等差数列复习学案

第一篇：等差数列复习学案

友好三中高一数学学案设计人：刘磊组长审核：设计时间：2009-3-1 讲授时间：

等差数列复习

一、学习目标：

1、通过学案能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项，并通过通项公式再次认识等差数列的性质。

2、通过等差数列的习题培养学生的观察力及归纳推理能力。

3、理论联系实际，激发学生学习积极性。

二、学习重难点：

重点：等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式。

难点：等差数列的性质及应用，“等差”的特点。

三、学法指导：

研读学习目标，了解本节重难点，精读教材，查找资料，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，再通过课堂各小组展示及质疑对抗，共同提高，完成学习任务。

四、知识链接：

1.等差数列的通项公式：

3.等差数列的判定方法：

五、学习过程：

问题（1）：已知{an}是等差数列.请证明2a5=a3+a7和2a5=a1+a9.问题（2）：①证明2an=an-1+an+1（n>1）②证明2an=an-k+an+k（n>k>0）

A1.已知等差数列{an}中，a7﹢a9=16，a4=1，则a12的值是（）

A.15B.30C.31D.6

4B2.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13等于（）

A.120B.105C.90D.7

5B3.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+„+a101 =0,则有（）

A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=5

1A4.已知数列{an}满足an－1+an＋1=2an(n≥2),且a1=3,a2=5,则数列的通项公式为.A5.在数列{an}中，若a1=1，an+1= an+2（n≥1），则该数列的通项an=.B6.等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，求2a9－a10

B7.在等差数列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3 a5 a7 =﹣21，求数列{an}的通项公式

六、达标训练：

B1.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x+(a4+a6)x+10=0()

A．无实根B．有两个相等实 C．有两个不等实根D．不能确定有无实根

2B2.等差数列{an}中，已知ak+ak+1+ak+2+ak+4+ak+4=A，则ak-1+ak+5（k≥2）等于

A.AB.A3C.A2A

5D.5A3.在等差数列{an}中，已知am﹣n=A，am+n=B，则am=.A4.已知数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=60，则a2+a8=.）（1B5.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,求a9－a11。

3B6.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,则2a9－a10.七、课堂小结：

八、课后反思：

第二篇：等差数列一轮复习导学案

等差数列

考纲要求

1．了解等差数列与一次函数的关系．2．理解等差数列的概念．

3．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能运用有关知识解决问题．

知识梳理

1．等差数列的定义与等差中项

(1)一般地，如果一个数列从________起，每一项减去它的前一项所得的________都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________(n∈N*，d为常数)．

(2)若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，其中A＝____________.2．等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)通项公式：an＝__________，an＝am＋__________(m，n∈N*)．注：an＝dn＋a1－d，当公差d不等于零时，通项公式是关于n的一次式，一次项系数为公差，常数项为a1－d.(2)前n项和公式：Sn＝______________________＝__________________.ddda1－n，当公差d≠0时，前n项和公式是关于n的二次式，二次项系数为注：Sn＝n2＋22

2d数为a10.当d＝0时，Sn＝na1，此数列是常数列． 2

3．等差数列的性质

(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有_____________，特别地，当m＋n＝2p时，________.注：此性质常和前n项和Sn结合使用．

(2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，其公差是m2d.(3)等差数列的单调性：若公差d＞0，则数列为____；若d＜0，则数列为___；若d＝0，则数列为__

(4)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为__________．

(5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(6)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差为__________的等差数列． 基础自测1．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a11的值为__________．

11112．在数列{an}中，a1＝＝a10＝__________.2an＋1an

33．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__________.4．(2012福建高考改编)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为__________．

S1S5．(2012南京市高三第二次模拟考试)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若＝__________.S73S7

基础自测

1．7；2．－1 ；3．15 ； 4．2 ；

S315.解析：由S3＝3a2，S7＝7a4，由＝可得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，a3＝8d，a4＝9d，S73

S17从而S6＝3(a3＋a4)＝3×17d，S7＝7a4＝63d，则.S72

1思维拓展1．解决与等差数列有关问题有哪些常见的数学思想？

提示：(1)函数思想：在等差数列中an＝dn＋c(d，c为常数)，是关于n的一次函数(或常数函数)，Sn＝2An＋Bn(A，B为常数)是关于n的二次函数或一次函数．

(2)方程思想：准确分析a1，d，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”．

(3)整体思想：在应用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”时，要会用整体思想进行代换．

(4)类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比，关注它们之间的异同有助于全面掌握数列知识，也有利于类比思想的推广．

2．如何判断一个数列是等差数列？

提示：(1)定义法：an－an－1＝d(n≥2)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)；

(3)通项是n的一次函数：an＝An＋B；(4)前n项和是n的二次函数且常数项为0：Sn＝An2＋Bn.探究突破【探究突破一】等差数列的基本量的计算 【例1】 已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，bn＝an

(1)求公差d的值；(2)若a1＝－2，求数列{bn}中的最大项和最小项的值． 51＋a

解：(1)∵S4＝2S2＋4，Sn＝na1＋4×4－1nn－1，∴4a＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得公差d＝1.122

1＋an57111(2)∵a1＝－，∴an＝a1＋(n－1)d＝n－.∴bn＝＝1＋＝1＋.设f(x)＝1＋，22anan77n－x－22

7777－∞，和∞上单调递减，且x＜f(x)＜1；x＞时，f(x)＞1.∵f(x)分别在2222

∴f(3)＜f(2)＜f(1)＜1，即b3＜b2＜b1＜1，1＜f(n)≤f(4)(n≥4)，即1＜bn≤b4(n≥4)，b4＝3，b3＝－1.综上可得{bn}中最大项为b4＝3，最小项为b3＝－1.【方法提炼】首项a1和公差d是等差数列{an}的基本量，只要确定了a1和d，数列{an}就能确定．因此，通过列方程(组)求得a1和d是解决等差数列{an}基本运算的重要思想和方法．

【针对训练1】设递增等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝1，a4是a3和a7的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：在递增等差数列{an}中，设公差为d＞0，22a4＝a3×a7，a1＋3d＝1×a1＋6d，a1＝－3，∵∴解得 a＝1，a＋2d＝1，d＝2.31

n－3＋2n－52∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，Sn＝n－4n.2

故所求an＝2n－5(n∈N*)，Sn＝n2－4n(n∈N*)．

【探究突破二】等差数列的判断与证明

【例2】(2012陕西高考)设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．

(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

解：(1)设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证一：对任k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

＋＋＋＋2a11－qka11－qk2a11－qk1a12－qk2－qk1证二：对任k∈N＋，2Sk＝Sk＋2＋Sk＋1＝，1－q1－q1－q1－q

＋＋2a11－qka12－qk2－qk1aaqk2kk＋2k＋12Sk－(Sk＋2＋Sk＋1)＝－q)－(2－q－q)]＝q＋q－2)＝0，1－q1－q1－q1－q

因此，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．

【方法提炼】判断或证明数列{an}为等差数列时，首先考虑的是定义，即证an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)，其中d为常数；对于递推式，还可考虑利用等差中项，即证2an＋1＝an＋an＋2.【针对训练2】(2012江苏南京金陵中学高考数学预测卷)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.(1)求a3，a5；

(2)设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：数列{bn}是等差数列．

解：(1)由题意，令m＝2，n＝1，得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3，n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20.(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8，于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8，即bn＋1－bn＝8.所以{bn}是公差为8的等差数列．

【探究突破三】等差数列的性质

【例3】(1)在等差数列{an}中，已知a4＝9，a9＝－6，Sn＝63，求n；

(2)若一个等差数列的前3项和为34，后3项和为146，且所有项的和为390，求这个数列的项数．

9＝a1＋3d，a1＝18，解：(1)设首项为a1，公差为d，则得 －6＝a1＋8d，d＝－3，

3即63＝Sn＝18n－(n－1)，得n＝6或n＝7.2

(2)∵a1＋a2＋a3＝34，又an＋an－1＋an－2＝146，又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，∴两式相加得

na1＋an3(a1＋an)＝180，a1＋an＝60，由Sn＝390，得n＝13.2

【方法提炼】利用等差数列{an}的性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq”可以把an与Sn结合起来，这是解决等差数列问题的有效方法．

【针对训练3】(2012江苏徐州市高三第二次质量检测)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Sn7n＋45anTn，若＝，且是整数，则n的值为__________． Tnn＋3b2n

nn－1d2d解析：因为等差数列前n项和为Sn＝na1＝n＋a1－2n，22

所以可知等差数列前n项和是关于n的二次函数，且不含常数项．

S7n＋45因为，所以可设Sn＝kn(7n＋45)，Tn＝kn(n＋3)，其中k为常数． Tnn＋3

所以an＝Sn－Sn－1＝kn(7n＋45)－k(n－1)(7n＋38)＝k(14n＋38)，bn＝Tn－Tn－1＝kn(n＋3)－k(n－1)(n＋2)＝k(2n＋2)，则b2n＝k(4n＋2)，n＋16n＋16ak14n＋387n＋19a＝＝3＋是整数． b2nk4n＋2b2n2n＋12n＋12n＋1

a则2n＋1≤n＋16，即n≤15.所以n＝15时，4，为整数． b2n

【探究突破四】等差数列前n项和的最值

【例4】 已知等差数列{an}的前n项和Sn的最大值为S7，且|a7|＜|a8|，求使Sn＞0的n的最大值． 解：由S7值最大，可得a7≥0，a8＜0，由|a7|＜|a8|，得a7＜－a8，即a7＋a8＜0，故a1＋a14＝a7＋a8＜0.13a1＋a1314a1＋a14若a7＞0，则S13＝13a7＞0，S14＝0，即Sn＞0的最大正整数n＝13.22

12a1＋a12若a7＝0，则a6＞0，S13＝13a7＝0，S12＝＝6(a6＋a7)＝6a6＞0，即Sn＞0的最大正整数n＝12.2

综上所述，当a7≠0时，使Sn＞0的最大正整数n为13；当a7＝0时，使Sn＞0的最大正整数n为12.【方法提炼】

公差不为零的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最大值或最小值的项数n，代入前n项和公式求最值．

a【针对训练4】已知{an}为等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正a10

值时，n等于多少？

解：由已知得，{an}是首项为正，公差为负的递减等差数列，a由1，得a10＋a11＜0且a10＞0，a11＜0，a10

20a1＋a2020a10＋a11∴S20＝10(a10＋a11)＜0.而S19＝19a10＞0，22∴Sn取最小正值时n＝19

【考情分析】通过分析江苏卷近三年高考对等差数列的考查，该部分内容属必考内容，要求学生理解等差数列的概念，会用定义证明一个数列是等差数列；能利用等差中项、通项公式与前n项和公式列方程求值，能通过确定基本量或借助于等差数列的性质用整体代换的方法进行求值；要善于识别数列中的等差关系或转化为等差关系，并通过通项公式或前n项和公式解决相关的问题．题型有考查基本知识(通项、求和)的容易题，也有与其他知识(函数、不等式、解析几何等)相结合的综合题，一般为解答题．难度为中档题或较难题．

【迁移应用】

1.已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.kk－1解：a7－a5＝2d＝4，则d＝2.a1＝a11－10d＝21－20＝1，Sk＝k＋2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3.2

2.已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为________．

解析：由Sn－Sn－3＝51得，an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17，na＋a－又a2＝3，Sn＝＝100，解得n＝10.2

3.(2014·镇江月考)已知等差数列{an}中，a4＋a6＝10，前5项和S5＝5，则其公差为________．

a－a5－1解析：由a4＋a6＝10，得2a5＝10，所以a5＝5.由S5＝5a3＝5，得a3＝1，所以d＝＝2.22

4.(2013·南通二模)设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.解析：由条件可知，a2＝5，从而a1＋a3＝10，a1a3＝16，得a1＝2，a3＝8，公差为3，所以a11＋a12＋a13＝2×3＋(10＋11＋12)×3＝105.S1S5.(2013·南京二模)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝________.S73S7

S1解析：由S3＝3a2，S7＝7a4，得9a2＝7a4＝7(a2＋2d)，即a2＝7d，所以a3＝8d，a4＝9d，从而S6S73

17＝3(a3＋a4)＝51d，S7＝7a4＝63d21

6.设数列{an}是公差d<0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n＝________.解析：由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大．

17.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N*)． 2

(1)求证：数列S是等差数列．(2)求Sn和an.n

[解](1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1.由上式知若Sn－1≠0，则Sn≠0.∵S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)，11111由①式得－2(n≥2)．∴S是等差数列，其中首项为2，公差为2.SnSn－1S1a1n

11111(2)∵＋2(n－1)2(n－1)，∴Sn＝当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，SnS1a12n2nn－1

12，n＝1，1当n＝1时，a1＝S1＝不适合上式，∴an＝ 21－2nn－1n≥2.*8.各项均为正数的数列{an}满足a2n＝4Sn－2an－1(n∈N)，其中Sn为{an}的前n项和． {}1

(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式．

2解：(1)当n＝1时，a21＝4S1－2a1－1，即(a1－1)＝0，解得a1＝1.当n＝2时，a22＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1＝3＋2a2，解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．

2(2)a2n＝4Sn－2an－1，①an＋1＝4Sn＋1－2an＋1－1.②

2②－①得：a2n＋1－an＝4an＋1－2an＋1＋2an＝2(an＋1＋an)，即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．

∵数列{an}各项均为正数，∴an＋1＋an>0，an＋1－an＝2，∴数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列．∴an＝2n－1.

第三篇：学案：等差数列及和

等差数列及其前n项和

一．高考考纲

1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．

2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法． 二．基础知识 1．等差数列的定义

如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式

若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为。3．等差中项：如果，那么A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a*

n＝am＋()d(n，m∈N)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则(m，n，p，q∈N*)． 5．等差数列的前n项和公式

若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则 其前n项和公式为Sn＝.三．典型例题

【例1】(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．

【例2】：已知数列{a项和为SS1

n}的前nn且满足an＋2Sn·n－1＝0(n≥2)，a1＝2

.(1)求证：1

S是等差数列；(2)求an的表达式

n

【例3】设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n＞6)，求数列的项数n.四．巩固提高

1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．A．4B．5C．6D．7

2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()．A．31B．32C．33D．34

3．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．1B．9C．10D．55

4．(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()．A．13B．35C．49D．63

5．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．

第四篇：等差数列复习教案

等差数列

高考考点：

1.等差数列的通项公式与前n项和公式及应用；

2.等差数列的性质及应用.知识梳理:

1.等差数列的定义：

2.等差中项

3.通项公式

4.前n项和公式

5.等差数列的性质（基本的三条）

典型例题：

一.基本问题

例：在等差数列an中

（1）已知a1533，a45153，求a61

（2）已知S848，S12168，求a1和d

（3）已知a163，求S31

变式：（1）（2008陕西）已知an是等差数列，a1a24，a7a828，则该数列的前10项的和等于（）

A.64B.100C.110D.120

(2)(2008广东)记等差数列an的前n项和为Sn，若a1

A.16B.24C.36D.48 1，则S6（）S420，2

二.性质的应用

例：（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146。，且所有项的和为390，则这个数列有_____项

（2）已知数列an的前m项和是30，前2m项的和是100，则它的前3m项的和是______

（3）设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对于任意的nN，都有*Sn7n1，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比为________ Tn4n27

变式：（1）已知等差数列an中，a3，a15是方程x6x10的两根，则2

_a7a8a9a10a11_____

（2）已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且An5n63，则Bnn3使得

an为整数的正整数n的个数是________ bn

三.等差数列的判定

例：已知数列an的前n项和为Sn且满足an2Sn1Sn(n2)，a11

（1）求证：1是等差数列 Sn

（2）求an的表达式

变式：数列an中，a1

an1，an1，求其通项公式 2an1

四.综合应用

例：数列an中，a18，a42，且满足an22an1an，nN *

（1）求数列an的通项公式；

（2）当n为何值时，其前n项和Sn最大？求出最大值;

(3)设Sna1a2an，求Sn

变式：（08四川）设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值是_______

课后作业

1.（09年山东）在等差数列an中，a37，a5a26，则a6______

2.若xy，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，y 各自成等差数列，则

A.a2a1（）b2b12433B.C.D.3324

3.集合A1,2,3,4,5,6，从集合A中任选3个不同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有（）

A.4个B.6个C.10个D.12个

4.(09安徽)已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）

A.21B.20C.19D.18

5.（10浙江）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是___________

6.已知数列an中，a13,anan112an(n2,nN*)，数列bn满足5

bn1(nN*)an1

（1）.求证：数列bn是等差数列

（2）.求数列an中的最大项和最小项

第五篇：等差数列复习

6.2 等差数列

尊敬的各位评委、各位老师，大家好！我抽签的序号是14号，叫„„，来自高三年级，我说课的题目是“等差数列”复习课的第一课时，我将从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法学法分析以及教学设计五个方面来谈谈我对本节课课堂教学的理解。

一、教材分析

以教材为主，充分借助教辅资料进行复习。教材选自人民教育出版社出版的《全日制普通高级中学教科书数学必修5第二章》，教辅资料选自武汉出版社出版的《核按钮》第六章第二节。数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，是高考的重要考查内容之一。等差数列是在学生学习了数列的有关概念后，对数列的知识进一步深入和拓广，同时也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。它作为最基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象。多数为中低档题，也有难题。其中选择、填空题“小而巧”，主要以求an,Sn为主，考查运算求解能力、转化与化归、函数与方程等数学思想，注重通性通法的考查。解答题“大而全”，注重题目的综合性与新颖性，突出对逻辑思维能力的考查。

二、学情分析

高三的学生已经系统学习过等差数列，对等差数列的相关知识已有一定的认识和了解，但是不少学生在大量的整合复习中，有许多的知识点已经遗忘，尤其对于我所任教的班级是该年级最后层次的学生，还有大部分的学生在初学时根本没有掌握相关的内容，因此本节作为等差数列复习的第一课时，更加注重对基础知识的复习，将知识点与考点相结合，教学内容的设置上做到由简入难，在教学过程中注重引导、启发、探究，进一步促进学生思维能力的发展以及知识网络的建构。

三、教学目标分析

基于以上对教材和学情的认识，根据数学课程标准的有关概念以及考纲要求，考虑到学生已有的认识结构和心理特征，我确定了以下的三维教学目标：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观。

知识与技能：通过课前练习卷设置的作业以及以问题为媒介师生互动，引导学生加深对等差数列概念的理解，进一步剖析等差数列的判定方法，促使学生能够判定等差数列；通过对公式的分析和基本量的求解进一步掌握等差数列的通项公式、前n项和公式。

过程与方法：通过学生自主完成课前练习卷，培养学生发现问题，解决问题的能力；通过课堂考点的分析与反思，培养学生具有方程思想、转化与化归的思想；通过课堂小结以及课上小组讨论、回答问题，培养学生归纳总结和语言表达能力。

情感、态度与价值观：通过课前练习卷的完成，促使学生发现自己存在的问题，并分析解决问题，从而培养学生善于发现、分析的能力；通过课堂练习，体验高考题，并顺利解答，增强学生的自信心，树立良好的学习心态。

本节课的教学重点是理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项公式；能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。由于等差数列的判定方法有多种，学生难以用恰当的方法去证明或判断一个数列是否为等差数列，所以教学难点就自然落在等差数列的判定上。

四、教法学法分析

为了突出重点，突破难点，抓住关键，使学生达到本节课的教学目标，我再从教法和学法上谈谈我的设计思路。

教法分析：作为复习课由于涉及的知识点比较多课堂容量比较大，教法上我主要以讲授式为主并结合任务驱动式（课前要求学生完成练习卷，了解本节课的学习提纲，课堂学习具有目的性，让学生在完成“任务”的过程中，培养分析问题、解决问题的能力）等多种教学方法进行教学，引导学生在学习过程中主动建构知识网络；其次在教学中采用多媒体，可以极大提高学生的学习兴趣，强化学生感观的刺激，加大课堂的信息容量，使教学目标更加完美的体现。

学法分析：学法上采用自主、合作、探究法，增强学生学习的积极主动性和课堂融入性；其次通过对变式的练习，达到举一反三，加深对知识的掌握与理解，使学法得到迁移。

五、教学设计

下面我对第五部分的教学设计进行详细展开：我的整个教学过程分为六个部分：考纲解读、考点梳理、典例分析、高考链接、要点扫描、作业。

（一）考纲解读 首先是介绍课标以及考纲中对等差数列的要求，为我们的复习提供指南，促使学生在复习中具有目的性，并了解自己的薄弱环节，加强应对措施。

（二）考点梳理与典例结合 为了避免大量的知识点复习造成学生学习的疲惫感，提高学习效率，在具体的操作中，我将考点梳理与典例结合进行教学。以典例类型作为知识点引导的线索，并立即将知识点应用于典例，更加符合学生学习的特点，有利于学生对知识的掌握。鉴于学生的接受能力，本节课主要解决两种典型例题。

类型一：等差数列基本量的计算

主要涉及到以下几个知识点：等差数列的定义、等差数列的通项公式、等差中项以及等差数列的前n项和公式。

首先是等差数列的定义，通过填空以及着重号的形式加强学生对概念关键点的认识，强化概念本质的掌握；有了定义，自然而然就引导学生思考回忆，如何通过定义给出的通项公式，教师适时展示通项公式的推导过程“累加法”（这是该章节中一种重要的方法，为后续的学习做铺垫），并引导学生分析公式的特点，进一步得到其推广公式，为了加强对公式的理解和应用，设置比较简单的口答练习，通过练习进一步总结公式的变形有哪些。

等差中项的引入是对特殊的等差数列的进一步深化认识，为后续的三个数成等差数列的设法以及等差中项法判断数列为等差数列作铺垫，起着承前启后的作用。

最后是前n项和公式，引导学生分析公式的特点，展示公式的推导过程，指出“倒序相加法”是一种重要的求和方法，并及时通过比较简单的口答练习，熟悉公式。

例1及练习的设置主要是为了加强学生对公式的掌握和灵活应用，通过反思归纳加深对“等差数列基本量的计算”这类题型解答的认识和体会。

1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的_____都等于同一个______，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。简记为：____________=d或____________=d。

2.等差数列的通项公式：若an是等差数列，则其通项公式为：____________，其推导方法是____________，推广：anam_______。

练习：在等差数列an中，（1）已知a12,d1,求an；（2）已知a1015,a1510，求d。

3.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时A叫做a与b的__________，可用式子A=___________表示。

推广：若an是等差数列，则an,an1,an2满足的关系式：_________ 4.等差数列的前n项和公式：Sn __________=__________，推导方法是__________ 练习：在等差数列an中，（1）（2）已知Sn120，a13,d2，已知a15,a1535,求S15;求n。

例1 在等差数列an中，（1）已知a1533,a45153，求an；

（2）已知a610,S55，求Sn；

（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d0，求a1 思考：通过上述例题的解答，给你怎样的启发？

练一练：已知等差数列an满足：a37,a5a726，an的前n项和为Sn，求an及Sn。

类型二：等差数列的判定与证明

通过设置问题“一个数列是等差数列才能用上述的通项公式、求和公式，以及相关性质解题，使问题简化，那么怎样的数列才是等差数列呢？如何判断一个数列是否为等差数列？”，引导学生思考等差数列的判定方法，主要有四种：定义法、等差中项法、通项公式法以及前n项和公式法。其中前两种方法学生比较容易理解，为了加深对后两种方法的理解，引导学生分析这个等价条件的互推过程，比如an是等差数列，则它的通项公式通过变形可以整理成关于n的降幂形式，即anpnq的形式，然后再展示由公式推导出该数列为等差数列的证明过程，帮助学生理解。

例2主要是为了检验学生对知识点的掌握情况，通过例题的讲解，熟悉利用定义法证明或判定一个数列为等差数列的解题步骤，加深对等差数列通项公式的认识，指出四种方法的使用情况，强调在证明中通常采用定义法和等差中项法。学生会使用求和公式Snn(a1an)，但是却没有去证明过它对应的数列是2等差数列，因此设置了探究题，该题视课堂教学的实际情况进行教学，若时间有限则作为课后探究题完成，有一定难度。

（1）定义法：an1and(常数)(nN) an是等差数列；

（2）等差中项法：2an1anan2(nN) an是等差数列；

（3）通项公式法：anpnq(p,q为常数)(nN) an是等差数列；

其中p=________，q=________。

（4）前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数)(nN)an是等差数列。

其中A=________，B=________。

例2 已知数列an的通项公式为anpn2qn(p,qR,且p,q为常数)。

（1）当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？

（2）求证：对任意实数p和q，数列an1an是等差数列。

说明：这四种方法都可以判断一个数列是否为等差数列，但是证明一个数列是等差数列只能用前两种方法，做客观题时可用后两种方法判断数列是否为等差数列。探究： 设数列an的前n项和为Sn，若对于所有的正整数n，都有Snn(a1an)，证明2an是等差数列。

（三）课堂练习——高考链接

通过练习可以反馈学生对知识点的掌握情况，其中1、2题是对公式的应用，加强学生对公式的理解与掌握；第3题则是利用等差中项判定数列是否为等差数列，检验学生是否理解这类方法的本质，考查学生分析问题、解决问题的能力；

4、5题是基于教辅资料中没有设置利用通项公式法、前n项和公式法判断数列为等差数列，并借助性质求解的题，因而通过4、5题使学生体会借助公式法解题的简便与快捷。第6题一是考查通项公式法判断数列为等差数列，二是为下节课学习等差数列的前n项的绝对值之和做铺垫。

1、（2013·贵州六校联考）等差数列an的前n项和为Sn，已知a58,S36，则a9

（）

A.8

B.12

C.16

D.24

2、（2013·德阳二诊）在等差数列an中，若a1a44,a2a75，则a11a14________。

2223、已知正项数列an中，a11,a22,2anan1an1(n2)，则a6________。

4、已知数列an的前n项和为Snn22n(nN),则a8a5________。

5、已知数列an的通项公式为an3n1，则S10________。

6、（2013·河南三市第二次调研）设数列an的通项公式为an2n10，则a1a2a3a15________。

（四）课堂小结——要点扫描

列出提纲，引导学生回顾本节课所学的知识，要求学生能够用自己的语言，总结心得体会，以及每个知识点中的关键点和注意事项。

一个定义： 两个公式： 四种判定方法： 一种思想：

（五）作业布置

本节课所布置的作业有两类题：基础自测与课时作业主要是为了巩固学生对知识点的理解和掌握，加强对公式的使用，属于基础题，难度不大。合作探究题既是对课堂练习6的延伸，又为下节课的教学做铺垫，能够加强学生之间的合作交流，激发学生学习的兴趣。

核按钮基础自测，课时作业1，2，5，6，7 合作探究：课时作业11题