高中数学等差数列性质总结大全

第一篇：高中数学等差数列性质总结大全

等差数列的性质总结

(一)等差数列的公式及性质

1.等差数列的定义： anan1d（d为常数）（n2）；

2．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*)，首项:a1，公差:d，末项:an

推广： anam(nm)d．从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan

24．等差数列的判定方法

（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．anam； nmab或2Aab 2

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．

⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

5．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列． 

6.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.22

2（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2，（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5)数列{an}为等差数列,每隔k(kN)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列 *

(二)．等差数列的前n项和公式：(1)Snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 222

2（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n12n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

（2）若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，„也成等差数列

（3）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时，S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan

2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1 2

S偶S奇nan1nannan1an=nd

S奇nanan S偶nan1an

12、当项数为奇数2n1时，则

S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 S奇S偶an+1S偶nS偶nan+1

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（4）an、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（5）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn

(6)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性Anf(n)，nan(2n1)anA2n1f(2n1).nn2n1nN*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

an0即当a10，d0，由可得Sn达到最大值时的n值． a0n1

（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

即 当a10，d0，由

或求an中正负分界项 an0可得Sn达到最小值时的n值． an10

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

pq 2

第二篇：等差数列的性质总结

1.等差数列的定义式：anan

12．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*)，首项:a1，公差:d，末项:an

aam推广： anam(nm)d．从而dn； nm

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2,nN+)2an1anan

24．等差数列的前n项和公式：

n(a1an)n(n1)d1Snna1dn2(a1d)nAn2Bn 2222

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n1ab或2Aab 2等差数列性质总结（n2）； d（d为常数）2n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列 等差中项性质法：2anan-1an1(n2，nN)．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）； ③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.前n和Snna122

2（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2，（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

-让梦想起飞，让成绩飞扬！

(5)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，„也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

。当项数为偶数2n时，S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan

2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1 2

S偶S奇nan1nannan1annd

S偶

S奇nan1an1 nanan

。当项数为奇数2n1时，则

S偶nS2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 S奇S偶an+1S奇n1S偶nan+1

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则Anf(n)，nan(2n1)anA2n1f(2n1).nn2n1

（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn anm,amn,则anm0

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

a0即当a10，d0，由n可得Sn达到最大值时的n值． an10

（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an0即 当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值． a0n1

或求an中正负分界项

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

-让梦想起飞，让成绩飞扬！

第三篇：高中数学说课稿等差数列

高中数学说课稿等差数列

各位老师，大家好！今天我说课的课题是等差数列。下面我将从几个方面进行阐述： 首先，我对本节教材进行简要分析。

一、教材分析

本节内容是等差数列（第一课时）的内容，属于数与代数领域的知识。本节是数列课程的新授课，为后面等比数列以及数列求和的知识点作基础。数列是高中数学重要内容之一，它有着广泛的实际应用。等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。在数学思想的方面，数列在处理数与数之间的关系中，更多地培养了学生运用函数与函数关系的思想。

二、教学目标

根据课程标准的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标

（1）在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想。（2）在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；以形象的实际例子作为学生理解与练习的模板，使学生在不断实践中巩固学习到的知识；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（3）在情感上：通过对等差数列在实际问题中的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点

根据课程标准的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

三、教学方法分析：

对于高中学生，知识经验比较贫乏，虽然他们的智力发展已到了形式运演阶段，但并不具备教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以本堂课将从实际中的问题出发，以学生日常生活中较易接触的一些数学问题，籍此启发学生对于数列知识点的理解。本节课大多采用启发式、讨论式的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，并学会将数学知识运用到实际问题的解决中。

四、教学过程

通过复习上节课数列的定义来引入几个数列

1）0,5,10,15,20,25.....2）18,15.5,13,10.5,8,4.5 3)48,53,58,63,68.....通过这3个数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础。由学生观察第一个数列与第三个数列的特点，并与第二个做对比，引出等差数列的概念。

(二)新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

定义：如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：

① “从第二项起”满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式：

an+1-an=d(n≥1)

同时为了配合概念的理解，引导学生讲本不是等差数列的第二组数列修改成等差数列。并由观察三组数列的不同特点，由此强调：公差可以是正数、负数，并再举出特例数列1,1,1,1,1,1,1......说明公差也可以是0。

2、第二个重点部分为等差数列的通项公式

在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，运用求数列通项公式的办法------迭加法：整个过程通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,则据其定义可得：

a2 – a1 =d a3 – a2 =d a4 – a3 =d …… an – an-1=d 将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到 an– a1=(n-1)d即 an= a1+(n-1)d（1）

当n=1时，（1）也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立

因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。证出通项公式。

在这里通过运用迭加法这一数学思想，便于学生从概念理解的过程过渡到运用概念的过程。

接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+(n-1)×2，即an=2n-1 以此来巩固等差数列通项公式运用。

（三）应用举例

现实生活中，以学生较为熟悉的iphone手机的数据作为例子。观察Iphone手机的发布时间，iphone第一代发布于2004年，第二代发布于2006年，第三代发布于2008年，第四代发布于2010年。现在第六代发布于今年2014年。首先，让学生观察从04年到10年每两代iphone发布的间隔时间，让学生自行寻找规律，并在此基础上让学生估测第五代iphone的发布时间，并验证第五代iphone发布于2012年。同时，再让学生预测在未来，下一部iphone发布的时间，是学生体验到将数学知识运用到实际中的方法与步骤。为了加深联系，再给出了每代iphone的价格：iphone1 4299；iphone2 4800；iphone3 5299；iphone4 5988；iphone5 6300。在给出的数据上，将价格随时间的变化以坐标轴的形式作图表示出来，让学生观察到虽然这些数据非等差，但是可以大致变为等差的直线图像，让学生体会到“拟合数据”的思想。在此基础上，让学生进行练习，预测14年如今iphone6的上市价格为6888元，并与学生通过数列进行推理的价格进行对比，让学生对自己在实践中解决问题的过程中找到一定的认同感。

四、归纳小结

提问学生，总结这节课的收获

1、等差数列的概念及数学表达式，并强调关键字：从第二项开始，它的每一项与前一项之差都等于同一常数。

2、等差数列的通项公式 an= a1+(n-1)d

3、将让学生在实践中了解，将数列知识点运用到实际中的方法。

4、在课末提出启发性问题，若是有人将每一部iphone都买入，那他一共花费了多少钱？借此引出了下一节，等差数列求和的知识点。让学生尝试自行去思考这样的问题。

5、布置作业

第四篇：高中数学等差数列说课稿

高中数学说课稿 数列

吉云

本节课讲述的是等差数列（第一课时）的内容。

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的性质与应用等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

2、教学目标

根据课程标准的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标

（1）在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入―数学建模‖的思想方法并能运用。

（2）在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（3）在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点

根据课程标准的要求我确定本节课的教学重点为:

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对―数学建模‖的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。

二、学情教法分析：

对于我校的高中学生，知识经验比较贫乏，虽然他们的智力发展已到了形式运演阶段，但并不具备教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨

以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

三、学法指导：

在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学程序

本节课的教学过程由

（一）复习引入

（二）新课探究

（三）应用举例

（四）反馈练习

（五）归纳小结

（六）布置作业，六个教学环节构成。

(一)复习引入：

1.从函数观点看,数列可看作是定义域为__________对应的一列函数值，从而数列的通项公式也就是相应函数的______。（N﹡；解析式）

通过练习1复习上节内容，为本节课用函数思想研究数列问题作准备。

2.小明目前会100个单词，他她打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉2个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递减为：100，98，96，94，92①

3.小芳只会5个单词，他决定从今天起每天背记10个单词，那么在今后的五天内他的单词量逐日依次递增为5，10，15，20，25②

通过练习2和3引出两个具体的等差数列，初步认识等差数列的特征，为后面的概念学习建立基础，为学习新知识创设问题情境，激发学生的求知欲。由学生观察两个数列特点，引出等差数列的概念，对问题的总结又培养学生由具体到抽象、由特殊到一般的认知能力。

(二)新课探究

1、由引入自然的给出等差数列的概念：

如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。强调：

① ―从第二项起‖满足条件；

②公差d一定是由后项减前项所得；

③每一项与它的前一项的差必须是同一个常数（强调―同一个常数‖）；

在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式： an+1-an=d(n≥1)同时为了配合概念的理解，我找了5组数列，由学生判断是否为等差数列，是等差数列的找出公差。

1.9，8，7，6，5，4，……；√ d=-1

2.0.70，0.71，0.72，0.73，0.74……；√ d=0.01

3.0，0，0，0，0，0，…….;√ d=0

4.1，2，3，2，3，4，……；×

5.1，0，1，0，1，……×

其中第一个数列公差<0, 第二个数列公差>0,第三个数列公差=0

由此强调：公差可以是正数、负数，也可以是02、第二个重点部分为等差数列的通项公式

在归纳等差数列通项公式中，我采用讨论式的教学方法。给出等差数列的首项，公差d，由学生研究分组讨论a4的通项公式。通过总结a4的通项公式由学生猜想a40的通项公式，进而归纳an的通项公式。整个过程由学生完成，通过互相讨论的方式既培养了学生的协作意识又化解了教学难点。

若一等差数列{an }的首项是a1,公差是d,则据其定义可得：

a2-a1 =d 即： a2 =a1 +d

a3 – a2 =d 即： a3 =a2 +d = a1 +2d

a4 – a3 =d 即： a4 =a3 +d = a1 +3d

……

猜想: a40 = a1 +39d，进而归纳出等差数列的通项公式：

an=a1+(n-1)d

此时指出：这种求通项公式的办法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法------迭加法： a2 – a1 =d

a3 – a2 =d

a4 – a3 =d

……

an – an-1=d

将这（n-1）个等式左右两边分别相加,就可以得到an– a1=(n-1)d即 an= a1+(n-1)d（1）当n=1时，（1）也成立，所以对一切n∈N﹡，上面的公式都成立

因此它就是等差数列｛an｝的通项公式。

在迭加法的证明过程中，我采用启发式教学方法。

利用等差数列概念启发学生写出n-1个等式。

对照已归纳出的通项公式启发学生想出将n-1个等式相加。证出通项公式。

在这里通过该知识点引入迭加法这一数学思想，逐步达到―注重方法，凸现思想‖ 的教学要求 接着举例说明：若一个等差数列｛an｝的首项是１，公差是２，得出这个数列的通项公式是：an=1+(n-1)×2，即an=2n-1以此来巩固等差数列通项公式运用

同时要求画出该数列图象，由此说明等差数列是关于正整数n一次函数，其图像是均匀排开的无穷多个孤立点。用函数的思想来研究数列，使数列的性质显现得更加清楚。

（三）应用举例

这一环节是使学生通过例题和练习，增强对通项公式含义的理解以及对通项公式的运用，提高解决实际问题的能力。通过例1和例2向学生表明：要用运动变化的观点看等差数列通项公式中的a1、d、n、an这4个量之间的关系。当其中的部分量已知时，可根据该公式求出另一部分量。

例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；第30项；第40项

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？

在第一问中我添加了计算第30项和第40项以加强巩固等差数列通项公式；第二问实际上是求正整数解的问题，而关键是求出数列的通项公式an.例2 在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12 =31，求首项a1与公差d。

在前面例1的基础上将例2当作练习作为对通项公式的巩固

例3是一个实际建模问题

建造房屋时要设计楼梯，已知某大楼第2层的楼底离地面的高度为3米，第三层离地面5.8米，若楼梯设计为等高的16级台阶，问每级台阶高为多少米？

这道题我采用启发式和讨论式相结合的教学方法。启发学生注意每级台阶―等高‖使学生想到每级台阶离地面的高度构成等差数列，引导学生将该实际问题转化为数学模型------等差数列：（学生讨论分析，分别演板，教师评析问题。问题可能出现在：项数学生认为是16项，应明确a1为第2层的楼底离地面的高度，a2表示第一级台阶离地面的高度而第16级台阶离地面高度为a17，可用课件展示实际楼梯图以化解难点）。

设置此题的目的：1.加强同学们对应用题的综合分析能力，2.通过数学实际问题引出等差数列问题，激发了学生的兴趣；3.再者通过数学实例展示了―从实际问题出发经抽象概括建立数学模型，最后还原说明实际问题的―数学建模‖的数学思想方法

(四)反馈练习

1、小节后的练习中的第1题和第2题（要求学生在规定时间内完成）。目的：使学生熟悉通项公式，对学生进行基本技能训练。

2、书上例3）梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列。计算中间各级的宽度。

目的：对学生加强建模思想训练。

3、若数例{an} 是等差数列,若 bn = k an，（k为常数）试证明：数列{bn}是等差数列

此题是对学生进行数列问题提高训练，学习如何用定义证明数列问题同时强化了等差数列的概念。

（五）归纳小结（由学生总结这节课的收获）

1.等差数列的概念及数学表达式．

强调关键字：从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数

2.等差数列的通项公式 an= a1+(n-1)d会知三求一

3．用―数学建模‖思想方法解决实际问题

(六)布置作业

必做题：课本P114习题3.2第2，6 题

选做题：已知等差数列{an}的首项a１=-24，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围。（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求）

五、板书设计

在板书中突出本节重点，将强调的地方如定义中，―从第二项起‖及―同一常数‖等几个字用红色粉笔标注，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的教学方法。

第五篇：高中数学等差数列教案

等差数列

教学目的：

1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式；

2．会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题

教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式

教学难点：等差数列的性质

教学过程：

引入：① 5，15，25，35，„和② 3000，2995，2990，2985，„

请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列

二、讲解新课：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公

2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】 an的首项是a1，公差是d，则据其定义可得：a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d

a4a3d即：a4a3da13d

„„

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项a如数列①1，2，3，4，5，6； an1(n1)1n（1≤n≤6）

数列②10，8，6，4，2，„； an10(n1)(2)122n（n≥1）数列③1234;,;,1,;an1(n1)1n（n≥1）5555555

由上述关系还可得：ama1(m1)d

即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d

即的第二通项公式anam(nm)d∴ d=aman

mn

如：a5a4da32da23da14d

三、例题讲解

例1 ⑴求等差数列8，5，2„的第20项

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13„的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a18,d58253n=20，得a208(201)(3)49 ⑵由a15,d9(5)4得数列通项公式为：an54(n1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100例2 在等差数列an中，已知a510，a1231，求a1,d,a20,an

解法一：∵a510，a1231，则 a14d10a12∴ana1(n1)d3n5



d3a111d31

a20a119d55

解法二：∵a12a57d31107dd3

∴a20a128d55ana12(n12)d3n小结：第二通项公式anam(nm)d

例3将一个等差数列的通项公式输入计算器数列un中，设数列的第s项和第t项分别为us和ut，计算usut

st

解：通过计算发现usut的值恒等于公差

st

证明：设等差数列{un}的首项为u1，末项为un，公差为d，usu1(s1)d



utu1(t1)d⑴-⑵得usut(st)d

usut

d st

(1)(2)

小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率

例4 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各解：设an表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：a1=33,a12=110，n=12

∴a12a1(121)d,即10=33+11d解得：d7因此，a233740,a340747,a454,a561,a668,a775,a882,a989,a1096,a11103,答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.例5 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常解：当n≥2时,（取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））

anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=p n+q(p、q是常数3通项公式

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足

3四、练习：

1.（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n∈N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项.解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28.评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.（3）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7.∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是这个数列的第15项.（4）－20是不是等差数列0，－31，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.解：

由题意可知：a1=0,d=－31∴此数列的通项公式为：an=－7n+7,令－7n+7=－20,解得n=47

2227

因为－7n+7=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.2.在等差数列{an}中，（1）已知a4=10,a7=19,求a1与d;（2）已知a3=9, a9=3,求a12.a11.解：（1）由题意得：a13d10,解之得：

d3a16d19（2）解法一：由题意可得：a12d9,解之得a111



d1a18d3

∴该数列的通项公式为：an=11+（n－1）×（－1）=12－n,∴a12=0 解法二：由已知得：a9=a3+6d,即：3=9+6d,∴d=－1 又∵a12=a9+3d,∴a12=3+3×（－1）=0.Ⅳ.课时小结

五、小结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=p n+q(p、q是常数)的理解与应用.