，当A0或C<0，函数f在D上上凸。证明:任取p1(x1,y1),p2(x2,y2)D,记p0(x0,y0)(f(p1)f(p0)(x1x0)fx(p0)(y1y0)fy(p0)f(p2)f(p0)(x2x0)fx(p0)(y2y0)fy(p0)''''x1x222M22,y1y22),由泰勒公式

M1

则当A0,C0时

Mi(xix0)fxx(i,i)2(xix0)(yiy0)fxy(i,i)(yiy0)fyy(xi,i)＝＝{[(xix0)A(yiy0)B](yiy0)(BAC)}A{[(xix0)B(yiy0)C](xix0)(BAC)}C''2''''2''222222(i1,2)f(p1)f(p0)(x1x0)fx(p0)(y1y0)fy(p0)M12M2f(p2)f(p0)(x2x0)fx(p0)(y2y0)fy(p0)''2则

f(p1)f(p2)2f(p0)M1M22

当0,A0，C>0,Mi0,f(p1)f(p2)2f(p0),0,A0,C0时，定理得证

利用泰勒公式，我们不难证明

定理4.2.29设f(x,y)是凸函数D上的具连续偏导数的二元函数不同时取，则有f(x,y)在D上是严格凹（凸）的。

''''''若fxxfxyfyy0,，则f(x,y)在D上线性的。

定理一和定理显然不难推广到一般徳多元函数中去，这里不再叙述。定理4.2.39 设ｆ是凸区域D上的n元函数，nD1{(x1,x2,...,xn)}(x1,x2,...,xn)D, an1axii1i0,a是任意常数}是D中的任意平面区域；（1）ｆ在D上上凹（凸）的等价于ｆ在Ｄ１上上凹（凸）或线性，但非恒线性的；

（2）ｆ在D上严格凹（凸）的等价于ｆ在Ｄ１上是严格上凹（凸）的；（3）ｆ在D上是线性的等价于ｆ在D上是线性的。证明：（只证严格上凹的情形）设ｆ在D内任何平面区域Ｄ１上均严格上凹，故有f(p1)+f(ｐ)2f(p0)２因而ｆ在D上严格上凹。反之，若ｆ在D上严格上凹，显然在任何Ｄ１上也是严格上凹。

在上面的基础上给出

定义

设n元函数f在n元凸区域D 上不是平的, 不是凹的, 也不是凸的, 则称f在D上是凹凸不平的

定理4.2.110

设ｆ（ｘ，ｙ）是凸区域D上的具有二阶连续偏导数的二元函

''''''2数，对(x,y)D记Afxx(x,y),Bfxy(x,y),Cfyy(x,y),BAC,则、（1）f在D上是平的ABC;(2)f在D上是凹的0,A0,C0(A,B,C不全恒为0)；（3）f在D上是平的0,A0,C0(A,B,C不全恒为0)；

（4）f在D上是凹凸不平的PD,使(p)0,或A（或C）在D上值是可正负的。

（注：若,A,C在D内没有零点或只有孤立点，则（2）、（3）就成了严格上凹凸的情况）

证明：只证（2）与（4）。先证（2）

在D内任取一条线段，不妨记其方程是xx0或ykxb(k是任意实数）易得f在D上上凹f在线段xx0上上凹或线性，且在线段ykxb上上凹或''''2''''''2''线性但非恒线性fyy(x0,y)0，且g(x)fxx(x,kxb)kfxx(x,y)2kfxy(x,y)fyy(x,y)Ak2BKC0（等

''号不恒取)，xx(x,y)D,且ykxb其中fyy(x0,y)0（对(x0,y)D)C0）

对于Ak22BkC0(k任意，等号不恒取)，分别有

（1）A0时，2BKC0有，对任意k恒成立，则B0,C0。此时''0,Cg(x)0

（2）A0时，4B24AC40,即0,C0

由（1）与（2）知，g''(x)0（等号不恒取）0,A0且C0（A,B,C不全恒为0）综上可得，f在D上上凹0,A0且C0（A,B,C不全恒为0）

再证（4）由定理中的（1）、（2）、（3）f在D上凹凸不平f在D上不是平的，不是凹的也不是凸的A，B,C不全恒为0，且p1D,使(p1)0或p2D,使A(p2)0，或p3D,使C(p3)0，同时，Q1D,使(Q1)0，或Q2D使A(Q2)0或Q3D,使 C(Q3)0 pD,使(p)0,或A（或C）在D上可正负。

小 结

函数的凹凸性是解决函数问题经常遇到的，一元，二元，至多元函数的凹凸函数的性质及判定在数学中具有重要的作用。利用函数凹凸性的判定定理对解决函数问题具有很大的帮助。在熟悉函数凹凸性的定义时更要掌握函数凹凸性的几个重要的判定定理。

参考文献

[1] 同济大学数学教研室主编.数学分析[M].北京：高等教育出版社.1982.[2] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京：高等教育出版社.1988.[3] 李再湘.函数凹凸性的定义[J].数学通报.第三卷.1992(4):43-45.[4] 安振平.凹凸性的判定[J].基础教育.第四卷.1994(6):43-45.[5] 杨正义.一元函数凹凸性的应用[J].教学研究.第六卷.1997(6):45-47.[6] 郭慧清.多元函数函数凹凸性 [J].甘肃教育.第二卷.1996(12):8-10.[7] 毛晓锋.函数凹凸性的性质[J].数学通报.第五卷.2001(12):27-29.[8] 万莉娟.关于函数凹凸性的几个判别法[J].高师理科学刊,2005,25(1):7-9.[9]高俊宇.函数凹凸性在证不等式中的应用.沧州专科师范学校 学报,2003,9,19(3).[10]罗志斌,曾华菊.关于函数凹凸性定义的一个注解.赣南师范学 院学报,2005(3).致

谢

本文在选题，修改及其完稿的整个过程中，都是在宋贤梅老师的细心指导下完成的，在写作的过程中，宋老师严格要求，同时又给予鼓励，引导我正确的写作思路，传授我适当的写作方法,在此对她表示忠心的感谢！