等差数列知识点总结

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第一篇:等差数列知识点总结

等差数列

1.定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为anan1d(d为常数)(n2);

2.等差数列通项公式:

(1)ana1(n1)ddna1d(nN*)(首项:a1,公差:d,末项:an)

(2)anam(nm)d.从而d

3.等差中项

(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:Aab或2Aab 2anam; nm

(2)等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan

24.等差数列的前n项和公式:snn(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)nAn2Bn 2222

(其中A、B是常数)(当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)

5.等差数列的证明方法

(1)定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列.

(2)等差中项:数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2.

(3)数列an是等差数列anknb(其中k,b是常数)。

(4)数列an是等差数列SnAn2Bn,(其中A、B是常数)。

注:(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。

(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,a2d,ad,a,ad,a2d…(公差为d);偶数个数成等差,可设为…,a3d,ad,ad,a3d,…(公差为2d)

7.等差数列的性质:

(1)当公差d0时,等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.22

2(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差d0,则斜率为公差d;前n和Snna1为常数列。

(3)当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有aman2ap.注:a1ana2an1a3an2

a1an

a,a2,a3,,an2,an1,an ,图示:1

a2an

1(4)若{an}是等差数列,则Sn,S2nSn,S3nS2n,…也成等差数列

S3m

图示:a1a2a3amam1a2ma2m1a3m 

Sm

S2mSm

S3mS2m

(5)若等差数列{an}、且{bn}的前n和分别为An、Bn,Ana(2n1)anA2n

1f(n),则nf(2n1).nnn2n1

(6)若an、bn为等差数列,则anbn为等差数列

等差数列的性质以及常见题型

一等差数列的定义及应用

1.已知数列an的通项公式为an3n2,试问该数列是否为等差数列。

111yzzxxy

2.已知:,成等差数列,求证:也成等差数列。,xyzxyz

二等差数列的性质考察

(1)熟用ana1(n1)dam(nm)d,d

anam

问题 nm1、等差数列an中,a3a524,a23,则a6

2、已知等差数列an中,a2与a6的等差中项为5,a3与a7的等差中项为7,则an

3、已知等差数列an中,apq,aqp,则apq____.

(2)公差d的巧用

1、已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于_____

2、等差数列{an}中,已知公差d,且a1a3A.170

B.150

C.14

2a9960,则a1a2

a100

D.120

a2a

1等于()b2b1

4.已知xy且两个数列x,a1,a2,am,y与x,b1,b2,bn,y各自都成等差数列则

mm1nn1BCDnmn1m1(3)mnstamanasat性质的应用

A

1.等差数列an中,若a3a4a5a6a7450,则a2a8_____。2.等差数列an中,若S1320。则a7_______。

3.在等差数列an中a3a1140,则a4a5a6a7a8a9a10_______。4.等差数列an中, a1a2a324,a18a19a2078,则S20_____。5.在等差数列an中,a4a512,那么它的前8项和S8等于_______。

6.等差数列an中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则a7_______.7.{an}为等差数列,a1+ a2+ a3=15,an+ an-1+ a n-2=78,Sn=155,则n= _______。(4)方程思想的运用

1.已知等差数列{an}中,S3=21,S6=24,求数列{an}的前n项和Sn

2.已知等差数列{an}中,a3a716,a4a60,求数列{an}的前n项和Sn

(5)Sn,S2nSn,S3nS2n也成等差数列的应用

1、等差数列前m项和是30,前2m项和是100,则它的前3m项和_______。

2、等差数列{an}的前n项的和为40,前2n项的和为120,求它的前3n项的和为_______。3.a1,a2,a3,……a2n+1 为 等差数列奇数项和为60,偶数项的和为45,求该数列的项数.4.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有_______项。

5.在等差数列{an}中,S4=1,S8=3,则a17+a18+a19+a20的值是_______。(6)an

S2n

1的运用 2n1,bn的前n项和,若对任意nN*,都有1.设Sn和Tn分别为两个等差数列an

a11

= ________。b11

Sn7n1,Tn4n27

(7)an与Sn的关系问题;

1.数列an的前n项和Sn=3nn2,则an=_______

2.数列an的前n项和Sn=n2n1,则an= 3.数列an的前n项和Sn=2n1,则an=___________ 4.数列{4n2}的前n项和Sn=______.(八)巧设问题;

一般情况,三个数成等差数列可设:ad,a,ad;四个数成等差数列可设:a3d,ad,ad,a3d.1.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.2.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.3.一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为32:27,求公差

(九).最值问题:;

1.在等差数列{an}中,a180,d6,求Sn的最大值.2.等差数列an中,a10,S4S9,则n的取值为多少时?Sn最大

3.已知等差数列{an}中a1=13且S3=S11,那么n取何值时,Sn取最大值.(10)累加法的应用-------裂项相消

1.已知数列{an}满足:anan12n1,a11,求an.2.已知数列{an}满足:an1an4n1,a11,求an.4.在数列{an}中,a12,an1anln(1),求an.n

(11)由an求an的前n项和

1.数列an的前n项和Snn24n,则|a1||a2||a10|_______.2.数列an的前n项和Snn24n,bnan,则数列{bn}的前n项和Tn_______.(12)由Sn得an的题型、直接法

1.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1

22,且满足2Sn12Sn3an1(nN*)。3

(1)求数列{an}通项公式an;

11119

(2)求证:当n2时,222L2。

a2a3a4an4

倒数法

an1

1.已知数列an中,an≠0,a1=,an1=(n∈N),求an

12an2

第二篇:等差数列知识点

精英辅导学校杨景勋专用2011年12月16日星期五

(一)等差数列I1、等差数列{an}中,a1=1,公差d=3,an=2005则n=_____

2、等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为______

3、等差数列{an}中,a1=-5,前11项的平均值为5,若从中抽出一项,余下的10项的平均值为4,则抽取的(一)等差数列II

等差数列{an}中,1、若a1=-6,a9=6,Sn是数列的前n项和,则()A、S4

4、正项等差数列{an}中,公差d≠0,有()

A、a1a8>a4a5B、a1a8a4+a5D、a1a8=a4a55、(全国卷I)设{an}是公差为正数的等差数列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13=(A、120B、105C、90D、756、一个等差数列共10项;其中奇数项的和为125,偶数项的和为15,则第6项是_____

7、已知数列{an}前四项为-1,3,-6,10,则{an}的一个通项式为_______________

8、等差数列a-d,a,a+d的一个通项公式是____________

9、已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为1

4的等差数列,则|m-n|=_______

10、等差数列{an}中,若a1=25,从第10项开始小于1,则公差d的范围是________

11、(2006全国卷II)已知等差数列{an}中,a2=7, a4=15,则前10项的和S10=_______

12、一个等差数列{an}中前4项和为40,最后4项的和为80,所有项和210,求项数n.13、等差数列{an}中,若Sm=30,S2m=100,求S3m.2、a1=25,S17=S9,问数列的前多少项之和最大,并求出最大值。

3、a3=12,S12>0,S13<0,①求公差d 的取值范围;②指出S1,S2…S12中哪一个值最大,说明理由。)

4、(2004年重庆考试卷)a1>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,则使前n项和S>0成立的最大自然数n是(A、4005B、4006C、4007D=4008

5、(2004年福建卷试卷)若

a5Sa=5,则求939

S=_______

56、(2001年上海考试卷)设数列的通项为an=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=______ n7、已知公差d>0,首项a1>0,Sn=

1,则i1aiai1

limSn=________ n

8、(2006北京卷)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn,(1)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;

(2)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式。/ 1)

第三篇:等差数列知识点解读

等差数列

一、学习目标:等差数列的概念、性质及前n项和求法。

*1.设数列an的前n项和为Sn.已知a15,an1Sn3n,nN.设bnSn3n,求数列bn的通项公式;

解:依题意,Sn1Snan1Sn3n,即Sn12Sn3n,由此得Sn13n12(Sn3n).

因此,所求通项公式为bnSn-3n2n。

2.设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为

3.已知等差数列{an}的公差d0,且a1,a3,a9成等比数列,则a1a3a913. a2a4a1016

【考点梳理】

1.在解决等差数列问题时,如已知,a1,an,d,Sn,n中任意三个,可求其余两个。

2.补充的一条性质

s奇n1)项数为奇数2n1的等差数列有:ssana中,s2n1(2n1)an s偶n1奇偶

sa2)项数为偶数2n的等差数列有:奇n,s偶s奇nds2nn(anan1)s偶an

1an1and(定义)2an1anan23.等差数列的判定:{an}为等差数列 anAnB(关于n的“一次函数”)

SAn2Bn(缺常数项的“二次函数”)n

即:{an}an1and(d为常数)2anan1an1(n2,nN*)

anknbsnAn2Bn;

4.三个数成等差可设:a,a+d,a+2d或a-d,a,a+d;

四个数成等差可设:a-3d,a-d,a+d,a+3d.5.等差数列与函数:1)等差数列通项公式与一次函数的关系:从函数的角度考查等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式;从图像上看,表示等差数列的各点(n,an)均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质,不难得出,任两项可以确定一个等差数列.k=d=ana1aam,d=n,由此联想点列(n,an)所在直线的nmn1

斜率.2)点(n,Sn)在没有常数项的二次函数Snpn2qn上。其中,公差不为0.6.等差数列前n项和最值的求法(结合二次函数的图象与性质理解)

1)若等差数列an的首项a10,公差d0,则前n项和Sn有最大值。(ⅰ)若已知通项an,则Sn最大an0; a0n1

q的非零自然数时Sn最大; 2p

2)若等差数列an的首项a10,公差d0,则前n项和Sn有最小值(ⅱ)若已知Snpn2qn,则当n取最靠近

(ⅰ)若已知通项an,则Sn最小an0; an10

(ⅱ)若已知Snpn2qn,则当n取最靠近

q的非零自然数时Sn最小。

2p

题型1等差数列的基本运算 例1在等差数列{an}中,(1)已知a15=10,a45=90,求a60;(2)已知S12=84,S20=460,求S28;(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.

82

a1aa14d10

3解:(1)方法一:151∴a60=a1+59d=130. 

aa44d908451d

3

aaaa88

方法2 dnm4515,an=am+(n-m)da60=a45+(60-45)d=90+15×=130.

nm451533

2A212A12B8

4(2)不妨设Sn=An+Bn,∴2 

B1720A20B460

∴Sn=2n-17n∴S28=2×28-17×28=109

2(3)∵S6=S5+a6=5+10=15,6(a1a6)6(a110)aa6(a10)

∴15=1即a1=-5而d=613 22261

8(aa)

∴a8=a6+2 d=16S8=1844

又S6=

变式训练1设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{的前n项和,求Tn.解:设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+

Sn

}n

n(n-1)d.∵S7=7,S15=75,2

7a121d7,a13d1,∴即解得a1=-2,d=1.15a105d75,a7d5.11

Sn11n5=a1+(n-1)d=-2+(n-1)=.n222SSS11∴n1-n=.∴数列{n}是等差数列,其首项为-2,公差为.n1n2n2129∴Tn=n-n.44

小结与拓展:基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解

方程组思想等。等差数列中,已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,便可求出其余两个.题型2等差数列的判定与证明

*

例2已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N),它的前n项和为Sn,且a3=5,S6=36.求数列{an}的通项公式;

解:∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列,设{an}的首项为a1,公差为d,a1+2d=

5由a3=5,S6=36得,解得a1=1,d=2.∴an=2n-1.6a1+15d=36

变式训练2在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2.设bn=n-1,证明:数列{bn}是等差数列;

n

an+12an+2ann

证明:由已知an+1=2an+2得bn+1=nn-1+1=bn+1.n

2又b1=a1=1,因此{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.

小结与拓展:证明数列{an}是等差数列的两种基本方法是:1)利用定义,证明an-an-1(n≥2)为常数;2)利用等差中项,即证明2an=an-1+an+1(n≥2).题型3等差数列的性质

例3设等差数列an的首项及公差均是正整数,前n项和为Sn,且a11,a46,n

an

S312,则a2010答案:4020

变式训练3在等差数列{an}中,已知log2(a5+a9)=3,则等差数列{an}的前13项的和

S13=________.答案:52

解:∵log2(a5+a9)=3,∴a5+a9=2=8.13×(a1+a13)13×(a5+a9)13×8

∴S13===52.222

小结与拓展:解决等差(比)数列的问题时,通常考虑两类方法:①基本量法,即运用条件转化成关于a1和d(q)的方程;②巧妙运用等差(比)数列的性质(如下标和的性质、子数列的性质、和的性质).一般地,运用数列的性质,可化繁为简.题型4等差数列的前n项和及最值问题

例4设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;

(2)指出S1,S2,S3,„,S12中哪一个最大,并说明理由.解:(1)a3=12,∴a1=12-2d,解得a12=12+9d,a13=12+10d.由S12>0,S13<0,即>0,且

12(a1a12)

13(a1a13)2

4<0,解之得-<d<-3.27

(2)易知a7<0,a6>0,故S6最大.变式训练4设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于(A)

A.6B.7C.8D.9

【解析】设该数列的公差为d,则a4a62a18d2(11)8d6,解得d2,所以Sn11n

n(n1)

2n212n(n6)236,所以当n6时,Sn取最小值。

2d2d

n(a1)n利22

小结与拓展:等差数列的前n项和为Sn,在d0时,有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值,有两种方法:一是求使an0,an10,成立的n值;二是由Sn

用二次函数的性质求n的值.2.等差数列{an}中,当a1<0,d>0时,数列{an}为递增数列,Sn有最小值;当a1>0,d<0时,数列{an}为递减数列,Sn有最大值;当d=0时,{an}为常数列.3.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.五、检测巩固:

1.有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个书的和是12,求这四个数.

(ad)2

(ad)16ad

解:设这四个数为:ad,a,ad,,则 a

a2ad12

a4a9解得:或,所以所求的四个数为:4,4,12,36;或15,9,3,1.

d8d6

2.由正数组成的等比数列{an},若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列{an}的通项公式.

第四篇:等差数列知识点解析

等差数列

(一)等差数列是指相邻两数字之间的差值相等,整列数字是依次递增、递减或恒为常数的一组数字。等差数列中相邻两数字之差为公差,通常用字母d来表示,等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d(n为自然数)。例如:2,4,6,8,10,12…… 等差数列的特点是数列各项依次递增或递减,各项数字之间的变化幅度不大。

(二)二级等差数列:后一项减前一项所得的新数列是一个等差数列。

(三)多级等差数列:一个数列经过两次以上(包括两次)的后项减前项的变化后,所得到的新数列是一个等差数列。

(四)等差数列的变式:

等差数列是数字推理题目中最基础的题型,也是解答数字推理题目的“第一切入角度”。所谓“第一切入角度”是指进行任何数字推理解题时都要首先想到等差数列及其变式,即从数与数之间差的关系进行推理。

总结:等差数列作为基础数列,有很多题都是由等差数列衍生而来的,如例3中,两项做差后得到的是等比数列,也可能是质数列、和数列等,所以要由考生灵活掌握,在熟悉基础数列的基础上才能更好更快的解题。【等差数列例题】

0.5,2,9/2,8,()

A、12.5B、27/2C、29/2D、16

解析:本题考查二级等差数列。后项减前项得新数列1.5,2.5,3.5,新数列是以1为公差的等差数列,其后一项为4.5,即未知项为4.5+8=12.5。故答案为A。

【多级等差数列例题】

0,4,16,40,80,()

A.160B.128C.136D.140

解析:本题考查三级等差数列。原数列的后一项减去前一项得到第一个新数列为4,12,24,40,新数列的后一项减去前一项得到第二个新数列为8,12,16,因此第二个新数列的下一项为20,第一个新数列的下一项为60,则未知项为80+60=140。故答案为D。

【等差数列的变式例题】

32,48,40,44,42,()

A.43B.45C.47D.49

解析:本题考查等差数列的变式。前项减去后项得出一个新数列16,-8,4,-2,新数列是以(-2)为公比的等比数列,下一项为1,则未知项应为43。故答案为A。

第五篇:等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理

第一节:等差数列的公式和相关性质

1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:anan1d(d为公差)(n2,nN*)注:下面所有涉及n,nN*省略,你懂的。

2、等差数列通项公式:

ana1(n1)d,a1为首项,d为公差

推广公式:anam(nm)d

变形推广:d

3、等差中项

(1)如果a,A,那么A叫做a与b的等差中项.即:b成等差数列,Aab2anam nm或2Aab

(2)等差中项:数列an是等差数列

2anan-1an1(n2)2an1anan2

4、等差数列的前n项和公式:

Snn(a1an)n(n1)na1d 22d212 n2(a1d)nAn2Bn

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)

特别地,当项数为奇数2n1时,an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n12n1a1a2n122n1an1(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)

5、等差数列的判定方法(1)定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列.

(2)等差中项:数列an是等差数列

2anan-1an1(n2)2an1anan2

(3)数列an是等差数列anknb(其中k,b是常数)。

(4)数列an是等差数列SnAn2Bn,(其中A、B是常数)。

6、等差数列的证明方法

定义法:若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列.

7、等差数列相关技巧:

(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。

(2)设项技巧:

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差,可设为„,a2d,ad,a,ad,a2d„(公差为d);

③偶数个数成等差,可设为„,a3d,ad,ad,a3d,„(注意;公差为2d)

8、等差数列的性质:

(1)当公差d0时,等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n和Snna1n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为2220。

(2)若公差d0,则为递增等差数列,若公差d0,则为递减等差数列,若公差d0,则为常数列。

(3)当mnpq时,则有amanapaq,特别地,当mn2p时,则有aman2ap。(注:a1ana2an1a3an2,)当然扩充到3项、4项„„都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。

(4)an、bn为等差数列,则anb,1an2bn都为等差数列

(5)若{an}是等差数列,则Sn,S2nSn,S3nS2n,„也成等差数列

(6)数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

(7)an、{bn}的前n和分别为An、Bn,则anA2n1

bnB2n1(8)等差数列{an}的前n项和Smn,前m项和Snm,则前m+n项和Smnmn,当然也有anm,amn,则amn0

(9)求Sn的最值

法一:因等差数列前n项和是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性nN*。

法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n项和的最大值是所有非负项之和

即当a10,d0,由an0可得Sn达到最大值时的n值. a0n1(2)“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。

即 当a10,d0,由an0可得Sn达到最小值时的n值. a0n1或求an中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,Sn取最大值(或最小值)。若S p = S q则其对称轴为n

注意:SnSn1an(n2),对于任何数列都适用,但求通项时记住讨论当n1的情况。

pq 2解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:

①基本量法:即运用条件转化为关于a1和d的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量。(以上加上蓝色的性质希望读者能够自己证明,不是很难,并能够学会运用)

第二节:等比数列的相关公式和性质

1、等比数列的定义:

2、通项公式:

ana1qn1,a1为首项,q为公比

anqq0n2,q为公比 an1推广公式:anamqnm,从而得qnm

3、等比中项

an am(1)如果a,A,b成等比数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A2ab或Aab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)

(2)数列an是等比数列an2an1an1

4、等比数列的前n项和Sn公式:(1)当q1时,Snna1(2)当q1时,Sn

a11qn1qa1anq 1qa1a1qnAABnA'BnA('A,B,A',B'为常数)1q1q5、等比数列的判定方法(1)用定义:对任意的n,都有an1qan或为等比数列

an1q(q为常数,an0){an}an(2)等比中项:an2an1an1(an1an10){an}为等比数列(3)通项公式:anABnAB0{an}为等比数列(4)前n项和公式:

SnAABn或SnA'BnA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列

6、等比数列的证明方法 依据定义:若anqq0n2,且nN*或an1qan{an}为等比数列 an

17、等比数列相关技巧:

(1)等比数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、q、n、an及Sn,其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。

(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项:ana1qn1

如奇数个数成等比,可设为„,aa2„(公比为q,中间项,a,aq,aq2qq用a表示);注意隐含条件公比q的正负

8、等比数列的性质:(1)当q1时

①等比数列通项公式ana1qn1a1nqABnAB0是关于n的带有系q数的类指数函数,底数为公比q ②前n项和Sna11qn1qa1a1qna1a1qnAABnA'BnA',系1q1q1q数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比q

(2)对任何m,nN*,在等比数列{an}中,有anamqnm,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式。因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3)若mnst(m,n,s,tN*),则anamasat。特别的,当mn2k时,得anamak2

注:a1ana2an1a3an2

(4)列{an},{bn}为等比数列,则数列{},{kan},{ank},{kanbn}{n}(k为非零常数)均为等比数列。

(5)数列{an}为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列

(6)如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列(7)若{an}为等比数列,则数列Sn,S2nSn,S3nS2n,,成等比数列(8)若{an}为等比数列,则数列a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n成等比数列

kanabn(9)①当q1时,②当0

③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);④当q<0时,该数列为摆动数列。

(10)在等比数列{an}中, 当项数为2n(nN*)时,S奇S偶1,。

q(11)若{an}是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm

注意:在含有参数的数列时,若是等比数列,一定要考虑到公比q1的特殊情况。

解决等比数列问题时,通常考虑两类方法:

①基本量法:即运用条件转化为关于a1和q的方程; ②巧妙运用等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量。

关于等差、等比两个引申:ankan1b模式(其中k,b为常数,;anpan1pn模式(其中p为常数,n2)n2)在这里我们以具体的例子给出,使其更容易理解:

例1

已知数列an,有an3an14(n2),则求该数列的通项公式

解题大致思路:先设anb3(an1b),则对于an3an14an23(an12),那么我们就可以构造数列an2为等比数列,利用等比的相关性质去解决,注意:构造新数列的首项和公比分别是多少?还有你考虑到当n1的这种情况了吗?

例2

已知数列bn,有bn2bn12(n2),求该数列的通项公式

n解题的大致思路:bn2bn12(n2)nbn2bn1bnbn11n11,相信你已nnn2222经知道构造什么数列了吧,这两个模式考试中喜欢考,也比较基础,当然也希望通过这两个模式能让你意识到求数列中的构造思想。

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