线性代数复习要点

第一篇：线性代数复习要点

“线性代数”主要题型（以第三版的编号为准）

(注意：本复习要点所涉及的题目与考试无关)

一、具体内容

第一章、行列式：

1.1、四阶或者五阶行列式的计算。比如第1.3节例

3、例4，第四节的例3等。

1.2、n阶含字母或数字的行列式的计算。比如第1.3节例8，第四节的例4。

1.3、一些特殊的齐次线性方程组有非零解的判断。比如第1.5节例3。

第二章、矩阵。

2.1、矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算、行列式运算、逆运算以及它们的运算性质。

2.2、矩阵方程的求解。比如第2.3节的例6，第2.5节的例7等等。

2.3、矩阵秩的计算。比如第2.6节例6等等

2.4、矩阵运算的简单证明题目。比如第2.2节的例

12、例13，第2.3节例8等等。

第三章、线性方程组

3.1、向量的线性运算。比如第3.2节的例1等等。

3.2、抽象的或n维向量线性相关性的证明。比如第3.3节的例

2、例

3、例4等等。

3.3、极大线性无关组的求解或证明。比如第3.4节的例

2、例3等等。

3.4、向量空间的基的计算或证明。比如第3.5节的例9等等。

3.5、线性方程的解的数量与结构的讨论。比如第3.1节的例4，第3.6节的例1等等。

第四章、矩阵的特征值

4.1、矩阵特征值、特征向量的计算。

4.2、矩阵特征值的性质及简单应用。比如第4.2节例6等等。

4.3、矩阵相似对角化的判断。比如第4.3节的例4等等。

4.4、实对称矩阵的相似对角化。比如第4.4节的例

1、例2等等。

第五章、二次型

5.1、用正交相似变换化二次型为标准型。比如第5.2节的例5等等。

5.2、正定矩阵的判别。比如第5.3的例4等等。

二、专业要求

1、非经管类专业的同学，最好掌握上述所有的内容。

2、经管类专业的同学的要求，相对要低一些：若是计算题目，计算量减少；若是证明题，证明难度降低；一般只有一道题目里面的参数需要讨论。比如“1.1”里面最多要求计算四阶行列式，“3.2”里面只要求n维向量线性相关性的证明，“5.2”不要等等。请相应的上课老师注意把握。

第二篇：2012线性代数Ⅱ复习要点

《线性代数Ⅱ》复习要点

教材：工程数学《线性代数》第五版，同济大学数学系编

1、掌握行列式的相关性质与计算

2、掌握行列式的按行按列展开法则

3、掌握矩阵的各种运算及性质，掌握分块对角阵的行列式、逆矩阵的计算

4、掌握矩阵可逆的判定方法

5、掌握方阵A与A及伴随矩阵A之间的关系，以及三者行列式之间的关系

6、掌握矩阵的初等变换及初等矩阵，掌握初等矩阵的性质

7、掌握矩阵秩的定义及相关性质

8、掌握矩阵方程的解法

9、掌握向量组线性相关无关的性质

10、掌握向量组的秩的定义及相关性质，会求向量组的秩及最大无关组

11、掌握线性方程组是否有解的判别，会解线性方程组，例如解系数含参变量的线性方程组

12、掌握线性方程组解的结构，会利用方程组解的结构写方程组的通解

13、掌握方阵的特征值与特征向量的定义及性质，会求方阵的特征值、特征向量

参考例题和习题：

第21页例13，第25页例16，第26页6题（2，3），第27页8题（2），第28页9题，第41页例9，第44页例10，第50页例16，第54页4题，第54页5题，第55页14题，第56页15题，第56页24题，第56页26题，第65页例3，第75页例13，第78页6题，第79页12题，第80页16题，第80页18题，第90页例7，第107页5，第109页27题，第110页32题，第118页例5，第119页例7，第120页例8，第134页6题，第135页7题，1

第三篇：线性代数各章复习要点

第一章：1.3节 例

5、例6； 1.5节 性质1~

6、例

7、例

8、例10；1.6节 引理、定理

3、例

12、推论、例13； 1.7节克拉默法则、例

14、例16；

第二章：2.2节 矩阵的乘积、转置、行列式及性质、例

4、例7；

2.3节 定理

1、定理

2、例

11、例

12、例14；

2.4节 第49页（iv）（v）、例16；

第三章：3.1节 定义

1、第60页（行阶梯形、行最简形）、定理

1、例

1、例

2、例3；

3.2节 定义

3、定义

4、例

5、例

7、第70页矩阵秩的性质；

3.3节 定理

3、例

10、例

12、例

13、定理6；

第四章：4.1节 定义

2、定理

1、定义

3、定理

2、例

1、例2；

4.2节 定义

4、定理

4、例

5、例

6、定理5；

4.3节 定义

5、定理

6、例11； 4.4节 定理

7、例

12、例16；

第五章：5.1节 定义

1、定义

2、定理

1、例

2、定义4；

5.2节 定义

6、第117页（i）（ii）、例

6、例

8、例

9、定理2；

5.3节 定理

3、定理

4、例11；

5.4节 定理

7、例12；

5.5节 定义

8、定理

8、例14；

5.7节 定义

10、定理10及推论、定理

11、例17；

第四篇：线性代数考试要点

线性代数考试要点：

1、行列式（要求只要是4阶的行列式会求）

（1）会利用行列式的定义来计算行列式（包括逆序数的求法）；

（2）会利用行列式的性质来计算行列式；

（3）利用按行、列展开公式来求解行列式，包括按行、列展开公式的应用。

（4）会利用克拉默法则的推论讨论齐次线性方程组解的情况。

2、向量

（1）向量的基本运算；

（2）会判别向量组的线性相关性，掌握向量组线性相关性的性质；（证明题与选择题）

（3）会求出给定的一组向量组的极大线性无关组及其秩，并会应用相应的性质；（计算题）

（4）利用施密特正交化把一组线性无关的向量组化成标准正交组；

（5）会判别一个集合是否会向量空间。

3、矩阵

（1）会矩阵的基本运算，掌握矩阵运算中的性质；

（2）会求给定矩阵（3阶）的逆矩阵；

（3）给定一个等式，会用逆矩阵的定义来判别一个矩阵是否可逆，并会求出其逆矩阵；

（4）掌握逆矩阵的性质；

（5）掌握矩阵的初等变换，初等矩阵及其应用；

（6）会利用逆矩阵或矩阵的初等变换方法求解矩阵方程。

4、线性方程组

（1）会求解齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组（不带末知参数的）的一般解。

（2）定理4.1、4.2、4.5的应用。（选择题或判断题）

（3）齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的结构的性质（主要是选择题与判断题）。

5、相似矩阵及二次型

（1）给定一个3阶矩阵，会求出它的特征值与特征向量；

（2）给定一个3阶矩阵，会求出它的相似矩阵P，使得PAPB(对角阵)；

（3）掌握特征值的性质；

（4）掌握相似矩阵的性质；

（5）掌握正交矩阵的性质；

（6）掌握矩阵可以对角化的几个性质；

（7）给定一个二次型，会写出它所对应的对称矩阵；或者给定一个二次型，会写出它所对应的二次型；（填空题）

（8）会用配方法化二次型为标准型。

以上给的要点是A、B两份卷子的。此次题型分为判断题（10分）、选择题（15分）、填空题（15分）、简答题（60分），其中简答题中包括证明题。

此次的试卷出的题目很多来自书上和练习册，建议大定让学生要多做一下练习题（包括例题）。1

第五篇：线性代数复习——选择题

《线性代数》复习一：选择题

a11a12a132a112a122a131.如果a21a22a23= M，则2a212a222a23 =（）

a31a32a332a312a322a33A.8M

B.2 M

C.M

D.6 M

2.若A，B都是方阵，且|A|=2，|B|=-1，则|A-1B|=（）

A.-B.2 C.1/2

D.–1/2

373.已知可逆方阵A112 则A（）

27273737A.13

B.13

C.12

D.12

4.如果n阶方阵A的行列式|A| 0 则下列正确的是（）

A.AO B.r(A)> 0

C.r(A)< n

D.r(A)0 5.设A B均为n阶矩阵 AO 且AB O  则下列结论必成立的是（）

A.BA O B.B O

C.(AB)(AB)A2B2

D.(AB)2A2BAB2 6.下列各向量组线性相关的是（）

A.1(1 0 0) 2(0 1 0) 3(0 0 1)B.1(1 2 3) 2(4 5 6) 3(2 1 0)C.1(1 2 3) 2(2 4 5)

D.1(1 2 2) 2(2 1 2) 3(2 2 1)

7.设AXb是一非齐次线性方程组 1 2是其任意2个解 则下列结论错误 的是（）

A.1+2是AXO的一个解 B.1112是AXb的一个解

22C.12是AXO的一个解

D.212是AXb的一个解

8.设A为3阶方阵 A的特征值为1

2

3则3A的特征值为（）

A.1/6 1/3 1/2

B.3 6 9

C.1 2 D.1 1/2 1/3 9.设A是n阶方阵 且|A|2 A*是A的伴随矩阵 则|A*|（）

11A.B.2n C.n

1D.2n1 221y210.若xz3正定 则x y z的关系为（）

001A.x+yz

B.xyz

C.zxy D.zx+y

参考答案:1.A 2.D 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.D 10.C

1.设30，则取值为（）

21A.λ=0或λ=-1/3

B.λ=3

C.λ≠0且λ≠-3

D.λ≠0 2.若A是3阶方阵，且|A|=2，A*是A的伴随矩阵，则|AA*|=（）A.-8

B.2 C.8

D.1/2 3.在下列矩阵中 可逆的是（）

000110A.010 B.220

C.001001110100011

D.111 1211014.设n阶矩阵A满足A22A+3EO 则A1（）A.E

B.1a5.设Aaa1(2EA)

C.2A3E

D.A 3a1aaaa1aaa, 若r(A)1, 则a（）a1A.1 B.3 C.2

D.4 xxx0,1236.若齐次线性方程组x1x2x30,有非零解 则常数（）

x1x2x30A.1 B.4 C.2

D.1 7.设A B均为n阶矩阵 则下列结论正确的是（）

A.BA AB B.(AB)2A2BA AB B2 C.(AB)(AB)A2B2

D.(AB)2A22 AB B2 8.已知1(1 0 0) 2(2 0 0) 3(0 0 3) 则下列向量中可以由1 2

3线性表示的是（）

A.(1 2 3)

B.(1 2 0)

C.(0 2 3)

D.(3 0 5)9.n阶方阵A可对角化的充分条件是（）

A.A有n个不同的特征值

B.A的不同特征值的个数小于n C.A有n个不同的特征向量

D.A有n个线性相关的特征向量

22210.设二次型的标准形为fy1，则二次型的正惯性指标为（）y23y3A.2 B.-1 C.1

D.3

参考答案: 1.A 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.B 8.D 9.A 10.A

1.设A是4阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=（）

A.16

B.-C.-32

D.32 3462.行列式k57中元素k的余子式和代数余子式值分别为（）

128A.20，-20 B.20，20

C.-20，20

D.-20，-20 273.已知可逆方阵A 则A1（）1327 B.27

C.37

D.37 A.131212134.如果n阶方阵A的行列式|A| 0 则下列正确的是（）

A.AO

B.r(A)> 0

C.r(A)< n

D.r(A)0 5.设A B均为n阶矩阵 则下列结论中正确的是（）

A.(AB)(AB)A2B2 B.(AB)kAkBk C.|kAB|k|A||B|

D.|(AB)k||A|k|B|k 6.设矩阵A nn的秩r(A)n 则非齐次线性方程组AXb（）

A.无解 B.可能有解

C.有唯一解

D.有无穷多个解 7.设A为n阶方阵 A的秩 r(A)rn 那么在A的n个列向量中（）A.必有r个列向量线性无关

B.任意r个列向量线性无关

C.任意r个列向量都构成最大线性无关组

D.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出 8.已知矩阵A44的四个特征值为4，2，3，1，则A=（）

A.2 B.3 C.4

D.24 9.n阶方阵A可对角化的充分必要条件是（）

A.A有n个不同的特征值

B.A为实对称矩阵

C.A有n个不同的特征向量

D.A有n个线性无关的特征向量 10.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充要条件是（）A.A的秩为n

B.|A|0 C.A的特征值都不等于零 D.A的特征值都大于零

参考答案: 1.D 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D

3461.行列式257中元素y的余子式和代数余子式值分别为（）

yx8A.2，-2

B.–2，2

C.2，2

D.-2，-2 2.设A B均为n(n2)阶方阵 则下列成立是（）A.|A+B||A|+|B| B.ABBA

C.|AB||BA|

D.(A+B)1B1+A1 3.设n阶矩阵A满足A22A E  则(A-2E)1（）

A.A B.2 A

C.A+2E

D.A-2E 11114.矩阵A2222的秩为（）

3333A.1 B.3 C.2

D.4 5.设n元齐次线性方程组AXO的系数矩阵A的秩为r 则方程组AX0的基 础解系中向量个数为（）

A.r

B.n-r

C.n

D.不确定 6.若线性方程组x1x22x31无解 则 等于（）xxx2231A.2 B.1 C.0

D.1

7.n阶实方阵A的n个行向量构成一组标准正交向量组，则A是（）A.对称矩阵

B.正交矩阵 C.反对称矩阵

D.|A|=n

8.n阶矩阵A是可逆矩阵的充要条件是（）

A.A的秩小于n B.A的特征值至少有一个等于零 C.A的特征值都等于零

D.A的特征值都不等于零

9.设1 2是非齐次线性方程组Ax=b的任意2个解 则下列结论错误的是（）A.1+2是Ax=0的一个解 B.11η1η2是Ax=b的一个解 22C.12是Ax=0的一个解

D.212是Ax=b的一个解

2210.设二次型的标准形为fy12y2，则二次型的秩为（）3y3A.2 B.-1 C.1 D.3

参考答案: 1.D 2.C 3.A 4.A

5.B 6.A 7.B 8.D 9.A 10.D

ab01.设Dba00，则a，b取值为（）

101A.a=0，b≠0

B.a=b=0

C.a≠0，b=0

D.a≠0，b≠0 2.若A、B为n阶方阵 且AB= O  则下列正确的是（）A.BAO

B.|B|0或|A|0 C.B O 或A O

D.(AB)2A2B2 3.设A是3阶方阵，且|A|2，则|A1|等于（）A.2 B.

C.2

D.224.设矩阵A B C满足ABAC 则BC成立的一个充分条件是（）

A.A为方阵 B.A为非零矩阵

C.A为可逆方阵

D.A为对角阵 5.如果n阶方阵AO 且行列式|A| 0 则下列正确的是（）

A.0

C.r(A)= n

D.r(A)0 7x18x29x306.若方程组x22x30存在非零解 则常数b（）

2xbx032A.2 B.4 C.-2

D.-4 7.设A为n阶方阵 且|A|0 则（）A.A中必有两行(列)的元素对应成比例

B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合

C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合D.A中至少有一行(列)的元素全为零

8.设A为3阶方阵 A的特征值为1

2

3则3A的特征值为（）

A.1/6 1/3 1/B.3 6 9

C.1 2

3D.1 1/2 1/3 9.如果3阶矩阵A的特征值为-1,1,2，则下列命题正确的是（）A.A不能对角化

B.A0

C.A的特征向量线性相关

D.A可对角化

22210.设二次型的标准形为fy1，则二次型的正惯性指标为（）y23y3A.2 B.-1 C.1

D.3

参考答案: 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D 10.C

a111.如果a21a12a22a32a13a23a33a314a11=M，则4a214a31a11a12a21a22a31a32a13a23=（）a33A.-4M

B.0

C.-2 M

D.M

2.设Aij是n阶行列式D|aij|中元素aij的代数余子式 则下列各式中正确的是（）

A.aijAij0

i1n B.aijAij0

C.aijAijD

j1j1nn

D.ai1Ai2D

i1n2001003.已知A010，B221，则|AB|=（）

333301A.18 B.12 C.6

D.36 4.方阵A可逆的充要条件是（）

A.AO

B.|A|0

C.A*O

D.|A|1 5.若A、B为n阶方阵 A为可逆矩阵 且AB O  则（）

A.B O  但r(B)n B.B O  但r(A)n, r(B)n C.B O

D.B O  但r(A)n, r(B)n

6.设1 2是非齐次线性方程组AXb的两个解 则下列向量中仍为方程组 解的是（）

3β12β2A.1+2 B.12

C.1(β12β2)

D.257.n维向量组1 2   s线性无关 为一n维向量 则（）

A.1 2   s 线性相关

B.一定能被1 2   s线性表出

C.一定不能被1 2   s线性表出 D.当sn时 一定能被1 2   s线性表出 8.设A为三阶矩阵 A的特征值为2 1 2 则A2E 的特征值为（）A.2 1 2

B.-4-1 0

C.1 2 4

D.4 1-4 9.若向量α=（1，-2，1）与β=（2，3，t）正交，则t=（）

A.-2 B.0 C.2

D.4 1y210.若xz3正定 则x y z的关系为（）001A.x+yz

B.xyz C.zxy

D.zx+y

参考答案: 1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.C

3461.行列式257中元素x的余子式和代数余子式值分别为（）

yx8A.–9，-9

B.–9，9

C.9，-9

D.9，9

122.341333143415=（）34A.2 B.4 C.0

D.1 3.设A为4阶矩阵 |A|3 则其伴随矩阵A*的行列式|A*|（）A.3 B.81 C.27

D.9 4.设A B均为n阶可逆矩阵 则下列各式中不正确的是（）A.(A+B)TAT+BT

B.(A+B)1A1+B1 C.(AB)1B1A1

D.(AB)TBTAT 5.设n阶矩阵A满足A2+A+EO 则(A+E)1（）

A.A

B.-(A+E)

C.–A

D.-(A2+A)6.设n阶方阵A B  则下列不正确的是（）

A.r(AB)r(A)

B.r(AB)r(B)C.r(AB)min{ r(A)，r(B)}

D.r(AB)>r(A)

7.已知方程组AXb对应的齐次方程组为AXO，则下列命题正确的是（）

A.若AXO只有零解 则AXb有无穷多个解

B.若AXO有非零解 则AXb一定有无穷多个解

C.若AXb有无穷解 则AXO一定有非零解

D.若AXb有无穷解 则AXO一定只有零解 1018.已知矩阵A020的一个特征值是0 则x（）

10xA.1 B.2 C.0

D.3 1009.与A021相似的对角阵是（）

0121111A.Λ1 B.Λ2

C.Λ1 D.Λ1

333410.设A为3阶方阵 A的特征值为1

0

3则A是（）

A.正定 B.半正定 C.负定

D.半负定

参考答案: 1.C 2.C 3.C 4.B 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B

1.设A B都是n阶方阵 k是一个数 则下列（）是正确的。

A.若|A|0 则A O

B.|kA||k||A|

C.|AB||A||B|

D.|AB||A||B|

142.设A152332011141 则4A41+3A42+2A43+A44（）26A.0 B.1 C.2

D.3 3.若n阶方阵A的行列式为a 则A的伴随阵的行列式|A*|（）

D.an1 a4.设A B C 都是n阶方阵 且C可逆 则下列命题中（）是错误的。A.若ABC 则A与B都可逆

B.若ACBC 则AB

C.若ABCO 则A O或B O

D.若ACB 则A与B有相同的秩 5.设n阶矩阵A满足A3-A2+A-EO 则A1（）

A.A2-A +E B.-(A+E)

C.A2-A

D.-(A2-A +E)A.a

B.an

C.10106.矩阵A1204的秩为（）

2214A.1 B.3 C.2

D.4 7.设AXb是一非齐次线性方程组 1 2是其任意2个解 则下列结论错误 的是（）

11η1η2是AXb的一个解 22C.12是AXO的一个解

D.212是AXb的一个解 8.设A为3阶方阵 A的特征值为1

2

3则A 1的特征值为（）

A.2 1 3 B.1/2 1/4 1/6

C.1 1/2 1/3

D.2 1 6 9.n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是（）

A.A的不同特征值的个数小于n

B.A的线性无关特征向量个数小于n C.A有n个线性无关的特征向量

D.上述命题都不对 A.1+2是AXO的一个解

B.2210.设二次型的标准形为fy1，则二次型的秩为（）

y2A.2 B.-1 C.1

D.3

参考答案: 1.D 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.A 8.C 9.C 10.A