高中必修1-5错误解题分析系列-《11.1 数系的扩充与复数的概念》

第一篇：高中必修1-5错误解题分析系列-《11.1 数系的扩充与复数的概念》

§11.1 数系的扩充与复数的概念

一、知识导学

1.复数：形如abi的数（a,bR），复数通常有小写字母z表示，即zabi,其

中a叫做复数的实部、b叫做复数的虚部，i称做虚数单位.2.分类：复数abi(a,bR)中，当b0时，就是实数；除了实数以外的数，即当

b0时，abi叫做虚数；当a0,b0时，叫做纯虚数.3.复数集：全体复数所构成的集合.4.复数相等：如果两个复数abi与cdi的实部与虚部分别相等，记作：

abi=cdi.5.复平面、实轴、虚轴：建立直角坐标系来表示复数的平面.在复平面内，x轴叫做实

轴，y 轴叫做虚轴.6.复数的模：设oz=abi,则向量oz的长度叫做复数abi的模（或绝对值），记作

abi.(1)zabia2b2；(2)z1z2=z2z1；(3)z1z1； z2z

27．共扼复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共扼复数.二、疑难知识导析

1．两个实数可以比较大小，而不全是实数的两个复数不能比较大小

2222．zR,则z0，而zC，则z0不一定成立，如zi时i10；

23．zR,zz2，而zC则zz2不一定成立；

24．若z1,z2,z3C,(z1z2)2(z2z3)20不一定能推出z1z2z3；

25．若z1,z2R，则z1z2=(z1z2)4z1z2，但若z1,z2C,则上式不

一定成立.三、经典例题导讲

[例1]两个共扼复数的差是（）

A.实数B.纯虚数C.零D.零或纯虚数

错解:当得到zz2bi时就错误的选B，忽略了b可以为零的条件.正解：设互为共扼的两复数分别为zabi及zabi(a,bR)则zz2bi 或

zz2bi

当b0时，zz，zz为纯虚数

当b0时，zz0，zz0，因此应选D.注：要认真审题，看清题设条件，结论.学会全面辩证的思考问题，准确记忆有关概念性质.[例2]判断下列命题是否正确

(1)若zC, 则z0

(2)若z1,z2C,且z1z20，则z1z

2(3)若ab，则aibi

错解：(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中，从而(1)是正

确的(2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数，也可推到复

数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而认为命题(2)是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.22正解：(1)错，反例设zi则zi10 2

(2)错，反例设z12i，z21i，满足z1z210，但z1z2

不能比较大小.(3)错，ab，a,bR，故ai，bi都是虚数，不能比较大小.a2a6(a22a15)i是(1)实数； [例3]实数a分别取什么值时，复数za

3(2)虚数;(3)纯虚数.a2a6(a2)(a3)2解：实部，虚部a2a15(a3)(a5).a3a3

（1）当

（2）当

（3）当 时，z是实数；，且 或时，z是虚数；时是纯虚数． 2 [例4] 设z1(m2m3)(m4m3)i(mR),z253i，当m取何值时，(1)z1z2;(2)z10.分析：复数相等的充要条件，提供了将复数问题转化为实数问题的依据，这是解复数问题常用的思想方法，这个题就可利用复数相等的充要条件来列出关于实数 的方程，求出 的值．

2m2m35解：(1)由可得：2解之得m4，m4m33

即：当

(2)当 时 可得：

或，即 时z10.22[例5]z1,z2是两个不为零的复数，它们在复平面上分别对应点P和Q，且4z12z1z2z20，证明△OPQ为直角三角形（O是坐标原点），并求两锐角的度数．

22分析本题起步的关键在于对条件4z1等式左边是关于z1,z2的二次2z1z2z20的处理．

齐次式，可以看作二次方程求解，也可配方．

22解：由4z12z1z2z20（，不为零），得

z1

223i13iz2z284 z11cosisinz2233

即向量OP与向量OQ的夹角为，3

1|z2|，设|z1|r,|z2|2r，2在图中，POQ

3，又|z1|

在△OPQ中，由余弦定理

△OPQ为直角三角形，．

四、典型习题导练

1.设复数z满足关系z|z|2i，那么z等于（）．

A．B．C．D．

2.复数系方程(1i)x2(1i)x26i0有实数根，则这个实数是_________.3.实数m取何值时，复数的对应点位于第二象限．

4.已知f(z)zz且f(z)103i,求复数z

5.设复数z满足z5且(34i)z在复平面上对应的点在第二象限、四象限的角平分线上，是(1)纯虚数；(2)在复平面上2zm52(mR),求z和m的值

第二篇：《数系的扩充与复数的概念》教学设计

《数系的扩充和复数的概念》教学设计

安阳市第三十八中学 付娟

本节为人教A版选修1-2，第二章第一节第一课时

一、《课程标准》对本节课的学习要求：

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、教材内容和学生情况分析：

在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

三、教学目标：

根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标为：

1、通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部。

2、通过小组讨论能将复数归类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题。

3、通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目。

四、教学环节设计

第三篇：数系的扩充与复数的概念教案说明

海南省琼海市嘉积中学海桂学校

粟建军

《数系的扩充与复数的概念》教案说明

《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中数学实验教材选修2-2第三章第一节的内容，课时安排约一课时。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

学习目标为（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的。虚数单位、实部、虚部的命名，复数想等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数实质的理解，即复数实际上是一有序实数对。类比实数可以用数轴表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示，这就把数和形有机的结合了起来。另外复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，运用复数法可以解决函数最值、三角恒等式、组合问题、不等式问题、数列问题等。而复数在电力、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信号分析、反常积分等方面都有应用。

在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，采用讲解已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解。另外虚数单位i和实数进行四则运算也不容易接受。复数的相等和复数的相关概念（比如实部、虚部、虚数、纯虚数等）这些学生很容易理解。

本节课我采用数学典故吸引学生，让学生知道数系的扩充过程，从而为虚数单位的引入打下基础，在讲解例题后用游戏的方式巩固教学效果。另外我还充分

海南省琼海市嘉积中学海桂学校

粟建军

利用多媒体，提高教学效果，在设疑、提示、观察、类比、练习、游戏等活动中启发学生，让学生动手、动口、动脑，培养学生的思维能力。

在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i。学生能清楚的知道一个复数什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么。让学生在经历一系列的活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，从而提高分析问题和解决问题的能力。

教学中应注意几个问题，注意与以前所学过的数的内容的衔接，在以前，学生学过整数、有理数、实数的概念和运算，在本节课，则要系统地学习复数的概念的发展过程，复习实数的有关概念等，从而为学好本节的内容打好基础。注意与初中、高中数学其他内容的联系，要把握好教学要求，教学时，只要求掌握基本内容，基本思想和解题的基本方法即可。还要注意把类比、分类、归纳、概括、分析等方法贯穿到课堂中去。教学时，应充分挖掘这些数学思想方法，培养学生的能力。

第四篇：数系的扩充与复数的概念教学

《数系的扩充和复数的概念》教材分析

选自《高中数学选修2—2》（人教A版）

第三章第一节第一小节

提

纲

一、内容结构

二、教学目标

三、教学重、难点

四、地位与作用

五、学情分析

六、教法分析

七、教学建议

《数系的扩充和复数的概念》教材分析

一、内容结构

1、针对数系的扩充，教材未一条一条地将数系的扩充过程所遵循的原则介绍给学生，而是通过回顾自然数系扩充到实数系的过程，总结出之前熟悉的每次数系扩充都是实际所需求，教材选取x210这一在实数范围内无解的方程引发学生的认知冲突，激发学生们把实数系进一步扩充的欲望，同时使学生初步认识学习复数的意义，类比自然数系扩充到实数系的过程，引入虚数单位i，将实数系扩充，从而进入复数的学习中；

2、章节开始时的火箭升空的画面形象地表示出认识复数将会对数的认识实现一次飞跃，在复数的概念教学中，教材通过介绍希望引进的虚数和实数之间仍能像实数系那样进行加、减法运算的设想，进而得到复数的代数形式、实部、虚部的概念，顺着也规定了两个复数相等的充要条件，教材中未针对复数比较大小这一点做精述；

3、认识了复数集，就该将复数集与实数集作比较了，其间教材又为大家引入了虚数、纯虚数的概念，它们分别与复数的实部、虚部是否为零有关系，同时揭示了复数集与实数集的关系、复数的分类；

4、教材的例题及习题部分针对复数的相关概念，复数相等的充要条件及复数的分类提出了较基础的题，主要检验学生对基本概念的掌握程度如何，也符合了《新课标》中“不偏不怪”的原则。

二、教学目标

知识与技能目标：

1、了解数系的扩充过程，感受理性思维的作用以及数与现实世界的联系；

2、理解虚数单位、复数的概念，掌握复数的代数形式及复数相等的充要条件；

3、把握复数集和实数集的关系，清楚虚数、纯虚数的概念及复数的分类。过程与方法目标：

1、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；

2、在认识复数集的过程中了解掌握“类比”思想，“分类”思想。情感态度与价值观目标：

1、让学生体会数与现实世界的联系，感受数学来源与生活，从而提高学生学习数学的兴趣；

2、初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度，树立辩证唯物主义世界观。

三、教学重、难点

教学重点

数系扩充的过程和方法，复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等的充要条件。教学难点

数系扩充的过程和方法，复数的概念。

四、地位与作用

《标准》关于“数系的扩充和复数的概念”的要求为：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，理解复数的代数表示法、基本概念即以复数相等的充要条件。

在这课之前，学生已经学习了自然数、整数、有理数、实数等数的概念及运算，这些内容的学习为本节的学习起着铺垫作用。复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充．而本节学习又为后边复数代数形式的四则运算学习提供了基础，同时，复数作为一种新的数学语言，也为今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了数形结合思想。

本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数单位引入的必要性和合理性，另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础。复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础，而且复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，因此，本节课具有承前启后的作用。

五、学情分析

1、知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；

2、心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推

理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；

3、学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。

六、教法分析

以问题为载体，以学生活动为主线,方法如下：

创设情境建构数学知识运用归纳总结巩固作业

讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而让学生积极主动地建构虚数单位的概念、复数的概念、复数相等的充要条件以及复数的分类，再举出例题让大家在讨论探究中学会运用。

七、教学建议

1、数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索．数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，也体现了数学发生、发展的客观需求．建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程，使数系的扩充与复数的引入更为自然，让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想．回顾自然数系向实数系扩充的过程时，学生可能对数系扩充的知识不是很了解，还需从数学史、数学文化等多方面加以引导；

2、针对复数的代数形式abi，由于之前学习代数方面的知识时可能将b当做是虚部系数，而b是虚部，在引导过程中需潜移默化地强调这方面细节，对于两个复数只能说相等或者不相等，而不能比较大小，即若两个复数都是实数可以比较大小，否则不能比较大小，由于中学生大部分较难理解相关原则，在教学中对这一点可以不需大范围展开；

3、复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解；

4、在教学中学生是认知的主体，是教学的主体，更是课堂的主角，教学中的问题发生解决过来程都是他们在完成，因而应遵循学生的认知规律，尽可能地带动学生的积极性，让学生经历知识的形成与发展过程，并尽力带动学生的思维，使学生自己成为学习知识的主动者，同时引导学生走出学习数学概念的烦琐与困境，让学生进一步学会学习，学会欣赏，学会探究，学会生活。

第五篇：3.1数系的扩充和复数的概念 教学设计 教案

教学准备

1.教学目标

（1）知识目标：

理解复数产生的必然性、合理性；掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类.（2）过程与方法目标：

从为了解决方程在实数系中无解的问题出发,设想引入一个新数i,使i是方程的虚数根.到将i添加到实数集中去,使新引入的数i和实数之间能象实数系那样进行加、乘运算；掌握类比的方法，转化的方法。

（3）情感与能力目标：

通过介绍数系扩充的简要进程，使同学们感受人类理性思维对数学的发展所起的重要作用，体会数与现实世界的联系。

2.教学重点/难点

【教学重点】： 复数的概念及其分类。【教学难点】： 虚数单位i的引入。

3.教学用具

多媒体

4.标签

3.1.1 数系的扩充和复数的概念

教学过程

课堂小结

采取师生互动的形式完成。

即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。