第一篇:数学(等差数列)
志伟培训中心期总复习题
等差数列
1、数列 an 满足an+an+1=∈N∗), a1=1, Sn是 an 的前n项和,则S21是多少?
212、定义一种运算“∗ ”:对于自然数n满足以下运算性质:(i)1∗1=1,(ii)(n+1)∗1=n∗1+1,则n∗1等于多少?
3、若an=1n+1+1n+2+⋯+12n n=1,2,3,… 则an+1−an是多少?
2an
an+
24、数列 an 中,a15、数列 an 中,a3=1,an+1=,则a9是多少? 1
an+1=2,a7=1,数列
是等差数列,则a11是多少? 1a16、数列 an 满足a1∗= ,an+1=a2n−an+1 n∈N ,则m=+1
a2+
⋯+1
a2009的整数部分是多少?
7、已知数列 an 中,a1=1,a2=0,对任意正整数n,m(n>m)满足
2a2n−am=an−man+m ,则a119是多少?
8、如果等差数列 an 中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+⋯+a7是多少?
9、设等差数列 an 的前n项和为Sn,若a1=−11.a4+a6=−6,则当Sn取最小值时,n等于多少?
10、已知等差数列 an 满足:a3=7,a5+a7=26.an 的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;
(2)令bn=1
an−1(n∈N∗),求数列 bn 的前n项和Tn.11、数列 an 中,a1=−3.an=2an−1+2n+3 n≥2且n∈N∗.(1)求a2,a3的值;
(2)设bnan+3
2=证明: bn 是等差数列;
n+2(3)求数列 an 的前n项和Sn.12、数列 an 的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn n=1,2,3….n
证明:(1)数列是等比数列; nSn(2)Sn+1=4an.
第二篇:数学等差数列练习题
练习题3:等差数列
1、已知等差数列的首项a1,项数n,公差d,求末项an
公式:末项=首项+(项数-1)×公差an= a1+(n-1)×d
(1)一个等差数列的首项为5,公差为2,那么它的第10项是()。
2、已知等差数列的首项a1,末项an,公差d,求项数n
公式:项数=(末项-首项)÷公差+1n=(an-a1)÷d+1
(1)等差数列7、11、15……、87,问这个数列共有()项。
(2)等差数列3、7、11…,这个等差数列的第()项是43。
3、已知等差数列的首项a1,末项an,项数n, 求公差d
公式:公差=(末项-首项)÷(项数-1)d=(an-a1)÷(n-1)
(1)已知等差数列的第1项为12,第6项为27。求公差()。
4、已知等差数列的末项an,项数n, 公差d,求首项a1
公式:首项=末项-(项数-1)×公差a1=an-(n-1)×d
(1)已知一个等差数列的公差为2,这个等差数列的第10项是为23,这个等差数列的首项是()。
(2)一堆木料,最下层有24根,往上每一层都比下一层少2根,共10层,最上层有()根木料。
5、把70拆成7个自然数,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都相等,那么,中间的数是()。
6、5个连续奇数的和是35,其中最大的奇数是()。
第二类:已知等差数列的首项a1,末项an,项数n,求和用公式:sn=(a1+ an)×n÷2[或 sn=中间数×项数]
1、已知等差数列2,5,8,11,14,17,20,求这个数列的和是()。
2、等差数列7+11+15+19+23+27+31+35的和是()。
3、求1+2+3+4+5+6+7+……+20=4、1+3+5+7+9+11+……+19=
5、已知等差数列的首项是5,末项是47,求这个数列共有8项求这个数列的和是()。
6、王师傅每天工作8小时,第一小时加工零件5个,从第二小时起每小时比前一小时多加工相同的零件,第8小时加工了23个,王师傅一天加工零件()个。
等差数列分组练习题
已知等差数列的首项a1,末项an,项数n,求和用公式:sn=(a1+ an)×n÷2
如果题中有缺项,需要先求缺项再求和
第一类缺项是()
1、已知等差数列2,5,8,11,14…,求前11项的和是多少?
2、数列1、4、7、10、……,求它的前21项的和是多少?
第二类缺项是()
1、等差数列7,11,15,……… 87,这个数列的和是多少?
2、已知等差数列5,8,11…47,求这个数列的和是多少?
第三类缺项是()
1、一个剧场设置了16排座位,后每一排都比前一排多2个座位,最后一排有68个座位,这个剧场共有多少个座位?
2、有10个数,后一个比前一个多5,第10个数是100,求这10个数的和是多少? 第四类缺项是()
sn=中间数×项数1、5个连续奇数,第一个数和最后一个数的和是18,求这5个连续奇数的和是多少?
第三篇:等差数列专题
等差数列的运算和性质专题复习
【方法总结1】
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
【方法总结2】
1.一般地,运用等差数列的性质,可以化繁为简、优化解题过程.但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),需要当序号之和相等、项数相同时才成立.
2.将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn
题过程.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则S偶-S奇ndn为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项). 2n(a1an)结合在一起,采用整体思想,简化解
2【方法总结3】
1.公差不为0的等差数列,求其前n项和的最值,一是把Sn转化成n的二次函数求最值;二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n,代入前n项和公式求最值.求等差数列前n项和的最值,2.常用的方法:
(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;
(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;
(3)利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值. 与其他知识点结合则以解答题为主.【规律总结】
一个推导:利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式:
Sn=a1+a2+a3+…+an,①Sn=an+an-1+…+a1,②①+②得:Sn
n(a1an)
.2
两个技巧:已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
四种方法:等差数列的判断方法
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;(3)通项公式法:验证an=pn+q;(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.注:后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列.
热点一 等差数列基本量的计算
1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科)】设Sn为等差数列an的前n项和,S84a3,a72,则a9=()
(A)6(B)4(C)2(D)2
2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】 在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 _____.3.(2012年高考辽宁文)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12
B.16
C.20
D.24
4.(2012年高考北京文)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1,Sa3,则 22
a2________;Sn=________.5.(2012年高考重庆理)在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=()A.7B.15C.20D.25
6.(2012年高考福建理)等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为
A.1
B.2C.3
D.4
()
27.(2012年高考广东理)已知递增的等差数列an满足a11,a3a24,则an______________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】
2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)文科】已知等差数列an的公差d=1,前n项和为Sn(I)若1,a1,a3成等比数列,求a1;
10.(2012年高考(山东文))已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.
(II)若S5a1a9,求a1的取值范围。
热点二 等差数列性质的综合应用
11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文】在等差数列an中,若a1a2a3a430,则
a2a3.
12.(2012年高考辽宁理)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()
A.58
B.88
C.143
D.176
13.(2012年高考江西理)设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5__________ 14.(2012年高考四川文)设函数f(x)(x3)x1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7()
A.0 B.7 C.14 D.21
15.(2012年高考大纲理)已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列()A.
1
的前100项和为
anan1
B.
101
C.
100
D.
16.(2012年高考山东理)在等差数列an中,a3a4a584,a973.(Ⅰ)求数列an的通项公式;
(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.m
2m
17.【2013年高考新课标Ⅱ数学(文)卷】已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(Ⅰ)求an的通项公式;(Ⅱ)求a1+a4+a7+…+a3n-2.热点三 等差数列的定义与应用
18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题:
p2:数列nan是递增数列; p1:数列an是递增数列;
a
p4:数列an3nd是递增数列; p3:数列n是递增数列;
n
其中的真命题为()
(A)p1,p2(B)p3,p4(C)p2,p3(D)p1,p4 19.(2012年高考四川理)设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为
f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]a1a3()
的等差数列, 8
A.0
B.
16
C.
D.
132
16
20.(2012年高考浙江理)设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是()..A.若d<0,则数列{S n}有最大项B.若数列{S n}有最大项,则d<0
C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0D.若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列
21.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15 =25,则nSn 的最小值为________.
第四篇:高二数学必修5 等差数列练习题
高二数学必修5 等差数列练习题
一、选择题:
1、设数列的通项公式为an2n7,则a1a2a15()A、153 B、210 C、135 D、120
2、已知方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为
1的等差数列,则4mn()
313 C、D、4283、若{an}是等差数列,首项a10,a2003a20040,a2003.a20040,则使前n项和Sn0成 A、1 B、立的最大自然数n是()4007
D、4008
A、4005
B、4006
C、4、设Sn是等差数列{an}的前n项之和,且S6S7,S7S8S9,则下列结论中错误的是()
A、d0 B、a80 C、S10S6 D、S7,S8均为Sn的最大项
5、已知数列{an}满足a10,an1an33an1(nN*),则a20=()2 A、0
B、3 C、3
D、6、△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为3,那么b= 2D、23
()A、13 B、13 C2、23
27、若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是()A、(1,2)
B、(2,+∞)
C、[3,+∞)
D、(3,+∞)
二、填空题:
8、在△ABC中,若三内角成等差数列,则最大内角与最小内角之和为______.9、若在等差数列{an}中,a37,a73,则通项公式an=______________
10、数列{an}的通项公式an1nn1
2,其前n项和时Sn9,则n等于_________
n11、已知数列{an},a1=1,a2=2,an+1-anan+2=(-1),则a3=______,a4=______.12、在等差数列{an}中,a5=-1,a6=1,则a5+a6+…+a15=______.13、已知数列{an}中,a12,an1
三、解答题:
14、(1)求数列1,2an则数列的通项公式an=______________ an1111,,的通项公式an 12123123n(2)求数列{an}的前n项和
15、等差数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,S6=7,S15=16,求a11.必修5周周考
(四)一、选择题:ACBC BBB
二、填空题:
8、120°;
9、-n+10;
10、99;11、5、12;
12、99;
13、1n1()
2三、解答题:
14、解(1)an 11
12nn(n1)(2)an 2111111112n2()Sn2[(1)()()]2(1)n(n1)nn1223nn1n1n115、解:S15-S6=a7+a8+…+a15=
a7a15×9=9a11=9,a11=1.2
第五篇:如何证明等差数列
如何证明等差数列
设等差数列an=a1+(n-1)d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均数为
Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得证
1三个数abc成等差数列,则c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a,则(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差数列
等差:an-(an-1)=常数(n≥2)
等比:an/(an-1=常数(n≥2)
等差:an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)
等比:an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).2
我们推测数列{an}的通项公式为an=5n-4
下面用数学规纳法来证明:
1)容易验证a1=5*1-4=4,a2=5*2-4=6,a3=5*3-4=11,推测均成立
2)假设当n≤k时,推测是成立的,即有aj=5(j-1)-4,(j≤k)
则Sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
于是S(k+1)=a(k+1)+Sk
而由题意知:(5k-8)S(k+1)-(5k+2)Sk=-20k-8
即:(5k-8)*-(5k+2)Sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10Sk=-20k-8
即:(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1时,推测仍成立。
在新的数列中
An=S
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
A(n-1)=S
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
An-A(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d为原数列公差)
20d为常数,所以新数列为等差数列上,an=5n-4即为数列的通项公式,故它为一等差数列。
A(n+1)-2An=2(An-2An-1)A(n+1)-2An=3*2^(n-1)两边同时除2^(n+1)得-An/2^n=3/4即{An/2^n}的公差为3/4An除以2的n次方为首项为1/2公差为3/4的等差数列
那么你就设直角三角形地三条边为a,a+b,a+2b
于是它是直角三角形得到
a²+(a+b)²=(a+2b)²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化简得a²=2ab+3b²
两边同时除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三边可以写为3b,3b+b。3b+2b
所以三边之比为3:4:5
设等差数列an=a1+(n-1)d
最大数加最小数除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均数为
Sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得证