等差数列作业

第一篇：等差数列作业

等差数列作业

1.在等差数列an中,若

a4a6a8a10a12120,则2a10a12__.2.等差数列an中,若a1510,a4590,则a60_.3.在等差数列中，已知a 5 10a，1231求首项与公差.4.梯子的最高一级宽33cm,最低一级宽110cm,中间还有10级.各级的宽度成等差数列,计算 中间各级的宽度.5.已知三个数成等差数列,他们的和为15,平方和为83,求这三个数.6.2.成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.

第二篇：课时作业31 等差数列

课时作业31 等差数列

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．已知{an}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是()

A．4

C．－4B．14 D．－14 解析：因为a3＋a9＝4a5，所以根据等差数列的性质可得a6＝2a5.所以a1＋5d＝2a1＋8d，即a1＋3d＝0.又a2＝－8，即a1＋d＝－8，所以公差d＝4.答案：A

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S17＝a，则a2＋a9＋a16等于()

aA.17

3aC.174aB.173aD．－17a1＋a17×17a解析：∵S17＝＝a，∴17a9＝a，a9＝172

3a∴a2＋a9＋a16＝3a9＝17.答案：C

3．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝S4，S则a等于()9

A．4

C．8B．5 D．10

4×3

解析：由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋2＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.8×7

∴S8＝8a1＋2d＝8a1＋28d＝36d，S36d36d∴a＝＝＝4.a1＋8d9d9答案：A

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2 013＝S2 013＝2 013，则a1等于()

A．－2 014C．－2 012

B．－2 013 D．－2 011013－a1 007006

解析：S2 013＝2 013a1 007＝2 013，∴a1 007＝1，则d＝＝2，a1＝a2 013－2 012d＝－2 011.答案：D

5．已知等差数列{an}满足a1>0,5a8＝8a13，则前n项和Sn取最大值时，n的值为()

A．20C．22

B．21 D．2

3解析：由5a8＝8a13得5(a1＋7d)＝8(a1＋12d)⇒d＝－611，由an

3641＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)611≥0，得n≤3＝213{an}

前21项都是正数，以后各项都是负数，故Sn取最大值时，n的值为21.答案：B

6．已知函数f(x)是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1 007>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 012)＋f(a2 013)的值()

A．恒为正数C．恒为0

B．恒为负数 D．可正可负

解析：a1＋a2 013＝2a1 007>0⇒a1>－a2 013⇒f(a1)>f(－a2 013)＝－f(a2

013)⇒f(a1)＋f(a2 013)>0，同理

f(a2)＋f(a2 012)>0，f(a3)＋f(a2 011)>0，…，f(a1 006)＋f(a1 008)>0，又a1 007>0⇒f(a1 007)>f(0)＝0，以上各式相加得f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 012)＋f(a2 013)>0.答案：A

二、填空题(每小题5分，共15分)

S7．等差数列{an}中a1＝1，前n项和Sn满足S＝4，则数列{an}的前n项和Sn＝________.4a1＋6dS解析：设公差为d，则由S＝44.2a1＋d2又∵a1＝1，∴d＝2.nn－1d2

∴Sn＝na1＝n＋n(n－1)＝n.2答案：n2

8．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为________．

解析：∵项数是偶数，∴由题意知a1＋a3＋…＋an－1＝15，a2＋a4＋…＋an＝35，两式相减得(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝35n4040

－15＝20，即2＝20，∴n＝d＝220.答案：20

9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若(a2－1)3＋2 012(a2－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 012·(a2 011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．

①S2 011＝2 011；②S2 012＝2 012；③a2 0110，f(1)＝2 013>1知f(1)>f(a2－1)，故a2－1<1即a2<2又f(a2－1)＝－f(a2 011－1)＝1，故a2 011

×2 012＝2 012，S2 011＝S2 012－a2 012＝2 012－(2－a2＋d)＝2 2010＋a1>a1＋a2＝S2，又假设S2 011＝2 011，则a1＝1，a2 011＝1矛盾．综上，正确的为②③.答案：②③

三、解答题(共55分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程)

10．(15分)在等差数列{an}中，已知a2＋a7＋a12＝12，a2·a7·a12

＝28，求数列{an}的通项公式．

解：由a2＋a7＋a12＝12，得a7＝4.又∵a2·a7·a12＝28，∴(a7－5d)(a7＋5d)·a7＝28，∴16－25d2＝7，933∴d2＝25，∴d＝5d5.3

当d＝5时，an＝a7＋(n－7)d 331

＝4＋(n－7)×55－5； 3

当d＝－5时，an＝a7＋(n－7)d 3341

＝4－(n－7)×55n＋5.∴数列{an}的通项公式为 31341an＝5－5an＝－5＋5.11．(20分)(2013·浙江卷)在公差为d的等差数列{an}中，已知a1

＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比数列．

(1)求d，an；

(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.解：(1)由题意得5a3·a1＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.故d＝－1或d＝4.所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| 1221＝Sn＝－22.当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| 1221

＝－Sn＋2S11＝2－2n＋110.综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| 1221－2＋2n，n≤11，＝12212n－2n＋110，n≥12.——创新应用——

12．(20分)已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn满足关系式2Sn＝

1n－11Sn－1－2＋2(n≥2，n为正整数)，a1＝2

(1)令bn＝2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)在(1)的条件下，求Sn的取值范围．

1n－11n

解：(1)由2Sn＝Sn－1－2＋2，得2Sn＋1＝Sn－2＋2，两式相

1n

减得2an＋1＝an＋2，上式两边同乘以2n得2n＋1an＋1＝2nan＋1，即bn



＋1

＝bn＋1，所以bn＋1－bn＝1，故数列{bn}是等差数列，且公差为1.又因为b1＝2a1＝1，所以bn＝1＋(n－1)×1＝n.因此2nan＝n，从而an

1n.＝n2

1n－11n－1

(2)由于2Sn＝Sn－1－2＋2，所以2Sn－Sn－1＝2－2，即Sn

1n－1

＋an＝2－2.

1n－11n1n－11n＝2Sn＝2－2－an，而an＝n，所以Sn＝2－2－n221n.－(n＋2

n＋11n＋11

，所以Sn＋1＝2－(n＋且S－S＝>0.所以S≥Sn＋1nn1

222＋1n1n

中，(n＋>0，故Sn<2，即Sn的取值又因为在Sn＝2－(n＋221

范围是2，2.

第三篇：等差数列前n项和作业

家长签名：

学之导教育中心作业

———————————————————————————————学生: 伍家濠 授课时间:________年级: 高三

教师:

廖

1.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（）A.5 B.4 C.3 D.2 2.在等差数列an中，若a4a612,Sn是数列an的前n项和，则S9的值为()（A）48(B)54(C)60(D)66 3.设Sn是等差数列an的前n项和，若（A）

S31S,则6()S63S12311（B）

（C）8（D）

39104.已知数列{an}、其首项分别为a1、且a1b15，设b1，a1,b1N*．{bn}都是公差为1的等差数列，则数列{cn}的前10项和等于（）cnabn（nN*）A．55

B．70

C．85

D．100 5.设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315,a1a2a380，则a11a12a13（）

A． 120 B． 105 C． 90 D．75 6.an是首项a1=1，公差为d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于()（A）667（B）668（C）669（D）670 7.若等差数列an的前三项和S39且a11，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．6 8.等差数列an的前n项和为Sn若a21,a33,则S4＝（）[来源:学科网] A．12 B．10 C．8 D．6 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）A．63 B．45 C．36 D．27 10.等差数列an的公差是正数,且a3a712,a4a64,求它的前20项的和.11.已知数列an为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。

12.在等差数列an中，已知a2a5a12a1536，求S1613、若a1>0,S15=S20,它的前几项和最大？

第四篇：等差数列专题

等差数列的运算和性质专题复习

【方法总结1】

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

【方法总结2】

1.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．

2.将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn

题过程．

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇ndn为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 2n(a1an)结合在一起，采用整体思想，简化解

2【方法总结3】

1.公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．求等差数列前n项和的最值，2.常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 与其他知识点结合则以解答题为主.【规律总结】

一个推导：利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn

n(a1an)

.2

两个技巧：已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法：等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

热点一 等差数列基本量的计算

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=（）

（A）6（B）4（C）2（D）2

2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 _____.3．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（）A．12

B．16

C．20

D．24

4．（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1,Sa3,则 22

a2________;Sn=________.5.（2012年高考重庆理）在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．25

6．（2012年高考福建理）等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为

A．1

B．2C．3

D．4

（）

27．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列an满足a11,a3a24,则an______________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】

2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2，且S1,S2,S4成等比数列，求{an}的通项公式.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知等差数列an的公差d=1，前n项和为Sn(I)若1,a1,a3成等比数列，求a1；

10．（2012年高考（山东文））已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

(II)若S5a1a9，求a1的取值范围。

热点二 等差数列性质的综合应用

11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】在等差数列an中，若a1a2a3a430，则

a2a3．

12．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（）

A．58

B．88

C．143

D．176

13．（2012年高考江西理）设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5__________ 14．（2012年高考四川文）设函数f(x)(x3)x1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7（）

A．0 B．7 C．14 D．21

15.（2012年高考大纲理）已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列（）A．



1

的前100项和为

anan1

B．

101

C．

100

D．

16．（2012年高考山东理）在等差数列an中,a3a4a584,a973.(Ⅰ)求数列an的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.m

2m

17.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.热点三 等差数列的定义与应用

18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：

p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；

a

p4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；

n

其中的真命题为（）

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为

f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]a1a3（）

的等差数列, 8

A．0

B．

 16

C．

D．

132

 16

20．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是（）．．A．若d<0,则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项,则d<0

C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列

21.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________.

第五篇：如何证明等差数列

如何证明等差数列

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证

1三个数abc成等差数列，则c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列

等差：an-(an-1)=常数(n≥2)

等比：an/(an-1=常数(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2

我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4

下面用数学规纳法来证明：

1)容易验证a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推测均成立

2)假设当n≤k时，推测是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是S(k+1)=a(k+1)+Sk

而由题意知：(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1时，推测仍成立。

在新的数列中

An=S

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

A(n-1)=S

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d为原数列公差)

20d为常数,所以新数列为等差数列上，an=5n-4即为数列的通项公式，故它为一等差数列。

A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差为3/4An除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列

那么你就设直角三角形地三条边为a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)²=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化简得a²=2ab+3b²

两边同时除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三边可以写为3b，3b+b。3b+2b

所以三边之比为3：4：5

设等差数列an=a1+(n-1)d

最大数加最小数除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均数为

Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得证