2.2.1等差数列(学案3)

第一篇：2.2.1等差数列(学案3)

2.2.1等差数列（学案3）

一．基础知识 1.等差数列

2.通项公式

3.等差中项

4.证明方法

5.判定方法

二．例题

1.已知数列an的通项公式an3n5，这个数列是等差数列吗？

2.已知等差数列10，7，4，….：（1）试求此数列的第10项；

（2）—40是不是这个数列的项？—56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？（3）从第几项开始出现负数？

3..已知等差数列的公差为d,第m项为am，试求其第n项an。

4.梯子共有5级，从上往下第1级宽35厘米，第5级宽43厘米，且各级的宽度依次组成等差数列

an，求第2，3，4级的宽度。

三．练习

1.在 3 与 7 之间插入一个数 A，使 3，A，7 成等差数列，则

2.已知an是等差数列，a158,a6020,求a75

3.首项为 −24 的等差数列从第 10 项起开始为正数，则公差 d 的取值范围是

4.已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是

5.在等差数列a2

n中，a3,a9是方程2xx70的两根，则a6

6.已知等差数列an，a1a3a5105，a2a4a699，则a20

7.在等差数列中apq,aqp(p,q为正整数，且pq)，则aPq

第二篇：学案：等差数列及和

等差数列及其前n项和

一．高考考纲

1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．

2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法． 二．基础知识 1．等差数列的定义

如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为。3．等差中项：如果，那么A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a*

n＝am＋()d(n，m∈N)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则(m，n，p，q∈N*)． 5．等差数列的前n项和公式

若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则 其前n项和公式为Sn＝.三．典型例题

【例1】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

【例2】：已知数列{a项和为SS1

n}的前nn且满足an＋2Sn·n－1＝0(n≥2)，a1＝2

.(1)求证：1

S是等差数列；(2)求an的表达式

n

【例3】设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n.四．巩固提高

1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．A．4B．5C．6D．7

2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()．A．31B．32C．33D．34

3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．1B．9C．10D．55

4．(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()．A．13B．35C．49D．63

5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．

第三篇：学案2.1

《信息获取的一般过程》学案

【本课目标】

●了解信息获取的一般过程。●学会根据任务和问题确定信息需求。

●知道常见的信息来源，学会根据信息需求确定信息来源，能在获取信息的过程中感受信息来源的多样性。

●了解常用的信息获取方法，根据信息来源的不同，选择适当的工具，采用适当的方法获取信息。

【导学】

一、情境体验

如果让你去打猪草，你会怎么做？

二、自主学习

1.从简单的例子说起（P14“资料”《获取周日郊区的天气信息》）2.剖析信息获取过程的各个环节（以商业间谍的信息获取为例）1)定位信息需求表现在哪些方面？

2)选择信息来源 信息来源的分类：

3)确定信息获取方法

由于信息来源的多样性，决定了信息获取方法的多样性。●

法 ●

法 ●

法

●

法 ●

法 ●

法 4)评价信息

●以先前所确定的信息需求为依据，对获取的信息进行评价。●如果所选择的信息不能满足人们的信息需求，就需要（）、（）和（）以再次获取信息。

【巩固】

假设你现在有一个去上海世博会的机会，你会如何获取“怎样游览世博园”的相关信息？

【反思】

第四篇：等差数列复习学案

友好三中高一数学学案设计人：刘磊组长审核：设计时间：2009-3-1 讲授时间：

等差数列复习

一、学习目标：

1、通过学案能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项，并通过通项公式再次认识等差数列的性质。

2、通过等差数列的习题培养学生的观察力及归纳推理能力。

3、理论联系实际，激发学生学习积极性。

二、学习重难点：

重点：等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式。

难点：等差数列的性质及应用，“等差”的特点。

三、学法指导：

研读学习目标，了解本节重难点，精读教材，查找资料，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，再通过课堂各小组展示及质疑对抗，共同提高，完成学习任务。

四、知识链接：

1.等差数列的通项公式：

3.等差数列的判定方法：

五、学习过程：

问题（1）：已知{an}是等差数列.请证明2a5=a3+a7和2a5=a1+a9.问题（2）：①证明2an=an-1+an+1（n>1）②证明2an=an-k+an+k（n>k>0）

A1.已知等差数列{an}中，a7﹢a9=16，a4=1，则a12的值是（）

A.15B.30C.31D.6

4B2.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13等于（）

A.120B.105C.90D.7

5B3.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+„+a101 =0,则有（）

A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=5

1A4.已知数列{an}满足an－1+an＋1=2an(n≥2),且a1=3,a2=5,则数列的通项公式为.A5.在数列{an}中，若a1=1，an+1= an+2（n≥1），则该数列的通项an=.B6.等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，求2a9－a10

B7.在等差数列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3 a5 a7 =﹣21，求数列{an}的通项公式

六、达标训练：

B1.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x+(a4+a6)x+10=0()

A．无实根B．有两个相等实 C．有两个不等实根D．不能确定有无实根

2B2.等差数列{an}中，已知ak+ak+1+ak+2+ak+4+ak+4=A，则ak-1+ak+5（k≥2）等于

A.AB.A3C.A2A

5D.5A3.在等差数列{an}中，已知am﹣n=A，am+n=B，则am=.A4.已知数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=60，则a2+a8=.）（1B5.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,求a9－a11。

3B6.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,则2a9－a10.七、课堂小结：

八、课后反思：

第五篇：等差数列一轮复习导学案

等差数列

考纲要求

1．了解等差数列与一次函数的关系．2．理解等差数列的概念．

3．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能运用有关知识解决问题．

知识梳理

1．等差数列的定义与等差中项

(1)一般地，如果一个数列从________起，每一项减去它的前一项所得的________都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________(n∈N*，d为常数)．

(2)若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，其中A＝____________.2．等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)通项公式：an＝__________，an＝am＋__________(m，n∈N*)．注：an＝dn＋a1－d，当公差d不等于零时，通项公式是关于n的一次式，一次项系数为公差，常数项为a1－d.(2)前n项和公式：Sn＝______________________＝__________________.ddda1－n，当公差d≠0时，前n项和公式是关于n的二次式，二次项系数为注：Sn＝n2＋22

2d数为a10.当d＝0时，Sn＝na1，此数列是常数列． 2

3．等差数列的性质

(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有_____________，特别地，当m＋n＝2p时，________.注：此性质常和前n项和Sn结合使用．

(2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，其公差是m2d.(3)等差数列的单调性：若公差d＞0，则数列为____；若d＜0，则数列为___；若d＝0，则数列为__

(4)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为__________．

(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(6)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差为__________的等差数列． 基础自测1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a11的值为__________．

11112．在数列{an}中，a1＝＝a10＝__________.2an＋1an

33．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__________.4．(2012福建高考改编)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为__________．

S1S5．(2012南京市高三第二次模拟考试)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若＝__________.S73S7

基础自测

1．7；2．－1 ；3．15 ； 4．2 ；

S315.解析：由S3＝3a2，S7＝7a4，由＝可得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，a3＝8d，a4＝9d，S73

S17从而S6＝3(a3＋a4)＝3×17d，S7＝7a4＝63d，则.S72

1思维拓展1．解决与等差数列有关问题有哪些常见的数学思想？

提示：(1)函数思想：在等差数列中an＝dn＋c(d，c为常数)，是关于n的一次函数(或常数函数)，Sn＝2An＋Bn(A，B为常数)是关于n的二次函数或一次函数．

(2)方程思想：准确分析a1，d，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”．

(3)整体思想：在应用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”时，要会用整体思想进行代换．

(4)类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比，关注它们之间的异同有助于全面掌握数列知识，也有利于类比思想的推广．

2．如何判断一个数列是等差数列？

提示：(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；

(3)通项是n的一次函数：an＝An＋B；(4)前n项和是n的二次函数且常数项为0：Sn＝An2＋Bn.探究突破【探究突破一】等差数列的基本量的计算 【例1】 已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝an

(1)求公差d的值；(2)若a1＝－2，求数列{bn}中的最大项和最小项的值． 51＋a

解：(1)∵S4＝2S2＋4，Sn＝na1＋4×4－1nn－1，∴4a＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得公差d＝1.122

1＋an57111(2)∵a1＝－，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－.∴bn＝＝1＋＝1＋.设f(x)＝1＋，22anan77n－x－22

7777－∞，和∞上单调递减，且x＜f(x)＜1；x＞时，f(x)＞1.∵f(x)分别在2222

∴f(3)＜f(2)＜f(1)＜1，即b3＜b2＜b1＜1，1＜f(n)≤f(4)(n≥4)，即1＜bn≤b4(n≥4)，b4＝3，b3＝－1.综上可得{bn}中最大项为b4＝3，最小项为b3＝－1.【方法提炼】首项a1和公差d是等差数列{an}的基本量，只要确定了a1和d，数列{an}就能确定．因此，通过列方程(组)求得a1和d是解决等差数列{an}基本运算的重要思想和方法．

【针对训练1】设递增等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：在递增等差数列{an}中，设公差为d＞0，22a4＝a3×a7，a1＋3d＝1×a1＋6d，a1＝－3，∵∴解得 a＝1，a＋2d＝1，d＝2.31

n－3＋2n－52∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝n－4n.2

故所求an＝2n－5(n∈N*)，Sn＝n2－4n(n∈N*)．

【探究突破二】等差数列的判断与证明

【例2】(2012陕西高考)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．

(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

解：(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证一：对任k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

＋＋＋＋2a11－qka11－qk2a11－qk1a12－qk2－qk1证二：对任k∈N＋，2Sk＝Sk＋2＋Sk＋1＝，1－q1－q1－q1－q

＋＋2a11－qka12－qk2－qk1aaqk2kk＋2k＋12Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－q)－(2－q－q)]＝q＋q－2)＝0，1－q1－q1－q1－q

因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

【方法提炼】判断或证明数列{an}为等差数列时，首先考虑的是定义，即证an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)，其中d为常数；对于递推式，还可考虑利用等差中项，即证2an＋1＝an＋an＋2.【针对训练2】(2012江苏南京金陵中学高考数学预测卷)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.(1)求a3，a5；

(2)设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：数列{bn}是等差数列．

解：(1)由题意，令m＝2，n＝1，得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20.(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8，于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8，即bn＋1－bn＝8.所以{bn}是公差为8的等差数列．

【探究突破三】等差数列的性质

【例3】(1)在等差数列{an}中，已知a4＝9，a9＝－6，Sn＝63，求n；

(2)若一个等差数列的前3项和为34，后3项和为146，且所有项的和为390，求这个数列的项数．

9＝a1＋3d，a1＝18，解：(1)设首项为a1，公差为d，则得 －6＝a1＋8d，d＝－3，

3即63＝Sn＝18n－(n－1)，得n＝6或n＝7.2

(2)∵a1＋a2＋a3＝34，又an＋an－1＋an－2＝146，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴两式相加得

na1＋an3(a1＋an)＝180，a1＋an＝60，由Sn＝390，得n＝13.2

【方法提炼】利用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”可以把an与Sn结合起来，这是解决等差数列问题的有效方法．

【针对训练3】(2012江苏徐州市高三第二次质量检测)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Sn7n＋45anTn，若＝，且是整数，则n的值为__________． Tnn＋3b2n

nn－1d2d解析：因为等差数列前n项和为Sn＝na1＝n＋a1－2n，22

所以可知等差数列前n项和是关于n的二次函数，且不含常数项．

S7n＋45因为，所以可设Sn＝kn(7n＋45)，Tn＝kn(n＋3)，其中k为常数． Tnn＋3

所以an＝Sn－Sn－1＝kn(7n＋45)－k(n－1)(7n＋38)＝k(14n＋38)，bn＝Tn－Tn－1＝kn(n＋3)－k(n－1)(n＋2)＝k(2n＋2)，则b2n＝k(4n＋2)，n＋16n＋16ak14n＋387n＋19a＝＝3＋是整数． b2nk4n＋2b2n2n＋12n＋12n＋1

a则2n＋1≤n＋16，即n≤15.所以n＝15时，4，为整数． b2n

【探究突破四】等差数列前n项和的最值

【例4】 已知等差数列{an}的前n项和Sn的最大值为S7，且|a7|＜|a8|，求使Sn＞0的n的最大值． 解：由S7值最大，可得a7≥0，a8＜0，由|a7|＜|a8|，得a7＜－a8，即a7＋a8＜0，故a1＋a14＝a7＋a8＜0.13a1＋a1314a1＋a14若a7＞0，则S13＝13a7＞0，S14＝0，即Sn＞0的最大正整数n＝13.22

12a1＋a12若a7＝0，则a6＞0，S13＝13a7＝0，S12＝＝6(a6＋a7)＝6a6＞0，即Sn＞0的最大正整数n＝12.2

综上所述，当a7≠0时，使Sn＞0的最大正整数n为13；当a7＝0时，使Sn＞0的最大正整数n为12.【方法提炼】

公差不为零的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最大值或最小值的项数n，代入前n项和公式求最值．

a【针对训练4】已知{an}为等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正a10

值时，n等于多少？

解：由已知得，{an}是首项为正，公差为负的递减等差数列，a由1，得a10＋a11＜0且a10＞0，a11＜0，a10

20a1＋a2020a10＋a11∴S20＝10(a10＋a11)＜0.而S19＝19a10＞0，22∴Sn取最小正值时n＝19

【考情分析】通过分析江苏卷近三年高考对等差数列的考查，该部分内容属必考内容，要求学生理解等差数列的概念，会用定义证明一个数列是等差数列；能利用等差中项、通项公式与前n项和公式列方程求值，能通过确定基本量或借助于等差数列的性质用整体代换的方法进行求值；要善于识别数列中的等差关系或转化为等差关系，并通过通项公式或前n项和公式解决相关的问题．题型有考查基本知识(通项、求和)的容易题，也有与其他知识(函数、不等式、解析几何等)相结合的综合题，一般为解答题．难度为中档题或较难题．

【迁移应用】

1.已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.kk－1解：a7－a5＝2d＝4，则d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.2

2.已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为________．

解析：由Sn－Sn－3＝51得，an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17，na＋a－又a2＝3，Sn＝＝100，解得n＝10.2

3.(2014·镇江月考)已知等差数列{an}中，a4＋a6＝10，前5项和S5＝5，则其公差为________．

a－a5－1解析：由a4＋a6＝10，得2a5＝10，所以a5＝5.由S5＝5a3＝5，得a3＝1，所以d＝＝2.22

4.(2013·南通二模)设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.解析：由条件可知，a2＝5，从而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差为3，所以a11＋a12＋a13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.S1S5.(2013·南京二模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝________.S73S7

S1解析：由S3＝3a2，S7＝7a4，得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，所以a3＝8d，a4＝9d，从而S6S73

17＝3(a3＋a4)＝51d，S7＝7a4＝63d21

6.设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝________.解析：由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．

17.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N*)． 2

(1)求证：数列S是等差数列．(2)求Sn和an.n

[解](1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1.由上式知若Sn－1≠0，则Sn≠0.∵S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)，11111由①式得－2(n≥2)．∴S是等差数列，其中首项为2，公差为2.SnSn－1S1a1n

11111(2)∵＋2(n－1)2(n－1)，∴Sn＝当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，SnS1a12n2nn－1

12，n＝1，1当n＝1时，a1＝S1＝不适合上式，∴an＝ 21－2nn－1n≥2.*8.各项均为正数的数列{an}满足a2n＝4Sn－2an－1(n∈N)，其中Sn为{an}的前n项和． {}1

(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式．

2解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．

2(2)a2n＝4Sn－2an－1，①an＋1＝4Sn＋1－2an＋1－1.②

2②－①得：a2n＋1－an＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．

∵数列{an}各项均为正数，∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝2n－1.