第一篇:等差数列及其前n项和复习学案(教师版)
等差数列及其前n项和 【2013年高考会这样考】
1.考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题. 2.考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用. 【复习指导】
1.掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等.
2.掌握等差数列的判断方法,等差数列求和的方法.
基础梳理
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.3.等差中项
如果A=a+b
2,那么A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).(2)若{an}为等差数列,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.(5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则S偶-Snd
2若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
5.等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an,则Sn=na1+an
2,或等差数列
{an}的首项是a1,公差是d,则其前n项和公式为Sn=na1+nn-1
26.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=d
d2n2+a1-2n,数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn(A,B为常数).
7.最值问题
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值,若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式: Sn=a1+a2+a3+…+an,① Sn=an+an-1+…+a1,② ①+②得:Sn=na1+an
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题,要善于设元.
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;
(2)等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)都成立;
(3)通项公式法:验证an=pn+q;
(4)前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列,而不能用来证明等差数列. 双基自测
1.(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于().
A.4B.5C.6D.7 解析 a2+a8=2a5,∴a5=6.答案 C
2.设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于().
A.31B.32C.33D.3
4a1=26
解析 由已知可得
a1+5d=2,3,解得
5a1+10d=30,d=-4
3.∴S8=8a18×7
=32.答案 B 3.(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn+Sm=Sn+m,且a1=1.那么a10=(). A.1B.9C.10D.5
5解析 由Sn+Sm=Sn+m,得S1+S9=S10⇒a10=S10-S9=S1=a1=1.答案 A 4.(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于().
A.13B.35C.49D.6
37a1+a7
解析 ∵a1+a7=a2+a6=3+11=14,∴S7==
249.答案 C
5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.解析 设公差为d.则a5-a2=3d=6,∴a6=a3+3d=7+6=13.答案 13
713137
由①②可得d=a1=所以a5=a1+4d=+66222266=67
.666766
答案
考向二 等差数列的判定或证明
【例2】►已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+
12Sn·Sn-1=0(n≥2),a12
1
(1)求证:Sn是等差数列;
(2)求an的表达式.
[审题视点](1)化简所给式子,然后利用定义证明.(2)根据Sn与an之间关系求an.(1)证明 ∵an=Sn-Sn-1(n≥2),又an=-2Sn·Sn-1,11∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,Sn≠0,∴2(n≥2).
SnSn-1
111
由等差数列的定义知Sn是以==2为首项,以2为
S1a1公差的等差数列.
(2)解 由(1)+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n,SnS111
∴Sn=.当n≥2时,有an=-2Sn×Sn-1=-
2n2nn-11
又∵a1=,不适合上式,∴an=
考向一 等差数列基本量的计算 【例1】►(2011·福建)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值. [审题视点] 第(1)问,求公差d; 第(2)问,由(1)求Sn,列方程可求k.解(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2.从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n.n[1+3-2n]
所以Sn==2n-n2.2进而由Sk=-35可得2k-k2=-35.即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7为所求.
等差数列的通项公式及前n项和公式中,共涉
及五个量,知三可求二,如果已知两个条件,就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.体现了用方程思想解决问题的方法. 【训练1】(2011·湖北)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.
解析 设竹子从上到下的容积依次为a1,a2,…,a9,由题意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,设等差数列{an}的公差为d,则有4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,
12nn-1,n≥2.,n=1,2等差数列主要的判定方法是定义法和等差中
项法,而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断. 【训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数,且a1=-2,a2=2,S3=6.(1)求Sn;
(2)证明:数列{an}是等差数列.
(1)解 设Sn=An2+Bn+C(A≠0),则-2=A+B+C,
0=4A+2B+C,6=9A+3B+C,解得:A=2,B=-4,C=0.∴Sn=2n2-4n.(2)证明 当n=1时,a1=S1=-2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]
=4n-6.∴an=4n-6(n∈N*).
当n=1时符合上式,故an=4n-6,∴an+1-an=4,∴数列{an}成等差数列.
考向三 等差数列前n项和的最值
【例3】►设等差数列{an}满足a3=5,a10=-9.(1)求{an}的通项公式;
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值. [审题视点] 第(1)问:列方程组求a1与d;
第(2)问:由(1)写出前n项和公式,利用函数思想解决. 解(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得
a1+2d=5,a1=9a1+9d=-9,可解得,d=-2.数列{an}的通项公式为an=11-2n.(2)由(1)知,Sn=na1+nn-1
d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25,所以当n=5时,Sn取得最大值.
求等差数列前n项和的最值,常用的方法:
(1)利用等差数列的单调性或性质,求出其正负转折项,便可求得和的最值.
(2)利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A、B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.
【训练3】 在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
解 法一 ∵a1=20,S10=S15,∴10×20+10×915×1
42d=15×20+2,∴d
5∴an=20+(n-1)×-53=-53n+65
3.∴a13=0.即当n≤12时,an>0,n≥14时,an<0.∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S12=S13=12×20+12×112×5-3=130.法二 同法一求得d=-53.∴Sn=20n+nn-12-53
=-51256n2+6
n
56n-2522+3 125
.∵n∈N*,∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.法三 同法一得d5
又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.∴5a13=0,即a13=0.∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.考向四 等差数列性质的应用 【例4】►设等差数列的前n项和为Sn,已知前6项和为36,Sn=324,最后6项的和为180(n>6),求数列的项数n.[审题视点] 在等差数列 {an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)用此性质可优化解题过程.
解 由题意可知a1+a2+…+a6=36① an+an-1+an-2+…+an-5=180②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216.∴a1+an=36.又Snna1+an
2=324,∴18n=324.∴n=
18.本题的解题关键是将性质m+n=p+q⇒am
+an=ap+aq与前n项和公式Snna1+an
2结合在一起,采用整体思想,简化解题过程.
【训练4】(1)设数列{an}的首项a1=-7,且满足an+1=an+2(n∈N+),则a1+a2+…+a17=________.(2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于________. 解析(1)∵an+1-an=2,∴{an}为等差数列. ∴an=-7+(n-1)·2,∴a17=-7+16×2=25,S17=a1+a17×17-7+25×172
2=153.(2)由已知可得(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=-24+
78⇒(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54⇒a1+a20=18⇒S20=a1+a2018
220=2×20=180.答
案
(1)153
(2)180
阅卷报告6——忽视an与Sn中的条件n≥2而致误
【问题诊断】 在数列问题中,数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系:an=blc{rc(avs4alco1(S1n=1,,Sn-Sn-1n≥2.))这个关系对任意数列都是成立的,但要注意的是这个关系式是分段的,在n=1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式,这也是解题中经常出错的一个地方,在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点.【防范措施】 由an=Sn-Sn-1求出an后,一定不要忘记验证n=1是否适合an.【示例】►(2009·安徽改编)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2-bn.求数列{an}与{bn}的通项公式.
错因 求an、bn时均未验证n=1.实录 ∵an=Sn-Sn-1,∴an=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=4n.又Tn=2-bn,∴bn=Tn-Tn-1=2-bn-2+bn-1,11
即bn-1,∴bn=2n-1=21-n.2
正解 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+2n-2(n-1)2-2(n-1)=4n,又a1=S1=4,故an=4n,当n≥2时,由bn=Tn-Tn-1=2-bn-2+bn-1,1
得bn-1,又T1=2-b1,∴b1=1,1∴bn=2n-1=21-n.【试一试】 已知在正整数数列{an}中,前n项和Sn满足:
Sn=(an+2)2.8
(1)求证:{an}为等差数列.
(2)若bn=an-30.求数列{bn}的前n项和的最小值.
[尝试解答](1)证明:当n=1时,S1=a1=(a1+2)2,8∴(a1-2)2=0,∴a1=2.11
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+2)2-1+2)2,88∴an-an-1=4,∴{an}为等差数列.
(2)由(1)知:an=a1+(n-1)4=4n-2,131
由bn-30=2n-31≤0得n≤22
∴{bn}的前15项之和最小,且最小值为-225.
第二篇:高三等差数列及前n项和导学案
《等差数列及其前n项和》导学案
班级_______课时时间________
学习目标
1.理解等差数列的概念,会用定义证明一个数列是等差数列; 2.能利用等差中项、通项公式与前 n 项和公式列方程求值; 3.善于识别数列中的等差关系或能将其转化为等差关系。
重点:等差数列基本功式、概念及性质的应用。
难点:等差数列的证明及性质的应用。考点梳理
1.等差数列
(1)定义:________________________.(2)通项公式:________________________________________________________________.(3)前n项和公式:____________________________________________________________.(4)a、b的等差中项A=_______________ 2.等差数列的常用性质
(1)若{an}为等差数列,m、n、p、q、k是正整数,且m+n=p+q=2k,则am+an=______=____.(2)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}_________,公差为________.(3)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为______的___数列.(5)若{an}是等差数列,前n项和为Sn,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…,是____数列,公差为____.(6)若数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,则S2n-1=___________.(7)若数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,则数列{
Sn
n
}为__________.典例探究
题型一 等差数列有关基本量的计算
例1:在等差数列{an}中,已知a6=10,s5=5,求a8和s8.题型二 等差数列的判定与证明
例2:已知数列{an}中,a3
5=2-1a(n≥2,n∈N*),数列{b111=,ann}满足bn=(n∈N*).
n1an1an1
(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.题型三 等差数列的性质及应用
例3:(1)(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=________.(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知aa2m1m1am0,s2m138,则m=____.(3)等差数列{an}的前m项和为30,,2m项和为100,则它的前3m项和为______.达标检测
1.(2012年高考北京文)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1
1,S2a3,则a2________;Sn=________.2数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N*),则an=________.3.(2011年重庆)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=_____.
第三篇:等差数列前n项和教案
等差数列前n项和教案
一、教材分析
1、教材内容:等差数列前n项求和过程以及等差数列前n项和公式。
2.教材所处的地位和作用:本节课的教学内容是等差数列前n项和,与前面学过
的等差数列的定义、性质等内容有着密切的联系,又能为后面等比数列前n
项和以及数列求和做铺垫。
3、教学目标
(1)知识与技能:掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法。同时能
熟练、灵活地应用等差数列前n项和公式解决问题。
(2)过程与方法:经历公式的推导过程,体验倒序相加进行求和的过程,学会
观察、归纳、反思。体验从特殊到一般的研究方法。
(3)情感、态度、价值观:通过具体、生动的现实问题的引入,激发学生探
究求和方法的兴趣,树立学生求知意识,产生热爱数学的情感,逐步养
成科学、严谨的学习态度,提高一般公式推理的能力。
4、重点与难点
重点:等差数列前n项和公式的掌握与应用。
难点:等差数列前n项和公式的推导以及其中蕴含的数学思想的掌握。
二、学情分析
学生前几节已经学过一些数列的概念及简单表示法,还学了等差数列的定
义以及性质,对等差数列已经有了一定程度的认识。这些知识也为这节的等差数列前n项和公式做准备,让学生能更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程。同时也为后面的等比数列前n项和公式做铺垫。但由于数列形式多样,因此仅仅掌握等差数列前n项和公式还是不够的,更应该学会灵活应用。
三、教学方法:启发引导,探索发现
四、教学过程
1.教学环节:创设情境
教学过程:200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题: 123100?。据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯迅速得出5050这个答案。让同学思考并讨论高斯是怎么算的。
设计意图:由著名的德国数学家高斯的例子引发同学们的思考,为下面引入倒序相加法求和做准备。2.教学环节:介绍倒序相加法
教学过程:请同学将自己的计算方法在课上发表,老师接着介绍倒序相加
法。记S123100981S10099,从而发现每一列相加都得101。
则2S(1100)(299)(398)(1001)101*100
S101*10025050
类似地,用同样的方法计算1,2,3,,n,的前n项和,可以得到 123n(n1)n。2 设计意图:介绍倒序相加法,并用这个方法计算1,2,3,,n,的前n 项和,从而为下面推导等差数列前n项和公式做铺垫。
3.教学环节:推导公式
教学过程:首先介绍数列an的前n项和,用Sn来表示,即
Sna1a2a3an。对于公差为d的等差数列,我们用两种方法表示Sn。Sna1(a1d)(a12d)[a1(n1)d]Snan(and)(an2d)[an(n1)d]
则两式相加得:
2Sn(a1an)(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an)
n个n(a1an),将等差数列的通项公2n(n1)d。式ana1(n1)d代入,得到公式Snna12 推导出等差数列前n项和的公式为Sn 设计意图:用倒序相加法推导得到等差数列前n项和公式,由于有前面的铺垫让学生更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程,对后面的应用也有帮助。
4、教学环节:例题讲解
教学过程:例1:用等差数列前n项和的公式计算1+3+5++99的值。
例2:a11,a86,求这个等差数列的前8项和S8以及公
差d。例3:已知数列an的前n项和Snn2n,求这个数列 的通项公式。这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?
设计意图:巩固等差数列前n项和公式,加深学生对该公式的印象。6.教学环节:回顾总结
教学过程:
1、倒序相加法进行求和的思想
2、复习等差数列前n项和公式Sn Snna1n(a1an)和 2n(n1)强调要根据条件选用适当的公式进 d,行求解。以及公式的适用范围。7.教学环节:布置作业
七、板书设计
1、问题的提出
2、倒序相加法
3、等差数列前n项和公式
4、例题
5、回顾总结
6、布置作业
第四篇:2.3等差数列前n项和学案
2.3.1等差数列前n项和学案(第一课时)
姓名:班级:日期:【学习目标】
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.【本节重点】等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.【本节难点】灵活运用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题
一、复习回顾
1:什么是等差数列?等差数列的通项公式是什么?
2:等差数列有哪些性质?
二、学习探究
探究:等差数列的前n项和公式问题:
1.计算1+2+„+100=?
2.如何求1+2+„+n=?
新知:
数列{an}的前n项的和:
一般地,称{an}的前n项的和,用Sn表示,即Sn反思:
① 如何求首项为a1,第n项为an的等差数列{an}的前n项的和?
② 如何求首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项的和?
试试:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列{an}的前n项和Sn.⑴a14,a818,n8;⑵a114.5,d0.7,n1
5小结: 1.用Sn(a1an)
n,必须具备三个条件:.2.用Sn(n1)d
nna1,必须已知三个条件:.三、典型例析:在等差数列{an}中,(1)已知a15=10,a45=90,求
s60
(2)已知S12=84,S20=460,求S28;(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.
四、学习小结 1.等差数列前n项和公式的两种形式;2.两个公式适用条件,并能灵活运用;
3.等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之a1,an,q,n,Sn五个量中任意的三个,列方程组可以求出其余的两个.五、当堂检测 1.在等差数列{an}中,S10120,那么a1a10().A.12B.24C.36D.48 2.在50和350之间,所有末位数字是1的整数之和是().A.5880B.5684C.4877D.4566 3.已知等差数列的前4项和为21,末4项和为67,前n项和为286,则项数n 为()A.24B.26C.27D.28 4.在等差数列{an}中,a12,d1,则S8.5.在等差数列{an
}中,a125,a5
33,则S6
第五篇:等差数列前n项和教案
等差数列前n项和(第一课时)教案
【课题】
等差数列前n项和第一课时
【教学内容】
等差数列前n项和的公式推导和练习
【教学目的】
(1)探索等差数列的前项和公式的推导方法;
(2)掌握等差数列的前项和公式;
(3)能运用公式解决一些简单问题
【教学方法】 启发引导法,结合所学知识,引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识,从而理解并掌握.【重点】
等差数列前项和公式及其应用。
【难点】
等差数列前项和公式的推导思路的获得 【教具】
实物投影仪,多媒体软件,电脑 【教学过程】
1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sn
a1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学
问题一: 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔,往上每一层都比它下面一层 多放一支,最上面一层放 100支,这个V 形架上共放着多少支铅笔?
思考:(1)问题转化求什么 能用最短时间算出来吗?
(2)阅读课本后回答,高斯是如何快速求和的?
他抓住了问题的什么特征?
(3)如果换成1+2+3+…+200=?我们能否快速求和?,(4)根据高斯的启示,如何计算 18+21+24+27+…+624=?
3..合作互学(小组讨论,总结方法)
问题二: Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?
倒序相加法
探究:能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗?
问题三: 已知等差数列{an }中,首项a1,公差为d,第n项为an , 如何求前n项和Sn ?
等差数列前项和公式: n(a1 + an)=2Sn
问题四: 比较以上两个公式的结构特征,类比于问题一,你能给出它们的几何解释吗?
n(a1 + a n)=2Sn
公式记忆 —— 类比梯形面积公式记忆
n(a1 + a n)=2S 问题五: 两个求和公式有何异同点?能够解决什么问题?
展示激学
应用公式
例1.等差数列-10,-6,-2,2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?
【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r,(其中p,q,r为常数,且p ≠ 0),那么这个数列 一定是等差数列吗?若是,说明理由,若不是,说明Sn必须满足的条件。
【教学后记】新数学课程标准中明确提出“数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言 是现代文明的重要组成部分” “要体现数学的文化价值”等,将数学史有机地融入到课堂教学中,不仅不会影响学生的学习,相反却会激发学生热爱数学的热情,起到正面推动作用,提升数学教育成效.这也是贯彻德育、提倡人文精神的重要组成部分.由具体的问题情境激发学生的学习兴趣.等差数列前 n 项和公式的推导由教师引导学生自主探索, 由于数学的严谨性和学生认知的不完备性是一个矛盾,因此公式的发现过程是一个不断修改、不断完善、逐步发现的过程.引导学生积极参与结论的探索、发现、推导的过程, 并弄清楚每个结论的因果关系,要适当延迟判断,多让学生想一想、议一议、说一说,重视思路分析的训练.须知教师讲课的最精彩之处,不是自己分析的头头是道,而是引导学生探求解题思路最后再引导学生归纳引出结论.通过例题的讲解和练习的训帮助学生掌握 和记忆公式,例题的变式训练加大课堂教学的研究性、开放性和自主性,在开展探究活 动中培养学生的基本技能.