高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结（共5则范文）

第一篇：高三数学《等差数列及其前n项和》知识点总结（共）

高三数学《等差数列及其前n项和》知

识点总结

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一、等差数列的有关概念

．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d．

2．等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝/2，其中A叫做a，b的等差中项．

二、等差数列的有关公式

．通项公式：an＝a1＋d.2．前n项和公式：Sn＝na1＋n/2d+d＝n/2.三、等差数列的性质

．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq.2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd.3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d.4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值．

5．等差数列{an}的首项是a1，公差为d.若其前n项之和可以写成Sn＝An2＋Bn，则A＝d/2，B＝a1－d/2，当d≠0时它表示二次函数，数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差数列的充要条件．

四、解题方法

.与前n项和有关的三类问题

知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．

Sn＝d/2*n2＋n＝An2＋Bn⇒d＝2A.利用二次函数的图象确定Sn的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．

2．设元与解题的技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；

若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

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第二篇：高三等差数列及前n项和导学案

《等差数列及其前n项和》导学案

班级_______课时时间________

学习目标

1．理解等差数列的概念，会用定义证明一个数列是等差数列； 2．能利用等差中项、通项公式与前 n 项和公式列方程求值； 3．善于识别数列中的等差关系或能将其转化为等差关系。

重点：等差数列基本功式、概念及性质的应用。

难点：等差数列的证明及性质的应用。考点梳理

1．等差数列

(1)定义：________________________.(2)通项公式：________________________________________________________________.(3)前n项和公式：____________________________________________________________.(4)a、b的等差中项A=_______________ 2．等差数列的常用性质

（1）若{an}为等差数列,m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝______＝____.(2)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}_________，公差为________．（3）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

（4）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为______的___数列．（5）若{an}是等差数列，前n项和为Sn，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，是____数列，公差为____.（6）若数列{an}是等差数列,前n项和为Sn，则S2n－1＝___________.(7)若数列{an}是等差数列,前n项和为Sn，则数列{

Sn

n

}为__________.典例探究

题型一 等差数列有关基本量的计算

例1：在等差数列{an}中，已知a6=10,s5=5,求a8和s8.题型二 等差数列的判定与证明

例2：已知数列{an}中，a3

5＝2－1a(n≥2，n∈N*)，数列{b111＝，ann}满足bn＝(n∈N*)．

n1an1an1

(1)求证：数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.题型三 等差数列的性质及应用

例3：(1)(2011·辽宁高考)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知aa2m1m1am0,s2m138,则m=____.（3）等差数列{an}的前m项和为30，,2m项和为100，则它的前3m项和为______.达标检测

1.（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1

1,S2a3,则a2________;Sn=________.2数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，则an=________.3．(2011年重庆)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝_____.

第三篇：等差数列前n项和教案

等差数列前n项和教案

一、教材分析

1、教材内容：等差数列前n项求和过程以及等差数列前n项和公式。

2.教材所处的地位和作用：本节课的教学内容是等差数列前n项和，与前面学过

的等差数列的定义、性质等内容有着密切的联系，又能为后面等比数列前n

项和以及数列求和做铺垫。

3、教学目标

（1）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法。同时能

熟练、灵活地应用等差数列前n项和公式解决问题。

（2）过程与方法：经历公式的推导过程，体验倒序相加进行求和的过程，学会

观察、归纳、反思。体验从特殊到一般的研究方法。

（3）情感、态度、价值观：通过具体、生动的现实问题的引入，激发学生探

究求和方法的兴趣，树立学生求知意识，产生热爱数学的情感，逐步养

成科学、严谨的学习态度，提高一般公式推理的能力。

4、重点与难点

重点：等差数列前n项和公式的掌握与应用。

难点：等差数列前n项和公式的推导以及其中蕴含的数学思想的掌握。

二、学情分析

学生前几节已经学过一些数列的概念及简单表示法，还学了等差数列的定

义以及性质，对等差数列已经有了一定程度的认识。这些知识也为这节的等差数列前n项和公式做准备，让学生能更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程。同时也为后面的等比数列前n项和公式做铺垫。但由于数列形式多样，因此仅仅掌握等差数列前n项和公式还是不够的，更应该学会灵活应用。

三、教学方法：启发引导，探索发现

四、教学过程

1．教学环节：创设情境

教学过程：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 123100？。据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯迅速得出5050这个答案。让同学思考并讨论高斯是怎么算的。

设计意图：由著名的德国数学家高斯的例子引发同学们的思考，为下面引入倒序相加法求和做准备。2．教学环节：介绍倒序相加法

教学过程：请同学将自己的计算方法在课上发表，老师接着介绍倒序相加

法。记S123100981S10099，从而发现每一列相加都得101。

则2S(1100)(299)(398)(1001)101*100

S101*10025050

类似地，用同样的方法计算1,2,3，，n，的前n项和，可以得到 123n(n1)n。2 设计意图：介绍倒序相加法，并用这个方法计算1,2,3，，n，的前n 项和，从而为下面推导等差数列前n项和公式做铺垫。

3.教学环节：推导公式

教学过程：首先介绍数列an的前n项和，用Sn来表示，即

Sna1a2a3an。对于公差为d的等差数列，我们用两种方法表示Sn。Sna1(a1d)(a12d)[a1(n1)d]Snan(and)(an2d)[an(n1)d]

则两式相加得：

2Sn(a1an)(a1an)(a1an)(a1an)n(a1an)

n个n(a1an)，将等差数列的通项公2n(n1)d。式ana1(n1)d代入，得到公式Snna12 推导出等差数列前n项和的公式为Sn 设计意图：用倒序相加法推导得到等差数列前n项和公式，由于有前面的铺垫让学生更容易理解等差数列前n项和公式的推导过程，对后面的应用也有帮助。

4、教学环节：例题讲解

教学过程：例1：用等差数列前n项和的公式计算1+3+5++99的值。

例2：a11,a86，求这个等差数列的前8项和S8以及公

差d。例3：已知数列an的前n项和Snn2n，求这个数列 的通项公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

设计意图：巩固等差数列前n项和公式，加深学生对该公式的印象。6．教学环节：回顾总结

教学过程：

1、倒序相加法进行求和的思想

2、复习等差数列前n项和公式Sn Snna1n(a1an)和 2n(n1)强调要根据条件选用适当的公式进 d，行求解。以及公式的适用范围。7．教学环节：布置作业

七、板书设计

1、问题的提出

2、倒序相加法

3、等差数列前n项和公式

4、例题

5、回顾总结

6、布置作业

第四篇：等差数列前n项和教案

等差数列前n项和(第一课时）教案

【课题】

等差数列前n项和第一课时

【教学内容】

等差数列前n项和的公式推导和练习

【教学目的】

（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；

（2）掌握等差数列的前项和公式；

（3）能运用公式解决一些简单问题

【教学方法】 启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】

等差数列前项和公式及其应用。

【难点】

等差数列前项和公式的推导思路的获得 【教具】

实物投影仪，多媒体软件，电脑 【教学过程】

1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sn

a1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学

问题一： 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层 多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？

思考：(1)问题转化求什么 能用最短时间算出来吗？

(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？

他抓住了问题的什么特征？

(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算 18+21+24+27+…+624=？

3..合作互学（小组讨论，总结方法）

问题二： Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?

倒序相加法

探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？

问题三： 已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？

等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn

问题四： 比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？

n(a1 + a n)=2Sn

公式记忆 —— 类比梯形面积公式记忆

n（a1 + a n)=2S 问题五： 两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？

展示激学

应用公式

例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?

【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列 一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。

【教学后记】新数学课程标准中明确提出“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言 是现代文明的重要组成部分” “要体现数学的文化价值”等，将数学史有机地融入到课堂教学中，不仅不会影响学生的学习，相反却会激发学生热爱数学的热情，起到正面推动作用，提升数学教育成效.这也是贯彻德育、提倡人文精神的重要组成部分.由具体的问题情境激发学生的学习兴趣.等差数列前 n 项和公式的推导由教师引导学生自主探索, 由于数学的严谨性和学生认知的不完备性是一个矛盾，因此公式的发现过程是一个不断修改、不断完善、逐步发现的过程.引导学生积极参与结论的探索、发现、推导的过程, 并弄清楚每个结论的因果关系,要适当延迟判断,多让学生想一想、议一议、说一说,重视思路分析的训练．须知教师讲课的最精彩之处,不是自己分析的头头是道,而是引导学生探求解题思路最后再引导学生归纳引出结论．通过例题的讲解和练习的训帮助学生掌握 和记忆公式,例题的变式训练加大课堂教学的研究性、开放性和自主性，在开展探究活 动中培养学生的基本技能.

第五篇：等差数列前n项和教案

等差数列的前n项和教案

一、教学目标：

知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式，能熟练应用等差数列前n项和公式。过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，了解倒序相加求和法的原理。

情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

二、教学重难点：

教学重点: 探索并掌握等差数列前n项和公式，学会运用公式。教学难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

三、教学过程：

（一）、创设情景，提出问题

印度著名景点--泰姬陵，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？从而提出问题怎样快速地计算1+2+3+…+100=？（学生思考），著名的数学家高斯十岁时就用简便的方法计算出1+2+3+…+100=5050，介绍高斯的算法。

（二）、教授新课：

数学的方法并不是单一的，还有其他的方法计算1+2+3+…+100吗？（学生思考）

①老师介绍倒序相加求和法，记S=1+2+3+…+100 S=100+99+98+…+1 可发现上、下这两个等式对应项的和均是101，所以 2S=（1+100）+（2+99）+（3+98）+ … +（100+1）2S=101100=10100 S=10100=5050 2②如果要计算1,2,3,…,(n-1),n这n个数的和呢？（学生独立思考），老师引导，类似上面的算法，可得S=

1nn2

③1,2,3，…,(n-1),n这是一个以1为公差的等差数列，它的和等于S=1nn2，对于公差为d的等差数列，它们的和也是如此吗？

首先，一般地，我们称a1a2a3an 为数列an的前n 项和，用Sn表示，即Sna1a2a3an

类似地：

Sna1a2a3an①

··a1② Snanan1an2· ①+②： 2Sna1ana2an1a3an2ana1

∵a1ana2an1a3an2ana1

∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)公式1 2由等差数列的通项公式ana1n1d有，Snna1

（三）、例题讲解：

nn12d 公式2（1）、利用上述公式求1+2+3+…+100=?（学生独立完成）

（2）、例：等差数列an中，已知： a14,a818,n8,求前n项和Sn及公差d.（教师引导，师生共同完成）

选用公式：根据已知条件选用适当的公式 Sn变用公式：要求公差d，需将公式2Snna1n(a1an)求出 Sn 2nn12d变形运用，求d 知三求二 等差数列的五个基本量知三可求另外两个

（四）、课堂小结：

1、公式的推导方法:倒序求和

2、等差数列的前n项和公式

Snn(a1an)2Snna1nn12d

3、公式的应用。

（五）、作业

课本45页 练习第1题 46页A组第2题