研究性学习(26)等比数列中一道习题的再研究

第一篇：研究性学习(26)等比数列中一道习题的再研究

2013届高三理科数学研究性学习（26）

专题：等比数列中一道习题的再研究

案例（苏教版必修5 P566）

设Sn是等比数列的前n项的和，若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2, a8, a5成等差数列.变式1： 写出这个命题的逆命题，并判断其真假；

变式2： 针对原命题，给出一般性结论，并给出证明；

变式3： 设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q(q1).（1）若S4,S12,S8成等差数列，求证：a10,a18,a14成等差数列；

（2）若Sm,Sk,Sl(m,k,l为互不相等的正整数）成等差数列，试问数列{an}中是否存在不同的三项成等差数列？若存在，写出两组这三项，若不存在，请说明理由；

（3）若q为大于1的正整数，试问{an}中是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该

数列中连续两项的和？请说明理由；

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第二篇：等比数列习题及答案

等比数列习题

一．选择题。设{an}是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则a1a8与a4a5的大小关系为（）

A．a1a8a4a5B．a1a8a4a5C． a1a8a4a5 D．与公比的值有关

2．已知{an}是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5（）

A． 10B． 15C． 5D．6

3．设{an}是正数组成的等比数列，公比q2，且a1a2a3a30230，那么a3a6a9a30（）

A． 210B． 220C． 216D．2 15

4．三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（）

A．2，4，8B．8，4，2C．2，4，8，或8，4，2D．142856,, 333

5．等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列{前n项的和是（）11}，由{}的anan

1A．51SqnB． nC．n1D． qSqS

6．若等比数列{an}的前项之和为Sn3na，则a等于（）

A．3B．1C．0

7．一个直角三角形三边的长成等比数列，则（）

A．三边边长之比为3:4:5，D．1 B

．三边边长之比为，C，D，8．等比数列a1a2a3的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令ta1a2a3，则t的取值范围是（）

A． [m,0)B． [m,)C．(0,m]D．(,m]

9．已知Sn是数列{an}的前n项和SnP(PR,nN),那么{an}（）

A．是等比数列B．当时P0是等比数列

C．当P0,P1时是等比数列D．不是等比数列

10．认定：若等比数列{an}的公比q满足q1，则它的所有项的和Sn33331212a1，设S234。则77771q

S（）

A．

4138B．C．D． 15161615

11.若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（）①{an2}，{a2n}是等比数列②{lgan}成等差数列③1，an成等比数列 ④{can}，{ank}(k0)成等比an

数列。

A． 5B．4C．3D．2 12．等比数列{an}中a1512，公比q是（）

A． 11B．10C．9D．8

二．填空题。（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。）

13.有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列，这三个数分别为_____________。14．若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则(2logba)(1logca)_______。15．在等比数列中，a13，q4，使Sn3000的最小自然数n=________。

16．若首项为a1，公比为q的等比数列{an}的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项a1公比q的一组取值可以是，用na1a2an表示它的前n项之积，则1,2,,中最大的2

(a1,q)_________。

三．解答题。17．（本小题10分）已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。18．（本小题10分）设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明

log0.5Snlog0.5Sn2

log0.5Sn1。

19．（本小题12分）{an}为等差数列(d0)，{an}中的部分项组成的数列ak1,ak2,akn恰为等比数列，且

k11,k25,k317，求k1k2kn。

a120．（本小题12分）设有数列{an}，且满足331。

（1）求证：数列{an是等比数列。（2）求数列{an}的通项an以及前n项和Sn。

答案：一．1．A2．C 3．B 4．C 5．C6．D 7．C 8．C 9．D 10．C 11．D 12．C 二．13． 1，4，16或16，4，1，14。215。616。(1,)，若以a1,a2,a3,,an为系数的二次方程an1x2anx10都有根,，6

aqaaq27(1)

a

三．17解：设这三个数分别为,a,aq，则a2222-------------4分

aaq91o(2)qq由(1)得a3，代入(2)得q3或q

-----------------------7分 3

当q3时，这三个数分别为1，3，9；当q3时，这三个数分别为1,3,9；

当q

时，这三个数分别为9，3，1；当q时，这三个数分别为9,3,1。----------10分 33

18．证明：设{an}的公比为q，由题设知a10,q0，当q1时，Snna1，从而SnSn2Sn12na1(n2)a1(n1)2a12a120SnSn2Sn12------4分

a1(1qn)a12(1qn)(1qn2)a12(1qn1)22

当q1时，Sn，从而SnSn2Sn1a12qn0 22

1q(1q)(1q)

SnSn2Sn12-------8分

0.51log0.5SnSn2log0.5Sn12即

log0.5Snlog0.5Sn2

log0.5Sn1----------------10分

19．解：设等差数列的公差为d，等到比数列的公比为q，则题意得a52a1a17，(a14d)2a1(a116d)即d

a1aa4d又q513---------------4分 2a1a1

aknak13n1a13n1(1)

由{an}是等差数列，有 akna1(kn1)da1(kn1)由（1）（2）得

k1a1

aknna1(2)---8分 22

kn23

n1

1k1k2kn(231)(231)(23

01n1

1(3n1)

n3nn1 1)2

31

20．解：（1）

11an1，代入331得anan1

33an1an1

1111

an1

1(定值)数列{a1}是等比数列。----------5分 n

1123an1an122an

第三篇：等差数列、等比数列综合习题

等差数列等比数列综合练习题

一．选择题

1.已知an1an30，则数列an是（）

A.递增数列

B.递减数列

C.常数列

D.摆动数列

1，那么它的前5项的和S5的值是（）231333537A．

B．

C．

D．

22223.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=（）2.等比数列{an}中，首项a18，公比q A.8

B.7

C.6

D.5 ,则2a9a10（）4.等差数列{an}中，a13a8a15120 A．24

B．22

C．20

D．-8 215.已知数列an中，a11,an2an13，求此数列的通项公式.16.设等差数列

an的前n项和公式是sn5n23n,求它的前3项，并求它的通项公式.5.数列an的通项公式为an3n28n，则数列an各项中最小项是（）

A.第4项

B.第5项

C.第6项

D.第7项

2ab等于（）

2cd11

1A．1

B．

C．

D．

824a20（）7.在等比数列an中,a7a116,a4a145,则a1023232

3A.B.C.或

D.或 

3232328.已知等比数列an中,an>0,a2a42a3a5a4a625,那么a3a5=（）6.已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则

A.5

B.10

C.15

D.20 二．填空题

9．已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________

10.在等比数列{an}中，a2a816，则a5=__________

11．在等差数列{an}中，若a7＝m，a14＝n，则a21＝__________

12.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a17=10,则S19的值_________

13.已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于_________

三.解答题

14.设三个数成等差数列，其和为6，其中最后一个数加上1后，这三个数又成等比数列，求这三个数.等差数列、等比数列同步练习题

等差数列

一、选择题

1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（）

A、89 B、-101 C、101 D、-89

2． 等差数列{an}中，a15=33，a45=153，则217是这个数列的（）

A、第60项 B、第61项 C、第62项

D、不在这个数列中

3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为

A、4 B、5 C、6 D、不存在

4、等差数列{an}中，a1+a7=42，a10-a3=21，则前10项的S10等于（）

A、720 B、257 C、255 D、不确定

5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于（）

A、B、C、或 1 D、6、已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数 列{Cn}，其通项公式为（）

A、Cn=4n-3 B、Cn=8n-1 C、Cn=4n-5 D、Cn=8n-9

7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（）

A、6项 B、8项 C、10项 D、12项

8、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25，b1=75，且a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项和为（）

A、0 B、100 C、10000 D、505000

答案1． A

2、B

3、B

4、C

5、B

6、D 7、A

8、C

二、填空题

9、在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= ______。

10、在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______。11． 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到a30的和是 ______。

12． 已知等差数列 110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为 ______。

三、解答题

13． 已知等差数列{an}的公差d=，前100项的和S100=145求： a1+a3+a5+……+a99的值

14． 已知等差数列{an}的首项为a，记

(1)求证：{bn}是等差数列

(2)已知{an}的前13项的和与{bn}的前13的和之比为 3 ：2，求{bn}的公差。

15． 在等差数列{an}中，a1=25，S17=S9(1)求{an}的通项公式

(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。

16、等差数列{an}的前n项的和为Sn，且已知Sn的最大值为S99，且|a99|〈|a100| 求使Sn〉0的n的最大值。

答案：

二、填空题

9、n10、80

11、-368 12、13702

13、∵{an}为等差数列∴ an+1-an=d

∴ a1+a3+a5+…+a99=a2+a4+a6+…+a100-50d

又（a1+a3+a5+…+a99）+（a2+a4+a6+…+a100）=S100=145 ∴ a1+a3+a5+…+a99=

=60

14、(1)证：设{an}的公差为d则an=a+（n-1）d

当n≥0时 b n-bn-1=

d 为常数∴ {bn}为等差数列

（2）记{an}，{bn}的前n项和分别为A13，B13则，∴{bn}的公差为

15、S17=S9 即 a10+a11+…+a17=

∴ an=27-2n

=169-（n-13）2

当n=13时，Sn最大，Sn的最大值为169

16、S198=（a1+a198）=99(a99+a100)<0 S197=

(a1+a197)=

(a99+ a99)>0

又 a99>0，a100<0则 d<0

∴当n<197时，Sn>0 ∴ 使 Sn>0 的最大的n为197

等比数列

一、选择题

1、若等比数列的前3项依次为A、1 B、C、D、，……，则第四项为（）

2、等比数列{an}的公比q>1，其第17项的平方等于第24项，求：使a1+a2+a3+……+an>

成立的自然数n的取值范围。

2、公比为的等比数列一定是（）

A、递增数列 B、摆动数列 C、递减数列 D、都不对

3、在等比数列{an}中，若a4·a7=-512，a2+a9=254，且公比为整数，则a12=（）

A、-1024 B、-2048 C、1024 D、2048

4、已知等比数列的公比为2，前4项的和为1，则前8项的和等于（）

A、15 B、17 C、19 D、21

5、设A、G分别是正数a、b的等差中项和等比中项，则有（）

3、已知等比数列{an}，公比q>0，求证：SnSn+2

6、{an}为等比数列，下列结论中不正确的是（）

A、{an2}为等比数列 B、为等比数列

C、{lgan}为等差数列 D、{anan+1}为等比数列

7、a≠0，b≠0且b≠1，a、b、c为常数，b、c必须满足（）

一个等比数列前几项和Sn=abn+c，那么a、A、a+b=0

B、c+b=0

C、c+a=0

D、a+b+c=0

8、若a、b、c成等比数列，a，x，b和b，y，c都成等差数列，且xy≠0，则 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

4、数列{an}的前几项和记为An，数列{bn}的前几项和为Bn，已知答案：

一、1、A

2、D

3、B

4、B

5、D

6、C

7、C

8、B 求Bn及数列{|bn|}的前几项和Sn。

二、填空题

1、在等比数列{an}中，若S4=240，a2+a4=180，则a7= _____,q= ______。

2、数列{an}满足a1=3，an+1=-，则an = ______，Sn= ______。

3、等比数列a，-6，m，-54，……的通项an = ___________。

4、{an}为等差数列，a1=1，公差d=z，从数列{an}中，依次选出第1，3，32……3n-1项，组成数

列{bn},则数列{bn}的通项公式是__________，它的前几项之和是_________。

二、计算题

1、有四个数，前三个数成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第

二个数与第三个数的和为36，求这四个数。，答案

一、1、6；32、3、-2·3n-1或an=2（-3）n-1 4、2·3n-1-1；3n-n-1

二、1、解：由题意，设立四个数为a-d，a，a+d，则

由（2）d=36-2a（3）

把（3）代入（1）得 4a2-73a+36×36=0（4a-81）（a-16）=0 ∴所求四数为或12，16，20，25。

2、解：设{an}的前几项和Sn，的前几项的和为Tn an=a1qn-1

∵Sn>Tn ∴即>0 又

∴a12qn-1>1（1）

又a172=a24即a12q32>a1q23 ∴a1=q-9（2）由（1）（2）

∴n≥0且n∈N

3、证一：（1）q=1 Sn=na1 SnSn+2-Sn+12=（na1）[（n+2）a1]-[（n+1）a1]2=-a12（2）q≠1

=-a12qn<0

∴SnSn+2

SnSn+2-Sn+12=Sn（a1+qSn+1）-Sn+1（a1+qSn）=a1（Sn-Sn+1）

=-a1a n+1=-a12qn<0 ∴SnSn+2

4、解：n=1

n≥2时，∴

bn=log2an=7-2n

∴{bn}为首项为5，公比为（-2）的等比数列

令bn>0，n≤3

∴当n≥4时，bn〈0

1≤n≤3时，bn〉0 ∴当n≤3时，Sn=Bn=n（6-n），B3=9

当n≥4时，Sn=b1+b2+b3-（b4+b5+…+bn）=2B3-Bn=18-n（6-n）=n2-6n+18

第四篇：中研究性学习报告

中研究性学习报告范文

按照自主学习理论之父霍勒克的定义,自主学习能力就是“管理自己学习的能力”。从外语学习的角度来讲,自主学习可以使一个学生在课堂学习时间有限的情况下提高外语能力,直至掌握这门外语。大学生拥有较多的业余时间,可利用的课外资源也比较丰富;他们拥有较强的自我意识和自我管理能力,学习目标和职业目标也更加明确,所以他们有充分的自主学习的条件。而大学英语又是一门重要课程,大学生不仅面临四、六级考试的压力,还要应对社会对他们的英语能力日益增强的要求。在这种形势下,英语自主学习不仅是必要的,也是切实可行的。根据国内外自主学习的相关理论和我国大学英语教、学现状,培养大学生英语自主学习能力可从下列几个方面做起。培养自知,树立自信

自知包括对自己的学习愿望、目的、观念、风格等的认识。研究者本森和沃勒提出,“一项学习活动的成功在某种程度上是以学习者对世界、尤其是对该学习活动的态度,自我感觉,学习欲望为条件的”。所以,教师应首先帮助学生反思自己的学习观,鼓励他们树立正确的态度,形成主动学习的愿望。只有拥有主动的态度,学习者才有可能在他的学习过程中扮演积极的角色,产生独立的想法,并利用各种学习机会,而不是仅仅对老师的教学刺激做出反应。此外,强烈而积极的动机是对外语产生兴趣、进而要努力学会这门语言的重要条件,动机能在困难的时候使学习者产生坚韧不拔的信念,而坚持常常能克服能力和环境所带来的局限, 所以, 动机培养也很重要。教师还应帮助学生树立自尊、自信。要让他们相信自身的努力对学英语至关重要,而自己有决心付出努力;不论自己的英语基础是好是坏, 都有能力管理好自己的学习。自尊和自信可以产生责任感和独立感,促使学习者为自己的学习承担责任和后果。自尊和自信也是建立在清楚的自我认知上的,明白自己的认知特点是理性还是感性,场依赖型还是场独立型,视觉型还是听觉型等,学生就不会盲从和模仿别人,而能有针对性地选择适用于自身特点的学习材料和学习方法,取得事半功倍的效果。确立目标,制定计划

目标在个体的学习过程中起参照点的作用,个体正是在既定学习目标的引导下,不断调控着自己的学习过程和学习策略。因此,目标被看成是自主学习的核心构成成分。但徐锦芬等人的研究发现,很多大学生虽然认为英语学习很重要,但他们除了完成老师布置的作业、预习、复习课文等之外,并无学习英语的计划,即使有,时间的安排也相当随意,往往不能达到预期目标。鉴于这种情况,教师应担当起帮助者和监督者的角色,指导学生根据自己的英语基础、能力水平、个人兴趣、专业特点和未来发展的需要制定学习目标。告诉他们不要制定诸如“我要尽量争取过四级”这样模糊的目标, 要制定多项小的、具体的短期目

标,因为近期目标的实现能够使学生更快地看到自己某些能力的增长,对他们的意志控制要求也更低,而一个目标的成功实现往往会促进新目标的确定和实现。计划中的学习时间安排非常重要。根据调查结果,很多学生不是自觉地利用自习时间或业余时间安排学习活动,有70% 被调查的学生自称对这些时间抓得不紧,其他类似的调查也表明学生在学习时间的自我安排和管理上不尽如人意。毫无疑问,在使用有效策略的情况下,要获得较高的英语能力,就得在环境许可的条件下尽可能多地接触英语。自主学习研究者齐莫曼建议让学生确立有规律的学习时段,使自己在每天预定的时间内学习成为一种习惯。他认为教会学生有效地管理和安排自己的学习时间也是自主学习教学中需要确立的一个重要目标。这种教学一般包括如下步骤:与学生讨论时间的运用;让学生在某个时间段内记录下自己的时间运用,认识到自己是如何利用时间的;制定个人时间表,确定可以自主使用的时间;让学生估计完成自主学习活动所需要的时间,并相应地填入时间表;本段结束后检查计划的完成情况和学习效果。学习并运用学习策略

目标制定出来之后, 就要付诸实践, 采用适合自己认知特点和学习风格的方法和策略非常重要,正如研究者坎迪所说:“如何学和学什么是密切相关的——一个学习者所采取的总体方法将极大地影响他的学习结果”。那么,我们的学生策略使用情况如何呢？徐锦芬等对非英语专业大学生的英语自主学习的调查显示,许多学生不知道什么是学习策略;而根据王静等对自主学习的调查,无论对于英语学习的总策略,还是对于各单项技能如词汇学习、阅读学习等的策略使用,受试学生绝大多数在“有时使用”的范畴以下,表明我们的学生学习策略使用频率很低。这种情况与我国英语教学一贯重知识传授,轻技能培养有关,所以,对学生进行明确的策略培训是十分必要的。

根据著名的策略研究者科恩的观点,“提高学习者策略意识的最有效的方法是教师把以策略为基础的教学作为外语课程的一部分传授给学生”,“明确地教给他们如何应用语言学习和使用策略”,也就是让学生学会如何学外语。研究者查莫特和卢宾提出了策略培训的做法: 发现并讨论学习者已经使用的策略;呈现新的策略;示范新策略;解释为什么、在什么时候使用这些策略;用真实的任务练习策略使用、验证其效果。因此, 我们可以引导学生对英语学习中的强项和弱项进行自我诊断;让他们对自己熟悉的策略和新习得的策略进行比较、试验;让他们自己决定以什么策略完成一项学习任务;给他们机会尝试将以往的成功策略用于新的学习情景。这些对学生更多地控制自己的学习大有益处。策略渗透最好在英语课堂上长期进行,针对学习内容和学习活动随时给学生介绍相关策略,并指导和监督他们使用,同时对个别学生进行个别指导。需要注意的是, 策略培训的最终目标是让学生有自觉的意识使用策略,知道在何时使用何种策略, 而不是以传授具体的策略为重点, 因为它们可能难以穷尽。4 适时反思、评价和调节

我们许多学生的学习过程中没有自我反思、评价这一环节,他们只是被动地跟着教师的教学程序走, 被动地接受教师的监督和检查,而从未把自己当作自己学习的观察者,监督者, 评判者和操纵者, 这就需要教师引导、帮助他们培养这种能力。反思首先涉及自我判断的过程,包括自我评价和归因分析。自我评价指对学习结果是否与预期的目标一致以及对学习结果的重要性的评判,归因分析是指对造成既定学习结果的原因进行分析,如较差的学习成绩是因为能力有限还是因为努力不够造成的,等等。评价可从学习的质量、数量、速度等几个方面进行,研究者们大都认为学生用书面形式进行反思会受益很多,比如写学习日记,阶段总结,自我报告等,教师只需帮助他们弄清楚用哪些标准来评价自己的学习。自主学习本质上是一种自我调节的学习,亦即个体主动选择、调节、控制自己的学习的过程,对英语学习而言,指“学习者不停地根据系统内外因素的变化来调整观念和方法,使各因素之间的关系处于最佳协调状态,使学习英语的潜在能力全部发挥出来”。语言学习系统是开放的,动态的,在不同的时期,学习的重

点和难点是不一样的,学习策略也应随情况的变化而变化,所以,“调控”是策略系统良好运作,取得良好学习效果的关键。在学生不能做到适时、自觉进行策略调整时,教师可加以提醒、点拨,或亲自进行调控,随后逐渐放手,只对学生的自我调节进行监督, 作出鼓励性、形成性评价即可。结语

自主学习能力的培养是现代教育的一个重要目标,也是我国当前大学英语教学改革的一个重要目标,“教学模式改革成功的一个重要标志就是学生个性化学习方法的形成和学生自主学习能力的发展”。我们的培养目标是让学生能够在未来的非教学环境中自主地学习其职业和生活所需要的外语知识和技能,大学阶段的自主能力培养很重要,应从激发学生自知、指导他们制定学习计划、进行策略培训、发展元认知调控等几个基本步骤逐步、全面地发展。

第五篇：研究性学习(25)等差数列中相关问题研究

2013届高三理科数学研究性学习（25）专题：等差数列前几项的和最大？ 引例：设等差数列an的前n项和为Sn，已知d0，a37，S120，S130.（1）求公差d的取值范围；（2）求S1,S2,S3,S13中的最大值

【探究1】若an是等差数列，则Sn有最大值（最小值）的充要条件是什么？

【探究2】等差数列an的前n项和为Sn，d0，若S9S23，则前多少项的和最大？

【探究3】若把条件改为“S10S23”，有类似的结论吗？

【探究4】一般地，若a10，d0，SpSq，则前多少项的和最大？

【探究5】若an是等差数列，且a10，d0，SpSq，求证：Spq0；

【探究6】探究5的逆命题是否成立？即若an是等差数列，且a10，d0，且Spq0，则SpSq成立吗？为什么？