小议抽象函数的性质论文5篇

第一篇：小议抽象函数的性质论文

[摘 要]高中数学的重点章节,对函数性质的考察一直是高考的热点。学生在此之前已经对函数的对称性和周期性有了初步的理解,但是认识比较肤浅,缺乏全面深入的研究。

[关键词]抽象函数 周期性 单调性 奇偶性

做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目,大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性。而在实际教学中我感觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以先研究一下抽象函数的周期性问题。

预备知识:对于函数定义域内的每一个x,若存在某个常数T(T≠0),使f(x+T)=f(x)总成立,则f(x)是周期函数。T是f(x)的一个周期,若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期。

一、函数的对称性

定理1.若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称。

推论1.若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(a-x)

(或f(2a-x)= f(x)),则函数y=f(x)的图像关于直线x= a对称。

定理2.若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(b-x)=c,(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点对称。

推论1.若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(a-x)=0,(a为常数),则函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称。

二、抽象函数周期的求法

由于抽象函数无具体的解析式,所以应根据周期函数的定义来解决,大致分为以下几个类型:

1.型如f(x+a)=f(x+b)(a≠b)

分析:用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即f(x)=f[x+(b-a)]所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期.若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)]所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期。

2.型如f(x)=-f(x+a)(a≠0)

分析:条件与定义相比多了一个负号,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换得f(x+a)=-f(x+2a),则所以f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期。

3.型如f(x)=(a≠0)

分析:与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x用x+a替换得f(x+a)= ,则f(x+2a)= =f(x)

所以f(x)是周期函数,2a是其一个周期.从以上可发现求周期,主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期.三、抽象函数周期性与函数的奇偶性,对称性的关系

2001年全国高考的第22题第2问就涉及这方面的知识,仔细分析发现其结论可推广,在很多函数小题中有灵活运用。

1.设条件A:定义在R上的函数f(x)是一个偶函数。条件B:f(x)关于x=a对称条件C:f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论:已知其中的任两个条件可推出剩余一个。证明:①已知A、B→C(2001年高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是其一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x)∴f(x)是R上的偶函数看来偶函数性质加上对称性可推出同期性。那么奇函数是不是也可以呢?经分析可得:

2.定义在R上的奇函数f(x)关于x=a对称,则f(x)是周期函数,4a是其一个周期。证明:∵定义在R上的奇函数f(x)∴f(-x)=-f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=-f(x+2a)再根据周期求法中的第二类型可得f(x)=f(x+4a)(替换+代入)故f(x)是周期函数,4a是其一个周期。奇函数本身是一个中心对称图形,关于原点对称那么若f(x)关于x轴上另一点线中心对称,再加对称性是否也可推出周期性吗?经分析可得:

3.f(x)关于(a、0)成中心对称且f(x)关于x=b成轴对称(a≠b),则f(x)是周期函数且4(b-a)是其一个周期。若f(x)关于x轴上的两个点成中心对称呢?

4.定义在R上的f(x)关于(a、0)和(b、0)都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a)是一个周期。证明:∵定义在R上的f(x)关于(a、0)成中心对称∴f(-x)=-f(x+2a)又∵定义在R上的f(x)关于(b、0)成中心对称∴f(-x)=-f(x+2b)∴f(x)是周期函数且2(b-a)是其一个周期将原条件换成关于x=a,x=b对也行,结论成立。综上可知函数的周期性、对称性、奇偶性之间的关系相当紧密,灵活运用可简化题目难度。

例1.f(x)是R上的奇函数f(x)=-f(x+3),x∈[0,3/2]时f(x)=x,则f(2003)=?解:方法一∵f(x)=-f(x+3)(替换、代入)∴f(x)=f(x+6)∴6是f(x)的一个周期f(x)∴f(2003)=f(334*6-1)=f(-1)=-f(1)=-1方法二∵f(x)=-f(x+3),f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+3)∴f(x)关于x=3/2对称又∵f(x)是奇函数∴6是f(x)的一个周期,以下与方法一相同。

例2.f(x)是R上的偶函数,f(1-x)=f(x+1),x∈[-1,0]时f(x)=Log0.5(-x)则f(2003)=?解:∵f(x)是偶函数,f(1-x)=f(x+1)(即f(x)关于x=1对称)∴根据结论1得2是f(x)的一个周期∴f(2003)=f(2*1002-1)=f(-1)=Log0.5(1)=0

例3.f(x)满足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上单调。求a的值。解:∵f(x)=-f(6-x)∴f(x)关于(3,0)对称∵f(x)=f(2-x)∴f(x)关于x=1对称∴根据结论3得8是f(x)的一个周期∴f(2000)=f(0)又∵f(a)=-f(2000)∴f(a)=-f(0)又∵f(x)=-f(6-x)∴f(0)=-f(6)∴f(a)=f(6)∴a=6

利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法,此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征,寻找函数的周期,从而解决问题。

第二篇：凹凸函数的性质

凹凸函数的性质

12文丽琼 营山中学

四川营山 637700 2营山骆市中学

四川营山

638150

摘要：若函数f(x)为凹函数，则f(xx112xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

xx

若函数f(x)为凸函数，则f(2)

从而使一些重要不等式的证明更简明。

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高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。

凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图

（一）凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图

（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则

f(x1x2xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)是凸函数，则

xxf(12)

证明：若函数f(x)是凹函数，如下图

xx点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nxnnax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12)f(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)为凸函数，如下图

xx

点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12xnn)f(x1)f(x2)f(xn)n

定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。

xx均值不等式：12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

证明：∵ y=lgx 是凸函数

∴lg(x1x2xnn2)lg(x1)lg(x2)lg(xn)n

xx

∴lg(1xnn)lgnxx12xn

即

xx12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

高斯不等式：证明：∵ yxx1n22xn11xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

1(x>0)是凹函数 x11

2∴

1(x1x2xn)／nxx1n1xn

即

x1x2xnn211xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1 A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤

证明：∵A、B、C为三角形三内角 ∴A+B+C=π

A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0

∴

3333 2

∴sinAsinBsinCπsin

即

SinA+sinB+sinC≤

222222n1xx2xn)xxx例2 求证(1nn

证明：∵ yx 为凹函数

xx2xn)xxx

∴(1nnxxxxxx12n例3 求证（（k∈N）)nn

证明：∵ yx

（k∈N）为凹函数

2222n12k2k2k22kn12k2xx2xn)

∴(1n2kx2k1x2xnn2k2k

通过以上例子，可以看出，关键在于找到合适的凹函数或凸函数，再用性质定理，问题可得解决。

第三篇：函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2 函数极限的性质

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1)limfx ；2)limfx；3)limfx

xxxfx；

6)limfx。4)limfx； 5)limxx0xx0xx0它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的．

xx0

证

设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数

1与2，使得当0xx01时有

fx，(1)

当0xx02时有

fx，(2)

取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有

(fx)fxfxfx2

由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U0x0内有界．

xx0

证

设limfx．取1，则存在0使得对一切xU0x0;有

xx0

fx1fx1 这就证明了f在U0x0;内有界．

§3.2 函数极限的性质

定理3．4(局部保号性)若limfx0(或0)，则对任何正数r（或

xx0r)，存在U0x0，使得对一切xU0x0有

fxr0（或fxr0）

证

设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切

xU0x0;

fxr，这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

注

在以后应用局部保号性时，常取rA．

2xx0定理3．5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U0x0;'内

xx0有fxgx则

limfxlimgx

（３）

xx0xx0

证

设

limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使xx0xx0得当0xx01时有

fx，当0xx02 时有

gx

令min',1,2，则当0xx0时，不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立，于是有

fxgx

从而2．由的任意性推出，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性)设limfx=limgx=Ａ，且在某U0x0;'内有

xx0xx0

fx则limhx．

xx0hxgx

证

按假设，对任给的0，分别存在正数1与2，使得当 0xx01时有，§3.2 函数极限的性质

fx

(7)

当0xx02时有

gx

(8)

令min,1,2，则当0xx0时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有

fxhxgx 由此得hx，所以limhx

xx0'

定理3．7（四则运算法则）若极限limfx与limgx都存在，则函数

xx0xx0fg,fg当xx0时极限也存在，且

1)limfxgxlimfxlimgx；

xx0xx0xx02）limfxgxxx0xx0limfx．limgx；

xx0 又若limgx0，则f|g当xx0时极限存在，且有

xx03）limxx0fxgxxx0limfxlimgx．

xx0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．

例 1求limxx0x解

当x0时有

1xx1，x1

11x1故由迫敛性得：

xlim

而limx=1

0x0x另一方面，当x0有1x1x，故又由迫敛性又可得：

lim x1 

x0

xx综上，我们求得lim x1

x0x

1111§3.2 函数极限的性质

例 2求limxtanx1x

4解由xtanxxsinx及§1例4所得的，cosxsixnsin

limx442limcoxs，2x4并按四则运算法则有

limsinxxtanx1=limx

limxx

44x4limcosx

x

1=limx41 44例 3求lim313．

x1x1x1解 当x10时有

x1x2x

2133x1x1x31x2x1故所求的极限等于

x2121 2x1x2x1111lim例4

证明lima1a1 xx0

证

任给0(不妨设1)，为使

x

a1

（9）

即1a1，利用对数函数loga

loga1xloga1 于是，令

x（当a1时）的严格增性，只要

minloga1,loga1，则当0x时，就有(9)式成立，从而证得结论．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.

第四篇：函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2函数极限的性质

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.难点: 函数极限的性质的证明及其应用.Ⅲ.讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1)limfx ；2)limfx；3)limfxxxx

fx；6)limfx。4)limfx； 5)limxx0xx0xx0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.定理3．2(唯一性)若极限limfx存在，则此极限是唯一的． xx0

证设,都是f当xx0时的极限，则对任给的0，分别存在正数

1与2，使得当0xx01时有

fx，(1)当0xx02时有

fx，(2)

取min1,2，则当0xx0时，(1)式与(2)式同时成立，故有

(fx)fxfxfx2

由的任意性得，这就证明了极限是唯一的.定理3。3（局部有限性）若limfx存在，则f在x0的某空心邻域U0x0内有界． xx0

证设limfx．取1，则存在0使得对一切xU0x0;有 xx0

fx1fx1

这就证明了f在U0x0;内有界．

定理3．4(局部保号性)若limfx0(或0)，则对任何正数r（或xx0

r)，存在U0x0，使得对一切xU0x0有

fxr0（或fxr0）

证设0，对任何r(0,)，取r，则存在0，使得对一切

xU0x0;

fxr，这就证得结论．对于0的情形可类似地证明．

注在以后应用局部保号性时，常取rA．2

xx0定理3．5(保不等式性)设limfx与都limgx都存在，且在某邻域U0x0;'内xx0

有fxgx则

limfxlimgx（３）xx0xx0

证设limfx=，limgx=，则对任给的0，分别存在正数1与2使xx0xx0

得当0xx01时有

fx，当0xx02 时有

gx

令min',1,2，则当0xx0时，不等式fxgx与(4)、(5)两式同时成立，于是有

fxgx

从而2．由的任意性推出，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性)设limfx=limgx=Ａ，且在某U0x0;'内有 xx0xx0

fx

则limhx． xx0hxgx

证按假设，对任给的0，分别存在正数1与2，使得当0xx01时有，2fx(7)当0xx02时有

gx(8)令min,1,2，则当0xx0时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立，故有

fxhxgx

由此得hx，所以limhx xx0'

定理3．7（四则运算法则）若极限limfx与limgx都存在，则函数 xx0xx0

fg,fg当xx0时极限也存在，且

1)limfxgxlimfxlimgx； xx0xx0xx0

2）limfxgxxx0xx0limfx．limgx； xx0

又若limgx0，则f|g当xx0时极限存在，且有 xx0

3）limxx0fxgxxx0limfxlimgx． xx0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．

例 1求limxx0x

解当x0时有

1xx1，x1 1

1x1故由迫敛性得：xlim而limx=1 0x0x

另一方面，当x0有1x1x，故又由迫敛性又可得：lim x1 x0xx

综上，我们求得lim x1 x0x1111

例 2求limxtanx1

x

解由xtanxxsinx及§1例4所得的，cosx

sixnsilim

x442limcoxs，2x4

并按四则运算法则有

limsinx

xtanx1=limxlim

xx44x

4limcosxx1=limx41

4例 3求lim313． x1x1x1

解 当x10时有

x1x2x2133x1x1x31x2x1

故所求的极限等于

x2121 2x1x2x1111lim

例4证明lima1a1 x

x0

证任给0(不妨设1)，为使

xa1（9）

即1a1，利用对数函数loga

loga1xloga1

于是，令x（当a1时）的严格增性，只要 minloga1,loga1，则当0x时，就有(9)式成立，从而证得结论．

Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.Ⅴ 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9.

第五篇：高中“抽象函数”学习障碍成因分析

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高中“抽象函数”学习障碍成因分析

作者：吴建明

来源：《读写算》2013年第02期

【摘要】高中学生在学习抽象函数时存在学习障碍，而教师对学生学习抽象函数的障碍所在不够清楚，常常采用“注入式”教学，盲目地进行解题方法与解题技巧的高强度训练，导致学生负担加重。本文就高中抽象函数学习障碍成因进行了分析，以期可以给教师的教学工作有所鉴戒。

【关键词】函数 抽象函数 学习障碍