第一篇：数据分析与建模,实验报告,实验四,最优化模型建模分析
学生学号
实验课成绩
学 学 生 实 验 报 告 书
实验课程名称 数据分析与建模 开 开 课 学 院 管理学院 指导教师姓名 鄢 丹 学 学 生 姓 名
学生专业班级
2018 —2019 学年
第1
学期实验报告填写说明
1． 综合性、设计性实验必须填写实验报告，验证、演示性实验可不写实验报告。
2． 实验报告书 必须按统一格式制作（实验中心网站有下载）。
3． 老师在指导学生实验时，必须按实验大纲的要求，逐项完成各项实验；实验报告书中的实验课程名称和实验项目 必须与实验指导书一致。
4． 每项实验依据其实验内容的多少，可安排在一个或多个时间段内完成，但每项实验只须填写一份实验报告。
5． 每份实验报告教师都应该有签名、评分表及实验报告成绩。
6． 教师应及时评阅学生的实验报告并给出各实验项目成绩，完整保存实验报告。在完成所有实验项目后，教师应按学生姓名将批改好的各实验项目实验报告装订成册，构成该实验课程总报告，按班级交到实验中心，每个班级实验报告袋中附带一份实验指导书及班级实验课程成绩表。
7． 实验报告封面信息需填写完整，并给出实验环节的成绩，实验环节成绩按其类型采取百分制或优、良、中、及格和不及格五级评定（与课程总成绩一致），并记入课程总成绩中。
实验课程名称：_ 数据分析与建模__
实验项目名称 实验四 最优化模型的建模分析 实验 成绩
实 实 验 者
专业班级
组 组
别 无 无 同 同 组 者 无 无 实验日期 2018 年 年 10 月 月 18 日 第一部分：实验预习报告（包括实验目的、意义，实验基本原理与方法，主要仪器设备及耗材，实验方案与技术路线等）
一、实验目的、意义 本实验旨在通过资料查阅和上机实验，使学生熟悉和掌握最优化模型的分析方法和理论，掌握数据分析工具 Mathematica，培养和提高数据分析的能力。
二、实验基本原理与方法 最优化模型的分析方法，数据分析工具 Mathematica 的使用方法，以及帮助指南文档等。
三、实验内容及要求 最优化模型的建模分析，写出求解过程及分析结论。、彩电生产问题的最优化分析 一家彩电制造商计划推出两种新产品：一种 19 英寸液晶平板电视机，制造商建议零售价为339 美元；另一种 21 英寸液晶平板电视机，零售价为 399 美元。公司付出的成本为 19 英寸彩电每台 195 美元，21 英寸彩电每台 225 美元；还要加上 400000 美元的固定成本。在竞争的销售市场中，每年售出的彩电数量会影响彩电的平均售价。据估计，对每种类型的彩电，每多售出一台，平均销售价格会下降 1 美分。而且 19 英寸彩电的销售会影响 21 英寸彩电的销售，反之亦然。据估计，每售出一台 21 英寸彩电，19 英寸彩电的平均售价会下降 0.3 美分，而每售出一台 19 英寸彩电，21 英寸彩电的平均售价会下降 0.4 美分。
（1）每种彩电应该各生产多少台，每种彩电的平均售价是多少？（2）最大的盈利利润是多少，利润率是多少？
2、彩电生产的关税 问题分析 仍然是上述的无约束的彩电问题。由于公司的装配厂在海外，所以美国政府要对每台电视机征收 25 美元的关税。
（1）将关税考虑进去，求最优生产量。这笔关税会使公司有多少花费？在这笔花费中，有多少是直接付给政府，又有多少是销售额的损失？（2）为了避免关税，公司是否应该将生产企业重新定址在美国本土上？假设海外的工厂可以按每年 200000 美元的价格出租给另一家制造公司，在美国国内建设一个新工厂并使其运转起来每年需要花费 550000 美元。这里建筑费用按新厂的预期使用年限分期偿还。
（3）征收关税的目的是为了促使制造公司美国国内建厂。能够使公司愿意在国内重新建厂的最低关税额是多少？（4）将关税定得足够高，使公司要重建工厂。讨论生产量和利润关于关税的灵敏性。说明实际关税额的重要性。
提示：Mathematica 中的命令，Solve，D，ReplaceAll(/.)，等合。可结合 Excel。
进行列表分析。
3、、写出简短程序，绘制特殊图形 在 Mathematica 中分别绘制以下五类基本初等函数，依次为：
（1）幂函数：y=x μ
（μ∈R 是常数）；（2）指数函数：y=a x
（a>0，且 a≠1）；（3）对数函数：y=log a x
（a>0 且 a≠1，特别当 a=e 时，记为 y=lnx）；（4）三角函数：如 y=sin x，y=cos x，y=tan x 等；（5）反三角函数：如 y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x 等。
四、实验方案或技术路线（只针对综合型和设计型实验）
按照实验任务要求，理论结合实际的实验方案，巩固课程内容，温故知新，查遗补漏，夯实理论基础，提升实验动手能力。
技术路线是，从整体规划，分步骤实施，实验全面总结。
第二部分：实验过程记录（可加页）（包括实验原始数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）、彩电生产问题的最优化分析（1）求解过程：本题采用五步法求解。
【第一步：提出问题】
首先，列出变量表，写出这些变量间的关系和所做的其他假设。比如，有的要求取值非负。然后，采用引入的符号，将问题用数学公式表达。
第一步的结果归纳如下：
变量：
s = 19 英寸彩电的售出数量（每年）
t = 21 英寸彩电的售出数量（每年）
p = 19 英寸彩电的销售价格（美元）
q = 21 英寸彩电的销售价格（美元）
C = 生产彩电的成本（美元/年）
R = 彩电销售的收入（美元/年）
P = 彩电销售的利润（美元/年）
假设：
p = 339 – 0.01s – 0.003t q = 399 – 0.004s – 0.01t R = p*s + q*t C= 400 000 + 195s +225t P = R – C s≥0, t≥0
目标：求 P 的最大值 【第二步：选择建模方法】
本题的彩电问题属于无约束的多变量最优化问题，这类问题通常用多元微积分来解决。
【第三步：推导模型的表达式】
P = R – C = p*s + q*t –(400 000 + 195s +225t)
=(339 – 0.01s – 0.003t)*s +(399 – 0.004s – 0.01t)*t –(400 000 + 195s +225t)
此处我令 y = P 作为求最大值的目标变量，x1 = s, x2 = t 作为决策变量。
故原问题可化为：
在区域 S = {(x1, x2): x1≥0, x2≥0 }上对：
y = f(x1, x2)=(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)求最大值。
【第四步：求解模型】
利用第二步选择的微积分的方法来求解。
a.首先，用 Mathematica 绘出函数 f 的三维图像。
绘制二元函数 3D 图形的命令：Plot3D[函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项]
图 1 函数 f 的三维图像 由上图可知，f 是一个抛物面，且 f 在 S 内部达到最大值。
b.然后，再用 Mathematica 绘出函数 f 的等高线图。
绘制二元函数等高线图的命令：
ContourPlot[函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项]
图 2 函数 f 的等高线图
由上图可以估计，f 的最大值出现在 x1 = 5000，x2 = 7000 附近。
c.利用 Mathematica 分别求出函数 f 关于 x1，x2 的偏导数。
d.函数 f 是一个抛物面，欲求得其最高点，只需令 x1 和 x2 的偏导数同时为 0，建立方程组求解即可。该方程组可利用 Mathematica 的 Solve 函数求解，解得：
x1 = 4735.04≈4735 , x2 = 7042.74≈7043 e.将求得的 x1, x2 的值代入函数 f 的表达式：
f(x1, x2)=(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)即可求得 f 的最大值。求得 f 的最大值 = 553641
其中，c、d、e 应用 Mathematica 求解的运行结果如下图所示：
图 3 应用 Mathematica 求解 f.求解其他变量：英寸彩电的平均售价：p = 339 – 0.01*x1 – 0.003*x2 = 270.52（美元）英寸彩电的平均售价：q = 399 – 0.004*x1 – 0.01*x2 = 309.63（美元）
生产彩电的总成本：C= 400 000 + 195*x1 +225*x2 = 2908000（美元/年）
利润率 = 利润/总成本 = 553641/2908000 = 19%
【第五步：回答问题】
这家公司可以通过生产 4735 台 19 英寸彩电和 7043 台 21 英寸彩电来获得最大利润，每年获得的净利润为 553641 美元。每台 19 英寸彩电的平均售价为 270.52 美元，每台 21 英寸彩电的平均售价为 309.63 美元。生产总支出为 2908000 美元，相应的利润率为 19%。
（2）分析结论：
这些结果显示出这是有利可图的，因此建议这家公司应该实行推行新产品的计划。
注意：以上得到的结论是以彩电问题的第一步中所做的假设为基础的。实际中，在向公司报告结论之前，应该对彩电市场和生产过程所做的假设进行灵敏性分析，以保证结果具有稳健性。
2、彩电生产的关税问题分析（1）将关税考虑进去，求最优生产量。这笔关税会使公司有多少花费？在这笔花费中，有多少是直接付给政府，又有多少是销售额的损失？ 本题依旧采用五步法求解。
【第一步：提出问题】
首先，列出变量表，写出这些变量间的关系和所做的其他假设。然后，采用引入的符号，将问题用数学公式表达。
在前面所述无约束彩电问题的基础上，增加以下变量和假设：
变量：
k = 支付的关税总额（美元/年）
W = 关税后的总利润（美元/年）
假设：
k = 25*(s + t)W = P – k
目标：求 W 的最大值 【第二步：选择建模方法】
本题的彩电问题属于无约束的多变量最优化问题，这类问题通常用多元微积分来解决。
【第三步：推导模型的表达式】
W = P – k
=(339 – 0.01s – 0.003t)*s +(399 – 0.004s – 0.01t)*t –(400 000 + 195s +225t)– 25*(s + t)此处我令 y = W 作为求最大值的目标变量，x1 = s, x2 = t 作为决策变量。
故原问题可化为：
在区域 S = {(x1, x2): x1≥0, x2≥0 }上对：
y = w(x1, x2)=(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)– 25*(x1 + x2)求最大值。
【第四步：求解模型】
利用第二步选择的微积分的方法来求解。
a.首先，用 Mathematica 绘出函数 w 的三维图像。
绘制二元函数 3D 图形的命令：
Plot3D[函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项]
图 4 函数 w 的三维图像 由上图可知，w 是一个抛物面，且 w 在 S 内部达到最大值。
b.然后，再用 Mathematica 绘出函数 w 的等高线图。
绘制二元函数等高线图的命令：
ContourPlot [函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项]
图 5 函数 w 的等高线图 由上图可以估计，w 的最大值出现在 x1 = 4000，x2 = 6000 附近。
c.利用 Mathematica 分别求出函数 w 关于 x1，x2 的偏导数。
d.函数 w 是一个抛物面，欲求得其最高点，只需令 x1 和 x2 的偏导数同时为 0，建立方程组求解即可。该方程组可利用 Mathematica 的 Solve 函数求解，解得：
x1 = 3809.12≈3809 , x2 = 6116.81≈6117
e.将求得的 x1, x2 的值代入函数 w 的表达式：
w(x1, x2)=(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)– 25*(x1 + x2)即可求得 w 的最大值。求得 w 的最大值 = 282345
其中，c、d、e 应用 Mathematica 求解的运行结果如下图所示：
图 6 应用 Mathematica 求解 f.求解其他变量：
关税总花费：k = 25*(x1 + x2)= 248148（美元/年）
总利润减少额 = 553641 – 282345 = 271296（美元/年）
考虑关税后销售额的损失额 = 271296 – 248148 = 23148（美元/年）
【第五步：回答问题】
考虑关税后，这家公司可以通过生产 3809 台 19 英寸彩电和 6117 台 21 英寸彩电来获得最大利润，每年获得的最大净利润为 282345 美元。
这笔关税会使公司每年多花费 271296 美元。在这笔花费中，有 248148 美元是直接付给政府的，其余 23148 美元是销售额上的损失。
（2）为了避免关税，公司是否应该将生产企业重新定址在美国本土上？假设海外的工厂可以按每年 200000 美元的价格出租给另一家制造公司，在美国国内建设一个新工厂并使其运转起来每10
年需要花费 550000 美元。这里建筑费用按新厂的预期使用年限分期偿还。
【分析问题】
当公司将生产企业重新定址在美国本土后：
生产成本增加额 = 550000 – 200000 = 350000（美元/年）
考虑关税后：
总利润减少额 = 553641 – 282345 = 271296（美元/年）
【回答问题】
由计算可知：在考虑关税的情况下，当公司将生产企业重新定址在美国本土后，每年的生产成本增加额 350000 美元 大于 总利润减少额 271296 美元。所以公司不应该将生产企业重新定址在美国本土上。
（3）征收关税的目的是为了促使制造公司美国国内建厂。能够使公司愿意在国内重新建厂的最低关税额是多少？ 保留前面所设的变量和所做的假设。
假设政府对每台电视机征收 x 美元的关税。
则关税后的总利润 W =(339 – 0.01s – 0.003t)*s +(399 – 0.004s – 0.01t)*t –(400 000 + 195s +225t)– x*(s + t)分析：当且仅当国内建厂成本小于等于关税前后总利润的减少额，才能够使公司愿意在国内重新建厂。即 350000 ≤ 553641 – W(max)，化简可得：W(max)≤203641
即 x ≥ [(339 – 0.01s – 0.003t)*s +(399 – 0.004s – 0.01t)*t –(400 000 + 195s +225t)– 203641]/(s + t)此处我令 y = [(339 – 0.01s – 0.003t)*s +(399 – 0.004s – 0.01t)*t –(400 000 + 195s +225t)– 203641]/(s + t)作为求最大值的目标变量，x1 = s, x2 = t 作为决策变量。
故原问题可化为：
在区域 S = {(x1, x2): x1≥0, x2≥0 }上对：
y = m(x1, x2)= [(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)– 203641]/(x1 + x2)求最大值。
再令 x ≥ m(x1, x2)的最大值 即为所求。
【求解模型】
利用微积分的方法来求解。
a.首先，用 Mathematica 绘出函数 m 的三维图像。
绘制二元函数 3D 图形的命令：
Plot3D[函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项]
图 7 函数 w 的三维图像 由上图可知，m 是一个抛物面，且 m 在 S 内部达到最大值。
b.然后，再用 Mathematica 绘出函数 m 的等高线图。
绘制二元函数等高线图的命令：
ContourPlot [函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项]
图 8 函数 m 的等高线图 由上图可以估计，m 的最大值出现在 x1 = 3500，x2 = 6000 附近。
c.利用 Mathematica 分别求出函数 m 关于 x1，x2 的偏导数。
d.函数 m 是一个抛物面，欲求得其最高点，只需令 x1 和 x2 的偏导数同时为 0，建立方
程组求解即可。该方程组可利用 Mathematica 的 Solve 函数求解，解得：
x1 = 3506.2≈3506 , x2 = 5813.89≈5814
e.将求得的 x1, x2 的值代入函数 m 的表达式：
m(x1, x2)= [(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)– 203641]/(x1 + x2)即可求得 m 的最大值。求得 m 的最大值≈33 其中，c、d、e 应用 Mathematica 求解的运行结果如下图所示：
图 9 应用 Mathematica 求解 f.求解其他变量：
故 x≥33 【回答问题】
为了促使公司愿意在国内重新建厂，政府可收取的最低关税额是 33 美元。
（4）将关税定得足够高，使公司要重建工厂。讨论生产量和利润关于关税的灵敏性。说明实际关税额的重要性。
设每台彩电的关税额为 x 美元，每年 19 英寸彩电和 21 英寸彩电的生产量分别为 x1, x2 台，每年净利润为 w 美元。
1）生产量 x1, x2 关于关税 x 的灵敏性 a.粗分析 现在假设关税 x 的实际值是不同的，对几个不同的 x 值，重复前面的求解过程, 可以得到对生产量 x1, x2 关于 x 的敏感程度的一些数据。
即给定 x，对 y = w(x1, x2)=(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)– x*(x1 + x2)分别求出函数 w 关于 x1，x2 的偏导数，再令 x1 和x2 的偏导数同时为 0，建立方程组求解。
可得相应 x1 = 4735.04-37.037 x , x2 = 7042.74-37.037 x
图 10 用 x 来表示 x1 和 x2 用 Excel 绘出生产量 x1, x2 关于关税 x 的散点图。
图 11 生产量 x1, x2 关于关税 x 的散点图 由上述图表可以看到生产量 x1, x2 对关税 x 是很敏感的。即如果给定不同的关税，则生产量 x1, x2 将会有明显变化。甚至从理论上分析，当 x 足够大时，x1, x2 的取值会变为负数。因此，x 的取值要合适、合理，所做的分析才有意义。
b.生产量 x1, x2 关于关税 x 的灵敏性的系统分析 前面已计算出，使偏导数同时为零的点为 x1 = 4735.04-37.037 x , x2 = 7042.74-37.037 x，若要 x1, x2≥0，只要 x≤127.8 即可。当 0≤x≤127.8 时，x1 和 x2 随着 x 的增大而不断减小。
c.生产量 x1, x2 对关税 x 的灵敏性的相对改变量：
由 x1 = 4735.04-37.037 x , x2 = 7042.74-37.037 x 可得：在点 x = 33 处，dx1/dx =-37.037, dx2/dx =-37.037 S(x1 , x)=(dx1/dx)*(x/x1)=-0.35 S(x2 , x)=(dx2/dx)*(x/x2)=-0.21 即每台彩电的关税额 x 增加 1%，则导致每年 19 英寸彩电和 21 英寸彩电的生产量 x1, x2分别减少 0.35%，0.21%
2）利润 w 关于关税 x 的灵敏性 a.粗分析 w =(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)– x*(x1 + x2)由前面分析可得，生产量 x1, x2 对关税 x 是很敏感的，且此处分析的利润应该是在 x = 33 美元的情况下的最大利润，故将 x1 = 4735.04-37.037 x , x2 = 7042.74-37.037 x 代入式子 w =(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)– x*(x1 + x2), 得
w =(339-0.01*(4735.04-37.037 x)-0.003*(7042.74-37.037 x))*(4735.04-37.037 x)+(399-0.004*(4735.04-37.037 x)-0.01*(7042.74-37.037 x))*(7042.74-37.037 x)-(400000 + 195*(4735.04-37.037 x)+ 225*(7042.74-37.037 x))-x*((4735.04-37.037 x)+(7042.74-37.037 x))用 Excel 绘出利润 w 关于关税 x 的散点图。
图 12 利润 w 关于关税 x 的散点图 由上述图表可以看到利润 w 对关税 x 是很敏感的。即如果给定不同的关税，则利润 x 将会有明显变化。甚至从理论上分析，当 x 足够大时，w 的取值会变为负数。因此，x 的取值要合适、合理，所做的分析才有意义。
b.利润 w 关于关税 x 的灵敏性的系统分析 由前面粗分析中的散点图可知，w 随着 x 的增大而不断减小。当 x≥57.4 时，利润 w 变为负数。
c.利润 w 对关税 x 的灵敏性的相对改变量：
由 x1 = 4735.04-37.037 x , x2 = 7042.74-37.037 x 可得：在点 x = 33 处，dw/dx = −9333.33 S(w , x)=(dw/dx)*(x/w)=-1.5
即每台彩电的关税额 x 增加 1%，则导致每年净利润为 w 减少 1.5%
3、、写出简短程序，绘制特殊图形（1）幂函数：y = x μ
（μ∈R 是常数）； 此处我将 μ 的值分为 μ ≥ 0 和 μ < 0 分别举例绘出相应的具有代表性的图形。
当 μ ≥ 0 时，我列举了 μ = 0, 1/2, 1, 2, 3;
当 μ < 0 时，我列举了 μ =-1/2,-1,-2 一元函数作图的命令：Plot[{函数 1,函数 2,„ }, 作图范围, 可选项]
图 13 幂函数举例（2）指数函数：y = a x
（a>0，且 a≠1）； 此处 a 的取值范围只有 0 < a < 1 和 a > 1，所以我分别举例绘出了 a = 2 和 a = 1/2 时的图形，16
它们各自具有一定的代表性。
一元函数作图的命令：Plot[{函数 1,函数 2,„ }, 作图范围, 可选项]
图 14 指数函数举例
（3）对数函数：y = log a x（a>0 且 a≠1，特别当 a = e 时，记为 y = lnx）； 此处 a 的取值范围只有 0 < a < 1 和 a > 1，特别当 a = e 时，记为 y = lnx。
所以我分别举例绘出了 a = 7、a = 1/7、a = e 时的图形，它们各自具有一定的代表性。
y = log 7 x 和 y = log 1/7 x 用 Log[7, x]和 Log[1/7, x]表示。而 y = lnx 直接用 Log[x]表示。
一元函数作图的命令：Plot[{函数 1,函数 2,„ }, 作图范围, 可选项]
图 15 对数函数举例
（4）三角函数：如 y = sin x，y = cos x，y = tan x 等；
一元函数作图的命令：Plot[{函数 1,函数 2,„ }, 作图范围, 可选项] 此处三角函数的函数名首字母都要大写，否则软件不会将其视为三角函数，而是视为变量名。如果用 Pi 表示 π 时，首字母也需要大写，否则软件也会将其视为变量名。当输入正确时，下方会有的蓝色字体提示。
图 16 三角函数
（5）反三角函数：如 y = arcsin x，y = arccos x，y = arctan x 等。
一元函数作图的命令：Plot[{函数 1,函数 2,„ }, 作图范围, 可选项] 此处反三角函数的函数名只需在三角函数的函数名之前加一个“Arc”即可。
如果用 Pi 表示 π 时，首字母也需要大写，否则软件会将其视为一个变量名。
图 17 反三角函数
第三部分
结果与讨论（可加页）
一、实验结果分析（包括数据处理、实验现象分析、影响因素讨论、综合分析和结论等）
（1）问题 1：针对第 1 题中的 y = f(x1, x2)=(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)在区域 S = {(x1, x2): x1≥0, x2≥0 }上求最大值，如何估计自变量的取值：
求解方法：
a.首先，用 Mathematica 绘出函数 f 的三维图像。
绘制二元函数 3D 图形的命令：Plot3D[函数, 第一变量的范围, 第二变量的范围, 可选项]
图 18 函数 f 的三维图像 由上图可知，f 是一个抛物面，且 f 在 S 内部达到最大值。
b.然后，再用 Mathematica 绘出函数 f 的等高线图。
绘制二元函数等高线图的命令：ContourPlot[函数,第一变量的范围,第二变量的范围,可选项]
图 19 函数 f 的等高线图 由上图可以估计出，f 的最大值出现在 x1 = 5000，x2 = 7000 附近。
（2）问题 2：如何应用 Mathematica 求解无约束的多变量最优化问题 解决方法：
以第 1 题为例，具体步骤如下：
a.利用 Mathematica 分别求出函数 f 关于 x1，x2 的偏导数。
b.函数 f 是一个抛物面，欲求得其最高点，只需令 x1 和 x2 的偏导数同时为 0，建立方程组求解即可。该方程组可利用 Mathematica 的 Solve 函数求解，解得：
x1 = 4735.04≈4735 , x2 = 7042.74≈7043 c.将求得的 x1, x2 的值代入函数 f 的表达式：
f(x1, x2)=(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)即可求得 f 的最大值。求得 f 的最大值 = 553641
应用 Mathematica 求解的具体运行结果如下图所示：
图 20 应用 Mathematica 求解
（3）问题 3：如何进行灵敏性分析（即灵敏性分析的方法）
解决方法：
以生产量 x1, x2 关于关税 x 的灵敏性分析为例，具体方法如下：
a.粗分析 现在假设关税 x 的实际值是不同的，对几个不同的 x 值，重复前面的求解过程, 可以得到对生产量 x1, x2 关于 x 的敏感程度的一些数据。
即给定 x，对 y = w(x1, x2)=(339 – 0.01*x1 – 0.003*x2)*x1 +(399 – 0.004*x1 – 0.01*x2)*x2 –(400 000 + 195*x1 +225*x2)– x*(x1 + x2)分别求出函数 w 关于 x1，x2 的偏导数，再令 x1 和
x2 的偏导数同时为 0，建立方程组求解。
可得相应 x1 = 4735.04-37.037 x , x2 = 7042.74-37.037 x
图 21 用 x 来表示 x1 和 x2 用 Excel 绘出生产量 x1, x2 关于关税 x 的散点图。
图 22 生产量 x1, x2 关于关税 x 的散点图 由上述图表可以看到生产量 x1, x2 对关税 x 是很敏感的。即如果给定不同的关税，则生产量 x1, x2 将会有明显变化。甚至从理论上分析，当 x 足够大时，x1, x2 的取值会变为负数。因此，x 的取值要合适、合理，所做的分析才有意义。
b.生产量 x1, x2 关于关税 x 的灵敏性的系统分析 前面已计算出，使偏导数同时为零的点为 x1 = 4735.04-37.037 x , x2 = 7042.74-37.037 x，若要 x1, x2≥0，只要 x≤127.8 即可。当 0≤x≤127.8 时，x1 和 x2 随着 x 的增大而不断减小。
c.生产量 x1, x2 对关税 x 的灵敏性的相对改变量：
由 x1 = 4735.04-37.037 x , x2 = 7042.74-37.037 x 可得：在点 x = 33 处，dx1/dx =-37.037, dx2/dx =-37.037 S(x1 , x)=(dx1/dx)*(x/x1)=-0.35 S(x2 , x)=(dx2/dx)*(x/x2)=-0.21 即每台彩电的关税额 x 增加 1%，则导致每年 19 英寸彩电和 21 英寸彩电的生产量 x1, x2
分别减少 0.35%，0.21%
（4）问题 4：如何绘制对数函数 y = log a x 的图形。
解决方法：
此处 a 的取值范围只有 0 < a < 1 和 a > 1，特别当 a = e 时，记为 y = lnx。
所以我分别举例绘出了 a = 7、a = 1/7、a = e 时的图形，它们各自具有一定的代表性。
一元函数作图的命令：Plot[{函数 1,函数 2,„ }, 作图范围, 可选项]
其中，y = log 7 x 和 y = log 1/7 x 用 Log[7, x]和 Log[1/7, x]表示，y = lnx 直接用 Log[x]表示。
对于 Mathematica 中普通的对数函数 y = log a x 的输入，均可以用 Log[a, x]来实现。
而 y = lnx 可以直接用 Log[x]实现。
图 23 对数函数举例
二、小结、建议及体会 此次实验的内容主要是进行最优化模型的建模分析，并应用数据分析软件 Mathematica 进行求解。除此之外，老师还额外布置了绘制某些函数图形的任务。
在此次实验之前，我通过阅读相关资料，回顾了对现实问题进行建模分析和应用 Mathematica 进行求解的相关方法。上机实验时，我遇到不懂的问题也及时查阅了相关帮助文档，或者在网络教学平台上与其他同学交流讨论，然后顺利完成了此次实验。
通过此次实验，我更加认识到建模五步法的好处，也慢慢学会将现实问题和数学问题联系起来。同时，我也更加熟悉了最优化模型的分析方法和理论，以及如何应用数据分析工具
Mathematica 进行求解。除此之外，此次实验还帮助我查遗补漏，巩固了课程所学内容，夯实了理论基础，进一步提升了自己的问题分析能力、建模能力以及动手能力。
此次实验面临的问题主要是如何根据已知问题进行建模。在对题目进行深度解读后，我构建了前面所述模型，并最终通过 Mathematica 完成了模型的求解。虽然在具体操作时出现了一些小错误，但是经过多次修改运行后，目前已全部解决，最终顺利完成此次实验。
虽然我目前针对现实问题进行建模求解的能力还十分有限，但是我相信通过后续的不断学习和练习，我一定能不断提升自己的建模分析能力和动手求解能力，并更好地掌握和应用 Mathematica 这一软件。
老师提供的课件和相关资料比较有用，此次实验进行得较为顺利。无进一步建议。
第四部分
评分标准（教师可自行设计）及成绩
观测点 考核目标 权重 得分 实验预习1． 预习报告 2． 提问 3． 对于设计型实验，着重考查设计方案的科学性、可行性和创新性 对实验目的和基本原理的认识程度，对实验方案的设计能力 20%
实验过程 1． 是否按时参加实验 2． 对实验过程的熟悉程度 3． 对基本操作的规范程度 4． 对突发事件的应急处理能力 5． 实验原始记录的完整程度 6． 同学之间的团结协作精神 着重考查学生的实验态度、基本操作技能；严谨的治学态度、团结协作精神 30%
结果分析 1． 所分析结果是否用原始记录数据 2． 计算结果是否正确 3． 实验结果分析是否合理 4． 对于综合实验，各项内容之间是否有分析、比较与判断等 考查学生对实验数据处理和现象分析的能力；对专业知识的综合应用能力；事实求实的精神 50%
该项实验报告最终得分
教师签名：。
第二篇：连杆机构的建模、分析与加工
连杆机构的建模及连杆的加工与分析
第一部分：构建连杆机构的三维实体模型 1.1 连杆机构零件的绘制
（1）单击【新建】按钮，新建一个零件文件。
（2）选取前视基准面，单击【草图绘制】按钮，进入草图绘制，绘制草图。（3）单击【拉伸凸台/基体】按钮，出现【拉伸】属性管理器，在【终止条件】下拉列表框内选择【两侧对称】选项，在【深度】文本框内输入加工深度，单击【确定】按钮。
（4）单击【拉伸切除】按钮，出现【切除-拉伸】属性管理器，在【终止条件】下拉列表框内选择【完全贯穿】选项，单击【确定】按钮，得出零件1连杆的视图，如图1.1所示：
图1.1 零件1连杆
用同样的方法，得出其他零件视图： 零件2，如图1.2所示
图1.2 零件2
零件3 如图1.3所示
图1.3 零件3
零件4如图1.4所示
图1.4 零件4
零件5如图1.5所示
图1.5 零件5
1.2 连杆机构装配图的绘制
将以上五个零件进行装配，得到连杆机构的装配图：如图1.6所示
图1.6 连杆机构装配图 第二部分：连杆的ansys分析 2.1连杆工程分析的准备工作
（1）连杆的计算分析模型，如图2.1所示
图2.1 连杆的计算分析模型
（2）材料参数设定
弹性模量E=210Gpa；泊松比v=0.3;密度=7800（3）受力分析
连杆有两个连轴孔，受力是主要约束大的那个口轴，然后是上表面受到一个向上应力。2.2 操作步骤
2.2.1定义单元类型和材料属性（1）设置计算类型，如图2.2所示
ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural → OK 5
图2.2 设置计算类型
（2）选择单元类型。执行ANSYS Main Menu→Preprocessor →Element Type→Add/Edit/Delete →Add →select Solid Brick 8node 185 →OK Options„→select K3: Plane strain →OK→Close如图2.3所示，选择OK接受单元类型并关闭对话框。
图2.3 选择单元类型
（3）设置材料属性。执行Main Menu→Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic，在EX框中输入2.1e11，在PRXY框中输入0.3，如图2.4所示，选择OK并关闭对话框。
图2.4 设置材料属性
2.2.2 导入几何模型
选择ANSYS，菜单→File→Import→PARA→选择liangan.x_t→OK，如图2.5所示
图2.5 导入几何模型
2.2.3生成实体
菜单PlotCtrols→Style→SolidModles Facts→选择Normal Faceing→OK：然后菜单→Plot→Voluness→OK，建模如图2.6所示。7
图2.6 连杆实体模型
2.2.4生成有限元网格
Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→Volumes Mesh→Tet→Free,.采用自由网格划分单元。执行Main Menu-Preprocessor-Meshing-Mesh-Volume-Free，弹出一个拾取框，拾取实体，单击OK按钮。生成的网格如图2.7所示。
图2.7连杆的有限元网格
2.2.5施加载荷并求解
(1)施加约束条件。执行Main Menu-Solution-Apply-Structural-Displacement-On Areas，弹出一个拾取框，拾取平面，单击OK按钮,然后出现如图2.8窗口，选 “ALL DOF”，再单击OK按钮。
图2.8 对话框
(2)施加载荷。执行Main Menu-Solution-Apply-Structural-Pressure-On Areas，弹出一个拾取框，拾取内表面，单击OK按钮，弹出如图2.9所示对话框，如图所示输入数据-1e4，单击OK按钮。生成结构，如图2.10
图2.9 对话框
图2.10 连杆的有限元结构图
(3)求解。执行Main Menu-Solution-Solve-Current LS，弹出一个提示框。浏览后执行file-close，单击OK按钮开始求解运算。出现一个【Solution is done】对话框是单击close按钮完成求解运算。2.2.6显示结果
(1)显示变形形状。执行Main Menu-General Posproc-Plot Results-Deformed Shape，弹出如图2.11所示的对话框。选择“Def+underformed”单选按钮，单击OK按钮。生成结果如图2.12所示。
图2.11 对话框
图2.12 连杆变形形状图
(2)列出节点的结果。执行Main Menu-General Posproc-List Results-Nodal Solution，弹出如图2.13所示的对话框。设置好后点击OK按钮。生成如图2.14所示的结果
图2.13 对话框
图2.14 节点结果
(3)浏览节点上的Von Mises应变值。执行Main Menu-General Posproc-Plot Results-Contour Plot-Nodal Solu，弹出如图2.15所示对话框。设置好后单击OK按钮，生成结果如图2.16所示。
图2.15 对话框
图2.16 节点应变图
(4)浏览节点上的Von Mises应力值。执行Main Menu-General Posproc-Plot Results-Contour Plot-Nodal Solu，弹出如图2.17所示对话框。设置好后单击OK按钮，生成结果如图2.18所示。
图2.17 对话框
图2.18 节点应力图
2.2.7以扩展方式显示计算结果
(1)以等值线方式显示。执行Utility Menu-Plotctrls-Device Options，弹出如图
2.19所示对话框，生成结果如图2.20所示。
图2.19 对话框
图2.20 等值线方式显示结果
2.2.8 结果分析
通过图2.20可以看出，在分析过程中的最大变形量为145E-08m，最大的应力为221e06Pa,最小应力为42Pa。应力在大孔轴比较大，所以在生产中应加强大孔轴表面材料的强度。第三部分连杆的mastercam加工
3.1操作过程
（1）将模型导入mastercam中，如图3.1所示
图3.1 导入模型
（2）加工道具的选择，如图3.2所示
图3.2 选择刀具
（3）选择刀具及刀具参数设定，如图3.3和图3.4所示
图3.3 选择刀具及参数设定
图3.3 参数设定
（4）粗加工路径设定以及刀具参数设定结果，如图3.5所示
图3.5 粗加工路径设定以及刀具参数设定结果（5）粗加工仿真过程，如图3.6所示
图3.6 粗加工仿真过程
（6）钻孔粗加工路径及钻孔粗加工设置，如图3.7和图3.8所示
图3.7 钻孔粗加工路径
图3.8 钻孔粗加工设置
（7）钻孔粗加工三维演示，如图3.9所示
图3.9 钻孔粗加工三维演示
（8）曲面挖槽粗加工参数设定，如图3.10所示
图3.10 曲面挖槽粗加工参数设定
（9）曲面粗加工路径图，如图3.11所示
图3.11 曲面粗加工路径图
（10）曲面粗加工三维仿真加工，如图3.12所示
图3.12 曲面粗加工三维仿真加工
（11）曲面粗加工结束，如图3.13所示
图3.13 曲面粗加工结束
（12）精加工路径及精加工路径图，如图3.14和3.15所示
图3.14 精加工路径
图3.15 曲面精加工路径图
（13）精加工仿真，如图3.16所示
图3.16 精加工仿真
（14）整体加工路径图，如图3.17所示
图3.17 整体加工路径图
（15）加工结束图，如图3.18所示
图3.18 加工结束
3.2生成加工代码
加工代码如图3.19和3.20所示
图3.19 加工代码截图1 24
图3.20 加工代码截图2
第三篇：数学建模报告电子商务平台销售数据分析与预测
数模论文
题号 A
论文题目： 电子商务平台销售数据分析与预测
作者
电子商务平台销售数据分析与预测
摘要：
对电子商务平台销售数据分析与预测要建立在数据的基础上，但世界工厂分析认为，现在不是缺数据，而是数据太多。据统计，在今天的互联网上，每秒会产生几百万次的搜索、网络上会有几十万次的内容。稍大的电子商务公司，都会采集一些行为数据，这些数据中包含了大量对市场分析，预测有用的潜在信息,对这些信息进行深度分析,企业可以改进电子商务网站的质量并且可以提高电子商务的经营效率。论文以购买历史数据为预测客户行为的基础数据,采用神经网络，马尔可夫链方法为建模工具,对电子商务的客户访问行为、商品销售预测等问题进行了研究。本论文的主要工作如下: 1.分析每个店铺的销售特点（包括价格，服务态度，售后服务，产品质量，优惠，日常管理等店铺政策）和其销售量的关系，可用雷达图法进行分析，建立最大利润函数模型。2.利用效用函数对所搜集到商品信息进行数学模型，但仅仅按照两种商品进行建立，需要进一步的扩展。3.利用MATLAB统计中的命令regress求解。将回归系数的估计值带入模型中，即可预测未来两年的销售总额。
正文：
问题一：搜集同一款手机(三星note3)销量前20位的店铺相关信息，把这些信息与销售量进行相关性分析，并据此对店铺如何提高销售量提出建议。分别到京东商城，国美，苏宁，亚马逊，淘宝等相关网站了解相关的店铺的信息得到销售量前20位的店铺。
分析每个店铺的销售特点（包括价格，服务态度，售后服务，产品质量，优惠，日常管理等店铺政策）和其销售量的关系。
分析用户的购买情况同等重要。(此雷达图摘自百度文库)
利用条形图进行不同的店铺之间的对比，饼状图同店铺不同要素之间的影响进行对比分析。
对每一个影响因素建立最大利润函数模型f(x)=ax2+bx+c,每一种因素分别对应x1,x2........。得到图形，利用图形对店铺进行销售建议。
问题二：针对某一种类的商品（比如女式凉鞋），搜集50组店铺对应的商品信息（至少涵盖销量、价格、用户评价、品牌、样式、材质等信息），并据此建立数学模型分析用户的消费习惯。
为简答起见，假定只有甲乙两种商品供消费者购买，下面建立的模型可以推广到任意多种商品的情况。
效用函数：
当消费者购得数量分别为x1,x2的甲乙两种商品，给消费者带来的效用可以用一个数值来度量，它是x1,x2的函数，记作u(x1,x2)利用等高线的概念在x1,x2平面上画出效用函数u(x1,x2)的等效用线。等效用线u(x1,x2)=c是一族单调减、下凸、互不相交的曲线，随着效用值c的增加曲线向右上方移动，曲线的具体形状由甲乙两种商品对消费者带来的效用，或消费者对甲乙两种商品的偏爱程度决定。
效用最大化模型: 设甲乙两种商品的单价分别为p1,p2，消费者准备付出的钱为y，则他购得的甲乙两种商品的数量x1,x2，满足 P1x1+p2x2=y 效用函数的构造：
u(x1,x2)=(a/x1+b/x2)-1,a,b>0 即按照效用最大化购买两种商品所用钱的比例，与商品价格比的平方根成正比，比例系数是参数a与b之比的平方根，其中a与b分别度量甲乙两种商品对消费者的效用或者消费者对甲乙两种商品的偏爱。
问题三：搜集一个电商交易平台年销售总额的历史数据，并预测未来两年的销售总额。
搜集京东手机销售的历史数据，利用近两年的数据和销售的影响因素，记销售量为y,价格等其他因素为x1,x2.......。利用数据做出y对x1,x2....的散点图。直线用y=ax+b,曲线用二次函数模型y=ax2+bx=c.利用MATLAB统计中的命令regress求解。格式为： 【b,bint,r,rint,stats】=regress(y,x,alpha)得到模型的回归系数估计值及其置信区间，检验统计量。将回归系数的估计值带入模型中，即可预测未来两年的销售总额。
第四篇：proe四连杆机构建模分析
四连杆机构
在proe中建立如下尺寸基座
建立如下尺寸连杆00
建立如下尺寸连杆01
建立如下尺寸连杆02
对四连杆机构进行装配，连杆00与基座销钉连接与连杆01销钉连接，连杆01与连杆02销钉连接，连杆02与基座平面连接
点应用程序选项打开机构，四连杆装配变为下图
点伺服电动机选项，按下图添加伺服电动机运动轴
按下图添加轮廓
点分析选项，按下图输入参数，点运行
下图为某一刻运动图
点测量结果选项，如下图点新建
按下图选测量加速度，点确定
按下图选测量选项，点绘图
分析结果如下
第五篇：实验二：模拟信号数字化传输系统的建模与分析
实验二：模拟信号数字化传输系统的建模与分析
08电子信息工程（3）班
E08610308 陈建能
一、实验目的
1.进一步掌握 Simulink 软件使用的基本方法； 2.熟悉信号的压缩扩张； 3.熟悉信号的量化； 4.熟悉PCM编码与解码。
二、实验内容
1.设计一个13折线近似的PCM编码器模型，能够对取值在[-1;1] 内的归一化信号样值进行编码；
2.设计一个对应于以上编码器的PCM解码器；
3.在以上两项实验的基础上，建立PCM串行传输模型，并在传输信道中加入指定错误概率的随机误码。
三、实验原理
1.信号的压缩和扩张
非均匀量化等价为对输入信号进行动态范围压缩后再进行均匀量化。中国和欧洲的PCM数字电话系统采用A律压扩方式，美国和日本则采用μ律方式。设归一化的话音输入信号为x[1,1]，则A律压缩器的输出信号y 是：
Ax1lnAysgnx(1lnAx)1lnAx1A1x1A
其中，sgn(x)为符号函数。A律PCM数字电话系统国际标准中，参数A=87.6。Simulink通信库中提供了“A-Law Compressor”、“A-Law Expander”以及“Mu-Law Compressor”和“Mu-Law Expander”来实现A律和Ö 律压缩扩张计算。
压缩系数为87.6的A律压缩扩张曲线可以用折线来近似。16段折线点坐标是
11111111111111x1,,,,,,,,0，，，，1***64321684276543211234567y1,,,,,,,,0，，，，188888888888888
其中靠近原点的4段折线的斜率相等，可视为一段，因此总折线数为13段，故称13段折线近似。用Simulink中的“Look-Up Table”查表模块可以实现对13段折线近似的压缩扩张计算的建模，其中，压缩模块的输入值向量设置为
[-1,-1/2,-1/4,-1/8,-1/16,-1/32,-1/64,-1/128,0,1/128,1/64,1/32,1/16,1/8,1/4,1/2,1] 输出值向量设置为
[-1:1/8:1] 扩张模块的设置与压缩模块相反。2.PCM编码与解码
PCM是脉冲编码调制的简称，是现代数字电话系统的标准语音编码方式。A律PCM数字电话系统中规定：传输话音信号频段为300Hz到3400Hz，采样率为8000次/秒，对样值进行13折线压缩后编码为8bit二进制数字序列。因此，PCM编码输出的数码速率为64Kbps。
PCM编码输出的二进制序列中，每个样值用8位二进制码表示，其中最高比特位表示样值的正负极性，规定负值用“0”表示，正值用“1”表示。接下来3位比特表示样值的绝对值所在的8段折线的段落号，最后4位是样值处于段落内16个均匀间隔上的间隔序号。在数学上，PCM编码的低7位相当于对样值的绝对值进行13折线近似压缩后的7bit均匀量化编码输出。
四、实验程序、注释、运行结果及运行结果说明 系统总图：
子系统1：
子系统2：
参数：
传输话音信号频段为1000H z，采样率为8000次/秒，对样值进行13折线压缩后编码为8bit二进制数字序列。PCM编码输出的数码速率为64Kbps。
运行后：
五、心得体会
本次实验是信号的量化编码和解码，一开始主要还是建立模型，然后就是设置参数，最后便可以得到所需的结果。刚刚的时候都不知道从何下手，也不知道该求什么，最后慢慢看书，慢慢地调试，最后终于弄好了。
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