第一篇:《等差数列》检测
高2011届《等差数列》单元检测
班级姓名
一、选择题(每小题5分,共25分)
1、设数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4,则数列{an}开始递增的最小项是
A、a1B、a2C、a3D、a2和a32、已知数列{an}的前n项和公式Sn=2n2-n+1,则数列{an}的一个通项公式为
2,n1A、an=4n-3B、an= *4n3,n2,nN
C、an=4n-2D、an=4(n-1)
3、数列{an}满足a1=0,an+1-an=2n,则a2009的值为
A、2007×2008B、2008×2009C、20092D、2009×30004、在等差数列{an}中,a1=1,a2+a5=4,an=33,则n为 3
A、48B、49C、50D、515、设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1·a2·a3=80,则a11+a12+a13等于
A、120B、105C、90D、75
二、填空题(每小题4分,共16分)
6、若等差数列{an}的a3=5,a8=13,则{an}的通项公式为
7、设Sn为等差数列{an}的前n项和,S5=10,S10=-5,则公差d=。
8、已知等差数列{an}的各项所对应的点在在函数y=kx-2的图象上,且当x=5时y=18,则an=。
9、已知数列{an}满足a1-0,an+1=
三、解答题(9分)
10、已知函数f(x)=
⑴求an;
⑵求Sn; an3an1(n∈N),则a20=。*2x31+,数列{an}满足a1=1,且an+1=f()(n∈N)3xan
第二篇:等差数列试题(自我检测)
等差数列专题复习题
一、填空题:
1.等差数列an的前n项和为Sn,若a21,a33,则S4=_______________.2已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于________________.3.设Sn是等差数列an的前n项和,若S735,则a4________________.4记等差数列an的前n项和为Sn,若S24,S420,则该数列的公差d=_______.5.等差数列{an}中,已知a1 1,a2a54,an33,则n为______________.3
a55S,则9______________.a39S56.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=______________.7.设Sn是等差数列an的前n项和,若
8.已知等差数列{an}满足α1+α2+α3+…+α101=0则有___________.①α1+α101>0②α2+α100<0③α3+α99=0 ④α51=51
9.如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,公差d0,则__________.①a1a8a4a5 ②a8a1a4a5 ③a1+a8a4+a5 ④a1a8=a4a5
10.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有______项.11设数列an的首项a17,且满足an1an2(nN),则a1a2a17_____________.12.已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则a5
13.已知数列的通项an=-5n+2,则其前n项和为Sn
14.设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10S730,则S9=.二、解答题:
15.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a1030,a2050.(Ⅰ)求通项an;(Ⅱ)若Sn=242,求n.16.已知数列{an}是一个等差数列,且a21,a55。
(1)求{an}的通项an;(2)求{an}前n项和Sn的最大值。
17.设an为等差数列,Sn为数列an的前n项和,已知S77,S1575,Tn为数列Sn的前n项和,求Tn。n
18.已知an是等差数列,a12,a318;bn也是等差数列,a2b24,b1b2b3b4a1a2a3。
(1)求数列bn的通项公式及前n项和Sn的公式;
(2)数列an与bn是否有相同的项? 若有,在100以内有几个相同项?若没有,请说明理由。
19.设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.20.已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点,其导函数为f(x)6x2,数列{an}的前n项和为Sn,点
(n,Sn)(nN)均在函数yf(x)的图像上。(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
3m(Ⅱ)设bn,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn对所有nN都成立的最小正整数m; anan120'
第三篇:等差数列专题
等差数列的运算和性质专题复习
【方法总结1】
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
【方法总结2】
1.一般地,运用等差数列的性质,可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),需要当序号之和相等、项数相同时才成立.
2.将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn
题过程.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则S偶-S奇ndn为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项). 2n(a1an)结合在一起,采用整体思想,简化解
2【方法总结3】
1.公差不为0的等差数列,求其前n项和的最值,一是把Sn转化成n的二次函数求最值;二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n,代入前n项和公式求最值.求等差数列前n项和的最值,2.常用的方法:
(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;
(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;
(3)利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值. 与其他知识点结合则以解答题为主.【规律总结】
一个推导:利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:
Sn=a1+a2+a3+…+an,①Sn=an+an-1+…+a1,②①+②得:Sn
n(a1an)
.2
两个技巧:已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
四种方法:等差数列的判断方法
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;(3)通项公式法:验证an=pn+q;(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
热点一 等差数列基本量的计算
1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】设Sn为等差数列an的前n项和,S84a3,a72,则a9=()
(A)6(B)4(C)2(D)2
2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】 在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 _____.3.(2012年高考辽宁文)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12
B.16
C.20
D.24
4.(2012年高考北京文)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1,Sa3,则 22
a2________;Sn=________.5.(2012年高考重庆理)在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=()A.7B.15C.20D.25
6.(2012年高考福建理)等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为
A.1
B.2C.3
D.4
()
27.(2012年高考广东理)已知递增的等差数列an满足a11,a3a24,则an______________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】
2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn(I)若1,a1,a3成等比数列,求a1;
10.(2012年高考(山东文))已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.
(II)若S5a1a9,求a1的取值范围。
热点二 等差数列性质的综合应用
11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文】在等差数列an中,若a1a2a3a430,则
a2a3.
12.(2012年高考辽宁理)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()
A.58
B.88
C.143
D.176
13.(2012年高考江西理)设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5__________ 14.(2012年高考四川文)设函数f(x)(x3)x1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7()
A.0 B.7 C.14 D.21
15.(2012年高考大纲理)已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列()A.
1
的前100项和为
anan1
B.
101
C.
100
D.
16.(2012年高考山东理)在等差数列an中,a3a4a584,a973.(Ⅰ)求数列an的通项公式;
(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.m
2m
17.【2013年高考新课标Ⅱ数学(文)卷】已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求an的通项公式;(Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n-2.热点三 等差数列的定义与应用
18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:
p2:数列nan是递增数列; p1:数列an是递增数列;
a
p4:数列an3nd是递增数列; p3:数列n是递增数列;
n
其中的真命题为()
(A)p1,p2(B)p3,p4(C)p2,p3(D)p1,p4 19.(2012年高考四川理)设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为
f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]a1a3()
的等差数列, 8
A.0
B.
16
C.
D.
132
16
20.(2012年高考浙江理)设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是()..A.若d<0,则数列{S n}有最大项B.若数列{S n}有最大项,则d<0
C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0D.若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列
21.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15 =25,则nSn 的最小值为________.
第四篇:如何证明等差数列
如何证明等差数列
设等差数列an=a1+(n-1)d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均数为
Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得证
1三个数abc成等差数列,则c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a,则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列
等差:an-(an-1)=常数(n≥2)
等比:an/(an-1=常数(n≥2)
等差:an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)
等比:an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2
我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4
下面用数学规纳法来证明:
1)容易验证a1=5*1-4=4,a2=5*2-4=6,a3=5*3-4=11,推测均成立
2)假设当n≤k时,推测是成立的,即有aj=5(j-1)-4,(j≤k)
则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
于是S(k+1)=a(k+1)+Sk
而由题意知:(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8
即:(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8
即:(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1时,推测仍成立。
在新的数列中
An=S
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
A(n-1)=S
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d为原数列公差)
20d为常数,所以新数列为等差数列上,an=5n-4即为数列的通项公式,故它为一等差数列。
A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差为3/4An除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列
那么你就设直角三角形地三条边为a,a+b,a+2b
于是它是直角三角形得到
a²+(a+b)²=(a+2b)²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化简得a²=2ab+3b²
两边同时除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三边可以写为3b,3b+b。3b+2b
所以三边之比为3:4:5
设等差数列an=a1+(n-1)d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均数为
Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得证
第五篇:等差数列及习题
等差数列
通项公式 a(n)=a(1)+(n-1)×d项数n=(末项-首项)/公差+1,是正整数,等差数列的首项和公差已知,那么,这个等差数列就确定了。从通项公式可以看出,a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上; 递推公式 如果一个数列的第n项an与该数列的其他一项或多项之间存在对应关系的,这个关系就称为该数列的递推公式,如:等差数列递推公式:an=a(n-1)+d
前N项和(梯形公式)S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2或S(n)=d/2*n2+(a1-d/2)*n 由前n项和公式知,S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0,二次项和 一次项的系数分别为d/2,a1-d/2;
性质 1在有穷等差数列中,与首末两项距离相等的两项和相等,即:a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=...2若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
3若m,n,p∈N*,且m+n=2p,则有a(m)+a(n)=2a(p)a(m)=a(n)+(n-m)*dm,n∈N*
等差数列的判定
1.a(n+1)--a(n)=d(d为常数、n ∈N*)[或a(n)--a(n-1)=d,n ∈N*,n≥2,d是常数]等价于{a(n)}成等差数列;
2.2a(n+1)=a(n)+a(n+2)[n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列;.a(n)=kn+b [k、b为常数,n∈N*] 等价于{a(n)}成等差数列;.S(n)=A(n)^2 +B(n)[A、B为常数,A不为0,n ∈N* ]等价于{a(n)}为等差数列。
递推公式求通项公式a(n+1)=a(n)+f(n)累加 如:a(n+1)=a(n)+2n-1或1/(n+n2)
练习:
等差数列的第五项等于10,前三项的和胃3,则首项和公差分别是
在等差数列40,36,32中,第一个负数项是第几项
等差数列共2n+1项,奇数项之和为132,偶数项之和为120,则n的值为
在等差数列{an}中,a2+a5=19,S5=40,则a10的值为
{an}是等差数列,若a2+a4+a9+a11=36,则a6+a7的值是
若三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数
三个数成等差数列,平方和为450,两两之积的和为423,则其中间数为
等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和
已知等差数列的前n项和为a,前2n项和为b,求前3n项和
等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求其前n项绝对值之和
成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数
已知a1=1,Sn=a(n)*n2(n≥1)求a(n),Sn
数列{an}对于任意自然数n均满足Sn=n/2(a1+an),求证: {an}是等差数列.