2.2.1等差数列的性质(学案4)

第一篇：2.2.1等差数列的性质(学案4)

2.2.1等差数列的性质（学案4）

一、基础知识

1、等差数列定义

2、等差通项公式

3、等差数列性质

（1）若mnpq2t，则（2）若数列an是等差数列，则

数列ak，akm，ak2m，……成等差，公差为数列kanb是等差数列，公差为数列a1a2an，an1an2a2n，a2n1a2n2a3n，…成等差，公差为

二、例题

1、（1）在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8（2）已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求数列an的通项公式。

2、已知等差数列an中，a9a10a，a19a20b，求a99a100的值。变式

（1）已知等差数列an中a1a2a3a1010,a11a12a13a2030,则

a21a22a23a30（2）已知等差数列an中a1a2a3a1010,a21a22a23a3050则

a11a12a13a20（3）已知等差数列an中a1a2a3a1010,a6a7a8a1530,则

a21a22a23a30

3、已知数列a3an

n满足a=3，an1=

a3，n（1）证明1

是等差数列；

（2）求数列aan的通项公式。n

三、练习

1、已知等差数列an中，a13a8a15120，则3a9a11

2、已知等差数列

中，，则的值是________.3、已知等差数列an中a1a4a739,a3a6a927,则该数列的前9项的和为

4、已知等差数列an中a1a7a134,则tan(a2a12)

5、已知等差数列an中，a4a58，a9a1028，求a1

6、已知等差数列是递减数列，a2a3a412，a2a3a448，求数列an的通项公式。

7、已知函数f(x)

3xx3，在数列xx*

n中，nf(xn1)（n2,nN）。（1）求证：1是等差数列；（2）求当1

xx1时，xn

2100的值。

第二篇：学案2.1

《信息获取的一般过程》学案

【本课目标】

●了解信息获取的一般过程。●学会根据任务和问题确定信息需求。

●知道常见的信息来源，学会根据信息需求确定信息来源，能在获取信息的过程中感受信息来源的多样性。

●了解常用的信息获取方法，根据信息来源的不同，选择适当的工具，采用适当的方法获取信息。

【导学】

一、情境体验

如果让你去打猪草，你会怎么做？

二、自主学习

1.从简单的例子说起（P14“资料”《获取周日郊区的天气信息》）2.剖析信息获取过程的各个环节（以商业间谍的信息获取为例）1)定位信息需求表现在哪些方面？

2)选择信息来源 信息来源的分类：

3)确定信息获取方法

由于信息来源的多样性，决定了信息获取方法的多样性。●

法 ●

法 ●

法

●

法 ●

法 ●

法 4)评价信息

●以先前所确定的信息需求为依据，对获取的信息进行评价。●如果所选择的信息不能满足人们的信息需求，就需要（）、（）和（）以再次获取信息。

【巩固】

假设你现在有一个去上海世博会的机会，你会如何获取“怎样游览世博园”的相关信息？

【反思】

第三篇：等差数列的性质总结

1.等差数列的定义式：anan

12．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*)，首项:a1，公差:d，末项:an

aam推广： anam(nm)d．从而dn； nm

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2,nN+)2an1anan

24．等差数列的前n项和公式：

n(a1an)n(n1)d1Snna1dn2(a1d)nAn2Bn 2222

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n1ab或2Aab 2等差数列性质总结（n2）； d（d为常数）2n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2．⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列 等差中项性质法：2anan-1an1(n2，nN)．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）； ③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0.前n和Snna122

2（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.注：a1ana2an1a3an2，（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

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(5)若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n，„也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

。当项数为偶数2n时，S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan

2na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1 2

S偶S奇nan1nannan1annd

S偶

S奇nan1an1 nanan

。当项数为奇数2n1时，则

S偶nS2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 S奇S偶an+1S奇n1S偶nan+1

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则Anf(n)，nan(2n1)anA2n1f(2n1).nn2n1

（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn anm,amn,则anm0

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

a0即当a10，d0，由n可得Sn达到最大值时的n值． an10

（2）“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an0即 当a10，d0，由可得Sn达到最小值时的n值． a0n1

或求an中正负分界项

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

-让梦想起飞，让成绩飞扬！

第四篇：等差数列的性质(定稿)

等差数列的性质

1．数列

为等差数列，则a3=

2．设x，a1，a2，a3，y成等差数列，x，b1，b2，b3，b4，y成等差数列，则的值是

第五篇：等差数列教案4

等差数列（1）

教学内容与教学目标

1．使学生理解等差数列的定义，掌握通项公式及其简单应用，初步领会“迭加”的方法；

2．通过通项公式的探求，引导学生学习归纳、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力；

3．通过证明的教学过程，培养学生实事求是的科学态度和勇于探索的精神．

设计思想

1．根据本节内容，我们选用“探究发现式”教学法，并按如下顺序逐步展开：

(1)给等差数列下定义；

(2)等差数列通项公式的探求；

(3)通项公式的初步应用．

2．在讲等差数列概念之前，学生对数列的定义及通项公式已有所理解．在此基础上，通过引导学生对几个具体数列共性（差相等）的观察研究，让学生自己给等差数列下定义────把命名权交给学生，旨在充分发挥学生的主体作用．

3．“观察───归纳───猜想───证明”是获得发现的重要途径．因此，在探求等差数列的通项公式时，我们选择了上述途径，一方面可提高学生的合情推理与逻辑推理能力，另一方面，为落实教学目标打下了坚实的基础．

课题引入

通过请学生观察几个具体的数列的特点．例如：

(1)1，4，7，10，„；

(2)3，－1，－5，－9，„；

(3)5，5，5，5，„，并由学生自行分析（必要时老师可作点拨）得出“从第2项起每一项与它前一项的差都等于同一个常数”这一共性，随即请学生给这类数列命名（学生易将这类数列称作“差相等的数列”或“等差数列）”，师肯定学生的回答，或稍作提炼，并顺水推舟，指出这是我们今天将要研究的内容───等差数列（板书），以此引出课题．

知识讲解

1．关于等差数列的定义

(1)教学模式：由学生观察分析几个具体数列的共性───给这类数列命名（等差数列）───给等差数列下定义───分析两个要点的作用───用符号语言描述定义───指出定义的功能．

采用这一教学模式，主要目的是充分发挥学生的主体作用，教师的主导作用主要体现在必要的点拨上．

(2)等差数列的定义有两个要点．一是“从第2项起”．这是为了确保每一项与前一项差的存在性；二是“差等于同一个常数”，这是等差数列的基本特点“差相等”的具体体现．

2．+关于等差数列的通项公式

(1)教学模式：试验───归纳───猜想───证明───鉴赏．即试着求出a1，a2，a3，a4，并对此进行分析归纳，猜想出通项公式，再加以证明，最后从数形结合的角度揭示公式的内涵．

采用这一教学模式，可帮助学生学习合情推理与逻辑推理的方法，提高学生的发现能力和逻辑思维能力，培养学生思维的科学性和严密性以及勇于探索的精神．

(2)通项公式的证明：

方法1（利用迭加法）：

在an－an－1=d中，取下标n为2，3，„，n，得a2－a1=d，a3－a2=d，a4－a3=d，„，an－an－1=d．

把这n－1个式子相加并整理，得an= a1＋（n－1）d．

又当n=1时，左边= a1，右边= a1＋（1－1）d= a1．

公式也适用．故通项公式为an= a1＋（n－1）d（n=1，2，3，„）．

方法2（利用递推关系）

an= an－1＋d

= an－2＋2d

= an－3＋3d（注意ak的下标与d的系数的关系）

=„

= a1＋（n－1）d．

（n=1时的验证同方法1）．

(3)公式鉴赏：

① 通项公式可表示为an=dn＋c（其中c= a1－d，nN）的形式，n的系数即为公差．当d≠0时，an是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx＋c（xR）的图象上的一群孤立的点．

② 通项公式中含有a1，d，n，an四个量，其中a1和d是基本量，当a1和d确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）．

例题分析

考虑到本节课是等差数列的起始课，因此例题应围绕等差数列的定义及通项公式这两个知识点选配．

例1．求等差数列8，5，2，„的第20项．

通过本题的求解，使学生初步掌握通项公式的应用，运用方程的思想“知三求

一” ．

本例在探求出通项公式以后给出．

分析与略解：欲求第20项a20，需知首项a1与公差d．现a1为已知，因此只需*求出d，便可由通项公式求出a20．事实上，∵ a1=8，d=5－8=－3，n=20，∴ a20=8＋（20－1）×（－3）= －49．

例2．已知数列－2，1，4，„，3n－5，„，(1)求证这个数列是等差数列，并求其公差；

(2)求第100项及第2n－1项；

(3)判断100和110是不是该数列中的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由．

通过本例的求解，加深学生对定义及其功能的理解和认识，并能利用方程的思想解决问题．

本例可在讲完定义后给出，也可在获得通项公式以后给出．

分析：对(1)，只需利用定义证明an＋1－an等于常数即可，并且这个常数即为公差；对(2)，从函数的角度看，只需将an=3n－5中的n分别换成100及2 n－1即得a100和a2n－1；对(3)，只需利用方程的思想，由an=100或an=110分别求出n，若求出的n为正整数，则可判定该数是这个数列中的项，并且这个正整数是几，该数就是这个数列中的第几项；若n不是正整数，则该数不是这个数列中的项．

略解：(1)由于an＋1－an=3（n＋1）－5－（3 n－5）=3（常数），故这个数列是等差数列，且公差d=3．

(2)∵ an=3 n－5，∴ a100 =3×100－5=295，a2n－1=3（2n－1）－5=6n－8．

(3)设3 n－5=100，解得n=35，∴ 100是这个数列中的项，并且是第35项；

设3 n－5=110，解得n=115

3N*，∴ 110不是这个数列中的项．

小结或总结

本节课我们主要研究了等差数列的定义和它的通项公式．等差数列的定义是判断一个数列是否是等差数列的依据之一，通项公式是通项an与项数n的关系的一种解析表示，它从函数和方程两个角度为我们求解问题提供了有力的工具．通过给等差数列下定义及自行探求通项公式，使我们领略了合情推理与逻辑推理在探索、发现知识方面的重要作用．

习题

1．已知等差数列｛an｝中，a1=5．6，a6=20．36，则a4=．

2．已知数列｛an｝的通项公式是an=－2 n＋3，证明｛an｝是等差数列，并求出公差、首项及第2 n＋5项．

3．在数列｛an｝中，a1=－2，2 an＋1－1=2an，则，a51等于，（）．

(A)20(B)21(C)22

参考答案(D)2

3１．14．6

2．∵ an＋1－an= －2，∴｛an｝是等差数列，且d= －2，a1=1，a2n＋5= －4 n－7．

3．D．

引申与提高

除了等差数列的定义以外，通项公式也是判断一个数列是否是等差数列的依据之一．我们把通项公式改写成a1= an＋（n－1）·（－d）（*），并把它与原通项公式比较，易知两者形式是完全一样的．这里可视an为首项，a1为第n项，这个数列由原数列中前n项反序书写而得，即an，an－1，an－2，„，a2，a1．由（*）式知它仍成等差数列，并且公差为－d．由此知，从正、反两个不同的顺序看待“同一个”等差数列时，各自“等差”的特点保持不变，但公差互为相反数．

思 考 题

１．已知数列－5，－3，－1，1，„是等差数列，判断2n＋7（n∈N*）是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

２．已知数列－5，－3，－1，1，„是等差数列，判断2n＋7（n∈N*）是否是该数列中的项？若是，是第几项？

略解：∵ d= －3－（－5）=2，∴ an= －5＋（n－1）×2=2 n－7．

而2n＋7=2（n＋7）－7，∴ 2n＋7是该数列中的第n＋7项．

测 试 题

22．且｛an｝是等差数列，则1．已知数列an的前4项分别为25，238是数列an中的（）．

(B)第49项

an1(A)第48项(C)第50项 31an(D)第51项 2．已知数列｛an｝中，a1=1，则a98=．

3．一个首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，求公差d的取值范围．

参考答案

１．D．

2．1

292．提示：｛1an｝是公差为3的等差数列，求出1an后再求an，进而求出

a98．

a100249d083．由，即，解得＜d≤3.3248d90a90

∴d的取值范围是，3．

38