线性代数考试复习范围指南[小编推荐]

第一篇：线性代数考试复习范围指南[小编推荐]

题型：选择题20%（10小题）、填空题20%（10小题）、计算题（54%）（6大题）、证明题6%（1题）

复习范围：

1、概念：行列式的定义、余子式、代数余子式、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换、矩阵的秩、线性组合、线性相关、线性无关、向量组的秩、线性表示、极大无关组、向量空间、正交、坐标、向量的正交性、特征值、特征向量、规范正交基、相似矩阵、正交矩阵、二次型、标准型、二次型的秩、正定矩阵、正定二次型

2、性质：矩阵秩的性质（利用结论进行计算，无须证明）、伴随矩阵的性质、分块矩阵的性质（尤其是对角阵）、方程组解的结构、特征值的性质、特征向量的性质、线性方程组解的判定、正定矩阵的判定、克拉默法则

3、计算：行列式的计算（数字4阶）、求逆矩阵、求矩阵的秩、行阶梯形矩阵、最简性矩阵、列向量组的秩、列向量组的最大无关组、并用最大无关组表示其他向量、最高阶非零子式、解线性方程组（会求基础解系并表示通解）、求特征值、特征向量并将矩阵对角化、将二次型化为标准型

第二篇：线性代数考试题型及范围【超完整版】

线性代数考试题型及范围：

一、填空

1、已知矩阵A或B，求A与B之间的运算，如AB，A逆B逆，kA

2、已知方阵A，求A的行列式，A的伴随矩阵，A的伴随矩阵的行列式

3、求向量组的秩

4、求矩阵A的相似矩阵B的行列式

5、其次线性方程组有非零解的充要条件

二、选择

1、同阶方阵A、B的运算性质

2、两个相似矩阵A B的性质

3、关于向量线性相关性的选择题

4、非齐次方程组的特解与其齐次方程组的基础解系之间的关系

5、二次型正定性的判定

三、计算题

1、行列式的计算

2、求A的逆矩阵

四、解答题

1、求向量组的极大线性无关组

2、用基础解析求方程组的通解

五、给定实对称矩阵A，求可逆阵P，使P-1AP为对角阵

六、证明题：（关于矩阵，具体内容未知）记住这些话：

第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA+bE再说。

第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αs线性无关，先考虑用定义再说。第五句话：若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

第七句话：若已知A的特征向量p，则先用定义Ap=λp处理一下再说。

第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

《线性代数》复习提纲

第一部分：基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯

一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识

一、行列式 1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。特殊情况

（1）上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ

行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。二．矩阵

1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩

（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

（2）秩的求法

一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵

（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；

（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）

（3）可逆的条件：

① |A|≠0； ②r(A)=n;③A->I;

（4）逆的求解

伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)

②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）

5．用逆矩阵求解矩阵方程：

AX=B，则X=（A^-1）B；

XB=A，则X=B(A^-1)；

AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)

三、线性方程组

1．线性方程组解的判定

定理：

(1)r(A,b)≠r(A)无解；

(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；

(3)r(A,b)=r(A)

特别地：对齐次线性方程组AX=0

(1)r(A)=n 只有零解；

(2)r(A)

再特别，若为方阵，(1)|A|≠0 只有零解

(2)|A|=0 有非零解

2．齐次线性方程组

（1）解的情况：

r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；

r(A)

（2）解的结构：

X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）求解的方法和步骤：

①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；

②写出对应同解方程组；

③移项，利用自由未知数表示所有未知数；

④表示出基础解系；

⑤写出通解。

3．非齐次线性方程组

（1）解的情况：

利用判定定理。

（2）解的结构：

X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）无穷多组解的求解方法和步骤：

与齐次线性方程组相同。

（4）唯一解的解法：

有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。

四、向量组

1．N维向量的定义

注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。

2．向量的运算：

（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

（2）向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；

（3）向量长度

|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√ 根号)

（4）向量单位化(1/|α|)α；

（5）向量组的正交化（施密特方法）

设α1，α 2，…，αn线性无关，则

β1=α1，β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。

3．线性组合

（1）定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，则称β是向量组α1，α 2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。

（2）判别方法 将向量组合成矩阵，记

A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)

若 r(A)=r(B)，则β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示；

若 r(A)≠r(B)，则β不可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。

（3）求线性表示表达式的方法：

将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。

4．向量组的线性相关性

（1）线性相关与线性无关的定义

设 k1α1+k2α2+…+knαn=0，若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；

若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。

（2）判别方法：

① r(α1，α 2，…，αn)

r(α1，α 2，…，αn)=n，线性无关。

②若有n个n维向量，可用行列式判别：

n阶行列式aij＝0，线性相关（≠0无关）(行列式太不好打了)

5．极大无关组与向量组的秩

（1）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩

（2）求法 设A＝(α1，α 2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

五、矩阵的特征值和特征向量

1．定义 对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。

2．特征值和特征向量的求解：

求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3．重要结论：

（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；

（2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；

（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。

六、矩阵的相似

1．定义 对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A与B相似。

2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）：

求出所有特征值；

求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：

方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型

n

1．定义 n元二次多项式f(x1,x2,…，xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j)，则称为二交型的标准型。

i,j=1 2．二次型标准化：

配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q^-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。

3．二次型或对称矩阵的正定性：

（1）定义（略）；

（2）正定的充要条件：

①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；

②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；

《线性代数》复习提纲

第一部分：基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；

求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯

一、无穷多解）；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识

一、行列式

1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法

定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况：

Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；

Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；

Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵

1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

（2）关于乘法的几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；

④|kA|=k^n|A|

3．矩阵的秩

（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

（2）秩的求法

一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

4．逆矩阵

（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；

（2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）

（3）可逆的条件：

① |A|≠0； ②r(A)=n;③A->I;（4）逆的求解

伴随矩阵法 A^-1=(1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵~)

②初等变换法（A:I）->(施行初等变换)（I:A^-1）

5．用逆矩阵求解矩阵方程：

AX=B，则X=（A^-1）B；

XB=A，则X=B(A^-1)；

AXB=C，则X=(A^-1)C(B^-1)

三、线性方程组

1．线性方程组解的判定

定理：

(1)r(A,b)≠r(A)无解；

(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；

(3)r(A,b)=r(A)

特别地：对齐次线性方程组AX=0

(1)r(A)=n 只有零解；

(2)r(A)

再特别，若为方阵，(1)|A|≠0 只有零解

(2)|A|=0 有非零解

2．齐次线性方程组

（1）解的情况：

r(A)=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；

r(A)

（2）解的结构：

X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）求解的方法和步骤：

①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；

②写出对应同解方程组；

③移项，利用自由未知数表示所有未知数；

④表示出基础解系；

⑤写出通解。

3．非齐次线性方程组

（1）解的情况：

利用判定定理。

（2）解的结构：

X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）无穷多组解的求解方法和步骤：

与齐次线性方程组相同。

（4）唯一解的解法：

有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。

四、向量组

1．N维向量的定义

注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2．向量的运算：

（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

（2）向量内积 α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；

（3）向量长度

|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√ 根号)

（4）向量单位化(1/|α|)α；

（5）向量组的正交化（施密特方法）

设α1，α 2，…，αn线性无关，则

β1=α1，β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。

3．线性组合

（1）定义 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，则称β是向量组α1，α 2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。

（2）判别方法 将向量组合成矩阵，记

A＝(α1，α 2，…，αn)，B=(α1，α2，…，αn,β)

若 r(A)=r(B)，则β可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示；

若 r(A)≠r(B)，则β不可以用向量组α1，α 2，…，αn的一个线性表示。

（3）求线性表示表达式的方法：

将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。

4．向量组的线性相关性

（1）线性相关与线性无关的定义

设 k1α1+k2α2+…+knαn=0，若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；

若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。

（2）判别方法：

① r(α1，α 2，…，αn)

r(α1，α 2，…，αn)=n，线性无关。

②若有n个n维向量，可用行列式判别：

n阶行列式aij＝0，线性相关（≠0无关）(行列式太不好打了)

5．极大无关组与向量组的秩

（1）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩

（2）求法 设A＝(α1，α 2，…，αn)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

五、矩阵的特征值和特征向量

1．定义 对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。

2．特征值和特征向量的求解：

求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组(λI-A)X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3．重要结论：

（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；

（2）A与A的转置矩阵A'有相同的特征值；

（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。

六、矩阵的相似

1．定义 对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A与B相似。

2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）：

求出所有特征值；

求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：

方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型

n

1．定义 n元二次多项式f(x1,x2,…，xn)=∑ aijxixj称为二次型,若aij=0(i≠j)，则称为二交型的标准型。

i,j=1

2．二次型标准化：

配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q^-1=Q'，即正交变换既是相似变换又是合同变换。

3．二次型或对称矩阵的正定性：

（1）定义（略）；

（2）正定的充要条件：

①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；

②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；

第三篇：2014考研数学线性代数寒假复习指南

2014考研数学线性代数寒假复习指南

2014年考研学子备战考研的压力都比较大，在寒假期间都没有放弃学习的时间。数学作为考研考试中比较重点和难点的科目，很多考生都比较发愁，考研辅导专家为使2014年考研的学生能在寒假有目标、有方向的进行复习，特意作此文章，以供参考。

考研数学中高等数学内容庞杂，几天里根本完不成什么，概率统计内容是依赖与高等数学的，线性代数内容较少，而且多数内容不依赖于高等数学。因此从看、线性代数开始复习是比较好的选择。

一、复习依据

数学公式、数学考试大纲、数学复习参考书、十年考研真题解析。

二、复习重点

基本概念、基本理论、基本方法。

三、复习方法

1.针对考试大纲获悉线性代数的考试重点

历年考试大纲都会对考研数学的考试重点、难点做出指示，这是考生在复习之前必须做好的准备，有了他，就有了复习的方向。

2.集中复习线性代数公式和原理

针对大纲中出现的重点和难点，考研学子可以回归复习教材，把基础公式、原理等相关知识进行系统的复习，重点大好基础。

3.适当做数学练习题

这里的数学练习题，建议还是以同济四版的大学教材为主，前期做教材上的练习题就可以。

第四篇：自学考试专题：线性代数（经管类）复习材料

04184线性代数(经管类)

√

关于：

①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；

②线性无关；

③；

④；

⑤任意一个维向量都可以用线性表示.√

行列式的计算：

①

若都是方阵（不必同阶）,则

②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.③关于副对角线：

√

逆矩阵的求法:

①

②

③

④

⑤

√

方阵的幂的性质：

√

设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.√

设的列向量为,的列向量为，的列向量为,√

用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√

两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,与分块对角阵相乘类似,即：

√

矩阵方程的解法：设法化成当时,√

和同解（列向量个数相同）,则：

①

它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

②

它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③

它们有相同的内在线性关系.√

判断是的基础解系的条件：

①

线性无关；

②

是的解；

③

.①

零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②

单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③

部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④

原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤

两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥

向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.⑦

向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.⑧

维列向量组线性相关；

维列向量组线性无关.⑨

.⑩

若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.⑪

矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.⑫

矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.向量组等价

和可以相互线性表示.记作：

矩阵等价

经过有限次初等变换化为.记作：

⑬

矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵与作为向量组等价

矩阵与等价.⑭

向量组可由向量组线性表示≤.⑮

向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.⑯

向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；

⑰

任一向量组和它的极大无关组等价.⑱

向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.⑲

若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳

若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；

若，的列向量线性无关,即：

线性无关.线性方程组的矩阵式

向量式

矩阵转置的性质：

矩阵可逆的性质：

伴随矩阵的性质：

线性方程组解的性质：

√

设为矩阵,若,则,从而一定有解.当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.是的上限.√

矩阵的秩的性质：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥≥

⑦

≤

⑧

⑨

⑩

且在矩阵乘法中有左消去律:

标准正交基

个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1..是单位向量

.√

内积的性质：

①

正定性：

②

对称性：

③

双线性：

施密特

线性无关,单位化：

正交矩阵

.√

是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基.√

正交矩阵的性质：①；

②；

③

是正交阵,则（或）也是正交阵；

④

两个正交阵之积仍是正交阵；

⑤

正交阵的行列式等于1或-1.的特征矩阵

.的特征多项式

.的特征方程

.√

上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.√

若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.√

√

若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：,.√

若的全部特征值，是多项式,则:

①的全部特征值为；

②

当可逆时,的全部特征值为,的全部特征值为.√

√

与相似

（为可逆阵）

记为：

√

相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量.这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.√

可对角化的充要条件：

为的重数.√

若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.与正交相似

（为正交矩阵）

√

相似矩阵的性质：①

若均可逆

②

③

（为整数）

④,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是关于的特征向量,是关于的特征向量.⑤

从而同时可逆或不可逆

⑥

⑦

√

数量矩阵只与自己相似.√

对称矩阵的性质：

①

特征值全是实数,特征向量是实向量；

②

与对角矩阵合同；

③

不同特征值的特征向量必定正交；

④

重特征值必定有个线性无关的特征向量；

⑤

必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）.可以相似对角化

与对角阵相似.记为：

（称是的相似标准型）

√

若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.√

设为对应于的线性无关的特征向量,则有：

.√

若，则：.√

若,则,.二次型

为对称矩阵

与合同

.记作：

（）

√

两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√

两个矩阵合同的充分条件是：

√

两个矩阵合同的必要条件是：

√

经过化为标准型.√

二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由

惟一确定的.√

当标准型中的系数为1，-1或0时,则为规范形

.√

实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√

任一实对称矩阵与惟一对角阵合同.√

用正交变换法化二次型为标准形:

①

求出的特征值、特征向量；

②

对个特征向量单位化、正交化；

③

构造（正交矩阵）,；

④

作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.正定二次型

不全为零，.正定矩阵

正定二次型对应的矩阵.√

合同变换不改变二次型的正定性.√

成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

①

正惯性指数为；

②的特征值全大于；

③的所有顺序主子式全大于；

④

合同于，即存在可逆矩阵使；

⑤

存在可逆矩阵，使

（从而）；

⑥

存在正交矩阵，使

（大于）.√

成为正定矩阵的必要条件：；.

第五篇：线性代数写书指南

线性代数写书指南简化行列式、去掉高阶行列式和Cramer法则应用将矩阵的运算、分块、初等变换、秩等内容集中，强调：

（1）性质的三个方面：发现性质的途径、判断所发现“性质”的正确性的方法、（所用发现性质的途径）还能找到哪些性质。为后续各类性质的研究找到途径

（2）三种简化矩阵的初等变换方法。

（3）矩阵秩的性质及其作用（方程组解的判别，秩子式与极大无关组的关系）

（4）最后矩阵方程AXB解的判别分章写：向量组；方程组；特征问题；二次型。将

（1）向量空间放在？

（2）内积、正交化、对称矩阵正交变换为对角形放在二次型 4 向量组中：重判别，轻计算。利用AXB解的判别方程组中：重计算，轻判别。对称变换要不要？

7几个问题：

（1）用不证明的Laplace展开处理ABAB不证明的结论）代替多次初等变换计算