数系的扩充和复数的概念
一、内容和内容解析
1.内容
数系的扩充和复数的概念
2.内容解析
《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中课程标准数学实验教科书选修1-2第三章第一节的内容，大纲课时安排一课时。主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数相关概念、代数形式、相等条件、分类.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i的形式，学生能清楚的知道一个复数什么时候是实数，什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么.本节课让学生在经历一系列的思维活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：数系的扩充以及复数的有关概念.二、目标和目标解析
1.目标
（1）使学生体会数的概念是逐步发展的，初步体会引入虚数单位i的合理性；了解引入复数的必要性；
（2）理解复数的基本概念；掌握两复数相等的充要条件；能够对复数进行简单的分类;
（3）在培养学生类比与转化的数学思想方法的过程中，激发学生勇于探索创新的精神，提高学生的创新思维和应用意识．
2.目标解析
（1）学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成.（2）作为新学知识，理解复数的基本概念，掌握复数有关知识，为今后学习奠定基础，承上启下.（3）通过问题设置，引领学生追溯历史，提炼数系扩充原则，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中.三、教学问题诊断分析
学生已经学过自然数、整数、有理数、实数等数系，但是对知识的认识相对比较零碎、分散，对知识没有一个系统性的理解，同时由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有的知识冲突，因此在学习过程中可能遇到的问题有：
1.学生不太容易体会数系再次扩充的必要性.2.由于学生的认知能力有限，学生很难发现数系扩充前后对于运算法则的一致性要求.3.由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解.在学习本节课的过程中，复数的概念如果采用单纯的讲解会显得比较枯燥无味，教学时，采用已学过的数集的认识历程，让学生体会数系的扩充是生产实践的需要，介绍数的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律有着比较清晰的认识，让学生能够在问题探索中掌握新知.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：对引入复数引入必要性的认识以及从实数到复数的扩充历程．
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用图片展示数系学习历程，另外通过演示，体会复数从无到有的发展过程.五、教学过程分析
（一）课题引入
多媒体课件展示“数学的魅力在于用数来诠释全世界”，引入课题.设计意图：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，展示本节课学习的意义.（二）复习回顾
1.已经学习了哪些数集？
2.回顾数的学习历程
情境一
一年级数学第一节
《数一数》
情境二
三年级（上）数学第八节《分数的初步认识》
情境三
三年级（下）数学第七节《小数的初步认识》
情境四
六年级数学第一节《负数》
情境五
七年级数学第六节《实数》
师：我们回顾了对数系的认识历程，我们看到数系在不断地进行扩充，从自然数到整数，再到有理数，乃至实数，请你思考：
（1）
人们为什么不断地扩充数系？
师：
从上述过程可以看出，满足社会实践的需要，是数系扩充的一个
重要原因．正所谓自然数是“数”出来的，分数是“分”出来的，负数是“欠”出来的．
另外，数学内部的发展、需求也是一个重要的原因！例如，求下列方程的解：
x+3=1；3x-2=0；x2-2=0．如果没有数系的合理扩充，这些方程的解就是一个问题，数学本身也不可能协调的发展．
因此，数学源于社会实践又服务于社会实践，问题或数学矛盾是数学发展的动力．
（2）
数学扩充的一般原则是什么？
师：数系的扩充不仅仅是增加一种新的数，它还涉及数的运算．因此，数系的扩充还需保留原来的基本运算，用今天的话来讲，就是要向前“兼容”，不能推倒小楼建大楼．具体来讲，就是加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承．比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律．
设计意图：通过梳理数系的学习历程，体会数系扩充的必要性，了解数系扩充前后的联系，为后面学习做好铺垫.（三）问题导引
师：数系的扩充是否就此止步不前了呢？如果不是，新的数系又是什么呢？
情境六
与数学家的对话
16世纪意大利数学家达尔卡诺在他的著作中写到“将10分成两部分，使他们的乘积等于40”，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了：
10=5+-15+(5--15)，40=5+-15(5--15)．
师：这样一个似乎简单的问题为什么会有争议呢？这两个表达式有什么问题？又包含了有哪些“合理”的成分，没有让数学家们一巴掌把它拍死？
师：的确，虽然16世纪实数理论还没有完善，但任何一个（实）数的平方都是一个非负数，或者负数的开方没有意义的道理是人所共知的．这里-15是什么？他有什么意义吗？是-15个苹果还是-15斤棉花？你卡尔达诺能说清楚吗？
不过，另一方面，根据当时还不太严谨的运算法则，这两个式子好像也没什么大的问题（先不管-15是什么，和为10，积为40也是明显的），至少就数学论数学来说，还马马虎虎有点意思，不能因为看不顺眼就拍死它吧？
设计意图：以问题形式吸引学生注意力，承上启下，调动学生的积极性.（四）问题探究
提出
1637年，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中把这样的数称为“imaginary”
.（“想象中的数”,虚数）
迷茫
“……，它大概是存在和虚妄两界中的两物”．
——德国数学家莱布尼茨
“……我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”
——瑞士数学大师欧拉
发展
1777年，欧拉在其论文中首次用符号“i
”表示
-1，称为虚数单位．
1832年，德国数学家高斯第一次引入复数概念，一个复数可以用
a＋bi来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位
完善
1837年哈密顿用有序实数对(a，b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律，把实数看成特殊的复数，建立完整的复数系．
复数的概念
1.形如a+bi(a,bϵR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位
2.全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示
3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z=
a+bi(a,bϵR)
其中a
与b分别叫做z的实部与虚部
设计意图：通过问题的提出、迷茫、发展和完善过程，让学生感受有实数系扩充到复数系的历程，体会数学家的创新精神和实践能力，让学生参与其中，培养学生解决问题的能力，增强学生解决问题的自信心.练习
完成课后练习1
设计意图：巩固所学内容，加强对复数概念的认识.（五）自主学习
阅读
请阅读教材51页完成下面的问题：
1．两个复数相等的充要条件是什么？
2．复数集C和实数集R之间有什么关系？
3．复数集是怎么分类的？
设计意图：让学生通过自己去阅读、思考的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.练习
完成课后练习2、3
设计意图：及时反馈，学以致用，加强对知识的认识，提高学生的解题能力.（六）例题讲解
例：实数m取什么值时，复数z=(m+1)+(m－1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．
分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数．由复数z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值．
解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；
（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
（3）当m+1=0，且m-1≠0即m=-1时，复数z是纯虚数．
设计意图：通过例题，强化复数相等的充要条件，提高分析、解决问题的能力，规范做题步骤.变式练习
实数m取什么值时，复数
z=(m-1)(m+2)+(m-1)(m-3)i
是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.设计意图：增加题目难度，检验学生学习情况.（七）课堂小结
这节课你学到了哪些内容，你有什么收获？
学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．
设计意图：通过学生总结，教师提炼，培养学生归纳概括的能力，回顾本节课内容，为以后学习打下基础.（八）课后作业
1、书面作业：习题3.1
A组
1，2.2、课后探究：请你收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理.设计意图：巩固本节课所学知识，同时带着新的问题走出课堂，扩大学生的视野，加深对知识的认识，激发学生课外学习数学的兴趣.（九）知识拓展
复数的应用
师：在本节课我们看到，虚数从提出到完善大约经历了300年的历程,数学也就是在这种曲折、矛盾中不断的向前发展．复数系建立之后，人们又把复数和向量联系起来，并在复数的基础上建立了复变函数理论，成为数学新的一个分支，其在流体力学、机翼理论等方面有着广泛的应用，从我们熟悉的飞机制造，到引以为傲的高铁，再到跨世纪的伟大工程——三峡大坝，复数都起到了重要的作用．可谓虚数不虚，学海无涯！
设计意图：拓展了学生的知识面，使学生思想得到升华.教学评析
本节课的学习，一方面帮助学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，让学生参与有实数系到复数系的扩充历程;一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础.从各个环节上看，本节课主要亮点有：
采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，调动学生的积极性和求知欲。
在回顾所学数系以及数系扩充的历程中，采用情境再现的方式，引起了学生极大的兴趣，使学生迅速进入角色，在潜移默化中既得到了温故，又对知识进行了升华.在实数系到复数系的扩充历程中，采用问题驱动教学模式，再现了数系扩充过程中经历的迷茫、发展到完善的过程，让学生参与其中，激发了学生思考和创造精神，同时也体验了数学发展的曲折历程，提高了学生的数学素养.在概念学习上，采用讲练结合，起到了加强巩固，学以致用，及时反馈的功效.对于复数相等的概念以及复数的分类这部分比较简单易懂的知识，大胆放手让学生自主学习并及时反馈，体现了学生的主体地位.小结方面学生畅谈本节课的收获总结，老师以简练的语言在现本节课的学习内容，提高了学生的总结能力，完成了教学目标，同时激发学生对后续学习的欲望.最后一个环节通过课外引申，拓展了学生的知识面，使学生思想得到升华.总之，我感觉整个教学过程中自然流畅地体现了学生的主体地位和老师的主导作用，教学各环节循序渐进，张弛有度，目标达成度高.当然，本节课也有遗憾的地方，比如，数系扩充的发展史是否应该应让学生课前自主查阅，对已学数集的回顾是不是应该让学生独立完成，复数的概念强调是否不够，与学生的互动环节是否应该再多一些，教师的教学语言是否能够再简练一点等等，这些都是值得反思的.
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