高中数学经典错题解析：第十一章数系的扩充与复数

第一篇：高中数学经典错题解析：第十一章数系的扩充与复数

数系的扩充与复数

§11.1 数系的扩充与复数的概念

一、知识导学

1.复数：形如abi的数（a,bR），复数通常有小写字母z表示，即zabi,其中a叫做复数的实部、b叫做复数的虚部，i称做虚数单位.2.分类：复数abi(a,bR)中，当b0时，就是实数；除了实数以外的数，即当b0时，abi叫做虚数；当a0,b0时，叫做纯虚数.3.复数集：全体复数所构成的集合.4.复数相等：如果两个复数abi与cdi的实部与虚部分别相等，记作：abi=cdi.5.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.6.复数的模：设oz=abi,则向量oz的长度叫做复数abi的模（或绝对值），记作abi.(1)zabi

(3)z1z1； z2z2a2b2；(2)z1z2=z2z1； 7．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识

1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小

2222．zR,则z0，而zC，则z0不一定成立，如zi时i10；

23．zR,zz2，而zC则zz2不一定成立；

24．若z1,z2,z3C,(z1z2)2(z2z3)20不一定能推出z1z2z3；

25．若z1,z2R，则z1z2=(z1z2)4z1z2，但若z1,z2C,则上式不一定成立.三、经典例题

[例1]两个共扼复数的差是（）

A.实数B.纯虚数C.零D.零或纯虚数

错解:当得到zz2bi时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为zabi及zabi(a,bR)则zz2bi 或zz2bi

当b0时，zz，zz为纯虚数

当b0时，zz0，zz0，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论.学会全面辩证的思考问题，准确记

忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确

(1)若zC, 则z0(2)若z1,z2C,且z1z20，则z1z

2(3)若ab，则aibi

错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正

确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复

数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.22正解：(1)错，反例设zi则zi10 2

(2)错，反例设z12i，z21i，满足z1z210，但z1z2

不能比较大小.(3)错，ab，a,bR，故ai，bi都是虚数，不能比较大小.a2a6(a22a15)i是(1)实数； [例3]实数a分别取什么值时，复数za

3(2)虚数;(3)纯虚数.a2a6(a2)(a3)解：实部，虚部a22a15(a3)(a5).a3a3

（1）当

（3）当 时，z是实数；（2）当 或 时是纯虚数．，且 时，z是虚数；

[例4] 设z1(m22m3)(m24m3)i(mR),z253i，当m取何值时，(1)z1z2;(2)z10.分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．

2m2m35解：(1)由可得：2解之得m4，m4m33

即：当

(2)当 时 可得：

或，即 时z10.22[例5]z1,z2是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且4z12z1z2z20，证明△OPQ

为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．

22分析本题起步的关键在于对条件4z12z1z2z20的处理．等式左边是关于z1,z2的二次齐次式，可以

看作二次方程求解，也可配方．

22解：由4z12z1z2z20（，不为零），得

z1

22i1iz2z284 z11cosisinz2233

即向量OP与向量OQ的夹角为，3

1|z2|，设|z1|r,|z2|2r，2在图中，POQ

3，又|z1|

在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ为直角三角形，．

四、典型习题

1.设复数z满足关系z|z|2i，那么z等于（）．

A．B．

2C．D． 2.复数系方程(1i)x(1i)x26i0有实数根，则这个实数是_________.3.实数m取何值时，复数

二象限．

4.已知f(z)zz且f(z)103i,求复数z

5.设复数z满足z5且(34i)z在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，是(1)纯虚数；(2)在复平面上的对应点位于第2zm52(mR),求z和m的值

§11.2复数的运算

一、知识导学

1.复数加、减法的几何意义

(1)加法的几何意义

复数z1z2是以oz1、oz2为两邻边的平行四边形对角线oz所对应的复数.(2)复数减法的几何意义

复数z1z2是连接向量OZ1、OZ2的终点，并指向被减数的向量z1z2所对应的复数.2.重要结论

（1）对复数z、z1、z2和自然数m、n，有 

zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nz1nz2n

(2)ii，i1，ii，i1；

i4n112341，i4n21，i4n3i，i4n1.1i1ii，i.1i1i(3)(1i)22i，(4)设1i22nn123n3nn20，，，10，，

2二、疑难知识

1.对于zzz2z，是复数运算与实数运算相互转化的主要依据，也是把复数看作整体进行

2运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐体会.2.在进行复数的运算时，不能把实数的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论.当zC时，不总是成立的.(1)(zm)nzmn(m,n为分数时不成立)；(2)zmznmn(z1时不成立)；

(3)z1z20z1z20(z1,z2是虚数时不成立)；(4)z222z2(z为虚数时不成立)；(5)zaaza(z为虚数时不成立)

三、经典例题

[例1] 满足条件z2iz15的点的轨迹是（）

A.椭圆B.直线C.线段D.圆

错解：选A或B.错因：如果把z2i看作动点Z到定点（0，2）的距离，由上式表示到两个定点（0，2）与（-1，0）的距离之和为常数

动点的轨迹符合椭圆的定义，但是，有一定的前提的就是两点间的距离小于定常数.正解：点（0，2）与（-1，0）间的距离为5，动点在两定点（0，-2）与（-1，0）之间，选C

评注：加强对概念的理解加深，认真审题.[例2] 求值：(1i)n(1i)6n.错解：原式=(1i)(61in)(2i)3in8in1 1i

当n2时，原式8当n3时，原式8

错因：上面的解答错在没有真正理解nZ的含义，只是用了三个特殊整数代替了所有整数，犯了用特殊代替一般的错误.另外还可以看出对虚数单位i的整数幂的运算不熟悉，没有掌握虚数单位i整数幂的运算结果的周期性.正解：原式=(1i)(61in)=(2i)3in8in1 1i

(n4k1),8(n4k2),(k为非负整数)8i= 8（n4k3）,(n4k).8i

评注：虚数单位i整数幂的值具有以4为周期的特点，根据n求in时，必须按被4整除余数为0、1、2、3四种情况进行分类讨论.[例3]已知z

21i，求1zzz22000的值.a1(1qn)分析：结论是等比数列的求和问题，所以应联想到求和公式Sn，若直接将条件代入求1q

和公式，则显得较为麻烦，不妨先将条件化简.1z200113*667112(13i)130zi原式=1z114221i2

评注：由于数列中的数可以是复数，所以数列的诸性质在复数集中仍成立.[例4] 已知复数w满足w4(32w)i(i为虚数单位），z

元二次方程.解法一： w(12i)43i,w

z5|w2|，求一个以z为根的实系数一w43i2i，12i5|i|3i.2i

若实系数一元二次方程有虚根z3i，则必有共轭虚根3i.z6,z10， 所求的一个一元二次方程可以是x26x100.解法二：设wabi(a、bR)

abi43i2ai2b，a42b,a2,得   b32a,b1,

w2i，以下解法同解法一.[例5]设z是虚数，z

解析z是虚数可设z1是实数，且12.zz的实部的取值范围.z11 (xyi)zxyi

xyixyixy(x)(y)i 222222xyxyxy

1220,即xy1 22xy是实数，且y0,1

z1, 此时2x

11x1,即z的实部的范围是(,1)22 由12得12x2

四、典型习题

1．非空集合G关于运算满足：（1）对任意a,bG，都有abG；

（2）存在eG，使得对一切aG，都有aeeaa，则称G关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：

①G非负整数,为整数的加法②G偶数,为整数的乘法

③G平面向量,为平面向量的加法④G二次三项式,为多项式的加法 ⑤G虚数,为复数的乘法

其中G关于运算为“融洽集”__________;（写出所有“融洽集”的序号）2.(1i1993)______1i

3．计算

4.计算

5．解下列方程：

(1)；

(2).

第二篇：《数系的扩充与复数的概念》教学设计

《数系的扩充和复数的概念》教学设计

安阳市第三十八中学 付娟

本节为人教A版选修1-2，第二章第一节第一课时

一、《课程标准》对本节课的学习要求：

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、教材内容和学生情况分析：

在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

三、教学目标：

根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标为：

1、通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部。

2、通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题。

3、通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目。

四、教学环节设计

第三篇：数系的扩充与复数的概念教案说明

海南省琼海市嘉积中学海桂学校

粟建军

《数系的扩充与复数的概念》教案说明

《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中数学实验教材选修2-2第三章第一节的内容，课时安排约一课时。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

学习目标为（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的。虚数单位、实部、虚部的命名，复数想等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数实质的理解，即复数实际上是一有序实数对。类比实数可以用数轴表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示，这就把数和形有机的结合了起来。另外复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，运用复数法可以解决函数最值、三角恒等式、组合问题、不等式问题、数列问题等。而复数在电力、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信号分析、反常积分等方面都有应用。

在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，采用讲解已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解。另外虚数单位i和实数进行四则运算也不容易接受。复数的相等和复数的相关概念（比如实部、虚部、虚数、纯虚数等）这些学生很容易理解。

本节课我采用数学典故吸引学生，让学生知道数系的扩充过程，从而为虚数单位的引入打下基础，在讲解例题后用游戏的方式巩固教学效果。另外我还充分

海南省琼海市嘉积中学海桂学校

粟建军

利用多媒体，提高教学效果，在设疑、提示、观察、类比、练习、游戏等活动中启发学生，让学生动手、动口、动脑，培养学生的思维能力。

在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i。学生能清楚的知道一个复数什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么。让学生在经历一系列的活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，从而提高分析问题和解决问题的能力。

教学中应注意几个问题，注意与以前所学过的数的内容的衔接，在以前，学生学过整数、有理数、实数的概念和运算，在本节课，则要系统地学习复数的概念的发展过程，复习实数的有关概念等，从而为学好本节的内容打好基础。注意与初中、高中数学其他内容的联系，要把握好教学要求，教学时，只要求掌握基本内容，基本思想和解题的基本方法即可。还要注意把类比、分类、归纳、概括、分析等方法贯穿到课堂中去。教学时，应充分挖掘这些数学思想方法，培养学生的能力。

第四篇：《数系的扩充与复数的引入》教学反思

《数系的扩充与复数的引入》教学反思

数学组：谢瑞萍

《数系的扩充与复数的引入》这一部分是在高二下学期学习的, 新课标的基本要求是：在问题情境中了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。了解复数的代数表示和几何意义，能进行代数形式的四则运算和几何意义。

本着面向全体学生，巩固基本知识，强化基本技巧为出法点，而且复数这一部分在高考中的难度相对比较低，在教学设计时，我选择了常见的三种题型，进一步让学生学习了复数的概念及有关定义、复数的运算和利用复数的几何意义。为了提高课堂的教学效率，通过制作了PPT演示文稿，展示数的发展历史，把例题事先制作好，然后再黑板上进行演算。然后还是由于时间有限没有给学生们足够的时间让他们先进行思考，使部分学生有拖着走的感觉。

在教学中，我的问题是重复太多，怕学生听不懂，记不住，但过多的反复很容易适得起反，有的时候自己感觉不到，但是听别人的课，就有很明显的发现，过多的“然后”“也就是说”“那么”“接下来”甚至语气词啊什么的，不但不能起到上下语句的承接作用，反而使语言拖沓沉冗。数学语言，尤其要注重准确严密，一针见血，要么不说，要么就说在点子上，这需要斟酌课堂上的每一句教学语言，需要长期坚持不懈。

第五篇：《数系的扩充和复数的引入》教学设计

教材分析：

《数系的扩充和复数的引入》是北师大版普通高中课程标准实验教科书选修2-2的第五章第一节的内容，主要包括数的概念的扩充，复数的相关概念。复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习打下基础。通过本节课的学习，要使学生了解熟悉扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

教学目标：

1.知识与技能：使学生体会数的概念是逐步发展的；了解引进复数的必要性；理解复数的基本概念。

2.过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；

3.情感、态度与价值观：通过对复数的学习，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用；通过数系的扩充历程，使学生体会数学博大精深的文化魅力，激发学生学习数学的兴趣；培养学生勇于知疑问难,善于探索的'学习习惯和良好的思维品质

教学重点：

复数的概念。

教学难点：

虚数单位i的引入及复数的概念

教学过程：

【情景导入】

通过人类生产生活的需要及数学内部矛盾的解决需要这两条线索，回顾数的扩充脉络，引入新的问题：在实数集中求方程x2+1=0 的解？启发学生类比前三次数系扩充的问题的解决，得到要解决这个问题可以引入一个新的数。

设计意图：采用观看视频的方式进行情景导入，紧扣主题，通过梳理数系的扩充历程，使学生体会熟悉扩充的必要性，了解熟悉扩充前后的联系，为后面的学习做好铺垫。

【概念形成】

1、我们引入新数i，叫做“虚数单位”，并规定：

（1）i2=-1;

（2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法运算律、乘法运算律仍然成立.2、复数的定义

形如a+bi(a,b∈R)的数称为复数，通常表示为Z= a+bi(a,b∈R)其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.i称为虚数单位。

全体复数组成的集合叫复数集，通常用C表示。

设计意图：通过问题的提出、发展、解决的过程，让学生感受由实数系扩充到复数系的历程，体会数学家的创新精神和实践能力，让学生参与其中，培养学生解决问题的能力。

【自主学习】

阅读教材第99页倒数三段内容，完成下面的问题：

问题1：复数是怎样分类的？

对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.问题2：复数集与数集N、Z、Q、R之间有什么关系？你能否用韦恩图表示？

复数集与其它数集之间的关系：

设计意图：让学生通过阅读、思考的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力。

【合作探究】

例1：完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或纯虚数）

2-3i

6i

实部

虚部

分类

例2：实数m取什么值时，复数z=(m-2)+(m+1)i 是

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

变式练习：实数m取什么值时，复数z(m-2)(m-1)+(m-1)(m-3)i 是纯虚数？

设计意图：通过例题，强化学生对复数概念的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力，规范做题步骤。

【课堂练习】

1、以 3i-2 的虚部为实部，以-3+3i 的实部为虚部的复数是

2、若复数(m-1)+(m+2)(m-1)i 是纯虚数，则实数m 的值为。

设计意图：及时反馈，学以致用，加深学生对知识的理解，提高学生的解题能力。

【课时小结】

这节课你都学到了什么？有哪些收获？

设计意图：通过学生总结，教师归纳，培养学生归纳概括的能力，回顾本节课内容，为后面的学习打下基础。

【课后作业】

1、书面作业：习题5-1 A组12、预习《 1.2复数的有关概念》

3、课后探究：请你查阅、收集一些关于实数集扩充到复数集的数学史料，并根据自己的理解对数系的扩充进行整理，写成一篇关于数系扩充历程的文章。

设计意图：巩固本节课所学知识，同时带着新的问题走出课堂，扩大学生的视野，感受数学文化的魅力，体会数学来源于生活，服务于生活。

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