第二部分 矩阵
本章概述
矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中，所占比例是各章之最。按考试大纲的规定，第二章占26分左右。而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考试为例，看下表
按考试大纲所占分数
07.4
07.7
07.10
直接考矩阵这一章的26分左右
31分
34分
38分
加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数
51分
53分
67分
由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义
2.1.1 线性方程组
n元线性方程组的一般形式为
特别若，称这样的方程组为齐次方程组。
称数表为该线性方程组的系数矩阵；
称数表为该线性方程组的增广矩阵。
事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。
例1
写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵
【答疑编号12020101】
例2
写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组
【答疑编号12020102】
2.1.2 矩阵的概念
一、矩阵的定义
定义2.1.1
我们称由mn个数排成的m行n列的数表
为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。
注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵
1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。
例如都是零矩阵。
2.若A的行数m=1，则称
为行矩阵，也称为n维行向量。
若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。
如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵
称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。
2.2 矩阵的运算
这节介绍
（1）矩阵运算的定义，特别要注意，矩阵运算有意义的充分必要条件；
（2）矩阵运算的性质，要注意矩阵运算与数的运算性质的异同，重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。
2.2.1 矩阵的相等
为建立矩阵运算的概念，先说明什么叫两个矩阵相等。
定义2.2.1如果矩阵A，Ｂ的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵Ａ与B同型；若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。
请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等
例如
虽然行列式有
但矩阵；。
2.2.2 矩阵的加减法
定义2.2.2
设A与B都是m×n阶矩阵(即A与B同型)，则矩阵A与B可以相加(相减)，其和(差)定义为m×n阶矩阵
例1设求A+B、A-B。
【答疑编号12020103】
例2则A与B不能相加(减)，或说A±B无意义。
加法运算的性质
设A，B，C都是m×n阶矩阵，O是m×n阶零矩阵，则
1.交换律
A+B=B+A。
2.结合律
(A+B)+C=A+(B+C)。
3.负矩阵
对于任意的m×n阶矩阵
定义，显然A+(-A)=O；A-B=A+(-B)。
2.2.3 数乘运算
定义2.2.3
数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，定义为
例3
设，求3A。
【答疑编号12020104】
解
例4
设，求3A-2B。
【答疑编号12020105】
例5
已知，求2A-3B。
【答疑编号12020106】
数乘运算满足：
1.1·A=A
2.设k,l是数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A
3.分配律
k(A+B)=Ka+kB；(k+l)A=kA+lA
例6
已知，且A+2X=B，求X。
2.2.4 矩阵的乘法
先介绍矩阵乘法的定义，后面再介绍为什么这样定义乘法。
一、定义
定义2.2.4
设矩阵，(注意:A的列数=B的行数)。定义A与B的乘积为一个m×n阶矩阵，其中(i=1,2,……m,j=1,2,…n)
可见，矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数＝B的行数，乘积矩阵C=AB的行数=A的行数；其列数=B的列数。
例如
则A,B可以相乘，其乘积其中
例7设矩阵
【答疑编号12020201】
问BA有意义吗？
无意义。因为第一个矩阵的列数不等于第二矩阵的行数，所以BA无意义。
例8
(1)设矩阵
(2)
求AB；BA
【答疑编号12020202】
此例说明
AB,BA虽然都有意义，但两矩阵不同型，当然不相等。
例9设矩阵，求AB,BA。
【答疑编号12020203】
为什么这样定义乘法？
考虑线性方程组
设，则，于是线性方程组(1)
就可以写成矩阵形式AX=b。
这表明，应用这种方法定义矩阵乘法，可以把任意线性方程组写成与一元一次方程ax=b完全相同的形式，使整个的讨论变得简单了。
二、性质
（1）乘法没有交换律，AB不一定等于BA。
（2）结合律
(AB)C=A(BC)
（3）分配律
(A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC
（4）数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)
（5）单位矩阵的作用。
另一部分的证明请同学们自己作。
但对于某些特殊的矩阵（方阵）满足AB=BA，我们称它们是乘法可交换的，例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换。
例10
设矩阵，求出所有与A乘积可交换的矩阵。
【答疑编号12020204】
2.2.5 方阵的幂
设A是一个矩阵，何时有意义?
当且只当A为n阶方阵时，有意义。这时，对k≥2定义
称为A的k次幂。
例11
数学归纳法证明
【答疑编号12020301】
（2）
【答疑编号12020302】
对于数，幂的运算有下列性质：
（1）同底幂相乘，指数相加。即；
（2）；
（3）
对于方阵的幂有下列性质：
（1）。
对于数，为什么
所以对于n阶方阵不一定等于。
根据矩阵乘法和方阵幂的性质，数的乘法公式有下面的变化：
一般不等于。
一般不等于。
这些变化的原因就在于矩阵乘法没有交换律。
但对于某些特殊的矩阵满足AB=BA，例如
n阶方阵A与n阶单位阵就可交换，所以
请思考
例12
设求。
【答疑编号12020303】
例13
设，求。
【答疑编号12020304】
例14
设。
【答疑编号12020305】
小结
矩阵乘法和数的乘法性质的区别：
(1)矩阵乘法没有交换律，由此引出乘法公式:如，不一定等于等公式的变化；
(2)对于矩阵：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵；
(3)对于方阵，可能可能，…
(4)不一定等于。
2.2.6 矩阵的转置
一、定义
定义2.2.5设。将其行列互换，所得的矩阵记为称它为A的转置，即显然，m×n阶矩阵A的转置是n×m阶。
二、性质
1.；
2.；
3.；
现看下面的例
例15
设，求；问哪个有意义，若有意义，求它的乘积矩阵。
【答疑编号12020306】
解
没有意义。有意义，且
所以
一般，则AB是m×n阶的。是k×m阶，为n×k阶，故不一定有意义。但
有意义。可以证明
4.(反序律)。
三、对称阵和反对称阵
定义
设A为n阶实方阵。如果满足，则称A为实对称(反对称)阵。
例16
为实对称阵；为反对称阵。
例17
证明:任意n阶方阵A都可以惟一地分解为一个对称阵和一个反对称阵的和。
【答疑编号12020307】
例18证明:设A,B都是n阶对称阵，证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。
【答疑编号12020308】
扩展
改为
设A,B都是n阶反对称阵，证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。
2.2.7 方阵的行列式
一阶方阵和一阶行列式都是数，但当n≥2以后，矩阵和行列式是两个不同的概念，矩阵是一个数表，可以是方的也可以是长方的。对于n阶方阵，可以对它取行列式，但行列式已不仅是数表，而它的值是一个数。
性质:
1.；
2.；
3.。
于是容易看出，虽然AB不一定等于BA，但。
例19
证明奇数阶的反对称阵的行列式等于零。
【答疑编号12020309】
2.2.8 方阵多项式
任意给定多项式和一个n阶方阵A。
定义
称f(A)为A的方阵多项式。
例20
设求f(A)。
【答疑编号12020310】
小结
1.矩阵各种运算的定义(包括运算有意义的充分必要条件)；
2.各种运算的性质(特别是与数的运算性质的相同点和不同点，尤其是不同点)
作业
p47
习题2.2
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12
2.3 方阵的逆矩阵
2.3.1 逆矩阵的定义
定义2.3.1
设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。
则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。
若这样的B不存在，则称A不可逆。
定理2.3.1
可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。
证
设都是A的逆矩阵。则。
例1，验证A可逆，且。
【答疑编号12020401】
只要看
容易看出，这时B也可逆，且。
例2
不可逆。
【答疑编号12020402】
解
设，则。故不可逆。
2.3.2 n阶方阵可逆的充分必要条件
为讨论n阶方阵可逆的充分必要条件，现引入方阵的伴随矩阵的概念
定义
设，为的代数余子式，则称
为A的伴随矩阵，记为。
下面计算
类似地，有。
若，有。于是有下面的定理。
定理2.3.2
n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时。
证
充分性已经得证。只要证必要性。
设n阶方阵A可逆，据定义知，存在n阶方阵B使得AB=BA=E
取行列式得，故，必要性得证。
推论
设A，B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且。
推论的意义是，不必验证两个乘积AB，BA，而只要验证一个即可。
证
因为
AB=E，故，所以。故A，B都可逆。
由
AB=E
两边左(右)乘，得，于是有。
2.3.3 可逆矩阵的基本性质
设A，B为同阶可逆矩阵。常数k≠0。则
1.可逆，且。
2.AB可逆。
3.也可逆，且。
4.kA也可逆，且。
5.消去律
设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。
若a≠0，ab=ac则b=c。
但
而
6.设A是n阶可逆方阵。定义，并定义。则有，其中k，l是任意整数。
7.设
是
阶可逆方阵，则。
例3
设，问a，b，c，d满足什么条件A可逆？这时求
【答疑编号12020403】
例4
判断矩阵
是否可逆？若可逆，求出它的逆矩阵。
【答疑编号12020501】
例5
设A是n阶方阵，则。
【答疑编号12020502】
例6
设A为n阶方阵，则当P为可逆矩阵时，A为对称矩阵。
【答疑编号12020503】
例7
设n阶方阵A满足，求和的逆矩阵。
【答疑编号12020504】
例8
设A是三阶
矩阵，其行列式，求行列式的值。
【答疑编号12020505】
例9
设n阶方阵A满足，证明。
【答疑编号12020506】
例10
设n阶方阵A满足，其中m为正整数，求出的逆矩阵。
【答疑编号12020507】
例11
设A为n阶可逆阵，证明：
（1）（2）
【答疑编号12020508】
小结
1.n阶方阵A可逆的充分必要条件是。
2.A的伴随矩阵的定义及重要公式(1)，(2)当时。
3.重要结果
若n阶方阵A，B满足AB=E，则A，B都可逆，且。
4.逆矩阵的性质(主要是说明求逆运算与矩阵其他运算的关系)
2.4 分块矩阵
2.4.1 分块矩阵的概念
对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。
即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
例1
对3×4阶矩阵，可以采用很多方法分块。
【答疑编号12020601】
如:分成，这时可记为，其中
也可以分成；
称为列分块矩阵。
例2
对于，可按下面方法分块
【答疑编号12020602】，记成其中，2.4.2 分块矩阵的运算
1.加减法
同型矩阵A，B采用相同的分块法，有
则
2.分块矩阵的数乘
设，则。
3.分块矩阵的转置
例3
一般，如果
4.分块矩阵的乘法
设矩阵A的列数=B的行数，如果对A，B适当分块，使
。则
其中。
所谓适当分块是指保证上述出现的所有乘法都有意义。
例4
设A为m×k阶矩阵，B为k×n阶矩阵，则AB为m×n阶矩阵。若把矩阵B分成2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算
（1）准对角矩阵
方阵的特殊分块矩阵
形如的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。
（2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积
则
（3）准对角矩阵的逆矩阵
若均为可逆阵。
可逆，且。
例5
求的逆矩阵。
【答疑编号12020603】
（4）准上（下）三角矩阵的行列式。
可以证明
例6
设A，D是任意可逆矩阵，验证
【答疑编号12020604】
例7
求矩阵的逆矩阵。
【答疑编号12020605】
小结
分块的原则，保证运算有意义。
2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵
2.5.1 矩阵的初等变换
一、背景
例1
解线性方程组
解
(2)+(－1)(1)；(3)+(－1)(1)；(4)+(－2)(1)得
(3)+(-1)(2)；(4)+(-1)(2)得
(2)+(-2)(3)得
(1)+(-1)(2)+(-3)(3)得
上述解方程的过程可改为只对方程的增广，以为增广矩阵的方程组的解即为矩阵做相应的行变换来实现。
定义2.5.1（线性方程组的初等变换）
称下列三种变换为线性方程组的初等变换。
（1）两个方程互换位置；
（2）用一个非零的数乘某一个方程；
（3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。
显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。
事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。
二、矩阵初等变换的定义
定义2.5.2
分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变
（1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；
（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）；
（3）将矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）上去。
把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。
定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为A~B。
等价具有反身性
即对任意矩阵A，有A与A等价；
对称性
若A与B等价，则B与A等价
传递性
若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。
定理2.5.1
设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。
三、矩阵的行最简形式和等价标准形
简单地说，就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。
例2
对矩阵A作初等行变换，其中。
【答疑编号12020801】
阶梯形矩阵的定义：满足
（1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；
（2）各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标j随着行
指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行）
行最简形式
以称满足（1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是1；（3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。
例3（1）是阶梯形；（2）这不是阶梯形。
如上例中最后所得的矩阵。
若允许再作初等列变换可继续得
这最后的式子就是A的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵，也可能为或。
定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。
例4
将矩阵化成行最简形式和标准形。
【答疑编号12020802】
2.5.2 初等方阵
定义2.5.4
对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。
以三阶方阵为例
第一种：
第二种：
第三种:
显然，初等阵都是非奇异阵。注意
所以初等阵的逆矩阵为同类的初等阵。
初等矩阵与初等变换之间有密切的联系。
例5
对于
【答疑编号12020901】
定理2.5.3设A是一个m×n阶的矩阵，则
（1）
对A做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘A；
（2）
对A做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵右乘A；
推论1
方阵经初等变换其奇异性不变。
定理2.5.4对于任意的m×n阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得
证
因为m×n阶矩阵A，总可以经过有限限次的初等行变换和初等列变换化成标准型，又因为初等变换和矩阵乘法的关系，容易证明此定理。
推论2 n阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。
因为否则，其等价标准形不可逆。
定理2.5.5 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成若干个初等阵的乘积。
证
充分性是显然的。下面证必要性。
“”已知A为n阶可逆阵，则A与等价，故存在有限个n阶初等阵，即，亦即A能表示成有限个初等矩阵的乘积。必要性得证。
推论3 任意可逆阵A（非奇异阵）只经过有限次的初等行（列）变换就能化成单位阵。
证 因为A可逆，故存在可逆阵使得，从而存在有限个初等阵使得，故。
所以A只经过有限次的初等行变换就能化成单位阵。
2.5.3 用初等变换法求逆矩阵
因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即
则
这表明，当对A作初等行变换将A变成单位矩阵E时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵E将变成。于是有求逆矩阵的初等变换法:
写出分块矩阵作初等行变换，当A化成单位阵时，E就化成为。
例6
求方阵的逆矩阵。
【答疑编号12020902】
2.5.4 用初等变换法求解矩阵方程
一元一次方程的标准形
ax=b（a≠0）
矩阵方程的三种标准形
AX=BXA=B
（3）AXB=C则解法：对第一类
作分块矩阵对A作初等行变换，当A变成单位阵时，由于B做的是同样的初等行变换，则得到的是。
例7求解矩阵方程
【答疑编号12021001】
解
：
所以。
对于第二类的可先转化为第一类的，即由两边转置得
按上例的方法求出进而求出X
例8求解矩阵方程
【答疑编号12021002】
思考
如何解方程
AXB=C
设
Y=XB，得方程AY=C，解出Y，进一步解方程XB=Y
（这时Y为已知。）
小结
本节主要内容:
1.矩阵初等变换的定义；
2.初等矩阵的定义和性质:（1）初等矩阵必可逆；（2）初等矩阵之积为可逆阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成有限个初等矩阵之积。
3.初等变换的性质
（1）定理2.5.1
设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。
（2）定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。
（3）
定理2.5.3设A是一个m×n阶的矩阵，则
对A做一次初等行（列）变换，就相当于用一个m（n）阶的与这个初等变换相对应的初等矩阵左乘（右乘）A；
（4）定理2.5.4对于任意的m×n阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得。
（5）对n阶方阵A，初等变换不改变其奇异性。
习题类型:
1.熟练掌握用行变换将矩阵化为阶梯形，行最简形和用初等变换化成标准形的方法；
2.熟练掌握用初等变换法求逆矩阵和求解矩阵方程
作业
p69
1,2（1）（3）（5）,3（2）（3）（4）,4
2.6 矩阵的秩
先介绍矩阵的k阶子式的概念
给定矩阵
A的每个元素都是它的一阶子式，定义2.6.1
矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为r（A），有时也记为
秩（A）。
事实上，如果A有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零，则r（A）
例1求矩阵的秩。
【答疑编号12021101】
上述求秩的方法很繁，是否有更简便的方法求矩阵的秩。
例2显然的秩等于r。
例3，则r（A）=2。
定理2.6.1
初等变换不改变矩阵的秩。
推论 设A为m×n阶矩阵，P，Q分别为m，n阶可逆矩阵，则
r（PA）=r（A），r（AQ）=r（A），r（PAQ）=r（A）。
例4求矩阵的秩。
【答疑编号12021102】
此例说明可以用初等变换法求矩阵的秩（只要经初等变换化成阶梯形，其秩就等于非零行的个数）。
例5求矩阵的秩。
【答疑编号12021103】
一般，如果n阶方阵A的秩等于它的阶数，则称该矩阵是满秩的，否则称它为降秩的。显然，n阶方阵A满秩的充分必要条件是A可逆。（可逆阵的各种说法：可逆，非异，满秩）。
小结这一节主要是掌握矩阵秩的概念和用初等变换法求矩阵的秩。
说明 2.7的内容放到第四章讲。
作业
p75
习题2.6
1（2）（3）（4）,3
第二章 总 结
1.矩阵运算有意义的充分必要条件；矩阵运算的定义；
2.矩阵运算的性质，特别是比较矩阵运算性质与数的运算性质的相同点和不同点，特别是不同点；
3.方阵可逆的充分必要条件以及判断方阵可逆的方法；
4.矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，用初等变换法求逆矩阵和矩阵方程的解；
5.矩阵的秩的概念和求矩阵秩的方法。
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