等差数列测试卷（合集5篇）

第一篇：等差数列测试卷

第二十八讲 等差数列

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是()

A．S7B．S8C．S1

3解析：设a2＋a4＋a15＝p(常数)，1∴3a1＋18d＝p，解a7.3

13×(a1＋a13)13∴S13＝13a7＝p.23

答案：C

12．等差数列{an}中，已知a1，a2＋a5＝4，an＝33，则n为()3

A．48B．49

C．50D．

511212解析：∵a2＋a5＝2a1＋5d＝4，则由a1＝d＝，令an＝33＝(n－1)×，可解得n3333

＝50.故选C.答案：C

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为()

A．2B．3

C．4D．5

解析：a5＝S5－S4≤5，S5＝a1＋a2＋…＋a5＝5a3≤15，a3≤3，则a4＝

值为4.故选C.答案：C

4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则的值为()

11A.63

35C.56

解析：∵{an}是等差数列，D．S15 a3＋a52a4的最大a5a3

用心爱心专心-1-

266a55

∴＝×5＝，故选D.a3a1＋a5(a1＋a5)×5S56

22答案：D

5．(2011·济宁市模拟)已知数列{an}为等差数列，若大值，则使Sn>0的n的最大值为()

A．11B．19 C．20D．21 a2＋a8S5

a11

－1，且它们的前n项和Sn有最a10

a11

<－1，且Sn有最大值，a10

∴a10>0，a11<0，且a10＋a11<0，19(a1＋a19)

∴S19＝＝19·a10>0，S2020(a1＋a20)

＝10(a10＋a11)<0.2所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.答案：B

6．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{an}(n∈N)的前12项，如下表所示：

*

200920102011A．1003B．1005 C．1006D．2011

解析：依题意得，数列a2，a4，a6，…，a2k，…，是以a2＝1为首项，1为公差的等差数

列，因此a2010＝a2×1005＝1＋(1005－1)×1＝1005.数列a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，…，即是以1，－1,2，－2，…，的规律呈现，且a2009是该数列的第1005项，且1005＝2×502＋1，因此a2009＝503，a2011＝－503，a2009＋a2010＋a2011＝1005，选B.答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.解析：S9＝9a5＝－9，∴a5＝－1，S16＝8(a5＋a12)＝－72.答案：－7

2An7n＋45a6

8．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则＝________.Bnn＋3b6

＝6

1答案：

79．设f(x)＝xn项和的公式的方法，可求得f(－5)

22＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

解析：∵f(x)＝

x

2＋2

x

anA2n－1

求得．

bnB2n－1

212

∴f(1－x)＝1－x＝＝xx，2222·22＋2

∴f(x)＋f(1－x)xx＝

222＋2设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)，则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－5)，∴2S＝[f(6)＋f(－5)]＋[f(5)＋f(－4)]＋…＋ [f(－5)＋f(6)]＝2，∴S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝2.答案：2

10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.·2

x

·2

x

1＋

·2

x

x

2＋2

2.2

Snn

∵a4－a2＝8，∴d＝4.又∵a3＋a5＝26，即2a1＋6d＝26，∴a1＝1.∴Sn＝n＋

n(n－1)

×4＝2n－n，Sn1

则Tn＝2n

n

∵对一切正整数Tn≤M恒成立，∴M≥2.∴M的最小值为2.答案：2

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知：f(x)＝－

*

114＋2数列{an}的前n项和为Sn，点Pnan在曲线y＝f(x)

x

an＋1

上(n∈N)，且a1＝1，an>0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Tn，且满足{bn}是等差数列．

解：(1)由y＝－点Pnan，－∴－

4＋2

Tn＋1Tn2

16n－8n－3，问：当b1为何值时，数列22

anan＋1

x



an＋1

1在曲线y＝f(x)上，an＋1

f(an)＝－

1an

并且an>0∴

an＋1

14＋，an

a2n＋1

1*

2＝4(n∈N)．

an

数列{2是等差数列，首项2＝1，公差d为4，ana1

112∴＝1＋4(n－1)＝4n－3，an.an4n－3∵an>0，∴an(2)由an＝

n∈N)．

4n－31

*

2＝2＋16n－8n－3得 4n－3anan＋1

Tn＋1Tn

(4n－3)Tn＋1＝(4n＋1)Tn＋(4n－3)(4n＋1)，Tn＋1Tn

1.4n＋14n－3

令cn＝

Tn，如果c1＝1，此时b1＝T1＝1，4n－3

*

∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，n∈N，则Tn＝(4n－3)n＝4n－3n，n∈N，∴bn＝8n－7，n∈N，∴b1＝1时数列{bn}是等差数列．

12．数列{an}满足an＝3an－1＋3－1(n∈N，n≥2)，已知a3＝95.(1)求a1，a2；

1*

(2)是否存在一个实数t，使得bn＝n(an＋t)(n∈N)，且{bn}为等差数列？若存在，则求

3出t的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)n＝2时，a2＝3a1＋3－1

*2

*

n*

n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，∴a2＝23.∴23＝3a1＋8，∴a1＝5.(2)当n≥2时，bn－bn－1(an＋t)－

an－1＋t)

＝n(an＋t－3an－1－3t)31n1＋2t＝(3－1－2t)＝1－33

1要使{bn}为等差数列，则必须使1＋2t＝0，∴t

即存在t＝－，使{bn}为等差数列．

213．设f(x)＝

ax*

(a≠0)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，又bn＝an·an＋1，n∈N.x＋a

1

(1)证明数列是等差数列；

an

(2)求数列{an}的通项公式；(3)求数列{bn}的前n项和．

分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求{bn}前n项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法．

解：(1)证明：ann＋1＝f(an)＝

a·aa1

11，n＋aaan

∴

a111na11.＋1aan

n＋1ana

∴1a是首项为11的等差数列． n

a

(2)由(1)知1

a是等差数列，n

∴11

a

a＝1＋(n－1).整理得an＝

na

(a－1)＋n

.(3)ba

n＝an·an＋1＝

11(a－1)＋na(a－1)＋n＋1a2n＋a－1－n＋a

.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T2n＝a11a－1＋a＋111＋a2＋a

＋

…＋

1n＋a－11n＋a



＝a21a1n＋a＝a2

·n＋a－aa(n＋a)nan＋a{bn}的前n项和为nan＋a

∴数列

第二篇：等差数列测试卷

等差数列作业

1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{an}中也为常数的项是()A．S7 B．S8C．S13D．S15

12．等差数列{an}中，已知a1a2＋a5＝4，an＝33，则n为()A．48B．49C．50D．51 3

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为()A 2 B 3C 4 D5

a511354．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S5＝3(a2＋a8)，则()A.B.a36356

5．已知数列{an}为等差数列，若a11－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最a10

大值为()A．11B．19C．20D．21

6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.7．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An7n＋45a6＝________.Bnn＋3b6

18．设f(x)＝x，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－22

4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

9．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝2，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________． 10 已知：f(x)＝－

*Snn114＋2{an}的前n项和为Sn，点Pnan在曲线y＝f(x)上xan＋1(n∈N)，且a1＝1，an>0.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)数列{bn}的前n项和为Tn是等差数列．

..Tn＋1Tn2＋16n－8n－3，问：当b1为何值时，数列{bn}22anan＋1

用心爱心专心-1-

第三篇：等差数列专题

等差数列的运算和性质专题复习

【方法总结1】

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

【方法总结2】

1.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．

2.将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn

题过程．

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇ndn为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 2n(a1an)结合在一起，采用整体思想，简化解

2【方法总结3】

1.公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．求等差数列前n项和的最值，2.常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 与其他知识点结合则以解答题为主.【规律总结】

一个推导：利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn

n(a1an)

.2

两个技巧：已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法：等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

热点一 等差数列基本量的计算

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=（）

（A）6（B）4（C）2（D）2

2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 _____.3．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（）A．12

B．16

C．20

D．24

4．（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1,Sa3,则 22

a2________;Sn=________.5.（2012年高考重庆理）在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．25

6．（2012年高考福建理）等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为

A．1

B．2C．3

D．4

（）

27．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列an满足a11,a3a24,则an______________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】

2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2，且S1,S2,S4成等比数列，求{an}的通项公式.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知等差数列an的公差d=1，前n项和为Sn(I)若1,a1,a3成等比数列，求a1；

10．（2012年高考（山东文））已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

(II)若S5a1a9，求a1的取值范围。

热点二 等差数列性质的综合应用

11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】在等差数列an中，若a1a2a3a430，则

a2a3．

12．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（）

A．58

B．88

C．143

D．176

13．（2012年高考江西理）设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5__________ 14．（2012年高考四川文）设函数f(x)(x3)x1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7（）

A．0 B．7 C．14 D．21

15.（2012年高考大纲理）已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列（）A．



1

的前100项和为

anan1

B．

101

C．

100

D．

16．（2012年高考山东理）在等差数列an中,a3a4a584,a973.(Ⅰ)求数列an的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.m

2m

17.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.热点三 等差数列的定义与应用

18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：

p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；

a

p4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；

n

其中的真命题为（）

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为

f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]a1a3（）

的等差数列, 8

A．0

B．

 16

C．

D．

132

 16

20．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是（）．．A．若d<0,则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项,则d<0

C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列

21.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________.

第四篇：如何证明等差数列

如何证明等差数列

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差：an-(an-1)=常数(n≥2)

等比：an/(an-1=常数(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明：

1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时，推测仍成立。

在新的数列中

An=S

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差为3/4An除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)²=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b

所以三边之比为3：4：5

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

第五篇：等差数列及习题

等差数列

通项公式 a(n)=a(1)+(n-1)×d项数n=（末项-首项）/公差+1，是正整数，等差数列的首项和公差已知，那么，这个等差数列就确定了。从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上； 递推公式 如果一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的，这个关系就称为该数列的递推公式，如：等差数列递推公式：an=a(n-1)+d

前N项和(梯形公式)S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2或S(n)=d/2*n2+（a1-d/2）*n 由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0，二次项和 一次项的系数分别为d/2，a1-d/2；

性质 1在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，即:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=...2若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

3若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则有a(m)+a(n)=2a(p)a(m)=a(n)+(n-m)*dm,n∈N*

等差数列的判定

1.a(n+1)--a(n)=d(d为常数、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列;

2.2a(n+1)=a(n)+a(n+2)[n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列;.a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列;.S(n)=A(n)^2 +B(n)[A、B为常数，A不为0，n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。

递推公式求通项公式a(n+1)=a(n)+f(n)累加 如:a(n+1)=a(n)+2n-1或1/（n+n2）

练习：

等差数列的第五项等于10，前三项的和胃3，则首项和公差分别是

在等差数列40，36，32中，第一个负数项是第几项

等差数列共2n+1项，奇数项之和为132，偶数项之和为120，则n的值为

在等差数列{an}中，a2+a5=19,S5=40,则a10的值为

{an}是等差数列，若a2+a4+a9+a11=36，则a6+a7的值是

若三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数

三个数成等差数列，平方和为450，两两之积的和为423，则其中间数为

等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和

已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和

等差数列{an}中，a1=-60,a17=-12,求其前n项绝对值之和

成等差数列的四个数之和为26，第二数和第三数之积为40，求这四个数

已知a1=1，Sn=a(n)*n2(n≥1)求a(n)，Sn

数列{an}对于任意自然数n均满足Sn=n/2(a1+an),求证: {an}是等差数列.