第3课时　函数性质综合问题

第3课时　函数性质综合问题

第第3

课时

函数性质的综合问题

题型一

函数的单调性与奇偶性

例

例

(1)设

设

f(x)

是定义在R

上的偶函数，当

当

x0

时，f(x)

＝ln

x

＋e

x

.若

若

a

＝f（－)，b＝

＝f(log

3)，c

＝f(2－

0.2)，则

a，b，c的大小关系为（）

A

．bac

B

．cba

C

．abc

D

．acb

【答案】C

【解析】当

当

x0

时，f(x)

＝ln

x

＋e

x

为增函数，f(x)的图

像于

关于

y

轴对称，且在(－

－，0)上

上

是

减

少的，在(0，＋)上

上

是

增

加的，a

＝f（－)

＝f()，又

又

3log

312－

0.2

0，f()f(log

3)f(2－

0.2)，abc.(2)(2021

新高考全国

Ⅰ

改编)

若定义在R数

上的奇函数

f(x)

在(－

－，0)上

上

是

减

少的，且

且

f(2)

＝0，则满足

xf(x

－1)

0的的x的取值范围是（）

A

．[

－1,1]

[3，＋)

B

．[

－3，－1]

[0,1]

C．

．[

－1,0]

[1，＋)

D．

．[

－1,0]

[1,3]

【答案】D

【解析】数

因为函数

f(x)

为定义在R

上的奇函数，则

则

f(0)

＝0.又

又

f(x)

在(－

－，0)上

上

是

减

少且，且

f(2)

＝0，数

画出函数

f(x)的大致图

像

如图(1)

所示，数

则函数

f(x

－1)的大致图

像

如图(2)

所示．

当

当

x

0

时，要满足

xf(x

－1)

0，则

f(x－

－1)

0，得－1

x

0.当

当

x0

时，要满足

xf(x

－1)

0，则

f(x－

－1)

0，得

得

x

3.足

故满足

xf(x

－1)

0的的x的取值范围是[－

－1,0]

[1,3]

．

[

高考改编题]

若函数

f(x)

是定义域为

R的的奇函数，f(2)

＝0，且在(0，＋)上

上

是

增

加的足，则满足

f(x

－1)

0的的x的取值范围是______，满足

f（(x))x0的的x的取值范围是______

．

】

【答案】[

－1,1]

[3，＋)

（－2,0)

(0,2)

【解析】数

由函数

f(x)的性质，作出函数

f(x)的大致图

像

如图所示，∵

∵f(x

－1)

0，则－2

x

－1

0

或

或

x－

－1

2，解得－1

x

或

或

x

3.当

f（(x))x0

时，xf(x)0，即

f(x)的图

像

在二、四象限，即－2x0

或

或

0x2.思维升华

解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成f(x

1)f(x

2)或

或

f(x

1)f(x

2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的性质，画出

出

f(x)的图

像，利用图

像

解不等式．

练

跟踪训练

(1)

已知函数

f(x)

满足以下两：

个条件：

①意

任意

x

1，x

(0，＋)

且

x

x

2，(x

－

－x

2)[f(x

1)

－f(x

2)]0；；

②

对定义域内任意

意

x

有

有

f(x)

＋f（－x)

＝0，则符合条件的函数是（）

A

．f(x)

＝2x

B

．f(x)

＝1

－|x|

C

．f(x)

＝－x

D

．f(x)

＝ln(x

＋

＋3)

【答案】C

【解析】

由

①知

知

f(x)

在(0，＋)上

上

是

减

少的，由

②知

知

f(x)

为奇函数．

(2)

已知偶函数

f(x)

在区间[0，＋)上

上

是

增加的，则满足

f(2x

－1)f

è

èæ

æø

øö

ö13的的x的取值范围是________

．

【答案】

è

èæ

æø

øö

ö13，23

【解析】有

依题意有

f(x)

在[0，＋)上

上

是

增加的，在(－

－，0]上

上

是

减

少的，|2x－

－1|

13，即－

2x

－1

13，解得

x23

.题型二

函数的奇偶性与周期性

例

例

(1)(2021

德州联考)

已知定义在R上

上数的奇函数

f(x)

满足

f(x

＋2)

＝－f(x)，当0

x

时，f(x)

＝x

则，则

f(2

023)

等于（）

A

．2

019

B

．1

C

．0

D

．－1

【答案】D

【解析】数

根据题意，函数

f(x)

满足

f(x

＋2)＝－f(x)，则有

f(x

＋4)

＝－f(x

＋2)

＝f(x)，为

即函数是周期为

4的周期函数，则

f(2

023)＝

＝f（－1

＋2

024)

＝f（－1)，又函数

y

＝f(x)且

为奇函数，且

x

[0,1]，时，f(x)

＝x

则，则

f(－

－1)

＝－f(1)

＝－1，故

f(2

023)

＝－1.(2)(2021

济南模拟)

已知定义在R

上的奇数

函数

f(x)

满足

f(x

－4)

＝－f(x)，且在区间[0,2]上

上

是

增

加的，则（）

A

．f(2

019)

＝f(2

017)

B

．f(2

019)

＝f(2

020)

C

．f(2

020)f(2

019)

D

．f(2

020)f(2

018)

【答案】A

【解析】为

因为

f(x)

满足

f(x

－4)

＝－f(x)，以

所以

f(x

－8)

＝f(x)，以

所以

f(x)

是以

为周期的函数，则

f(2

017)＝

＝f(1)，f(2

018)

＝f(2)，由

而由

f(x

－4)

＝－f(x)得

得

f(2

019)

＝f(3)

＝－f（－3)

＝－f(1

－4)

＝f(1)，f(2

020)

＝f(4)＝

＝－

－f(0)

＝0，为

又因为

f(x)

在[0,2]上

上

是

增

加的，以

所以

f(2)f(1)f(0)

＝0，即

f(2

019)

＝f(2

017)，f(2

020)f(2

019)，f(2

020)f(2

018)．

．

思维升华

已知函数的周期性、奇偶性求函数值，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所有函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．

练

跟踪训练2

(1)

已知f(x)

是R

上的奇函数，且

且

f(x

＋2)

＝f(x)，则

f(2

020)

＋f(2

021)＝

＝________.【答案】0

【解析】意

依题意

f(x)

为奇函数，且周期为2，f(2

020)

＋f(2

021)

＝f(0)

＋f(1)，∵

∵f(x)

为奇函数，f(0)

＝0，且

f（－1)

＝－f(1)，①

①

为

又周期为

2，f（－1)

＝f(1)，②

②

由

①②得

解得

f(1)

＝f（－1)

＝0，f(2

020)

＋f(2

021)

＝0.(2)

已知

f(x)

是定义在R

上以

为周期的偶若

函数，若

f(1)1，f(5)

＝2a

－3，则实数

a的取值范围是________

．

【答案】(－

－，2)

【解析】∵

∵f(x)

为偶函数，且周期为

3，f(5)

＝f(5

－6)

＝f（－1)

＝f(1)，∵

∵f(1)1，f(5)

＝2a

－31，即

即

a2.题型三

函数的奇偶性与对称性

例

例

(1)

已知函数

f(x)

是定义域为

R的奇足

函数，且满足

f(4

－x)

＝－f(x)，则

f(x)的的周期为（）

A

．－4

B

．2

C

．4

D

．6

【答案】C

【解析】∵

∵f(4

－x)

＝－f(x)，f(x)的图

像

关于点(2,0)

对称，f（－x)

＝－f(x

＋4)，又∵

∵f（－x)

＝－f(x)，f(x

＋4)

＝f(x)

．

T

＝4.(2)

函数

y

＝f(x)

对任意

x

R

都有

f(x

＋2)＝

＝f（－x)

成立，且函数

y

＝f(x

－1)的图

像

关于点(1,0)

对称，f(1)

＝4，则

f(2

020)

＋f(2

021)

＋f(2

022)的值为________

．

【答案】4

【解析】数

因为函数

y

＝f(x

－1)的图

像

关于点

点(1,0)

对称，数

所以函数

y

＝f(x)的图

像

关于原点对称，即数

函数

f(x)是

是

R

上的奇函数，以

所以

f(x

＋2)

＝－f(x)，所以

f(x

＋4)

＝－f(x＋

＋2)

＝f(x)，故

f(x)的周期为

4.以

所以

f(2

021)

＝f(505

＋1)

＝f(1)

＝4，以

所以

f(2

020)

＋f(2

022)

＝f(2

020)

＋f(2

020

＋

＋2)

＝

＝f(2

020)

＋f（－2

020)

＝f(2

020)

－f(2

020)＝

＝0，以

所以

f(2

020)

＋f(2

021)

＋f(2

022)

＝4.思维升华

由函数的奇偶性和对称性求函数的性质，一种思路是按奇偶性、对称性的定义，可推导出周期性，二是可利用奇偶性、对称性画草图，利用图

像

判断周期性．

练

跟踪训练

函数

f(x)

满足

f(x

－1)

为奇函数，f(x

＋1)

为偶函数，则下列说法正确的是

是________

．（填序号)

①

①f(x)的周期为

8；

②

②f(x)

关于点（－1,0)

对称；

③

③f(x)

为偶函数；

④

④f(x

＋7)

为奇函数．

【答案】

①②④

【解析】∵

∵f(x

－1)

为奇函数，f(x

－1)的的图

像

关于(0,0)

对称，f(x)的图

像

关于点（－1,0)

对称，又

又

f(x

＋1)

为偶函数，f(x

＋1)的图

像线

关于直线

x

＝0

对称，f(x)的图

像线

关于直线

x

＝1

对称，f(x)的图

像

关于点（－1,0)

和直线

x

＝1

对

对称，f(x)的周期为

8，①②

正确，③

不正确．

∵

∵T

＝8，f(x

＋7)

＝f(x

－1)，又

又

f(x

－1)

为奇函数，f(x

＋7)，为奇函数，故

④

正确．

题型四

函数的周期性与对称性

例

例

已知

f(x)的定义域为

R，其函数图像线

关于直线

x

＝－3

对称，且

f(x

＋3)

＝f(x－

－3)，若当

x

[0,3]

时，f(x)

＝2

x

＋

＋1，则下列结论正确的是________

．（填序号)

①

①f(x)

为偶函数；

②

②f(x)

在[

－6，－3]上

上

是

减

少的；；

③

③f(x)

关于直线

x

＝3

对称；

④

④f(100)

＝5.【答案】

①③④

】

【解析】f(x)的图

像线

关于直线

x

＝－3，对称，则

则

f（－x)

＝f(x

－6)，又

又

f(x

＋3)

＝f(x

－3)，则

f(x)的周期

T

＝6，f（－x)

＝f(x

－6)

＝f(x)，f(x)

为偶函数，故

①

正确；

当

当

x

[0,3]

时，f(x)

＝2

x

＋

＋1

是

是

增

加的，∵

∵T

＝6，故

f(x)

在[

－6，－3]

上也

是

增

加的，故

②

不正确；

f(x)

关于直线

x

＝－3

对称且

T

＝6，f(x)

关于直线

x

＝3

对称，故

③

正确；

f(100)

＝f(16

＋4)

＝f(4)

＝f（－2)

＝f(2)＝

＝5，故

④

正确．

思维升华

函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

练

跟踪训练

函数

f(x)

是定义域为

R的奇足

函数，满足

f(x

－4)

＝－f(x)，f(x

－4)

＝f(－

－x)，且当

x

[0,2]

时，f(x)

＝2

x

＋

＋log

x，则f（－80)，f（－25)，f(11)的大小关系为________

．

【答案】f（－25)f（－80)f(11)

【解析】

依题意，f(x)的周期为

8，且

f(x)是奇函数，其图

像于

关于

x

＝2

对称，当x

[0,2]

时，f(x)

是

是

增

加的，f(x)

在[

－2,2]上

上

是

增

加的，又

又

f（－80)

＝f(0)，f（－25)

＝f（－1)，f(11)＝

＝f(3)

＝f(1)，f（－1)f(0)f(1)

．

即

即

f（－25)f（－80)f(11)

．