高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）,14版（5篇）

第一篇：高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（含解析版）,14版

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A． B．3 C．m D．3m 5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A． B． C． D． 6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A． B． C． D． 7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A． B． C． D． 8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：

p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A． B．3 C． D．2 11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．6 C．4 D．4 　 二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为　 　．（用数字填写答案）14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为　 　． 15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为　 　． 16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　 　． 　 三、解答题 17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX． 附：≈12.2． 若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值． 20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；

（Ⅱ）证明：f（x）＞1． 　 选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形． 　 选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 　 选修4-5：不等式选讲 24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；

（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由． 　 2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析 　 一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 【专题】5J：集合． 【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可． 【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]． 故选：D． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 　 2．（5分）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 【专题】5N：数系的扩充和复数． 【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果． 【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D． 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 　 3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数 B．|f（x）|•g（x）是奇函数 C．f（x）•|g（x）|是奇函数 D．|f（x）•g（x）|是奇函数 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有 【专题】51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确． |f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C． 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键． 　 4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A． B．3 C．m D．3m 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；

5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论． 【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=． 故选：A． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题． 　 5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A． B． C． D． 【考点】C6：等可能事件和等可能事件的概率．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；

5I：概率与统计． 【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=． 故选：D． 【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数． 　 6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A． B． C． D． 【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有 【专题】57：三角函数的图像与性质． 【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择． 【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx| =|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用． 　 7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A． B． C． D． 【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有 【专题】5I：概率与统计． 【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值． 【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；

第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；

第三次循环M=+=，a=，b=，n=4． 不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=． 故选：D． 【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法． 　 8．（5分）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β= B．3α+β= C．2α﹣β= D．2α+β= 【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有 【专题】56：三角函数的求值． 【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求． 【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立． 故选：C． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题． 　 9．（5分）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：

p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（）A．p2，p3 B．p1，p4 C．p1，p2 D．p1，p3 【考点】2K：命题的真假判断与应用；

7A：二元一次不等式的几何意义．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用；

5L：简易逻辑． 【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可． 【解答】解：作出图形如下：

由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；

p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；

p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；

p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；

综上所述，p1、p2正确；

故选：C． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题． 　 10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A． B．3 C． D．2 【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；

5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求． 【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题． 　 11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；

51：函数的性质及应用；

53：导数的综合应用． 【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；

分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可． 【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；

①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；

②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；

③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；

故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；

而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；

故f（）=﹣3•+1＞0；

故a＜﹣2；

综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；

故选：D． 【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题． 　 12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．6 C．4 D．4 【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有 【专题】5F：空间位置关系与距离． 【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可． 【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6． 故选：B． 【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力． 　 二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为　﹣20　．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；

5P：二项式定理． 【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可． 【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8． 含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20． 故答案为：﹣20 【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力． 　 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为　A　． 【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有 【专题】5M：推理和证明． 【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论． 【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A． 【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题． 　 15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为　90°　． 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有 【专题】5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论． 【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90° 【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础． 　 16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为． 【考点】HP：正弦定理；

HR：余弦定理．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；

35：转化思想；

48：分析法；

58：解三角形． 【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c ⇒2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc ⇒b2+c2﹣bc=a2 ⇒b2+c2﹣bc=4 ⇒bc≤4 所以：，即△ABC面积的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 　 三、解答题 17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． 【考点】83：等差数列的性质；

8H：数列递推式．菁优网版权所有 【专题】54：等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相减即可得出；

（Ⅱ）假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，．得到λSn=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ即可． 【解答】（Ⅰ）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，∴an+1（an+2﹣an）=λan+1 ∵an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d． 则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴． ∴，∴λSn=1+=，根据{an}为等差数列的充要条件是，解得λ=4． 此时可得，an=2n﹣1． 因此存在λ=4，使得{an}为等差数列． 【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题． 　 18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX． 附：≈12.2． 若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；

CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．菁优网版权所有 【专题】11：计算题；

5I：概率与统计． 【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；

（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得． 【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；

（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力． 　 19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值． 【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式；

MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 【专题】5H：空间向量及应用． 【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；

（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值． 【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，0），C（0，0）∴=（0，），==（1，0，），==（﹣1，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为 【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题． 　 20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 【考点】K4：椭圆的性质；

KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（5分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而=+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力． 　 21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；

（Ⅱ）证明：f（x）＞1． 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；

6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；

53：导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；

【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，∵f（x）＞1，∴exlnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；

当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0． 故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣． 设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）． ∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；

当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣． 综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1． 【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力． 　 选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形． 【考点】NB：弦切角；

NC：与圆有关的比例线段．菁优网版权所有 【专题】15：综合题；

5M：推理和证明． 【分析】（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE为等边三角形． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形． 【点评】本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 　 选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合；

QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有 【专题】5S：坐标系和参数方程． 【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；

（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以 sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值． 【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）． 对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；

（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为． 则，其中α为锐角． 当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为． 当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为． 【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题． 　 选修4-5：不等式选讲 24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；

（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由． 【考点】RI：平均值不等式．菁优网版权所有 【专题】59：不等式的解法及应用． 【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据 ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号． ∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号． 而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立． 【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．

第二篇：2008年四川省高考数学试卷(理科)答案与解析

2008年四川省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）

A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5} D．{1，2，4，5} 【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】根据交集的含义求A∩B、再根据补集的含义求解． 【解答】解：A={1，3}，B={3，4，5}⇒A∩B={3}；

所以CU（A∩B）={1，2，4，5}，故选D 【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．

2．（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i 【考点】复数代数形式的混合运算．

2【分析】先算（1+i），再算乘2i，化简即可．

22【解答】解：∵2i（1+i）=2i（1+2i﹣1）=2i×2i=4i=﹣4 故选A；

2【点评】此题考查复数的运算，乘法公式，以及注意i=﹣1；是基础题．

23．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx 【考点】同角三角函数基本关系的运用．

【分析】此题重点考查各三角函数的关系，切化弦，约分整理，凑出同一角的正弦和余弦的平方和，再约分化简． 【解答】解：

2∵

=故选D；

【点评】将不同的角化为同角；将不同名的函数化为同名函数，以减少函数的种类；当式中有正切、余切、正割、余割时，通常把式子化成含有正弦与余弦的式子，即所谓“切割化弦”．

4．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A． B．

C．y=3x﹣3 D．

【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．

【分析】先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程． 【解答】解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90° ∴两直线互相垂直 则该直线为那么将，向右平移1个单位得，即

故选A．

【点评】本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．

5．（5分）（2008•四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）

C．（cosα，则α的取值范围是（），）D．（，）

【考点】正切函数的单调性；三角函数线． 【专题】计算题．

【分析】通过对sinα＞cosα等价变形，利用辅助角公式化为正弦，利用正弦函数的性质即可得到答案．

【解答】解：∵0≤α≤2π，sinα＞cosα，∴sinα﹣cosα=2sin（α﹣）＞0，∵0≤α≤2π，∴﹣≤α﹣≤，∵2sin（α﹣∴0＜α﹣∴＜α＜）＞0，＜π，．

故选C．

【点评】本题考查辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，将sinα＞cosα等价变形是难点，也是易错点，属于中档题．

6．（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种 B．112种 C．140种 D．168种 【考点】组合及组合数公式． 【专题】计算题．

【分析】根据题意，分析可得，甲、乙中至少有1人参加的情况数目等于从10个同学中挑选4名参加公益活动挑选方法数减去从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加公益活动的挑选方法数，分别求出其情况数目，计算可得答案．

4【解答】解：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有C10种不同挑选方法；

4从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有C8种不同挑选方法；

44∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有C10﹣C8=210﹣70=140种不同挑选方法，故选C．

【点评】此题重点考查组合的意义和组合数公式，本题中，要注意找准切入点，从反面下手，方法较简单．

7．（5分）（2008•四川）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考点】等比数列的前n项和．

【分析】首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围． 【解答】解：∵等比数列{an}中，a2=1 ∴∴当公比q＞0时，当公比q＜0时，；

．

∴S3∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）． 故选D．

【点评】本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．

8．（5分）（2008•四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9 【考点】球面距离及相关计算． 【专题】计算题．

【分析】先求截面圆的半径，然后求出三个圆的面积的比．

【解答】解：设分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为r1，r2，r3，球半径为R，则：

∴r1：r2：r3=5：8：9∴这三个圆的面积之比为：5，8，9 故选D 【点评】此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系；考查空间想象能力，利用勾股定理的计算能力．

9．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】利用圆锥的母线与底面所成的交角不变画图，即可得到结果．

0【解答】解：如图，和α成30角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC=∠ACB=30°，直线AC，AB都满足条件 故选B． 222 3

【点评】此题重点考查线线角，线面角的关系，以及空间想象能力，图形的对称性； 数形结合，重视空间想象能力和图形的对称性；

10．（5分）（2008•四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（）

A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题．

【分析】当f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数时，f（0）一定是函数的最值，从而得到x=0必是f（x）的极值点，即f′（0）=0，因而得到答案． 【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+φ）是偶函数

∴由函数f（x）=sin（ωx+φ）图象特征可知x=0必是f（x）的极值点，∴f′（0）=0 故选D 【点评】此题重点考查正弦型函数的图象特征，函数的奇偶性，函数的极值点与函数导数的关系．

11．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）

A．13 B．2 C．

D．

【考点】函数的值． 【专题】压轴题．

【分析】根据f（1）=2，f（x）•f（x+2）=13先求出f（3）=，再由f（3）求出f（5），依次求出f（7）、f（9）观察规律可求出f（x）的解析式，最终得到答案．

【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13且f（1）=2 ∴，，∴，∴

故选C． 【点评】此题重点考查递推关系下的函数求值；此类题的解决方法一般是求出函数解析式后代值，或者得到函数的周期性求解．

12．（5分）（2008•四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；压轴题．

2【分析】根据抛物线的方程可知焦点坐标和准线方程，进而可求得K的坐标，设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0），根据及AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2，进而可求得A点坐标，进而求得△AFK的面积．

2【解答】解：∵抛物线C：y=8x的焦点为F（2，0），准线为x=﹣2 ∴K（﹣2，0）

设A（x0，y0），过A点向准线作垂线AB，则B（﹣2，y0）∵，又AF=AB=x0﹣（﹣2）=x0+2 222222∴由BK=AK﹣AB得y0=（x0+2），即8x0=（x0+2），解得A（2，±4）∴△AFK的面积为故选B．

【点评】本题抛物线的性质，由题意准确画出图象，利用离心率转化位置，在△ABK中集中条件求出x0是关键；

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

34213．（4分）（2008•四川）（1+2x）（1﹣x）展开式中x的系数为 ﹣6 ． 【考点】二项式定理． 【专题】计算题．

【分析】利用乘法原理找展开式中的含x项的系数，注意两个展开式的结合分析，即分别

2为第一个展开式的常数项和第二个展开式的x的乘积、第一个展开式的含x项和第二个展

2开式的x项的乘积、第一个展开式的x的项和第二个展开式的常数项的乘积之和从而求出答案．

342【解答】解：∵（1+2x）（1﹣x）展开式中x项为 ***040C31（2x）•C41（﹣x）+C31（2x）•C41（﹣x）+C31（2x）•C41（﹣x）

02112204∴所求系数为C3•C4+C3•2•C4（﹣1）+C3•2•C41=6﹣24+12=﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想，重在找寻这些项的来源．

14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，则C上各点到l的距离的最小值为 ．

【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式． 【专题】数形结合．

222 5 【分析】如图过点C作出CD与直线l垂直，垂足为D，与圆C交于点A，则AD为所求；求AD的方法是：由圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，利用d减去圆的半径r即为圆上的点到直线l的距离的最小值． 【解答】解：如图可知：过圆心作直线l：x﹣y+4=0的垂线，则AD长即为所求；

22∵圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=2的圆心为C（1，1），半径为，点C到直线l：x﹣y+4=0的距离为∴AD=CD﹣AC=2﹣=，故C上各点到l的距离的最小值为故答案为：，．

【点评】此题重点考查圆的标准方程和点到直线的距离．本题的突破点是数形结合，使用点C到直线l的距离距离公式．

15．（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 2 ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；作图题；压轴题．

【分析】由题意画出图形，求出高，底面边长，然后求出该正四棱柱的体积． 【解答】解：：如图可知：∵

∴∴正四棱柱的体积等于

=2 故答案为：2 【点评】此题重点考查线面角，解直角三角形，以及求正四面题的体积；考查数形结合，重视在立体几何中解直角三角形，熟记有关公式．

16．（4分）（2008•四川）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为 4 ．

【考点】等差数列的前n项和；等差数列． 【专题】压轴题．

【分析】利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．

【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即

∴

∴，5+3d≤6+2d，d≤1 ∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，故答案为：4．

【点评】此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；

三、解答题（共6小题，满分74分）

2417．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值与最小值． 【考点】三角函数的最值． 【专题】计算题． 【分析】利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简y的解析式后，再利用配方法把y变为完全平方式即y=（1﹣sin2x）+6，可设z═（u﹣1）+6，u=sin2x，因为sin2x的范围为[﹣1，1]，根据u属于[﹣1，1]时，二次函数为递减函数，利用二次函数求最值的方法求出z的最值即可得到y的最大和最小值．

2422【解答】解：y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx=7﹣2sin2x+4cosx（1﹣cosx）=7﹣22222sin2x+4cosxsinx=7﹣2sin2x+sin2x=（1﹣sin2x）+6 22由于函数z=（u﹣1）+6在[﹣1，1]中的最大值为zmax=（﹣1﹣1）+6=10 2最小值为zmin=（1﹣1）+6=6 故当sin2x=﹣1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6 【点评】此题重点考查三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；本题的突破点是利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．

18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望． 7 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．

【专题】计算题． 【分析】（1）进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，包括两种情况：即进入商场的1位顾客购买甲种商品不购买乙种商品，进入商场的1位顾客购买乙种商品不购买甲种商品，分析后代入相互独立事件的概率乘法公式即可得到结论．

（2）进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的对立事件为，该顾客即不习甲商品也不购买乙商品，我们可以利用对立事件概率减法公式求解．（3）由（1）、（2）的结论，我们列出ξ的分布列，计算后代入期望公式即可得到数学期望． 【解答】解：记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，记B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）

===0.5×0.4+0.5×0.6=0.5（Ⅱ）==0.5×0.4 =0.2

∴（Ⅲ）ξ～B（3，0.8），3故ξ的分布列P（ξ=0）=0.2=0.008 12P（ξ=1）=C3×0.8×0.2=0.096 22P（ξ=2）=C3×0.8×0.2=0.384 3P（ξ=3）=0.8=0.512 所以Eξ=3×0.8=2.4 【点评】此题重点考查相互独立事件的概率计算，以及求随机变量的概率分布列和数学期望；突破口：分清相互独立事件的概率求法，对于“至少”常从反面入手常可起到简化的作用； 19．（12分）（2008•四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；

（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱锥的结构特征． 【专题】计算题；证明题． 【分析】（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，延长FE交AB的延长线于G′，根据比例关系可证得G与G′重合，准确推理，得到直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．

（Ⅱ）取AE中点M，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN，由三垂线定理知BN⊥ED，根据二面角平面角的定义可知∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角，在三角形BMN中求出此角即可．

【解答】解：（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BC延长FE交AB的延长线于G′ 同理可得

得

故，即G与G′重合

因此直线CD、EF相交于点G，即C，D，F，E四点共面．（Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，AD=2 取AE中点M，则BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF 故AD⊥BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直． 所以BM⊥平面ADE，作MN⊥DE，垂足为N，连接BN 由三垂线定理知BN⊥ED，∠BMN为二面角A﹣ED﹣B的平面角．故

所以二面角A﹣ED﹣B的大小 9

【点评】此题重点考查立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；突破：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意书写格式是顺利进行求解的关键．

20．（12分）（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn

n﹣1（Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2}是等比数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式． 【考点】数列的应用． 【专题】计算题；证明题．

n【分析】（Ⅰ）当b=2时，由题设条件知an+1=2an+2an+1﹣（n+1）•2=2an+2﹣（n+1）nn﹣1n﹣1•2=2（an﹣n•2），所以{an﹣n•2}是首项为1，公比为2的等比数列．

n﹣1（Ⅱ）当b=2时，由题设条件知an=（n+1）2；当b≠2时，由题意得

=的通项公式．

【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，由题意知2a1﹣2=a1，解得a1=2，n且ban﹣2=（b﹣1）Sn

n+1ban+1﹣2=（b﹣1）Sn+1

n两式相减得b（an+1﹣an）﹣2=（b﹣1）an+1

n即an+1=ban+2①

n当b=2时，由①知an+1=2an+2

nnnn﹣1于是an+1﹣（n+1）•2=2an+2﹣（n+1）•2=2（an﹣n•2）

0n﹣1又a1﹣1•2=1≠0，所以{an﹣n•2}是首项为1，公比为2的等比数列．

n﹣1n﹣1（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知an﹣n•2=2，n﹣1即an=（n+1）2 当b≠2时，由①得=因此即所以

． =

=，由此能够导出{an}

n．由此可知nn 10 【点评】此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的通项公式，同时考查分类讨论思想；推移脚标两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段，使其转化为不含Sn的递推公式，从而针对性的解决；在由递推公式求通项公式是重视首项是否可以吸收是易错点，同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键．

21．（12分）（2008•四川）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离心率（Ⅰ）若，右准线为l，M，N是l上的两个动点，求a，b的值；

与

共线．

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，【考点】椭圆的应用． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，由此可以求出a，b的值．

（Ⅱ）|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a．当且仅当或共线．

【解答】解：由a﹣b=c与l的方程为设则

222

222

时，|MN|取最小值，由能够推导出与，得a=2b，22，11 由（Ⅰ）由得，得

①

②由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a=4 故2

③

2（Ⅱ）证明：|MN|=（y1﹣y2）=y1+y2﹣2y1y2≥﹣2y1y2﹣2y1y2=﹣4y1y2=6a 当且仅当此时，故与共线．

或

时，|MN|取最小值

【点评】此题重点考查椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量的综合应用；熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用．

22．（14分）（2008•四川）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围． 【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 【专题】计算题；压轴题；数形结合法．

2【分析】（Ⅰ）先求导﹣10x的一个极值点即

2，再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x求解．

2（Ⅱ）由（Ⅰ）确定f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0，可得f（x）的极大值为f（1），极小值为f（3）一，再由直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点则须有f（3）＜b＜f（1）求解，因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）． 【解答】解：（Ⅰ）因为所以因此a=16

12（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x﹣10x，x∈（﹣1，+∞）当x∈（﹣1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0 当x∈（1，3）时，f′（x）＜0 所以f（x）的单调增区间是（﹣1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，且当x=1或x=3时，f′（x）=0 所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2﹣9，极小值为f（3）=32ln2﹣21

因此f（16）＞16﹣10×16＞16ln2﹣9=f（1）f（e﹣1）＜﹣32+11=﹣21＜f（3）所以在f（x）的三个单调区间（﹣1，1），（1，3），（3，+∞）直线y=b有y=f（x）的图象各有一个交点，当且仅当f（3）＜b＜f（1）因此，b的取值范围为（32ln2﹣21，16ln2﹣9）．

【点评】此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围． 2﹣2 13

第三篇：2008年 四川省高考数学试卷(理科)

2008年四川省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•四川）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3}，B={3，4，5}，则集合∁U（A∩B）=（）

A．{3} B．{4，5} C．{3，4，5}

2D．{1，2，4，5} 2．（5分）（2008•四川）复数2i（1+i）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣4i D．4i

3．（5分）（2008•四川）（tanx+cotx）cosx=（）A．tanx B．sinx C．cosx D．cotx

4．（5分）（2008•四川）直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（）A． B．

C．y=3x﹣3 D．

25．（5分）（2008•四川）若0≤α≤2π，sinα＞A．（，）B．（，π）

C．（cosα，则α的取值范围是（），）D．（，）

6．（5分）（2008•四川）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）A．70种 B．112种 C．140种 D．168种

7．（5分）（2008•四川）已知等比数列{an}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）

8．（5分）（2008•四川）设M，N是球心O的半径OP上的两点，且NP=MN=OM，分别过N，M，O作垂线于OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：（）A．3，5，6 B．3，6，8 C．5，7，9 D．5，8，9

9．（5分）（2008•四川）设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只有（）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

10．（5分）（2008•四川）设f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，则f（x）是偶函数的充要条件是（）

A．f（0）=1 B．f（0）=0 C．f′（0）=1 D．f′（0）=0

11．（5分）（2008•四川）设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=13，若f（1）=2，则f（99）=（）A．13

12．（5分）（2008•四川）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则△AFK的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．32

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）（2008•四川）（1+2x）（1﹣x）展开式中x的系数为

．

14．（4分）（2008•四川）已知直线l：x﹣y+4=0与圆C：（x﹣1）+（y﹣1）=2，则C上各点到l的距离的最小值为

．

15．（4分）（2008•四川）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为

16．（4分）（2008•四川）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为

．

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）（2008•四川）求函数y=7﹣4sinxcosx+4cosx﹣4cosx的最大值与最小值．

18．（12分）（2008•四川）设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；

（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．

19．（12分）（2008•四川）如，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC，BE

2B．2 C． D．，则该正四棱柱的体积等于

．

（Ⅰ）证明：C，D，F，E四点共面；

（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A﹣ED﹣B的大小．

20．（12分）（2008•四川）设数列{an}的前n项和为Sn，已知ban﹣2=（b﹣1）Sn

n﹣1（Ⅰ）证明：当b=2时，{an﹣n•2}是等比数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式．

21．（12分）（2008•四川）设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F1，F2，离

n心率（Ⅰ）若，右准线为l，M，N是l上的两个动点，求a，b的值；

与

共线．

（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，22．（14分）（2008•四川）已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x﹣10x的一个极值点．（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．3

第四篇：2013年高考理科数学试卷及答案---全国卷(新课标版)word版A3版

2013年全国卷新课标数学（理）

一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A{1,2,3,4,5}，B{(x,y)|xA,yA,xyA}，则B中所含元素的个数为

A.3B.6C.8D.10

2.将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A.12种B.10种C.9种D.8种 3.下面是关于复数z

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A.6 B.9 C.12 D.18

8.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B，两点，|AB|4，则的实轴长为

A.2B.22

C.4D.8

2的四个命题： 1i

9.已知0，函数f(x)sin(x

)在(,)单调递减，则的取值范围是 42

C.(0,]



P1:|z|2

P2:z22i P4:z的虚部为

1A.[,]

524

B.[,]

132412

D.(0,2]

P3:z的共轭复数为1i

其中的真命题为

10.已知函数f(x)

B.P1，P2

C.P2，P4

D.P4 3，P，则yf(x)的图像大致为

ln(x1)x

A.P2，P

3x2y23a4.设F1,F2是椭圆E: 221(ab0)的左右焦点，P为直线x上的一点，△F2PF1是底角为30的等

2ab

腰三角形，则E的离心率为

A.2

B.3

C.4

D.5

5.已知{an}为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10

A.7

B.5

C.5

D.7

6.如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N2)和

A.AB为a1,a2,,aN的和 B.实数a1,a2,,aN，输出A，B，则

11.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此棱锥的体积为

A.26

B.6C.23

D.2

12.设点P在曲线y

1x

e上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为 2

B.AB

为a1,a2,,aN的算术平均数 2

A.1ln22(1ln2)C.1ln2

D.2(1ln2)

C.A和B分别是a1,a2,,aN中最大的数和最小的数 D.A和B分别是a1,a2,,aN中最小的数和最大的数

二、填空题.本大题共4小题，每小题5分.13.已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 xy1 14.设x,y满足约束条件

xy30则Zx2y的取值范围为.x y0

15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设

三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布

N(1000,502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.16.数列{a n}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为.三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinCbc0.(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)若a2，△ABC的面积为3，求b，c.18.（本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰 花做垃圾处理.(Ⅰ)若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解

析式；（以

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA

11B1

C1

中，ACBC

2AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD(Ⅰ)证明：DC1BC

(Ⅱ)求二面角A1BDC1的大小.19.20.（本小题满分12分）

设抛物线C:x22py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于

B、D两点

(Ⅰ)若BFD90，△ABD面积为42，求p的值及圆F的方程；

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分，作答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点.若CF//AB，证明：(Ⅰ)CDBC；

(Ⅱ)△BCD∽△GBD.(Ⅱ)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)f(1)e

x

1f(0)x

2x.(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间；(Ⅱ)若f(x)

x2

axb，求(a1)b的最大值

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线Cx2cos

1的参数方程是

3sin

（为参数），以坐标原点为极点，yx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,).(Ⅰ)点A，B，C，D的直角坐标；

(Ⅱ)设P为C2

1上任意一点，求|PA||PB|2

|PC|2

|PD|2的取值范围.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)|xa||x2|.(Ⅰ)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(Ⅱ)f(x)|x4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围.参考答案

1-12：DACCDCBCABAB 13、14、3,3.15、又

DC1BD，DC1DCD，DC1平面BDC.16、1830.8

BC平面BDC,DC1BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)

知，DC1，BC1，又已知DC1BD，BD.17、解：(Ⅰ)

由acosCsinCbc0及正弦定理可得

sinAcosCAsinCsinBsinC

0,在Rt△ABD中，BD,ADa,DAB90，AB

2ACBCAB，ACBC..sinAcosCAsinCsinACsinC

0, AsinCcosAsinCsinC0,sinC

0,AcosA10,取A1B1的中点E，则易证

C1E平面BDA

1，连结DE，则C1EBD，已知DC1BD，BD平面DC1E，BDDE，1

2sinA10,sinA,662

5

0A，A

666，A

(Ⅱ)

C1DE是二面角A1BDC1平面角.1，

CDE30.

在Rt△C1DE中，sinC

1DE



6



A



C1E

C1D

即二面角A1BDC1的大小为30.20、解:（Ⅰ)由对称性可知,△BFD

为等腰直角三角形,斜边上的高为p,斜边长BD2p.1bc4，S△

ABCbcsinA

3解得bc2.a2,A

，abc2bccosAbcbc4，bc8.2222

2点A到准线l的距离dFBFD由S△ABD,.18、解：(Ⅰ)y

10n80,n15（nN）； 80,n16

1BDd2p2

2p2.圆F的方程为xy1

8.(Ⅱ)（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X的分布列为

X的数学期望EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X的方差DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17

X(Ⅱ)由对称性,不妨设点AxA,yA在第一象限,由已知得线段AB是圆F的在直径,ADB90o,BD2p,yA

直线m的斜率为

kAF

p,代入抛物线C:x22py得xA.2

X的数学期望EX=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.476，所以应购进17枝玫瑰花.19、(Ⅰ)证明：设ACBC

.直线m的方程为x

0.

xx

2由x2py 得y,y.p2p

AA1a，2

直三棱柱ABCA1B1C1，DC1DC，CC12a，由y

DC12DC2

CC12，DC

1DC.pxp.故直线n与抛物线C的切点坐标为, x, 3p36

直线n的方程为x0.所以坐标原点到m，n

3.21、解:(Ⅰ)f(x)f(1)ex1f(0)x,令x1得,f(0)1,再由f(x)f(1)ex

1f(0)x12

2x,令x0得f1e.所以f(x)的解析式为f(x)ex

x122

x.f(x)ex1x,易知f(x)ex1x是R上的增函数,且f(0)0.所以f(x)0x0,f(x)0x0,所以函数f(x)的增区间为0,,减区间为,0.(Ⅱ)若f(x)

xaxb恒成立, 即hxf(x)12

x2axbex

a1xb0恒成立，hxexa1,(1)当a10时,hx0恒成立, hx为R上的增函数,且当x时, hx,不合题意;(2)当a10时,hx0恒成立, 则b0,(a1)b0;

(3)当a10时, hxex

a1为增函数,由hx0得xlna1,故f(x)0xlna1,f(x)0xlna1,当xlna1时, hx取最小值hlna1

a1a1lna1b.依题意有hlna1a1a1lna1b0, 即ba1a1lna1,a10,a1ba12a12

lna1,令uxx2

x2

lnxx0,则ux2x2xlnxxx1

2lnx,u(x)00xu(x)0x,所以当x, ux

取最大值u

e

.故当a1be2

时, a1b取最大值2.综上, 若f(x)

12x2

axb，则(a1)b的最大值为e2

.22、证明：(Ⅰ)∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，∴DE//BC.CF//AB,DF//BC,CF

BD且 CF=BD，又∵D为AB的中点，CF

AD且 CF=AD，CDAF.CF//AB，BCAF.CDBC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BC

GF，GBCFBD，BGDBDGDBCBDC

△BCD∽△GBD.23、解：(Ⅰ)依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为.所以点A，B，C，D的直角坐标分别为、(、(1,、1)；(Ⅱ)设P2cos,3sin，则 |PA|2|PB|2|PC|2|PD|

2

12cos2



3sin

2



2cos

13sin2



12cos2



3sin

2

2cos



13sin2

16cos236sin2163220sin232,52.所以|PA|2

|PB|2

|PC|2

|PD|2的取值范围为32,52.24、解：(Ⅰ)当a3时，不等式f(x)3 |x3||x2|3

 

x22x3xx3x23或x3x23或3



x3x23 或x4.所以当a3时，不等式f(x)3的解集为

xx1或x4.(Ⅱ)f(x)|x4|的解集包含[1,2]，即|xa||x2||x4|对x1,2恒成立，即|xa|2对x1,2恒成立，即2ax2a对x1,2恒成立，所以2a1

2a2，即3a0.所以a的取值范围为3,0.

第五篇：四川省绵阳市2018届高三上学期一诊数学试卷(理科) 含解析

2017-2018学年四川省绵阳市高三（上）一诊数学试卷

（理科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1.设集合A={x∈Z|（x﹣4）（x+1）＜0}，B={2，3，4}，则A∩B=（）A.（2，4）B.{2，4} C.{3} D.{2，3} 【答案】D 【解析】由题意，得；故选D.2.若x＞y，且x+y=2，则下列不等式成立的是（）A.x＜y B.【答案】C 【解析】因为，且，所以，即，则

；故选C.2

2，则 C.x＞1 D.y＜1

223.已知向量 =（x﹣1，2），=（x，1），且∥，则A.B.2 C.2 D.3 【答案】D 【解析】因为故选D.，所以，解得，则

=（），；点睛：利用平面向量的坐标形式判定向量共线或垂直是常见题型： 已知4.若，则，则tan2α=（）

D.，.A.﹣3 B.3 C.【答案】D 【解析】因为，所以，则 ；故选D.5.某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米． A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】C 【解析】设该职工的月实际用水为x立方米，所缴水费为y元，由题意得

，即。

根据题意得该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以解得。选C。

x06.已知命题p：∃x0∈R，使得e≤0：命题q：a，b∈R，若|a﹣1|=|b﹣2|，则a﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（）A.p B.¬q C.p∨q D.p∧q 【答案】B 【解析】因为函数的值域为，所以命题为假命题，为真命题；故选B.7.在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，时，“，所以成立，此时，成立；当，所以不成立；综上知“

时，如取”是”的”的充分不必要条件，选A.cosϖx（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是

，若将8.已知函数f（x）=sinϖx+y=f（x）的图象向右平移 个单位得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一条对称轴方程是（）A.x=0 B.【答案】C 【解析】因为

图象的最高点

与相邻最低点的距离 C.D.为，所以，即，解得，则将的，即图象向右平移个单位，得到是函数 的对称轴方程，经验证，得

到的图象，令

是其中一条对称轴方程；故选C.的变换是易错点，要注意，而不是

.点睛：在处理三角函数的图象变换时，由平移的单位仅对于自变量（）而言，若本题中的图象向右平移个单位，应是9.已知0＜a＜b＜1，给出以下结论： ① ；② ③

④

则其中正确的结论个数是（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】易知，正确，错误；故选B.210.已知x1是函数f（x）=x+1﹣ln（x+2）的零点，x2是函数g（x）=x﹣2ax+4a+4的零点，且满足|x1﹣x2|≤1，则实数a的最小值是（）A.2﹣2 B.1﹣2 C.﹣2 D.﹣1 【答案】D 【解析】因为单调递增，即为，显然在，所以当，即函数有零点，（1）若，即，②若

时，单调递减，当，因为，即

或，此时，若

时，所以的零点在[﹣

存在唯一零点，即符合题意；（2）若2，0]上只有一个零点，则，解得

在[﹣2，0]上有两个零点，则

；故选D.，即的最小值为点睛：本题考查两个函数的零点问题，难点是根据二次函数的零点分布情况求参数；利用二次函数的零点分布求参数，往往是看二次函数的开口方向、判别式的符号、对称轴与所给区间的关系、区间端点函数值的符号进行判定.11.已知a，b，c∈R，且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f（x）=ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+A.[﹣2，2] B.C.的取值范围是（）D.【答案】B 【解析】∵函数∴则则存在则故；故选B．，其中，的图象都相切，得，，若存在两条互相垂直的直线与函数，使，由，其中点睛：求有关三角函数的最值或值域问题，主要有以下题型： ①化为形成②形如“行求解.12.若存在实数x，使得关于x的不等式成立，则实数a的取值集合为（）

A.{} B.[，+∞）C.{} D.[，+∞）【答案】C 【解析】不等式表示点

，即为距离的平方不超过，即最大值为．由相切的直线的切点为，在直线

上，解得，+x2﹣2ax+a2≤（其中e为自然对数的底数）

型：一般是利用二倍角公式、两角和差公式、配角公式进行恒等变，再利用三角函数的单调性进行求解；

”，一般是利用换元思想（令），再利用二次函数的性质进设与直线平行且与切点为，可得切线的斜率为，由切点到直线的距离为直线上的点与曲线，解得，则的取值集合为的距离的最小值，可得

；故选C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知变量x，y满足约束条件【答案】3 【解析】将直线化为，作出可行域和目标函数基准直线

（如图所示）．当

，则z=2x+y的最小值是_____．

向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，由图象可知当直线经过点时，z取得最小值，最小值为．

14.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且f（2）=1，若f（2x+1）＜1，则x的取值范围是_____． 【答案】

【解析】∵函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）为偶函数，且在(-∞,0）上单调递减。

由题意得不等式f（2x+1）＜1等价于f（2x+1）＜f（2），∴解得或。

。答案：

。，所以原不等式的解集为15.在△ABC中，AB=2，AC=4，cosA=，过点A作AM⊥BC，垂足为M，若点N满足则 =_____．

【答案】

【解析】以为原点，以直角坐标系，在由余弦定理可得∴，∴，中，所在的直线为轴，以

所在的直线为轴，建立如图所示的平面

，由正弦定理可得，得，∵∴，在中，∵点满足∴∴∴∴，，.16.如果{an}的首项a1=2017，其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣1=﹣n2（n∈N*，n≥2），则a101=_____． 【答案】1917 【解析】∵∴即∴故∴数列则

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.在△ABC中，D是边BC上一点，且，BD=2．，的所有奇数项构成以

.为首项，以

为公差的等差数列，，，∴，（1）求∠ADC的大小；（2）若，求△ABC的面积．

【答案】（1）（2）【解析】试题分析：

（1）利用正弦定理，根据角的范围写出角，利用内角和即可求出；（2）利用余弦定理求出边长CD，再根据面积公式即可求出.试题解析：

（Ⅰ）△ABD中，由正弦定理得∴ ．，∴，(Ⅱ)由（Ⅰ）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2． 在△ACD中，由余弦定理：即，整理得CD2+6CD-40=0，解得CD=-10（舍去），CD=4，∴ S△ABC=

．

点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18.设公差大于0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=15，且a1，a4，a13成等比数列，记数列（Ⅰ）求Tn；

（Ⅱ）若对于任意的n∈N*，tTn＜an+11恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1）（2）

的前n项和为Tn．

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等差数列前项和公式、通项公式结合等比数列性质列出方程组，求出首项和公差，再利用裂项求和法进行求和；（Ⅱ）分离未知数，利用基本不等式进行求解.试题解析：（Ⅰ）设{an}的公差为d（d＞0），由S3=15有3a1+=15，化简得a1+d=5，①…

又∵a1，a4，a13成等比数列，∴a4=a1a13，即（a1+3d）=a1（a1+12d），化简得3d=2a1，②… 联立①②解得a1=3，d=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． ∴∴（Ⅱ）∵tTn＜an+11，即∴又∴∴t＜162．

点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其主要适用于以下题型； ①③；②

.的部分图象如图所示．

； ≥6，当且仅当n=3时，等号成立，≥162，…，…，． 2219.若函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，（I）设x∈（0，）且f（α）=，求sin 2a的值；（II）若x∈[ ]且g（x）=2λf（x）+cos（4x﹣）的最大值为，求实数λ的值．

【答案】（1）（2），进而求出值，可得函数【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的图象求出最值和周期，可得的解析式，再利用和差公式进行求解；；（Ⅱ）分类讨论满足条件的实数的值，综合讨论结果，可得答案.试题解析：（Ⅰ）由图得，A=2． …，解得T=π，于是由T=∵∴∴由已知因为∴∴==

． …，…，于是0≤≤1．…

=0时，g（x）取得最大值1，与已知不符． ≤，=，即． …，即，所以

．，，得ω=2．…，即，k∈Z，又，故，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，===∵x∈∴0≤①当λ＜0时，当且仅当②当0≤λ≤1时，当且仅当由已知得2λ+1=，解得λ=． ③当λ＞1时，当且仅当

2=λ时，g（x）取得最大值2λ+1，2=1时，g（x）取得最大值4λ﹣1，由已知得4λ﹣1=，解得λ=，矛盾． 综上所述，λ=．…

点睛：由三角函数的图象求函数低点的纵坐标列出关于的方程组求得值的解析式的一般思路：先利用最高点和最，利用相邻零点间的距离、相邻对称轴间的距离、零点和对称轴间的距离求出值，再代入最高点或最低点的坐标求出值.20.已知函数f（x）=kex﹣x3+2（k∈R）恰有三个极值点xl，x2，x3，且xl＜x2＜x3．（I）求k的取值范围：（II）求f（x2）的取值范围． 【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，整理得进行求解；（Ⅱ）求出函数的导数，求出可.试题解析：（Ⅰ）f'（x）=kex﹣3x2． 由题知方程ke﹣3x=0恰有三个实数根，整理得．… x2，令，根据函数的单调性的范围即的解析式，根据函数的单调性求出令，则，由g'（x）＞0解得0＜x＜2，由g'（x）＜0解得x＞2或x＜0，∴g（x）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减．… 于是当x=0时，g（x）取得极小值g（0）=0，当x=2时，g（x）取得极大值

． …

且当x→﹣∞时，g（x）→+∞；当x→+∞时，g（x）→0，∴．…

x

2（Ⅱ）由题意，f'（x）=ke﹣3x=0的三个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，∴0＜x2＜2，且，…

∴令μ（x）=﹣x+3x+2（0＜x＜2），则μ'（x）=﹣3x+6x=﹣3x（x﹣2），当0＜x＜2时，μ'（x）＞0，即μ（x）在（0，2）单调递增，… ∴f（x2）∈（2，6）． …

21.已知函数f（x）=axlnx﹣x+l（a∈R），且f（x）≥0．（I）求a；

（II）求证：当，n∈N*时，【答案】（1）1（2）见解析

232，…

试题解析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）． 若a＜0，f（2）=2aln2﹣1＜0，与已知矛盾．…

若a=0，则f（x）=﹣x+1，显然不满足在（0，+∞）上f（x）≥0恒成立．… 若a＞0，对f（x）求导可得f'（x）=alnx+a﹣1． 由f'（x）＞0解得∴f（x）在（0，∴f（x）min=，由f'（x）＜0解得0＜）上单调递减，在（=1﹣a

． …

≥0成立，即

≤恒成立．，+∞）上单调递增，∴要使f（x）≥0恒成立，则须使1﹣a两边取对数得，≤ln，整理得lna+﹣1≤0，即须此式成立． 令g（a）=lna+﹣1，则，显然当0＜a＜1时，g'（a）＜0，当a＞1时，g'（a）＞0，于是函数g（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴g（a）min=g（1）=0，即当且仅当a=1时，f（x）min=f（1）=0，f（x）≥0恒成立，∴a=1满足条件． 综上，a=1．…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x＞1时，xlnx﹣x+1＞0，即lnx＞

恒成立．

令（n∈N*），即＞，即同理，…，…，，…

将上式左右相加得：

==ln4．=2ln2…

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设

（α为参数），以坐标原点O，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积．

【答案】（1）ρ=6cosθ+8sinθ．（2）........................试题解析：（1）∵曲线C的参数方程是

（α为参数），2∴将C的参数方程化为普通方程为（x﹣3）+（y﹣4）=25，即x+y﹣6x﹣8y=0． …

∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ． …（2）把∴把∴∴S△AOB=代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …

代入ρ=6cosθ+8sinθ，得． …

=

=

． …，2223.已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|．（1）解不等式f（x）≥6；

（2）记f（x）的最小值是m，正实数a，b满足2ab+a+2b=m，求a+2b的最小值． 【答案】（1）（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．（2）的【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分段讨论法进行求解；（Ⅱ）利用三角不等式求出函数最值，再利用基本不等式进行求解.试题解析：（1）当x≤

时，f（x）=﹣2﹣4x，由f（x）≥6解得x≤﹣2，综合得x≤﹣2，… 当时，f（x）=4，显然f（x）≥6不成立，…

当x≥时，f（x）=4x+2，由f（x）≥6，解得x≥1，综合得x≥1，…

所以f（x）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（2）f（x）=|2x﹣1|+|2x+3|≥|（2x﹣1）﹣（2x+3）|=4，即f（x）的最小值m=4． … ∵a•2b≤，…，由2ab+a+2b=4可得4﹣（a+2b）≤解得a+2b≥∴a+2b的最小值为

，．…