培优专题：如何做几何证明题(2014.3.1)

第一篇：培优专题：如何做几何证明题(2014.3.1)

培优专题：如何做几何证明题（2014.3.1）

【知识精读】

1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。【分类解析】

1、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

归纳总结：

（1）证明两条线段相等的方法有：（2）证明两个角相等的方法有：

例1.已知：如图1所示，⊿ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD=BD,AE=CF。求证：DE＝DF

例2.已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F

E

B

图1

F

图22、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于

90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3.如图3所示，设BP、CQ是⊿ABC的内角平分线，AH、AK 分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC

P

图3

分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。

例4.已知：如图1所示，⊿ABC中，∠C=90°，AC=BC,AD=BD,AE=CF。求证：FD⊥ED（两种方法）

F F

B

D

图5

E

B

图

13、证明一线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）例5.已知：如图6所示在⊿ABC中，∠B=60°，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

求证：AC＝AE＋CD

D

图6

C

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

例6.已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，∠EAF=45°。

求证：EF＝BE＋DF4、中考题：

如图8所示，已知⊿ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。求证：EC＝ED

题型展示：

证明几何不等式：

例题：已知：如图9所示，∠1=∠2，AB﹥AC。求证： BD﹥DC

【实战模拟】

1.已知：如图11所示，⊿ABC中，∠C=90°，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC=AD=CE。

求证：DE=CD

D F

E 图7

C

图8

C D

图9

D

C

图10

C

图1

12.已知：如图12所示，在⊿ABC中，∠A=2∠B，CD是∠C的平分线。求证：BC＝AC＋AD

A

图12

C

3.已知：如图13所示，过⊿ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP＝MQ

C

4.ABC中，BAC90，ADBC于D，求证：AD

A

M 图13

ABACBC 4

第二篇：培优专题：如何做几何证明题教案(2014.3.1)

培优专题：如何做几何证明题教案（2014.3.1）

【知识精读】

1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

【分类解析】

1、证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1.已知：如图1所示，ABC中，C90，ACBC，ADDB，AECF。求证：DE＝DF分析：由ABC是等腰直角三角形可知，AB45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CDAD，DCF45。从而不难发现DCFDAE

证明：连结CD A ADECDF

DEDF

EB

图1 ACBCABACB90，ADDBF

CDBDAD，DCBBA

AECF，ADCB，ADCD

说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。

例2.已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F 图2说明：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。

2、证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。

例3.如图3，设BP、CQ是ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。求证：KH∥BC分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M∵BH平分∠ABC∠ABH∠NBH又BH⊥AH

P 图3

ABHNBH(ASA)BABN，AHHN

同理，CA＝CM，AK＝KMKH是AMN的中位线

∠AHB∠NHB90KH//MNBH＝BH

即KH//BC

说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。

例4.已知：如图4所示，AB＝AC，∠A90，AEBF，BDDC。求证：FD⊥ED

证明一：连结AD

AEBF，∠B∠DAE，ADBDADEBDF

ABAC，BDDC

E

B

图1

∠1∠290，∠DAE∠DAB31∠BAC90，BDDC 3290

BDAD

∠B∠DAB∠DAE

在ADE和BDF中，FDED

F

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM

BDDC

F

B

D

图5

BDMCDE

CEBM，CCBM BM//AC 

BDMCDE，DMDE

说明：证明两直线垂直的方法如下：

 A90（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，ABM90A见本题证二。

ABAC，BF（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。

（3）证明二直线的夹角等于90°。AFCEBM3、证明一线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）例5.已知：如图6所示在ABC中，B60，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。

B

求证：AC＝AE＋CD

分析：在AC上截取AF＝AE。易知AEOAFO，D

图6

C

12。由B60，知5660，160，23120。

123460，得：FOCDOC，FCDC

证明：在AC上截取AF＝AE

5660160

即ACAECD

BADCAD，AOAO

AEOAFOSAS

23120

123460FOCDOC(AAS)FCDC

42

又B60

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

例6.已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，EAF45。求证：EF＝BE＋DF分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。

D

证明：延长CB至G，使BG＝DF

在正方形ABCD中，ABGD90，ABADABGADF(SAS)

2145

AGAF，13即∠GAE＝∠FAE又EAF45

4、中考题：

F

2345

GEEFEFBEDF

E 图7

C

如图8所示，已知ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。

求证：EC＝ED

证明：作DF//AC交BE于FABC是正三角形BFD是正三角形又AE＝BD

即EF＝AC

图8

C

D

AEFDBFBAAFEF

题型展示：

证明几何不等式：例题：已知：如图9所示，12，ABAC。求证：BDDC

证明一：延长AC到E，使AE＝AB在ADE和ADB中，图9

D

C

证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF

图10

C

AEAB，21，ADAD则易证ADFADC ADEADB

34，DFDC

BDDE，EB

BFD3，4BDCEB

BFDB

DCEEBDDFDEDC，BDDCBDDC

【实战模拟】

1.已知：如图11所示，ABC中，C90，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有

ACADCE。求证：DE

证明：取CD的中点F，连结AF

又1490，1390 1

CD 2

43

图11 ACCE

ACFCED(ASA)CFED

ACAD

AFCD

DECD

2.已知：如图12所示，在ABC中，A2B，CD是∠C的平分线。求证：BC＝AC＋AD

分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。证明：延长CA至E，使CE＝CB，连结ED在CBD和CED中，又BACADEE

A

AFCCDE90

CBCE

ADEE，ADAEBCDECD

BCCEACAEACCDCD



CBDCED

图12

A

BE

C

BAC2B

BAC2E

3.已知：如图13所示，过 ABC的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP＝MQ 4.ABC中，BAC90，ADBC于D，求证：AD

ABACBC 4

M 图13

C

第三篇：几何证明题

几何证明题

1.在三角形ABC中,BD,CE是边AC,AB上的中点,BD与CE相交于点O,BO与OD的长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O?为什么?

答题要求:请写出详细的证明过程，越详细越好.ED平行且等于1/2BC

取MN为BO,OC中点

则MN平行且等于1/2BC

得到ED平行且等于MN，则EDNM是平行四边形

则OD=OM,又M为BO中点，显然BO=2OD

一定过

假设BC中线不经过O点，而与BD交与O'

同理可证AO'=2O'G

再可由平行四边形定理得到O与O'重合所以必过O点

2.在直角梯形ABCD中，角B=角C=90度，AB=BC，M为BC边上一点。且角DMC=45度

求证：AD=AM

(1)几何证明题,首先画图

哎没图不好说啊

就空说吧你在纸上画图

先看已知条件,从已知条件得出直观的结论.因为M是BC边上一点,在三角形DMC中,角DMC=45度,角MCD=角C=90度,可以知道角MDC=45度,则三角形DMC是个等腰直角三角形,MC=CD.又AB=BC,M是BC边上一点,MC长度小于BC,所以知道这个直角梯形是以CD为上底,AB为下底,图形先画对

接下来求证

要证AD=AM,从已知条件中得知,MC=CD,则作一条辅助线就可得证

连接AC

∵AB=BC,角B=90度∴三角形ABC是个等腰直角三角形

∴角BCA=45度

∴角DCA=角BCD-角BCA=45度=角BCA

所以三角形AMC≌三角形ADC(MC=CD,角DCA=角BCA,AC=AC——边角边)

所以AD=AM得证

(2)

延长CD至F点~CF=AB连接AF~~因AB=BC~SO~ABCF是正方形~剩下的就容易了~只要证AFD~和ABM~是一样的3角形就OK了~~哎~快10年没碰几何了~那些专业点的词我都忘了~这题应该是这样吧~不知道有没错

回答者：fenixkingyu-试用期一级2007-8-719:23

上楼的有两处错误:

1.描述错误,ABCF不是四边形,ABFC才是.2.按照条件并不能证明ABFC是正方形.注意:要证明四边形是正方形,必须证明2个问题:

1.该四边形是矩形;2.该四边形是菱形。

(3)

把图画出来就好解了。我是按自己画的图解的，楼主画梯形下面是BA，上面是CD，然后在按我的文字添加辅助线就行了，度那个圆圈打不出来，我就没写了。

证明：连接MD，AM，连接AC并交MD于E

因为角DMC=45，角C=90

所以三角形MCD为等边直角三角形，既角CDM=45

又角B=90AB=BC

所以角CAB=45

由梯形上下两边平行，则内对角相加为180度

因角CAB角DMB=45+45=90

所以角EDA角DAE=90

既AC垂直于MD

在等腰直角三角形CDM中则有ME=ED，且AC垂直于MD

所以AE是三角形AMD的中垂线

既AD=AM(等腰三角形的法则)。

第四篇：几何证明题

几何证明题集（七年级下册）

姓名：_________班级：_______

一、互补”。

E

D

二、证明下列各题：

1、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求证：DB//EC.E D

3ACB2、如图，已知AD//BC，∠1=∠B，求证：AB//DE.AD BCE3、如图，已知∠1+∠2=1800，求证：∠3=∠4.EC

A1 O

4B

D F4、如图，已知DF//AC，∠C=∠D,求证：∠AMB=∠ENF.E DF

N

M

AC B5、如图，在三角形ABC中，D、E、F分别为AB、AC、BC上的点且DE//BC、EF//AB，求证：∠ADE=∠EFC.C

EF

AB D6、如图，已知EC、FD与直A线AB交于C、D两点且∠1=∠2，1求证：CE//DF.CE

FD

2B7、如图，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分别是∠ABC和∠ADC的平分线，AB//CD，求证：DE//BF.FDC

A E8、如图，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED.B

F

ED

AC9、如图,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求证: ∠AEB=∠F.CFBDE10、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：DG//AB.A

EGBCDF11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一点，GE⊥BC于E，GE的延长线与BA的延长线交于F，∠BAD=∠CAD，求证：∠AGF=∠F.F

A

G

BCDE12、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求证：CE//DF.F

E 4G1AD 5 2B13、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B+∠D.A

CBED14、如上图，已知∠BCD=∠B+∠D，求证：AB//CD.15、如图，AB//CD，求证：∠BCD=∠B-∠D.BA

ED

C16、如上图，已知∠BCD=∠B-∠D，求证：AB//CD.17、如图，AB//CD，求证：∠B+∠D+∠BED=3600.BA

E

DC18、如上图，已知∠B+∠D+∠BED=3600，求证：AB//CD.

第五篇：如何解几何证明题(培优辅差)

如何做几何证明题（平行四边形一章为例）

【知识梳理】

1、掌握基础知识

平行四边形性质：边：角：

对角线：；；；角：；对角线：。矩形性质：边：角：对角线：；；对角线：；

菱形性质：边：角：对角线：；；；

正方形性质：边：角：对角线：

2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

1、(2013·深圳中考)如图，F,C是线段AD上的两点，AB∥DE，BC∥EF，AF=DC，连接AE、BD，求证：四边形ABDE是平行四边形.2、（2013鞍山）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．

3、（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

4.已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交

AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形.C

5.已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.C

B

6.如图，已知点E，C在线段BF上，BEECCF，AB∥DE，ACBF．（1）求证：△ABC≌△DEF；

A

D

（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．B

C7、(2013·日照中考)如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连接AC,CE，使AB=AC.(1)求证：△BAD≌△ACE.(2)若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.8.(2013·青岛中考)已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别

是边AD，BC的中点，E，F 分别是线段BM，CM的中点.(1)求证：△ABM≌△DCM.(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论.(3)当AD∶AB=______时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明).